Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности

ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Содержание

1. Двойственность в линейном программировании

2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности

3. Симметричные двойственные задачи

4. Виды математических моделей двойственных задач

5. Двойственный симплексный метод

Список используемой литературы

1. Двойственность в линейном программировании

Двойственная задача тесно связана задачей линейного программирования. Задача первоначальная называется исходной.

Решение двойственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот.

Связующим фактом этих двух задач являются коэффициенты C _j функции исходной задачи. Данные коэффициенты называются свободными членами системы ограничений двойственной задачи. Коэффициенты B _i системы ограничений исходной задачи называются коэффициентами двойственной задачи. Транспонированная матрица коэффициентов системы ограничений исходной задачи является матрицей коэффициентов системы ограничений двойственной задачи.

Рассмотрим задачу использования ресурсов.

У предприятия есть т видов ресурсов в количестве b _i ( i = 1, 2, ..., m ) единиц, из которых выпускается n видов продукции. На изготовление1 ед. i -й продукции тратится a _ij ед. t-гo ресурса, ее стоимость составляет C _j ед. Необходимо определить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении. Примем за x _j (j =1,2, ..., n) количество ед. j -й продукций.

Сформулируем исходную задачу. Определить вектор Х =( x ₁ , x ₂ , …, x _n ), который удовлетворяет ограничениям

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + … + a _1n x _n Ј b _1,

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + … + a _2n x _n Ј b _2, x _j і 0 (j =1,2, ..., n)

a _{m 1} x ₁ + a _{m 2} x ₂ + … + a _mn x _n Ј b _{m ,}

и составляет максимальное значение линейной функции

Z = C ₁ x ₁ + C ₂ x ₂ + … + C _n x _n ,

Определим ресурсы, которые потребуются для изготовления товара. Обозначим за единицу стоимости ресурсов единицу стоимости выпускаемого товара. А через у _i (j =1,2, ..., m) стоимость единицы i -го ресурса. Т.е. стоимость всех затраченных ресурсов, которые используются для изобретения единицы j -й продукции, составляет. Цена израсходованных ресурсов не должна превышать цены окончательного товара. Таким образом должно выполняться неравенство і C _j , j =1,2, ..., n. Цена имеющихся ресурсов составляет.

Сформулируем двойственную задачу.

Необходимо определить вектор Y =( y ₁ , y ₂ , …, y _n ), удовлетворяющий ограничениям

a ₁₁ y ₁ + a ₁₂ y ₂ + … + a _m1 y _m Ј C _1,

a ₁₂ y ₁ + a ₂₂ y ₂ + … + a _m2 y _m Ј C _2, y _j і 0 (i =1,2, ..., m)

a _1n y ₁ + a _2n y ₂ + … + a _mn y _m Ј C _{m ,}

Вектор Y =( y ₁ , y ₂ , …, y _n ) составляет минимальное значение линейной функции

f = b ₁ y ₁ + b ₂ y ₂ + … + b _m y _m

Переменные у _i называются оценками или учетными, неявными ценами

С экономической точки зрения двойственную задачу можно интерпретировать так: какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов b _i и величинах стоимости единицы продукции C _i минимизировать общую стоимость затрат?

А исходную задачу определим следующим образом: сколько и какой продукции x _j (j =1,2, ..., n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях C _j (j =1,2, ..., n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов b _i (i =1,2, ..., n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.

Большинство задач линейного программирования изначально определяются как исходные или двойственные задачи. Сделав вывод можно говорить о паре двойственных задач линейного программирования.

2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности

Система ограничений исходной задачи в несимметричных двойственных задачах определяется как равенство. Двойственная же задача задается, как неравенство, причем переменные могут быть и отрицательными.

Чтобы проще понимать постановку задачи будем интерпретировать ее в матричной форме.

Сформулируем двойственную задачу.

Необходимо определить матрицу-строку

Y = ( y ₁ , y ₂ , …, y _m ),

которая максимизирует линейную функцию

f = YA ₀

и удовлетворяет ограничениям (1.1) YA Ј С.

Сформулируем исходную задачу. Определить матрицу-столбец X = ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) , которая минимизирует линейную функцию

Z = СХ

и удовлетворяет ограничениям (1.2) AX = A ₀ , Х і 0. Как в исходной так и в двойственной задачах А = ( a _ij ) -- матрица коэффициентов системы ограничений, A ₀ = ( b ₁ , b ₂ , …, b _m ) -- матрица-столбец, C = ( c ₁ , c ₂ , …, c _n ) - матрица-строка.

