Математическая мифология и пангеометризм

Математическая мифология и пангеометризм

Как справедливо отметил еще О.Шпенглер [37], не существует универсального стиля математического мышления (универсальной математики), поскольку не существует универсальной общечеловеческой культуры. В разные эпохи и у разных народов математика отличалась настолько сильно, что перед нами, в некотором смысле, различные культурные феномены (например, математика античная и математика нововременная). Другой важный тезис Шпенглера состоит в том, что существует теснейшая взаимосвязь между разнообразными сторонами жизни данного культурного организма: античная математика глубочайшим образом связана с античными мифологией, религией, искусством, архитектурой, организацией общественной жизни и т.д., а нововременная математика - с соответствующими сторонами нововременной культуры. Эти два шпенглеровских тезиса являются основополагающими для всякой социокультурной философии математики

Желая проследить далее процесс дифференциации стилей, и приглядываясь к математике определенного культурного организма, мы увидим более мелкие разделения. Например, в случае современной европейской культуры стало уже общепринятым противопоставлять математику “работающих математиков” (working mathematicians) и математику математических логиков и специалистов по основаниям. Другой пример: А.Н.Кричевец предлагает различать в рамках современной культуры, по крайней мере, три математики - математику профессиональных математиков, математику инженеров, и математику физиков [14, с.387-388]. Можно, очевидно, произвести и другие разделения современной математики. Для дальнейшего нам будет удобно несколько развить различение А.Н.Кричевца: мы можем разделять математику через преимущественное тяготение к определенной смежной области культуры: так у нас будут появляться не только математика физиков или инженеров, но и математика философов, математика художников, математика поэтов и т.д. Особое положение при таком делении займет математика профессиональных математиков. Она не взаимодействует напрямую с другими областями культуры: такое взаимодействие всегда опосредовано одной из “математик”, перечисленных нами выше

Преимущественная связь с той или иной областью культуры, равно как и установка, состоящая в избегании такой связи, накладывает определенный отпечаток на стиль математического мышления, характерный для данной “математики”. Можно даже смотреть на подобное деление математики как на различение стилей мышления par excellence

Очевидно, дифференциацию стилей математического мышления можно продолжать и далее, пока не дойдем до уникального стиля данного математика или даже данного математического текста. Однако уже произведенного выше различения будет вполне достаточно для наших целей

Пока что мы проводили разделительные линии. Мы отделяли математику разных культур и эпох, мы разделяли математику и в рамках единой эпохи и единой культуры, в зависимости от основной области приложений. Теперь необходимо сказать, что, конечно же, в культурном организме математика физиков не обособлена от математики профессиональных математиков или от математики средней школы, а сложным образом взаимодействует с ними. Да и между культурами нет все-таки непроницаемых перегородок: так античная математика и математика нововременная, несмотря на все свои отличия, связаны все же цепью “социальных эстафет” (М.А.Розов). Именно наличие этой, хотя порой весьма хрупкой связи и позволяет нам все ж таки надеяться на возможность понимания, равно как и на оправданность разговора о едином феномене математики (хотя более адекватным здесь было бы сравнение не с единой жизнью, а с цепью перевоплощений, связанной единством кармы)

Итак, хотя универсальной математики не существует, это не означает бессмысленности разговора о математике вообще. (Ниже мы будем говорить не только об определенном стиле математического мышления, но и о понимании математики вообще, этим стилем провоцируемом). Достаточно удобным для разъяснения того, что мы хотим сказать, оказывается противопоставление понятия-емкости и понятия-типа , производимое Р.Арнхеймом [2, с.34-39]. “Понятие-емкость - это сумма свойств, по которым можно узнать данный вид сущности. Тип - это структурная основа такого вида сущности” [2, с.35]. Мы не будем пытаться в дальнейшем привести необходимый и (в совокупности) достаточный перечень черт, определяющих математическое мышление. Да такой перечень и невозможно составить (здесь уместно вспомнить знаменитые рассуждения Витгенштейна о понятии “игра”). Однако это не делает менее интересной попытку угадать некий образ , некую структуру-гештальт , которая давала бы нам ощущение прозрения в тайну математического.

При этом достаточно понятно, что характер подобного “прозрения” будет зависеть от избранного угла зрения на математику (в нашем случае, взглядом на нее с точки зрения ее связи преимущественно с такими областями культуры как религия, философия, искусство, т.е. взглядом sub specie artis). Выбор иного угла зрения привел бы к иной картине, но избрание одного угла зрения и не предполагает отрицания правомерности других, а значит, мы и не имеем в указании на наличие других возможных подходов решающего аргумента против права создаваемой в данной работе картины на существование. Более того: мы не просто избираем здесь определенный ракурс, но стремимся сохранять его, пока остается возможность развивать мысль в избранном направлении. Это сознательный метод данной работы

Начать естественно с выражения “математическая мифология”. Для разъяснения того, что имеется в виду, нам придется обратиться к Платону

1. Что такое математическая мифология?

