Исследование элементарных функций
Определение элементарных функций. Область определения и значения функции. Основные простейшие элементарные функции: линейная, степенная, квадратичная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, oбратная тригонометрическая. Функция и её свойства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.10.2010 |
| Размер файла | 155,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Определение элементарных функций
Функции С (постоянная), x?, ах, 1оgа х, sin х, соs х, tg х, ctg x, аrcsin х, аrccos х, аrctg х называются простейшими элементарными функциями.
Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями.
Например, у = sin (x?) -- элементарная функция.
Элементарные функции нам известны из школьной математики.
Функция, и её свойства:
Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х - независимая переменная или аргумент.
Переменная у - зависимая переменная.
Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x).
Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).
Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).
Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).
Способы задания функции:
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.
Определение функции
Функция, прежде всего, - это одно из основных понятий математического анализа, и чтобы далее рассматривать различные функции, следует дать определение функции.
Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y.
Независимая переменная x называется также аргументом функции.
В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента x (её называют также областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями x и y (Область Y изменения функции обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений).
Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x из X отвечало не одно, а несколько значений y (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше.
Для указания того факта, что y есть функция от x, пишут:
y=f (x), y=g (x), y=F (x) и т.п.
Буквы f, g, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение x, отвечающее заданному y. Поэтому, если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента x, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой.
Хотя именно буква f связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же букву y: y=y(x). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, .
Если, рассматривая функцию y=f(x), мы хотим отметить её частное значение, которое отвечает выбранному частному значению x, равному , то для обозначения его употребляют символ f(). Например, если F (x)=, g (t)=, то f(1) означает численное значение функции f(x) при x=1, т.е. попросту число , аналогично, g(5) означает число 2, и т. д.
Теперь обратимся к самому правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости.
Наиболее просто осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия над постоянными числами и над значением x, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение y. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа.
Однако будет ошибочным думать, что это - единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция E(x) - “целая часть числа x”. Например,
E (1)=1, E (2,5)=2, E ()=3, E (-)=-4 и. т.,
хотя никакой формулы, выражающей E(x), у нас нет.
Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию обозначают C (f (x) = C).
Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любой пары чисел и этого множества из неравенства < следует, что f () < f () (f ( ) > f ( )).
Функция f(x) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство f(-x)=f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Oy.
Функция f(x) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
Действительно, пусть y(x)=f(x) + g(x). Тогда, если f(x) и g(x) - четные, то y (-x) = f(-x) + g(-x) = f (x) + g (x) = y (x). Если же f (x) и g (x) - нечетные функции, то функция y (x) также будет нечетной, y (-x) = f (-x) + g (-x) = -f (x) - g (x) = -[f (x) + g (x)] = -y (x). (Для разности доказательство аналогичное).
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную - нечетная функция.
В самом деле, пусть y (x) = f (x)*g (x) и f (x) и g (x) - четные функции, тогда y (-x) = f (-x)*g (-x) = f (x)*g (x) = y (x); если f (x) и g (x) - нечетные функции, то y (-x) = f (-x)*g(-x) = [-f (x)]*[-g(x)] = y (x); если же f (x) - четная, а g (x) - нечетная функции, то y (x) = f (x)*g (-x) = f (x)*[-g (x)] = -y (x).
Функция f (x) называется периодической, если существует число Т 0 такое, что для любого значения x из области определения функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T). Число T называется периодом функции. Если T - период функции, то её периодом является также число - T, так как f (x-T) = f [(x - T) +T] = f (x).
Если T - период функции, то её периодом будет также и число kT, где k - любое целое число (k=1, 2, 3; …). Действительно, f (x 2T) = f [(xT)T] = f (xT) = f (x), f (x 3T) = f [(x 2T) T] = f (x 2T) = f (x 2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.
Основные простейшие элементарные функции:
Линейная функция y=kx+b;
Степенная функция y=x?;
Квадратичная функция;
Показательная функция (0 <a1);
Логарифмическая функция x (0 < a1);
Тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x;
Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
Линейная функция
y = kx + b
1. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, так как выражение kx+b имеет смысл при любых значениях x
2. Множеством значений линейной функции при k0 является множество R всех действительных чисел
3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как f (-x) = -kx + b .
4. Функция не является периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.
5. Асимптоты графика функции не существуют.
6. Функция возрастает при k0, функция убывает при k0.
7. Функция не является ограниченной.
8. График линейной функции y=kx+b - прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек, например A(0; b) и B(-b/k; 0), если k0. График линейной функции y=kx+b может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой; а при k=0 прямая параллельна оси Ox.