Теорема двойственности устанавливает связь между оптимальными планами пары двойственных зада

Теорема двойственности гласит: если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений линейных функций выполняется соотношение min Z = max f . Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения

Доказательство. Будем считать, что исходная задача имеет оптимальный план. План определен симплексным методом. Можно считать, что конечный базис состоит из т первых векторов A ₁ , A ₂ , ..., A _m . Таким образом, симплексная таблица примет вид, приведенный в табл. 1.1

Таблица 1.1

i	Базис	С базиса	A 0	C 1	C 2	…	C m	C m+1	…	c n
				A 1	A 2	…	A m	A m+1	…	A n
1 2 m	A 1 A 2 A m	C 1 C 2 C m	x 1 x 2 x m	1 0 0	0 1 0		0 0 1	x 1, m+1 x 2, m+1 x m, m+1	… … …	x 1n x 2n x mn
m+1	Z i - C j	Z 0	Z 1 - C 1	Z 2 - C 2		Z m - C m	Z m+1 - C m+1	…	Z n - C n

Будем считать, что D является матрицей, составленной из компонент векторов конечного базиса A ₁ , A ₂ , ..., A _m . Приведенная выше таблица состоит из коэффициентов разложения векторов A ₁ , A ₂ , ..., A _n исходной системы по векторам базиса. В этой таблице каждому вектору A _j соответствует вектор X _j

Найдем оптимальный план:

(1.3) A ₀ = DX*,

где X* = ( x * ₁ , x * ₂ , …, x * _m )

Получим:

(1.4) A _j = DX _j ( j = 1,2, ,.., n)

это матрица, составленная из коэффициентов разложения векторов А _j ( j = 1, 2, ..., n ), представленных в приведенной выше таблице

Используя соотношения (1.3) и (1.4), получаем:

(1.5) A = D , D ^-1 A = ,

(1.6) A ₀ =DX*; D ^-1 A ₀ = X*,

(1.7) min Z= C*X*,

(1.8) = C* --C Ј 0,

где С* = ( C * ₁ , C * ₂ , …, C * _m ), С = ( C ₁ , C ₂ , …, C _m , C _{m +1} , …, C _n ), a = (C*X ₁ - C ₁ ; С*Х ₂ - С ₂ , ..., C*X _n - C _n ) = (Z ₁ - С ₁ ; Z ₂ - C ₂ ; ..., Z _n -- C _n ) -- вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с Z _j -- C _j Ј 0, соответствующими оптимальному плану

Оптимальный план исходной задачи имеет вид X* = D ^-1 А ₀ , поэтому оптимальный план двойственной задачи ищем в виде

(1.9) Y* = C*D ^-1

Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого ограничения (1.2) запишем в виде неравенства YA -- С Ј 0, в левую часть которого подставим Y*. Тогда на основании (1.9), (1.5) и (1.8) получим

Y * А - С = С* D ^-1 А - С = С* - С Ј 0,

откуда находим Y*A Ј С

Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двойственной задачи f (Y*) = Y*A ₀ . Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем

(1.10) f (Y*) = Y*A ₀ = C * D ^-1 A ₀ = C*X* = min Z(X)

Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y* численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи

Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на любой план Y двойственной задачи, а (1.2) -- на любой план X исходной задачи:

YAX=YA ₀ = f (Y), YAX Ј СХ = Z (X),

отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство

(1.11) f (Y) Ј Z (X)

Этим же соотношением связаны и экстремальные значения max f (Y) Ј min Z (Х). Из последнего неравенства заключаем, что максимальное значение линейной функции достигается только в случае, если max f (Y) = min Z (X), но это значение [см. (1.10)] f (Y) достигает при плане Y*, следовательно, план Y* -- оптимальный план двойственной задачи

Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотношение

max f (Y) = min Z (X)

Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следует, что f ( Y ) Ј - Ґ . Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений

Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X) і + Ґ . Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений

Доказанная теорема позволяет при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой

Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функции

Z = x ₂ - x ₄ - 3 x ₅

при ограничениях

x ₁ + 2x ₂ - x ₄ + x ₅ = 1,

- 4x ₂ + x ₃ + 2x ₄ - x ₅ = 2, x _ij і 0 (j = 1, 2, …, 6)