Платоновский Тимей говорит: “... не удивляйся, Сократ, что мы, рассматривая во многих отношениях много вещей, таких, как боги и рождение Вселенной, не достигнем в наших рассуждениях полной точности и непротиворечивости. Напротив, мы должны радоваться, если наше рассуждение окажется не менее правдоподобным, чем любое другое, и притом помнить, что и я, рассуждающий, и вы, мои судьи, всего лишь люди, а потому нам приходиться довольствоваться в таких вопросах правдоподобным мифом , не требуя большего” [21, с.433; курсив мой]

Мифология “Тимея” насыщена математическими элементами. Это не просто миф, но миф математический . Здесь и рассуждение о шарообразности космоса, и разделение мировой души в соответствии с определенными арифметическими закономерностями, и все учение о четырех стихиях, включающее знаменитые рассуждения о правильных многогранниках. Согласно Проклу, “Платон многие удивительные учения о богах излагает нам посредством математических форм”, и таков же “весь способ Пифагора учить о богах” [24, с.81]

В чем же смысл математического мифа? В чем притягательность именно математической мифологии для античного мыслителя? Ответ на эти вопросы мы находим у того же Платона, и в первую очередь в диалоге “Государство”

Во-первых, здесь мы весьма отчетливо видим, каким образом миф работает в динамике платоновской мысли. В конце VI книги строятся взаимосвязанные иерархии бытия и познавательных способностей, а параллельно им развивается соответствующая мифологическая конструкция, которая находит окончательное завершение уже в VII книге в знаменитом мифе о пещере. По существу Платон параллельно возводит две тесно связанные между собою конструкции - метафизическую и мифологическую . Их взаимосвязь организуется посредством широко применяемого Платоном принципа пропорции или аналогии (см. подробнее у А.Ф.Лосева [16, с.250-275])

Приведем в качестве примера лишь малый фрагмент этого построения [21, с.253-319]. Содержащееся в VI книге учение о Благе может быть представлено следующей пропорцией:

Числители выписанных дробей относятся к области подлинного бытия, а знаменатели - к области чувственно воспринимаемого (зримого). Метафизическую связь между мышлением, идеями и Благом, предлагается понимать по аналогии с тем, как связаны между собой зрение, видимые с его помощью вещи и, только и делающие возможным существование зрения и видимого мира, Солнце и его свет. Наша душа, погрязшая в чувственном мире, и наш язык, приспособленный преимущественно к выражению предметов и отношений этого мира, позволяет нам с помощью такой пропорции представить, до некоторой степени, и сверхчувственное отношение сверхчувственных предметов. В этом и состоит, по всей видимости, главный смысл, как приведенного построения, так и всего мифа о пещере, в который это построение разрастается в VII книге

Во-вторых, в тех же книгах “Государства” мы находим ответ не только на вопрос о функции платоновского мифа вообще, но и о специфической притягательности именно математического мифа. Имеется в виду знаменитое учение о срединном положении математики, и вытекающей отсюда исключительной роли последней в процессе восхождения души от мира чувственного к миру подлинному. Как разъясняют нам Платон и Прокл, математические конструкции ближе к миру подлинному, более совершенны и более устойчивы, чем текучие образы чувственного мира, однако не полностью свободны от материальности (hyle phantaston), что и позволяет строить на их основе миф, но миф более правдоподобный, более адекватный реалиям подлинного мира.

Ступень математическая - промежуточная ступень лестницы, за которой следует диалектика. Однако (чего часто не замечают!), переход на ступень диалектики вовсе не означает у Платона отказ от всего того, что имелось на ступени математики. При этом переходе необходимо должно происходить осознание и осмысление тех предпосылок, которые оставались неосознанными и неосмысленными на предыдущей ступени, но математические дисциплины признаются “помощниками и попутчиками” (Платон) диалектического метода, его “подспорьем и азбукой” (Алкиной)

В качестве весьма выразительного примера можно указать на последний трактат “Эннеад” Плотина. Трактат “О благе или едином”, по самой своей тематике, особенно ярко обнаруживает двойственное отношение к математике (обусловленное промежуточностью ее статуса) характерное для платоников.

С одной стороны, наставляя тех, кто желает философствовать о едином, Плотин требует “созерцать единое, не присоединив ни одного чувствования и ничего от оного не принимая в него-то, но созерцать чистейшее чистым умом и тем, что в уме первое”. “Стало быть, - продолжает Плотин, - когда приступивший к созерцанию вот такого воображает у этой природы или величину, или фигуру, или массу, не ум становится проводником ему в созерцании , потому что не уму прирождено видеть таковые, а это - деятельность чувствования и мнения, следующего за чувствованием” [22, с.219; курсив мой]. Итак, приступая к рассмотрению единого, следует отринуть всякие образы (как собственно чувственные, так и математические), ведь единое безвидно , чуждо всякого образа (aneideos).

С другой стороны, читая трактат далее, мы обнаруживаем, что Плотин активно привлекает различные образы, в особенности математические, и именно чтобы говорить (= мыслить) о едином. Здесь возникают образы геометрической точки и арифметической единицы . Предмет рассмотрения трактата, говорит Плотин, мы называем “единым и нераздельным не так, как мы называем точку или единицу ; ибо те, что суть единое таким образом, - начала количества, которое бы не существовало, не будь прежде него сущности и того, что прежде сущности (итак, не нужно вперять сюда мысль); однако первые всегда подобны последним в соответствиях (аналогичны - В.Ш.) по простоте и избеганию множества и деления ” [22, с.221; курсив мой].

Далее эта мысль развивается. Развитием (эманацией) образа точки оказывается образ круга , а затем и сферы (сама же точка выступает теперь как центр ). Душа, пишет Плотин, “знает, что ее движение не прямолинейное , ну разве лишь тогда, когда бы оно претерпело отклонение, свойственное же ей по природе движение такое, как движение по кругу (1) не вокруг чего-то вовне, а вокруг центра , центр же - то, от чего происходит круг, то она будет двигаться вокруг этого, от коего происходит, и будет зависеть от этого, привлекая себя к тому самому, к коему пристало влечься всем душам <...>. Ну а этот как бы центр души есть ли искомое? Или следует признать нечто другое, в чем все как бы центры совпадают? И признать, что это - “центр” по аналогии со здешним кругом ? И не оттого, что душа - круг так, как фигура , но потому, что в ней и вокруг нее древняя природа, и потому, что она происходит от “такового”, а еще более и потому, что души отделены целиком. Ныне же, когда часть нас удерживается телом, как если бы кто-то держал ноги в воде, остальным же телом вздымался, мы поднявшись кверху тем-то, что не притоплено телом, этим-то соприкасаемся в центре самих себя с как бы центром всего так же, как центры наибольших кругов соприкасаются с центром объемлющей сферы , и отдыхаем. Ну а если бы круги были телесными, а не душевными, то они пространственно соприкасались бы с центром и, раз центр расположен где-то, были бы вокруг него; но коль скоро и сами души умопостигаемы, и “то” превыше ума, должно полагать, что соприкосновение происходит благодаря другим силам” [22, с.223; курсив мой].