9. Точек перегиба не существует.
10. Не существует экстремальных точек.
y=kx+b (k<0) y=kx+b (k>0)
Степенная функция
Степенная функция с натуральным показателем y=xn, где n-натуральное число.
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений: E(f)= (0+?);
3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);
4. Нули функции: y=0 при x=0;
5. Функция убывает при x(-?;0];
6. Функция возрастает при x[0;+ ?);
7) a) нет вертикальных асимптот, b) нет наклонных асимптот
8. Если n-четное, то экстремум функции x=0
Если n-нечетное, то экстремумов функции нет
9. Если n-четное, то точек перегиба нет
Если n-нечетное, то точка перегиба x=0
10. График функции:
a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;
b)Если п = 3, то функция задана фор-мулой у = х3. Ее гра-фиком является куби-ческая ? парабола;
c)Если п -- нечетное натуральное число,?причем п 1, то функция обладает ???свойствами теми же, что и у = х3.
[2]
Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п1):
1.? Область определения функции: D(f)= R;
2. ?Область значений [0,+?];
3. ?Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);
4. ?Нули функции:?у = 0 при х = 0;
5. ?Функция убывает на промежутке (-?;0), возрастает на промежутке (0;+?).
6. ?График функции:?[1]
Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :
1.? Область определения функции: D(f)= R;
2. ?Область значений: E(f)= R;
3. ?Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);
4. ?Нули функции:?у = 0 при х = 0;
5. ?Функция возрастает на всей области определе-ния.
6. ?График функции:?[2]
Показательная функция
Y = ax
1. Область определения функции: -? < х < +?
2. Множество значений функции: 0 < y < +?
3. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a-x
4. Функция не является периодической.
5. Асимптоты графика функции:
Вертикальных асимптот не существует,
Горизонтальная асимптота у = 0
6. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -? < x < +? (на рис.1);
7. если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -? < x < +? (на рис. 2);
8. Точка (0; 1) - единственная точка пересечения с осями координат.
9. Не существует точек перегиба.
10. Не существует экстремальных точек.
Логарифмическая функция
Y = logax
1. Область определения функции: 0 < x < ?
2. Множество значений функции: -? < y < +?
3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)
4. Функция не периодическая
5. Асимптоты графика функции:
Вертикальные асимптоты х = 0
Горизонтальных асимптот не существует
6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +? (на рис.1); если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);
7. Точка (1; 0) - единственная точка пересечения с осями координат.
8.Не существует точек перегиба.
9.Не существует экстремальных точек.
Тригонометрические функции
Функция y=sin x
Свойства функции y=sin x:
Область определения функции: D(f)=R;
1. Область значений: E(f)=[-1;1];
2. Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;
3. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2?;
4. Нули функции: sin x = 0 при x = ?k, kZ;
5. Функция принимает положительные значения: sin x>0 при x( 2?k??+2?k), kZ;
6. Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при x( ?+2?k?2?+2?k), kZ;
7. Функция возрастает на [-1;1] при x[ -+2?k?+2?k], kZ;
8. Функция убывает на [1;-1] при x[+2?k?+2?k], kZ;
9. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=+2?k, kZ;
10. Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=+2?k, kZ;
11. a) нет вертикальных асимптот
b) нет горизонтальных асимптот
13. Графиком функции является синусоида.