3x ₂ + x ₅ + x ₆ = 5,

Здесь матрица-строка С = (0;. 1; 0; --1; -- 3, 0), матрица-столбец

1 1 2 0 -1 1 0

A ₀ = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0

3 0 3 0 0 1 1

1 0 0

2 -4 3

A '' = 0 1 0

-1 2 0

1 -1 0

0 0 1

Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции

f = y ₁ + 2 y ₂ +5 y ₃

при ограничениях

y ₁ Ј 0,

2y ₁ - 4y ₂ + 3y ₃ Ј 1,

y ₂ Ј 0,

-y ₁ + 2y ₂ Ј -1,

y ₁ - y ₂ + y ₃ Ј -3, y ₃ Ј 0

Решение исходной задачи находим симплексным методом (табл. 1.2)

i	Базис	С базиса	A 0	0	1	0	-1	-3	0
				A 1	A 2	A 3	A 4	A 5	A 6
1 2 3	A 1 A 3 A 6	0 0 0	1 2 5	1 0 0	2 -4 3	0 1 0	-1 2 0	1 -1 1	0 0 1
m + 1	Z i - C j	0	0	-1	0	1	3	0
1 2 3	A 5 A 3 A 6	-3 0 0	1 3 4	1 1 -1	2 -2 1	0 1 0	-1 1 1	1 0 0	0 0 1
m + 1	Z i - C j	-3	-3	-7	0	4	0	0
1 2 3	A 5 A 4 A 6	-3 -1 0	4 3 1	2 1 -2	0 -2 3	1 1 -1	0 1 0	1 0 0	0 0 1
m + 1	Z i - C j	-15	-7	1	-4	0	0	0
1 2 3	A 5 A 4 A 2	-3 -1 1	4 11/3 1/3	3 -1/3 -2/3	0 0 1	1 1/3 -1/3	0 1 0	1 0 0	0 2/3 1/3
m + 1	Z i - C j	46/3	19/3	0	-11/3	0	0	1/3

Оптимальный план исходной задачи X* = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором Z _min = - 46/3, получен в четвертой итерации табл. 1.2. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственной задачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойственной задачи находится из соотношения Y* = C*D ^-1 , где матрица D ^-1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, входящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A ₅ , A ₄ , A ₂ ; значит,

1 -1 2

D = ( A ₅ , A ₄ , A ₂ ) = -1 2 -4

1 0 3

Обратная матрица D ^-1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A ₁ , A ₃ , A ₆ четвертой итерации:

2 1 0

D ^-1 = -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Из этой же итерации следует С* = (-- 3; --1; 1). Таким образом

2 1 0

Y = С* D ^-1 = (-3; -1; 1) -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Y*=(-19/3; -11/3; -1/3),

т. е.

y _i = С*Х _i ,

где Х _i -- коэффициенты разложения последней итерации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса

Итак, i -ю двойственную переменную можно получить из значения оценки ( m + 1)-й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный бази c , если к ней прибавить соответствующее значение коэффициента линейной функции:

у ₁ = -- 19/3 + 0 = -- 19/3; y ₂ = -11/3 + 0 = -11/3; у ₃ = -1/3+0 = -1/3. При этом плане max f = -46/3

3. Симметричные двойственные задачи

Разновидностью двойственных задач линейного , программирования являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие не отрицательности

Исходная задача. Найти матрицу-столбец Х = ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ), которая удовлетворяет системе ограничений

(1.12). АХ>А ₀ , Х>0

и минимизирует линейную функцию

Z = СХ

Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = ( y ₁ , y ₂ , …, y _n ), которая удовлетворяет системе ограничений YA Ј C, Y і 0 и максимизирует линейную функцию

f = YA ₀

Систему неравенств с помощью дополнительных переменных можно преобразовать в систему уравнений, поэтому всякую пару симметричных двойственных задач можно преобразовать в пару несимметричных, для которых теорема двойственности уже доказана

Используя симметричность, можно выбрать задачу, более удобную для решения. Объем задачи, решаемой с помощью ЭВМ, ограничен числом включаемых строк, поэтому задача, довольно громоздкая в исходной постановке, может быть упрощена в двойственной формулировке. При вычислениях без помощи машин использование двойственности упрощает вычисления.

Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x ₁ + 2 x ₂ + 3 x ₃ при ограничениях

2x ₁ + 2x ₂ - x ₃ і 2,

x ₁ - x ₂ - 4x ₃ Ј -3, x _i і 0 (i=1,2,3)

x ₁ + x ₂ - 2x ₃ і 6,

2 x ₁ + x ₂ - 2 x ₃ і 3,

Очевидно, для того чтобы записать двойственную задачу, сначала необходимо систему ограничений исходной задачи привести к виду (1.12). Для этого второе неравенство следует умножить на -1.

Двойственная задача. Найти максимум линейной функции f = 2 y ₁ + 3 y ₂ + 6 y ₃ + 3 y ₄ при ограничениях

2y ₁ - y ₂ + y ₃ + 2y ₄ Ј 1,

2y ₁ + y ₂ + y ₃ + y ₄ і 2,

-y ₁ + 4y ₂ - 2y ₃ - 2y ₄ і 3,

Для решения исходной задачи необходимо ввести четыре дополнительные переменные и после преобразования системы - одну искусственную. Таким образом, исходная симплексная таблица будет состоять из шести строк и девяти столбцов, элементы которых подлежат преобразованию.

Для решения двойственной задачи необходимо ввести три дополнительные переменные. Система ограничений не требует предварительных преобразований, ее первая симплексная таблица содержит четыре строки и восемь столбцов.

Двойственную задачу решаем симплексным методом (табл. 1.3)

Оптимальный план двойственной задачи Y* = (0; 1/2; 3/2; 0), f _max = 21/2

Оптимальный план исходной задачи находим, используя оценки ( m + 1)-й строки последней итерации, стоящие в столбцах A ₅ , A ₆ , A ₇ : x ₁ = 3/2 + 0 = 3/2; x ₂ = 9/2 + 0 = 9/2; x ₃ = 0 + 0 = 0. При оптимальном плане исходной задачи X* = (3/2; 9/2; 0) линейная функция достигает наименьшего значения: Z _min =21/2

Таблица 1.3

i	Базис	С базиса	A 0	2	3	6	3	0	0	0
				A 1	A 2	A 3	A 4	A 5	A 6	A 7
1 2 3	A 5 A 3 A 7	0 0 0	1 2 3	2 2 -1	-1 1 4	1 1 -2	2 -1 -2	1 0 0	0 1 0	0 0 1
m + 1	Z i - C j	0	-2	-3	-6	-3	0	0	0
1 2 3	A 3 A 6 A 7	6 0 0	1 1 5	2 0 3	-1 2 6	1 0 0	2 -1 2	1 -1 2	0 1 0	0 0 1
m + 1	Zi - Cj	6	10	-9	0	9	6	0	0
1 2 3	A 3 A 2 A 7	6 3 0	3/2 Ѕ 2	2 0 3	0 1 0	1 0 0	3/2 -1/2 4	Ѕ-1/2 5	Ѕ Ѕ 3	0 0 1
m + 1	Z i - C j	21/2	10	0	0	9/2	3/2	9/2	0

4. Виды математических моделей двойственных задач

Основываясь на рассмотренных несимметричных и симметричных двойственных задач отметим, что пары двойственных задач математических моделей могут быть представлены следующим образом.

Симметричные задачи

(1) Исходная задача Двойственная задача

Z _min = CX; f _max = YA ₀ ;

AX і A ₀ ; YA Ј С

X і 0. Y і 0

(2) Исходная задача Двойственная задача

Z _max = CX; f _min = YA ₀ ;

AX Ј A ₀ ; YA і С

X і 0. Y і 0

Несимметричные задачи

(3) Исходная задача Двойственная задача

Z _min = CX ; f _max = YA ₀ ;

AX = A ₀ ; YA Ј С

X і 0

(4) Исходная задача Двойственная задача

Z _max = CX; f _min = YA ₀ ;

AX = A ₀ ; YA і С

X і 0

Поэтому до того, как сформулировать двойственную задачу для данной исходной, необходимо систему ограничений исходной задачи преобразовать должным образом.

Приведем пример математической модели двойственной задачи для следующей исходной.