Те же геометрические образы Плотин использует и далее: “Так вот, тогда видящий и не видит, и не различает, и не представляет себе двух, а, словно став другим, он, и не сам, и не свой, относится туда, и, став “того”, он есть единое, как бы совместив центр с центром . И ведь здесь центры суть единое, совпав, и - двоица, когда они порознь . Так и мы ныне называем “то” иным. Потому-то и трудновыразимо зрелище. Ведь как кто-либо смог бы поведать о “том” как ином, узрев там, когда он созерцал, не иное, а единое с собой самим?” [22, с.225; курсив мой].

Что же получается? Плотин забыл о собственных увещаниях? - Нет. Более того, он неоднократно повторяет их вперемешку с приведенными выше рассуждениями, использующими образы единицы, точки, круга, сферы (и ее больших кругов). Кроме того, и в самих этих рассуждениях он постоянно делает оговорки: “не нужно вперять сюда мысль”, “как бы центр”, “”центр” по аналогии”, “не оттого, что душа - круг, как фигура” и многие другие. Всю же ситуацию он в конце трактата разъясняет следующим сравнением: стремящийся к постижению единого “совсем как некто, вошедший вовнутрь святилища и оставивший позади изваяния в храме, которые вышедшему из святилища опять предстают первыми после зрелища внутри и общения там не с изваянием и не с образом, а с “самим”, и которые, стало быть, оказываются последующими зрелищами. <...> Ну а эти зрелища - подобия; и потому мудрым из прорицателей они намекают, как тот бог зрится; мудрый же жрец, уразумевший намек, мог бы, оказавшись там в святилище, сделать созерцание истинным” [22, с.225].

Все становится на свои места, когда мы начинаем понимать, что для Плотина есть две математики (равно как и два отношения к чувственно воспринимаемому). Одну из них он отвергает, тогда, как другую приемлет. Это те самые две математики, которые столь настоятельно противопоставляет Платон в “Государстве” [21, с.304-315] - “торгашеская” математика и математика философская , математика сама по себе (или даже ориентированная на технические приложения и получение мирской выгоды) и математика как “подспорье и азбука” диалектики (как математическая диалектика или диалектическая математика ). Другими словами, как Платон, так и Плотин отвергают математические образы как таковые и приветствуют их в качестве элемента мифа . Подлинная математика для них - это математический миф , это те изваяния в храме, которые окружают святилище (2).

Еще более отчетливое выражение этих же мыслей находим у Николая Кузанского, полагавшего, что именно математика “лучше всего помогает нам в понимании разнообразных Божественных истин”. Рассуждает он следующим образом: “Видимое поистине есть образ невидимого”, и Творца “можно увидеть по творению как бы в зеркале и подобии”. Если же “разыскание ведется все-таки исходя из подобий, нужно, чтобы в том образе, отталкиваясь от которого мы переносимся к неизвестному, не было по крайней мере ничего двусмысленного; ведь путь к неизвестному может идти только через заранее и несомненно известное. Но все чувственное пребывает в какой-то постоянной шаткости ввиду изобилия в нем материальной возможности. Самыми надежными и самыми для нас несомненными оказываются поэтому сущности более абстрактные, в которых мы отвлекаемся от чувственных вещей, - сущности, которые и не совсем лишены материальных опор, без чего их было бы нельзя вообразить, и не совсем подвержены текучей возможности. Таковы математические предметы”. Поэтому, “если приступить к Божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими знаками из-за их непреходящей достоверности” [18, с.64-66].

К математической мифологии могут быть отнесены знаменитые рассуждения Николая Кузанского в “De docta ignorantia”, использующие динамические возможности геометрических фигур: шар бесконечного радиуса, центр которого везде, а периферия - нигде; многоугольник, вписанный в круг, число углов которого неограниченно увеличивается; совпадение бесконечной прямой и окружности бесконечного радиуса и т.п.

Обратим внимание, что математические конструкции, став частью мифа, начинают жить особой жизнью . Здесь могут возникать, да и в действительности возникают, рассуждения, выглядящие совершенно чудовищно для человека непривычного к подобному стилю мышления. Достаточно вспомнить уже упомянутые рассуждения Платона о правильных многогранниках, или многочисленные аргументы в пользу совершенства декады в “Теологуменах арифметики”, восходящие к Спевсиппу, а возможно и к Филолаю или даже ранним пифагорейцам [38, с.417-418].

Об особенностях соответствующего взгляда на математику мы поговорим чуть ниже, а сейчас посмотрим на некоторые более близкие и привычные для нас способы обращения с математическими конструкциями, находящиеся, тем не менее, в самом тесном родстве с математической мифологией.

Вырождение математической мифологии: математические конструкции как парадигмальные схемы

Начнем с нескольких примеров, заимствованных у Лейбница.

“Простота субстанции не препятствует множественности модификаций, которые должны совместно существовать в той же самой простой субстанции и состоять в разнообразии отношений к внешним вещам. Точно так же в центре, или точке, как она ни проста, находится бесконечное множество углов, образованных линиями, в ней встречающимися ” [15, с.404; курсив мой] (3).

