Действия с интегралами

Билет №19

Пусть дан интеграл:

(1).

В котором подынтегральная функция зависит от некоторого параметра . Если параметр будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла. Таким образом, определенный интеграл есть функция от ; поэтому мы можем его обозначить через .

1. Предположим, что и есть непрерывные функции при

и (2).

Найдем производную интеграла по параметру :

.

Для нахождения этой производной заметим, что:

Применяя теорему Лагранжа к подынтегральной функции, будем иметь:

, где . Так как непрерывна в замкнутой области (2), то , где величина , зависящая от , стремится к нулю при . Таким образом,

.

Переходя к пределу при , получаем:

.

Или

. Эта формула называется формулой Лейбница.

2. Предположим теперь, что в интеграле (1) пределы интегрирования являются функциями от :

.

есть сложная функция от , причем и являются промежуточными аргументами. Для того чтобы найти производную от , применим правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных:

(3).

На основании теоремы о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу получаем:

,

.

Наконец, для вычисления применяем формулу Лейбница:

.

Подставляя в формулу (3) полученные выражения производных, будем иметь:

.

№2

Интеграл вида:

Называется интегралом Фурье.

Поставим задачу: дана функция с периодом ; требуется найти всюду сходящийся тригонометрический ряд:

, имеющий сумму.

Если эта задача имеет решение, то оно единственно, и коэффициенты искомого ряда находятся по формулам Эйлера-Фурье:

,.

Полученный ряд называется рядом Фурье для функции .

Не исключено, что поставленная задача не имеет решения: ряд Фурье, даже при непрерывности функции , может оказаться расходящимся в бесконечном множестве точек на промежутке интегрирования. Однако для всех практически важных непрерывных функций задача имеет решение.

№3

Дана функциональная последовательность .

Очевидно, что для последовательность сходится к . Рассмотрим случай, когда .

В этом случае последовательность сходится к функции , так как .

Билет №25

№1

1. Тройной интеграл выражается через цилиндрические координаты точки Р формулой:

.

Здесь - та функция цилиндрических координат, которая представляет функцию точки Р. Выражение называется элементом объема в цилиндрических координатах.

2. Тройной интеграл выражается через сферические координаты точки Р формулой:

.

Здесь - та функция сферических координат, которая представляет функцию точки Р. Выражение называется элементом объема в сферических координатах.

Рассмотрим аппроксимацию дифференциальной задачи на примере разностной схемы метода наименьших квадратов. Рассмотрим дифференциальное уравнение:

Пусть - конечномерные подпространства из F с базисами , причем - области определения L. Тогда приближенные решения строятся при помощи метода наименьших квадратов, исходя из равенств:

.

При этом возникает система линейных уравнений с матрицей и вектором , где: .

.

Билет №3

Дерево - это граф, в котором существует одна и только одна цепь, соединяющая каждую пару вершин. Таким образом, дерево - это связный граф без циклов. Вершины степени 1 в дереве называются листьями. Дерево, содержащее все вершины некоторого графа G, называется покрывающим деревом графа G.

№2

Конъюнкция:

Свойства:

1. ~.

2. .

Дизъюнкция:

.

Свойства:

1. ~.

2. .

Дистрибутивные законы:

1. .

2. .

Отрицание:

.

Свойства:

Законы де Моргана:

1. ~.

2. ~.

Закон двойного отрицания:

~.

Импликация:

.

Свойства:

.

.

№3

ў~ў

Билет №30

№1

Пусть имеется бесконечная цепь утверждений А. Тогда если из того, что А1 - истинно, и Аn - истинно следует, что Аn+1 - истинно, то вся цепь утверждений А будет истинна. Индукция - один из базовых методов познания наравне с дедукцией, анализом, синтезом, абстракцией и обобщением, и широко используется в математике (особенно применительно к последовательностям и тождествам).

№2

Гипотеза (предположение) - утверждение, состоящее из посылки и вывода. Проверка гипотезы может быть логической и эмпирической. Для доказательства гипотезы используют теоремы и аксиомы логики, а также метод построения.

№3

«Если усыновитель согласен и он достиг десятилетнего возраста, то его можно усыновить».