Функция y=cos x
Свойства функции y=cos x:
Область определения функции: D(f)=R;
Область значений: E(f)=[-1;1];
Функция является четной, т.е. cos (-x) = cos x;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2?;
Нули функции: cos x = 0 при x = +?k, kZ;
Функция принимает положительные значения: cos x>0 при x( -+2?k; +2?k), kZ;
Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при x( +2?k?+2?k), kZ;
Функция возрастает на [-1;1] при x[ -?+2?k?2?k], kZ;
Функция убывает на [1;-1] при x[2?k??+2?k], kZ;
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=2?k, kZ;
Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=?+2?k, kZ;
a) нет вертикальных асимптот
b) нет горизонтальных асимптот
Графиком функции является косинусоида:
Функция y=tg x
Свойства функции y=tg x:
Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =+?k, kZ;
Область значений: E(f)=R;
Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом ?;
Нули функции: tg x = 0 при x = ?k, kZ;
Функция принимает положительные значения: tg x>0 при x( ?k; +?k), kZ;
Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при x( -+?k??k), kZ;
Функция возрастает на (-;+?) при x(-+?k ?+?k ), kZ;
a) вертикальные асимптоты x= + ?n
b) наклонных асимптот нет
Графиком функции является тангенсоида:
Функция y=ctg x
Свойства функции y=ctg x:
Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = ?n , где n Z;
Область значений: E(f)=R;
Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом ?;
Нули функции: ctg x = 0 при x = +?n, nZ;
Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при x( ?n; +?n), nZ;
Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при x( +?n?? +?n), nZ;
Функция убывает в каждом из промежутков (?n ?? +?n), nZ;
a) вертикальные асимптоты x= ?n и x=0
b) наклонных асимптот нет
Графиком функции является котангенсоида: y= ctgx
Обратно тригонометрические функции
Функция y=arcsin x
Свойства функции y=arcsin x:
Область определения функции: D(f)=[-1;1];
1. Область значений: E(f)=[-; ];
2. Функция является нечетной, т.е. arcsin (-x) = - arcsin x;
3. Нули функции: arcsin x = 0 при x = 0;
4. Функция возрастает на [-1;1];
5. Функция принимает наибольшее значение при x=1;
6. Функция принимает наименьшее значение при x= -1;
a) вертикальных асимптот нет
b) наклонных асимптот нет
График функции y = arcsin x:
Функция y=arccos x
Свойства функции y=arccos x:
Область определения функции: D(f)=(-1;1);
Область значений: E(f)=[0; ?];
Функция не является ни четной, ни нечетной;
Нули функции: arccos x = 0 при x = 1;
Функция убывает на (-1;1);
Функция принимает наибольшее значение ? при x =-1;
Функция принимает наименьшее значение 0 при x= 1;
a) вертикальные асимптоты x=-1 и x=1
b)наклонных асимптот нет
График функции y = arccos x:
Функция y=arctg x
Свойства функции y=arctg x:
Область определения функции: D(f)=R;
Область значений: E(f)= (-; );
Функция является нечетной, т.е. arctg (- x) = - arctg x;
Нули функции: arctg x = 0 при x = 0;
Функция возрастает на R;
a) нет вертикальных асимптот
наклонные асимптоты y=+ ?n
График функции y = arctg x:
Функция y=arcctg x
Свойства функции y=arcctg x:
Область определения функции: D(f)=R;
Область значений: E(f)= (0; ? );
Функция не является ни четной, ни нечетной;
Нули функции: arctg x = 0 при x = ;
a) нет вертикальных асимптот
b) наклонные асимптоты y= ?n
6.Функция убывает на R;
7.График функции y = arcctg x:
Литература:
1. Э.С. Маркович «Курс высшей математики»
2. А.Г. Цыпкин «Справочник по математике»
3. М.М. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко «Алгебра и анализ элементарных функций»
Подобные документы
Общие сведения об элементарных функциях. Схема исследования функции и построения ее графика. Линейная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции. Простейшие преобразования графиков: параллельный перенос, деформация, отражение.
курсовая работа [910,5 K], добавлен 16.10.2011Элементарные функции, их анализ. Линейная функция. Квадратичная функция. Степенная функция. Показательная функция (экспонента). Логарифмическая функция. Тригонометрическая функция: синус, косинус, тангенс, котангенс. Обратная функция: аrcsin x, аrctg x.
реферат [325,7 K], добавлен 17.02.2008Области определения и значений функции. Заданная, монотонная, ограниченная и неограниченная, непрерывная и разрывная, четная и нечетная функции. Определение асимптоты. Степенная функция с вещественным показателем. Квадратичная и логарифмическая функции.
реферат [417,9 K], добавлен 26.03.2013Классификация основных элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Определение и простейшие свойства линейной и квадратичной функции. Понятие обратной пропорциональной зависимости.
презентация [1,0 M], добавлен 29.10.2015Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.
лекция [191,4 K], добавлен 05.03.2009Основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций: преобразование симметрии, параллельный перенос, сжатие и растяжение. Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций.
презентация [2,4 M], добавлен 16.11.2010Исследование методами математического анализа поведения функций при заданных значениях аргумента. Этапы решения уравнения функции и определения значения аргумента и параметра. Построение графиков. Сочетание тригонометрических, гиперболических функций.
контрольная работа [272,3 K], добавлен 20.08.2010Интегрирование выражений, зависящих от тригонометрических функций. Интегрирование рациональной функции от тригонометрической и алгебраических иррациональностей. Тригонометрические подстановки для интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
контрольная работа [124,8 K], добавлен 22.08.2009Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х.
презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.
курсовая работа [86,9 K], добавлен 28.05.2007