“... случай совершенного равновесия химеричен: он никогда не встречается, так как универсум нельзя разрезать или разделить на две совершенно равные и схожие части. Универсум, как эллипс или другой подобный овал (имеется в виду: в отличие от эллипса или другого подобного овала - В.Ш.), нельзя разложить посредством проведенной через центр прямой линии на две совпадающие части . Универсум не имеет центра, и его части бесконечно разнообразны; следовательно, никогда не будет случая, когда все на обеих сторонах станет одинаковым и будет производить на нас равное влияние ...” [15, с.381; курсив мой].

“Но когда я все более сосредотачивал мысль, не давая ей блуждать в тумане трудностей, мне пришла в голову своеобразная аналогия между истинами и пропорциями , которая, осветив ярким светом, все удивительным образом разъяснила. Подобно тому как во всякой пропорции меньшее число включается в большее либо равное в равное , так и во всякой истине предикат присутствует в субъекте; как во всякой пропорции, которая существует между однородными (подобными) количествами (числами), может быть проведен некий анализ равных или совпадающих и меньшее может быть отнято от большего вычитанием из большего части, равной меньшему, и подобным же образом от вычтенного может быть отнят остаток и так далее, беспрерывно вплоть до бесконечности ; точно так и в анализе истин на место одного термина всегда подставляется равнозначный ему, так что предикат разлагается на те части, которые содержатся в субъекте. Но точно так же, как в пропорциях анализ когда-то все же исчерпывается и приходит к общей мере, которая своим повторением полностью определяет оба термина пропорции, а анализ иногда может быть продолжен в бесконечность, как бывает при сопоставлении рационального и мнимого числа или стороны и диагонали квадрата , аналогично этому истины иногда бывают доказуемыми, т.е. необходимыми, а иногда - произвольными либо случайными, которые никаким анализом не могут быть приведены к тождеству, т.е. как бы к общей мере. А это и является основным различием, существующим как для пропорций, так и для истин” [15, с.316; курсив мой] (4).

Эти три фрагмента, взятые из различных работ Лейбница, объединяет следующее: в контекст метафизического рассуждения вводятся математические фрагменты (мы выделяли их курсивом). При этом сам автор воспринимает их как “своеобразные аналогии” достаточно случайно связавшиеся в его мысли с метафизическим рассуждением. Например, еще в одном месте, Лейбниц пишет, что он мучительно размышлял “над тем, как можно совместить свободу и случайность с цепью причинной зависимости и провидением”. “Но тут вдруг - говорит он - блеснул мне некий невиданный и неожиданный свет, явившийся оттуда, откуда я менее всего ожидал его, - из математических наблюдений над природой бесконечного . Ведь для человеческого ума существует два наиболее запутанных вопроса (“два лабиринта”). Первый из них касается структуры непрерывного, или континуума, а второй - природы свободы, и возникают они из одного и того же бесконечного источника” [15, с.312-313; курсив мой].

Нетрудно увидеть связь между приведенными рассуждениями Лейбница и математическими мифами Платона и Николая Кузанского. Однако нетрудно заметить также и существенные отличия: во-первых, привлечение математики не является теперь осознанным, оправданным и систематически проводимым познавательным приемом; во-вторых, математические конструкции не обретают в этих рассуждениях особой жизни, они в готовом виде заимствуются из развитых независимо математических теорий. Здесь наблюдается как бы вырождение математического мифа, забвение им собственных корней. Внешне все как в математическом мифе, но исчезло измерение глубины, осталась лишь поверхность, утратившая свой смысл и неспособная к самостоятельной жизни и развитию.

Теперь перед нами лишь аналогия или модель, единственный смысл которой - дать наглядное представление самим по себе мало наглядным метафизическим рассуждениям. Вплетенная в метафизический контекст математическая конструкция служит здесь образцом (парадигмой) для наглядного представления метафизических отношений, предлагает для них отчетливый образ. Желая отличить подобное приложение математики от математического мифа, мы будем называть соответствующие математические конструкции - парадигмальными схемами [33, с.67; 35, с.370]

Легко заметить, что между математическим мифом и использованием математических конструкций в роли парадигмальных схем невозможно провести отчетливой демаркационной линии . В каждом конкретном случае может возникать сомнение - что перед нами? Если правильные многогранники в “Тимее” Платона - скорее математический миф, чем парадигмальная схема, а геометрические и арифметические конструкции в текстах Лейбница - vice versa, то чем является “совершенно-круглый шар” в поэме Парменида [33, с.57-59] сказать уже затруднительно. При этом у одного и того же автора наряду с полноценными математическими мифами могут встречаться и вырожденные варианты - например, уже упомянутое выше пристрастие Платона к использованию конструкций геометрической пропорции и геометрического подобия, в качестве способов организации иерархии

Ситуация еще более осложняется тем, что недостаточная осознанность и продуманность связи между ходом метафизического рассуждения и привлекаемыми для его иллюстрации математическими аналогиями (как в случае Лейбница, лишь смутно догадывающегося о неслучайности являющихся его мысли метафизико-математических параллелей как следствии единства их “бесконечного источника”), часто приводит к тем большей неосознаваемой зависимости хода метафизического рассуждения от предстоящих мысли математических схем (как и получилось у Лейбница), иногда вплоть до подлинной математической экспансии [33, с.63-64]. Дело в том, что соответствующие математические конструкции вряд ли привносятся в метафизические рассуждения лишь post hoc, когда основной рисунок рассуждения уже сложился. Являясь на ранних стадиях формирования мысли, соответствующие математические конструкции не остаются пассивными. Наглядность этих конструкций, отчетливость математических образов, делает их, можно сказать, “навязчивыми”, определяя их активное влияние на те пути, которые избирает находящаяся в стадии становления метафизическая мысль