Следует определить минимальное значение линейной функции Z = 2 x ₁ + x ₂ + 5 x ₃ при ограничениях:

x ₁ - x ₂ - x ₃ Ј 4,

x ₁ - 5 x ₂ + x ₃ і 5, x _j і 0 ( j = 1, 2, 3)

2 x ₁ - x ₂ + 3 x ₃ і 6,

Эту задачу можно отнести к симметричным двойственным задачам на определение минимального значения линейной функции

Прежде чем записать двойственную задачу, необходимо чтобы ее модель была представлена в виде (1). Для этого следует сделать переход, который осуществляется умножением первого неравенства на -1

Исходная задача:

Z _min = 2 x ₁ + x ₂ + 5 x ₃ при ограничениях

- x ₁ + x ₂ + x ₃ і -4,

x ₁ - 5 x ₂ + x ₃ і 5, x _j і 0 ( j = 1, 2, 3)

2 x ₁ - x ₂ + 3 x ₃ і 6,

Двойственная задача:

f _min = -4 x ₁ + 5 x ₂ + 6 x ₃ при ограничениях

-y ₁ + y ₂ + 2y ₃ Ј 2,

y ₁ - 5y ₂ - y ₃ Ј 1, y _i і 0 (i = 1, 2, 3)

2y ₁ + y ₂ + 3y ₃ Ј 5,

Теорема: если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-e ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи положительна, то i-e ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

5. Двойственный симплексный метод

Для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной. А используя оценки ее оптимального плана, можно определить оптимальное решение исходной задачи

Если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, тогда переход к двойственной задаче не обязателен. Это связано с тем, что в столбцах определена исходная задача, а в строках - двойственная

b _i являются оценками плана двойственной задачи. С _j являются оценками плана исходной задачи

Найдем решение двойственной задачи по симплексной таблице. В симплексной таблице прописана исходная задача. Также определим оптимальный план двойственной задачи. Также найдем и оптимальный план исходной задачи.

Такой метод принято называть двойственным симплексным методом

Допустим нужно определить исходную задачу линейного программирования, которая поставлена в общем виде: минимизировать функцию

Z =СХ

при АХ = A ₀ , Х і 0. Значит в двойственной задаче следует максимизировать функцию

f = YA ₀

при YA Ј С. Пусть определен следующий базис D = (A ₁ , А ₂ , ..., А _i , ..., А _m ),. Причем в нем хотя бы одна из компонент вектора Х = D ^-1 A ₀ = (x ₁ , x ₂ , ..., x _i , ..., x _m ) отрицательная. Для всех векторов A _j используется следующее соотношение Z _j - C _j Ј 0 (i = 1,2, ..., n )

Пользуясь теоремой двойственности,

Y = С _баз D ^-1

является планом двойственной задачи. Этот план не оптимальный. Потому что оценки оптимального плана двойственной задачи должны быть неотрицательными и выбранный базис X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны

Поэтому, следует исключить из базиса исходной задачи вектор А _i , который соответствует компоненте x _i < 0. Данный вектор относится к отрицательной оценке, его необходимо включить в базис двойственной задачи

Просматриваем i -ю строку для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи. Т.е. если строка не имеет x _ij < 0, тогда линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике решений. Поэтому нет решений исходной задачи

В противном случае для столбцов, имеющих отрицательные значения, определяем q _{0 j} = min ( x _i / x _ij ) і 0 . Также находим вектор, который соответствует

min q _{0 j} (Z _j -- C _j )

при решении исходной задачи на максимум, а также

max q _{0 j} (Z _j -- C _j ) при значении исходной задачи на минимум

Найденный вектор включаем в базис исходной задачи. Направляющей строкой определяется вектор, который надо убрать из базиса исходной задачи,

Допустим, что q _{0 j} = min ( x _i / x _ij ) = 0, т. е. x _i = 0, тогда x _ij выбирается как разрешающий элемент, но лишь тогда, когда x _ij > 0

Данный подход к решению задачи не приводит к росту количества отрицательных компонент вектора X. Пока не будет получено Х і 0, процесс не прекращается

Определяя оптимальный план двойственной задачи, находим и оптимальный план исходной задачи

Используя при решении, алгоритм двойственного симплексного метода условие Z _j - C _j Ј 0 допускается не учитывать, пока не будут исключены все х _i < 0

Обычным симплексным методом определяется оптимальный план. Этот метод обычно используется при условии, что все х _i < 0. Чтобы перейти к плану исходной, задачи за одну итерацию надо определить q _{0 j} = m ax ( x _i / x _ij ) > 0

Задачи линейного программирования можно решать двойственным симплексным методом. Системы ограничений в задачах при положительном базисе имеют свободные члены любого знака. Двойственный симплексный метод позволяет значительно уменьшить размеры симплексной таблицы и количество преобразований системы ограничений.

Список используемой литературы

Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. “Наука”, 1980 г

Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. “Финансы и статистика”, 1998 г