Тексты Лейбница были выбраны нами в качестве примера, конечно же, не случайно. Однако, не следует думать, что они единственны в своем роде, т.е. в том как используется в них математика. Использование математических конструкций в роли парадигмальных схем - широко распространенное явление, причем не только среди философствующих математиков, таких как Лейбниц и Г.Вейль [33, с.63-64], или мыслителей, получивших хорошее математическое образование, таких как П.Флоренский [33; 35] (5) , но и у весьма далеких от математики мыслителей - например, у Вл.Соловьева [28, с.3, 20], - хотя в последнем случае набор применяемых математических конструкций по понятным причинам значительно беднее

Еще более распространено применение разнообразных схем и диаграмм - диаграммы Эйлера-Венна, появившиеся в логике задолго до построений, связавших математическую логику и топологию; диаграммы, применяемые школой Г.П.Щедровицко- го, и язык картинок, развиваемый А.Г.Барабашевым [4]; диаграммы А.Белого [5] и т.п. Мы указали наиболее яркие примеры. Однако, всякое иллюстрирование рассуждения посредством наглядной схемы, составленной из “кружочков”, “прямоугольничков”, “стрелочек” и т.п. (см., например, рис.1 и 2 в настоящем тексте), стоит в легко заметном родстве с математическими конструкциями в роли парадигмальных схем, являясь еще более вырожденной версией математической мифологии [33, с.67-68]. Интересно, что и эти диаграммы и схемы обладают “навязчивостью” математических образов и способны вести за собой мысль (на что особо обращает внимание А.Г.Барабашев)

Математика как эстетический феномен и пангеометризм как способ понимания природы математики

В предыдущих пунктах был продемонстрирован определенный контекст, в котором могут существовать, и существуют математические конструкции. Попробуем отдать себе отчет в некоторых определяющих особенностях такого их существования

Во-первых, обратим внимание на чисто качественный, квалитативный , подход к математическим конструкциям. Эта особенность достаточно ярко прослеживается в приведенных выше примерах

Во-вторых, - на отсутствие необходимой связи между нематематическим предметом рассмотрения и математической конструкцией [33, с.66; 35, с.369]. Приведем соответствующий пример

Существует целая традиция использования геометрического образа круга (окружности) для прояснения соотношения Божественных ипостасей (hypostasis), которых три при единстве сущности (oysia). Однако делаться это может несколько по-разному

Так Николай Кузанский сравнивает Бога с максимальным кругом, у которого, в силу единственности максимума, центр, диаметр и окружность тождественны. “Ты видишь, - пишет он, - что простой и неделимый максимум целиком залегает внутри всего как бесконечный центр, что он извне всего охватывает все как бесконечная окружность и что он все пронизывает как бесконечный диаметр. Он начало всего как центр, конец всего как окружность, середина всего как диаметр. Он действующая причина как центр, формальная причина как диаметр, целевая причина как окружность. Он дарует бытие как центр, правит как диаметр, хранит как окружность, - и многое в том же роде” [18, с.83]. По-видимому, центр , дающий единство кругу, символизирует здесь Отца как единство , диаметр , как характеризующий равенство круга по всем направлениям, - Сына, как равенство единства , окружность , замыкающая и связующая круг, - Духа, как связь Отца и Сына

Несколько по-другому у Кеплера: “Образ Триединого Бога - это сферическая поверхность; другими словами, Бог-Отец находится в центре, Бог-Сын - на наружной поверхности, а Бог-Дух Святой - в равенстве отношений между точкой и поверхностью” [2, с.62]. Вместо круга мы имеем здесь дело с шаром, а элементы, с которыми связывались Сын и Дух, поменялись местами

Поясняя почему Бог троичен, а не четверичен, пятеричен и т.д., Николай Кузанский использует образ треугольника как простейшего из многоугольников: “четырехугольная фигура не минимальна, что очевидно, поскольку треугольник меньше ее; значит простейшему максимуму, который может совпасть только с минимумом, четырехугольник, всегда составный и потому больший минимума, подходить никак не может” [18, с.81]

Рассматривая тот же вопрос, П.А.Флоренский привлекает иной образ: он предпочитает представлять себе взаимное расположение точек на окружности. “В трех ипостасях, - пишет он, - каждая - непосредственно рядом с каждой, и отношение двух только может быть опосредствовано третьей. Среди них абсолютно немыслимо первенство. Но всякая четвертая ипостась вносит в отношение к себе первых трех тот или иной порядок и, значит, собою ставит ипостаси в неодинаковую деятельность в отношении к себе, как ипостаси четвертой” [30, с.50]. (Подробнее см. в [31, с.149-150])

Обсуждаемое отсутствие необходимой связи интересно выразилось уже в “Тимее”. Желая конструировать правильные многогранники из прямоугольных треугольников, Платон избирает два наиболее “прекрасных” из них - равнобедренный и “тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник - равносторонний” (т.н. гемитригон). Первый из избраных треугольников “хорош” по понятной причине - у него равные катеты. Но почему из всех неравнобедренных прямоугольных треугольников выбран именно гемитригон? Этого Платон не объясняет: “обосновывать это было бы слишком долго ( впрочем, если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем )” [21, с.457; курсив мой]. Обратим внимание на выделенные курсивом слова. Что это значит? На наш взгляд, Платон подчеркивает, что для него важен эффект, производимый его рассуждением в целом и основные принципы его разворачивания (в данном случае: эстетическое совершенство), а не отдельные его детали, которые могут и не определяться темой диалога однозначным образом, а значит, и могут быть заменены другими, коль скоро такие будут представлены

Обе названные особенности существования математических конструкций в интересующем нас культурном контексте являются частными проявлениями более общей тенденции - тяготения к восприятию математики как эстетического феномена . Эстетического - в широком, первоначальном смысле этого слова - от aisthesis - чувственное восприятие (в первую очередь зрение). Греческая математика преимущественно геометрична, а в платонической традиции именно геометрия оказывалась самой “математической” из всех математических дисциплин, дисциплиной, наиболее полно воплощающей срединное положение математики между чувственным и эйдетическим [27]. Именно эстетическая сторона математики выявляет себя наиболее полно в математической мифологии

Как мы уже отмечали, всякая специфическая область приложения математики позволяет по-новому взглянуть на математику вообще. Какую же перспективу в понимании математики открывает нам математическая мифология и работа математических конструкций в роли парадигмальных схем?

В данном аспекте ключ к пониманию природы математики наиболее естественным представляется искать, конечно же, в наиболее наглядной, “зримой”, области математики - в геометрии

Уже Прокл отчетливо зафиксировал главную особенность геометрической мысли: она способна дать развернутое знание о своих предметах лишь с помощью воображения (phantasia), отразив их в воображаемой материи (hyle phantaston) [24]. Предмет математики не умозрителен, но и не воспринимаем чувствами. Он удивительным образом причастен и тому и другому, что Аристотель зафиксировал в парадоксальных, совмещающих главные противоположности платонической онтологии терминах hyle noete (“мыслимая материя”) и noys pathetikos (“страдательный разум”) [27]. Геометрическое воображение Прокла оказывается одновременно совмещающим в себе казалось бы несовместимое - чистую активность (noys) и чистую пассивность (hyle). Чистая мысль (noys theoretikos), овеществляясь, обращается в геометрии в noys pathetikos, а материя чувственного восприятия (hyle aisthete), очищаясь, предстает как более “тонкая” геометрическая материя (hyle noete, hyle phantaston)

Следующий важный шаг в осмыслении природы геометрической мысли делает Кант. Прокловскому различению hyle aisthete и hyle phantaston у Канта соответствует противопоставление эмпирического и чистого созерцания (reine Anschauung). Причем Кант явно называет это чистое созерцание - “пространство + время”. Здесь “пространство и время” обозначают тот универсальный фундамент, который соответствующий мысленный эксперимент обнаруживает в основе всякого нашего представления. Геометрическое мышление есть пространственно-временное конструирование , а предмет геометрии - пространство и его отношения, временная динамика пространственных конструкций [11, т.3, с.67, 76-77, 528-529]

В самом деле, в эстетическом аспекте деятельность геометра предстает как организация и переорганизация пространственных элементов во времени, а цель - изучение существующих здесь возможностей. Решая задачу из элементарной геометрии, мы проводим прямые и окружности, фиксируем их пересечения как точки. Затем исследуем устройство получившейся конфигурации: насколько “жестко” заданные условия фиксируют соответствующую “конструкцию”, сколько различных конструкций может быть “собрано” из данных элементов и т.п. Особенно важно отметить, что соединение любых двух элементов в этой деятельности непосредственно дается нам в созерцании, мы непосредственно “видим” как они “стыкуются” между собой. Доказательства же и вычисления в эстетическом аспекте предстают как сравнение и сопоставление различных элементов исследуемой конструкции

Нарисованная картина порождает, однако, ряд вопросов и требует комментария

Во-первых, обратим внимание на то, как проявляется в нашем простейшем случае платоническая тема срединного положения геометрической деятельности между чистой активностью и чистой пассивностью. С одной стороны, налицо активное, конструктивное начало - мы можем порождать те или иные конфигурации по собственному желанию. С другой стороны, мы не можем, например, заставить две прямые “заключать пространство”, - та среда, в которой мы разворачиваем свою конструктивную активность, имеет свои закономерности, не позволяющие нашему конструированию быть совершенно произвольным, накладывая на него свои ограничения. Эта среда обладает “косностью”, она сопротивляется формующей руке творца, эта среда материальна - актуализировать в ней можно лишь то, что допускается ее собственными потенциями. Более того, деятельность геометра, судя по всему, как раз и направлена именно на выявление этих потенций, а не на наслаждение собственным произволом. Наряду с конструктивным началом в простейшей геометрической деятельности мы явственно ощущаем и присутствие начала рецептивного (7)

Во-вторых, следует особо остановиться на кантовском различении чистого и эмпирического. Насколько математическая мысль действительно свободна от эмпирических образов? Рассуждая, геометр чертит палочкой на песке, мелом на доске или ручкой на бумаге. Те или иные эмпирические “подпорки” постоянно сопровождают геометрическую мысль. В каком смысле можно говорить, что она от них независима? Ведь хорошо известно, что уже в случае достаточно сложной задачи из элементарной геометрии практически невозможно обойтись без помощи эмпирического чертежа (8)

Подобные недоумения были удачно разрешены еще Аристотелем. Да, геометр рассуждает, глядя на нарисованный им на доске треугольник. Можно даже сказать, что он рассуждает об этом самом нарисованном треугольнике, однако, не поскольку он нарисован мелом и на доске, т.е. не поскольку он есть некоторый объект эмпирического мира, а поскольку этот треугольник организован в нашем представлении по определенным закономерностям. Точнее: этот эмпирический чертеж позволяет геометру удерживать внимание на определенной пространственной конфигурации. При этом нам не столь уж важно способны мы представлять треугольник полностью свободным от эмпирических характеристик (напр., цвета) или нет. Нам вполне достаточно различать в самом эмпирическом предмете пространственно-временные характеристики ото всех остальных. Так разные (с эмпирической точки зрения) чертежи вполне могут представлять одну и ту же геометрическую конфигурацию (единый гештальт) (9).

Однако мы можем задать теперь следующий вопрос: а в самом ли деле мы способны отличать пространственно-временные характеристики ото всех остальных? Кант убежден, что да. Но приводимый им в подтверждение этого и уже упомянутый выше мысленный эксперимент отнюдь не доказывает желаемого. Он вызывает в нашем воображении лишь некие смутные образы (из разновидности “образов абстрактного”, которые Р.Арнхейм уподобляет импрессионистской живописи). Интерсубъективность таких образов может вызвать серьезные сомнения. Значительно более надежно указывают на интересующий нас предмет сами слова “пространство” и “время”. Сам факт устойчивого существования их в языке предполагает наличие постоянной преемственности в контекстах их употребления, в достаточной степени обеспечивающей взаимопонимание (хотя и не гарантирующей абсолютной неизменности их смысла!). Во всяком случае, эти слова определяют свой предмет не хуже чем слово “математика” - свой (10) . Более конкретным разъяснением вкладываемого в них в настоящем выступлении смысла может служить лишь сам текст этого выступления. Но, что же все-таки способен прояснить для нас мысленный эксперимент Канта? Во всяком случае, достаточную фундаментальность ситуаций употребления слов, выражающих пространственно-временные характеристики

В-третьих, определенного комментария требует и утверждение о данности геометрических фигур в созерцании. Еще Декартом был приведен знаменитый пример с тысячеугольником [9, с.58], который не может быть нами воображен. Хуже того: даже такие простейшие геометрические объекты как “точка” или “прямая” непредставимы наглядно в точном смысле слова, ведь простейший мысленный эксперимент убеждает нас в непредставимости ни слишком малого, ни слишком большого [25, с.208; 12, с.273-274; 26, с.63-65; 32, с.44-48, 101-111; 33, с.37-38]. Действительно, мы не можем представить точку, не имеющую размеров, не можем представить линию, не имеющую толщины, не можем сразу охватить взглядом бесконечную прямую. Однако это не мешает нам представлять прямые и точки все же достаточно отчетливо для того, чтобы отличать различные части геометрической конструкции друг от друга и непосредственно “видеть” их взаимное расположение. Прямую мы имеем возможность “видеть” достаточно тонкой для того, чтобы в процессе рассуждения не обращать внимания на ее толщину, а точку - достаточно малой для того, чтобы игнорировать ее размеры (11) . Действительно, мы не можем представить тысячеугольник настолько отчетливо, чтобы отличать его от многоугольника с несколько большим или несколько меньшим числом сторон. Однако мы можем достаточно отчетливо представить его сторону и соединение ее с соседними сторонами, а этого уже вполне достаточно для изучения математических свойств соответствующей конструкции (подробнее это будет разъяснено ниже)

В-четвертых, необходимо сказать несколько слов о времени в геометрии. Выражение “пространственно-временное конструирование” следует понимать как пространственную организацию и переорганизацию элементов во времени. Время входит в геометрические конструкции лишь как динамика их пространственных элементов. Время в геометрии всегда есть лишь движение пространственных элементов . Время как таковое не подлежит не только геометрическому, но и математическому изучению вообще, да и движение как таковое также. Лишь подменив время движением, а движение его пространственным следом (траекторией) мы можем сделать их предметом математического изучения. По существу мы будем изучать при этом не время и не движение, а особенности пространственной организации самой траектории. Даже изучая в элементарной геометрии, что может быть построено с помощью циркуля и линейки, а что - нет, мы также не делаем предметом нашего рассмотрения геометрическое становление как таковое , но скорее - раскрываемые им особенности организации пространства (12)

Итак, мы сделали некоторые наблюдения над простейшими проявлениями геометрической мысли в эстетическом ее аспекте. Следующим шагом, естественно, должна стать попытка, распространить наши рассуждения и на другие области математики, проверить, не обнаружим ли мы и там то, что привлекло наше внимание в простейших геометрических примерах. Необходимо выяснить, в какой мере то, что было сказано нами о геометрии, можно повторить и о математике вообще; что можно повторить дословно, а что лишь mutatis mutandis

Кант этот шаг делает: конструктивный характер математическое мышление сохраняет и за пределами геометрии, однако собственно геометрическое, или остенсивное, конструирование заменяется в арифметике и алгебре на символическое [11, т.3, с.530-531, 542]

Нечто принципиально новое, по сравнению с рассмотренным выше собственно геометрическим конструированием, мы обнаруживаем уже на примере позиционной записи натуральных чисел. Введя строго фиксированный конечный набор графических символов и определенные правила их комбинирования, мы получаем возможность, наглядно представлять достаточно большие натуральные числа и производимые над ними действия. В эстетическом аспекте вся арифметика натуральных чисел предстает как система организуемых на плоскости графических символов. Организация символов производится посредством нескольких типов манипулирования этими символами: расстановки и перестановки знаков, замены одних знаков другими. Вспомним хотя бы умножение “столбиком” или деление “уголком”. Указанные манипуляции могут быть охарактеризованы как квазигеометрические , поскольку, представляя из себя операции с графическими знаками как целостными образованиями, собственно геометрическими они не являются (геометрическая конфигурация самого знака здесь совершенно неважна, важно лишь удобство его с точки зрения простоты написания, перестановок и замен, а также достаточное отличие от других знаков в рамках той же системы [7, с.58, 61-62])

Работа с более богатой и разнообразной алгебраической графикой также может быть охарактеризована как манипулирование графическими символами . Рассмотрим, в качестве примера, одну из простейших алгебраических конструкций - группу . Группа - это совокупность элементов (в качестве графических символов можно использовать буквы латинского алфавита), правила манипулирования с которыми, задаются следующими условиями, называемыми аксиомами группы : (G1) из двух элементов x и y можно составить новый графический символ x*y ; (G2) графические символы (x*y)*z и x*(y*z) являются взаимозаменяемыми; (G3) среди элементов группы имеется элемент, называемый нейтральным, который обозначим e , такой, что содержащие его графические символы x*e , e*x и x являются взаимозаменяемыми; (G4) вместе с элементом x имеется элемент, называемый обратным для x , обозначим его x' , такой, что символы x*x' , x'*x и e являются взаимозаменяемыми. Во всех аксиомах x , y и z - произвольные элементы группы. Доказательства каких-либо утверждений относительно групп представляют собой разворачивание определенных квазигеометрических конструкций. Это демонстрация определенных особенностей манипуляции с графическими символами при соблюдении указанных правил. Рассмотрим, например, как производится доказательство того, что нейтральный элемент единственный. Демонстрируется, что любые два графических символа, изображающие нейтральный элемент, взаимозаменяемы. В самом деле, пусть это символы e и f . Тогда, согласно правилу (G3), f взаимозаменяем с e*f , а этот последний символ - с e , следовательно, e и f взаимозаменяемы. Перед нами манипуляционное обоснование , в основе которого всегда лежат простейшие манипуляции, типа “подставить вместо”, являющиеся неформальными, геометрически очевидными действиями. Понимание того, что они обозначают, всегда негласно предполагается. Н.Малкольм сохранил следующую мысль Витгенштейна: “Доказательство в математике заключается в том, что уравнение записывают на бумаге и смотрят, как одно выражение вытекает из другого. Но если всегда подвергать сомнению выражения, которые появляются на бумаге, то не может существовать ни доказательств, ни самой математики” [17, с.90]. Вспоминаются также слова Г.Вейля: “Способ, каким математик обращается со своими формулами, построенными из знаков, немногим отличается от того, как столяр в своей мастерской обращается с деревом и рубанком, пилой и клеем” [7, с.58]

В эстетическом аспекте, как геометрическое, так и математическое доказательство вообще, предстает как демонстрация , т.е. непосредственный показ того, как соединяются, “стыкуются” элементы соответствующей математической конструкции. Результат же математического доказательства - математическое утверждение - есть, в интересующем нас аспекте, утверждение об особенностях соединения элементов математической конструкции, которое мы имели возможность “видеть” в процессе доказательства. Неслучайно математическое утверждение получило название теорема (theorema), т.е. “зрелище”, “то, что смотрят”

Как известно, самый веский аргумент для обыденного мышления звучит приблизительно так: “Я сам видел, не веришь - пойди и посмотри”. Заслуживает внимания, что наиболее точная из теоретических наук - математика, составляющая как бы диаметральную противоположность обыденному знанию, черпает доказательную силу своих рассуждений в непосредственной наглядности своего предмета, т.е. также в возможности “увидеть самому” и “показать другому”. Можно сказать даже, что подлинной убедительностью, подлинной доказательной силой обладает только демонстрация (непосредственный показ). Как говорит Шопенгауэр: “Последняя, т.е. исконная очевидность, - созерцаема, что показывает уже само слово” [36, т.1, с.200]

Если бы не существовало обсуждавшихся выше естественных ограничений возможностей нашего наглядного представления пространственно-временных отношений (в восприятии слишком большого, слишком малого и т.п.), то, возможно, и математического доказательства, а тем самым и теоретической математики не возникло бы. Математикам не понадобилось бы идти далее лаконичного “смотри” древних индийцев или перегибания чертежа (как, по-видимому, обосновывал геометрические утверждения еще Фалес). Мы могли бы смело, вслед за Шопенгауэром [36, т.1, с.104-108, 196-216, т.2, с.212-214], возмутиться хитросплетениями доказательств от противного, производимых Евклидом там, где достаточно всего лишь перегнуть рисунок, и полагать, что самым лучшим обоснованием теоремы Пифагора является удачный чертеж без каких-либо комментариев

Однако указанные ограничения существуют, и именно обговаривание соответствующих чертежей и их особенностей знаменовало рождение математики как таковой. Но математики не смогли бы продвинуться достаточно далеко в своих изысканиях, если бы не научились воплощать словесные рассуждения в квазигеометрические символические построения, т.е. не смогли бы вновь опереться на геометрическую оче-видность, но на качественно новом уровне. Именно слово (logos) оказывается тем связующим звеном, которое позволяет шагнуть от геометрического конструирования к квазигеометрическому манипулированию графическими символами (13) . “Посредством понятийного мышления - говорит Г.Рейхенбах - мы можем перейти от созерцания к преобразованному созерцанию. Человеческий разум обладает способностью, так сказать, “перехитрить” визуальные образы с помощью абстрактных понятий и после этого продуцировать новые образы” [26, с.67]

Уже при решении простейших задач геометрии, наряду с собственно геометрическим конструированием систематически применяется и квазигеометрическое конструирование. Возвращаясь к примеру с тысячеугольником, можно заметить, что хотя его наглядное представление и невозможно в той степени, в какой оно осуществимо для трех- или пятиугольника, однако, сохранить конструктивный характер соответствующих рассуждений легко удается посредством введения алгебраической символики, позволяющей рассуждать о соотношении углов и отрезков соответствующей конфигурации вне зависимости от числа сторон, а также различать, неразличимые в наглядном представлении многоугольники с тысячью и тысяча двумя сторонами. Там, где геометрическая наглядность нам отказывает, мы можем опереться на наглядность квазигеометрическую. При этом, как мы могли отвлекаться (абстрагироваться) от толщины геометрических линий и размера геометрических точек, так мы абстрагируемся и от конкретного очертания используемых нами алгебраических знаков, сосредотачивая внимание лишь на системе пространственно-временных отношений, с их помощью передаваемых

То, что математик занимается при этом именно пространственно-временными отношениями, хорошо иллюстрируется широким применением в математике аксиоматического метода. Ведь главная его идея состоит в сведении определения объекта к указанию системы отношений, в которых этот объект может находиться с другими объектами той же теории