Режими поведінки статистичних моментів у неадитивній статистиці

РЕЖИМИ ПОВЕДІНКИ СТАТИСТИЧНИХ МОМЕНТІВ У НЕАДИТИВНІЙ статистиці

Д.О.Харченко, доц.; В.О.Харченко, студ.

Вступ

Останнім часом відмічається підвищений інтерес до процесів, що підпорядковуються неадитивній статистиці, запропонованій Цаллісом [1]. Як було показано у роботі [2], природа реалізує широкий спектр складних систем, які підлягають узагальненому статистичному опису, де стандартна статистика Больцмана-Гіббса (БГ) не завжди відповідає реальній картині. Наприклад, аномальна дифузія типу польотів Леві (дивись [3]), корельований тип аномальної дифузії [4], системи з самогравітацією [5], фінансові риски та крахи [6] і т.д. Головною ознакою такого підходу є степеневі розподіли, що приводять до розподілу Цалліса та додержуються неадитивної статистики з порушенням правила адитивності ентропії [2]. У структурі такого підходу розподіл БГ є окремим випадком, де функціонал повної ентропії системи є адитивним. Було побудовано узагальнену термодинамічну теорію, де показано, що термодинамічні співвідношення формально зберігають свою стандартну форму.

Формально системи з неадитивною статистикою можуть бути описані двома незалежними способами: нелінійним рівнянням Фоккера-Планка (НРФП) або дробово-диференціальним рівнянням Фоккера-Планка (пов'язаним з нецілим порядком похідної в еволюційних рівняннях). Проблема відносно НРФП широко обговорюється з 1995р. після роботи [7], де розглядався процес Орнштейна-Уленбека. У багатьох випадках форма НРФП будувалася на основі спеціальних взаємозв'язків між мікро- та макрорівнями в ієрархічній системі. Застосування НРФП до системи вільних частинок розглядалося в роботі [8], використання його у теорії самоорганізованої критичності пропонується в роботі [9], де НРФП подається у дробово-диференціальному вигляді. Нещодавно в роботі [10,11] розглядалася узагальнена картина нелінійної кінетики, де НРФП було отримане з основного кінетичного рівняння, де ймовірності переходів відповідають властивостям марковських процесів. Було показано, що в рамках такого підходу можна прийти до неадитивної -статистики, запропонованої Цаллісом, або до -статистики, розвинутої Каніадакісом [11].

У більшості робіт, що розглядають проблеми, пов'язані з -статистикою, основна увага сконцентрована на дослідженні форми НРФП, або на визначенні неадитивної термодинаміки. Проте залишається відкритим питання щодо динаміки системи, яка задовольняє -статистику. У багатьох випадках вивчення системи вільних частинок спрямоване на дослідження процесів типу польотів Леві та на пошук зв'язків між параметром неадитивності та показником, властивим польотам Лєві. Статистична картина системи з квадратичним потенціалом для стохастичної змінної розглядається у роботах [4,7], де розраховуються точна форма розподілу та відповідні часові залежності. У наведеній роботі описується картина еволюції системи на основі узагальненого підходу, що підлягає -статистиці. Досліджується поведінка основних статистичних моментів, щоб показати, яким чином перехід до узагальненого підходу перетворює картину упорядкування системи, що описується -потенціалом. Встановлюються скейлінгові властивості часових залежностей і визначається вплив мультиплікативного шуму на фрактальні властивості фазового простору системи.

Структура роботи така. У другому розділі формулюються основні ідеї щодо отримання НРФП, які були розвинуті у роботі [11]. Базуючись на формі НРФП, у третьому розділі записуються еволюційні рівняння для першого і другого статистичних моментів. Тут одержано відповідне рівняння Ланжевена, яке містить складову, що визначає ієрархічний зв'язок між мікро- та макрорівнями системи. У підрозділах розглядаються два особливих випадки, властивих статистиці Цалліса. Основні результати наведені у розділі 4.

1. Нелінійне рівняння Фоккера-Планка

Ключовим моментом до неадитивної статистики є основне кінетичне рівняння для функції розподілу у вигляді

,(1)

де інтенсивність мікроскопічних переходів відповідає властивостям марковості, - функція населеності частинок у початковому та кінцевому станах. Ця функція задовольняє такі умови: якщо початковий стан є порожнім, то ймовірність переходу дорівнює нулю, тобто ; вимагає залежності переходів від населеності частинок у початковому стані у випадку, якщо кінцевий стан є вільним. У випадку та маємо стандартну лінійну кінетику, і основне кінетичне рівняння збігається з рівнянням Чепмена-Колмогорова.

Як було показано у [11], рівняння (1) приводить до нелінійного рівняння Фоккера-Планка у вигляді

,(2)

де , функція визначається з умови

.(3)

Перший та другий моменти за визначають дрейфову та дифузійну складові , відповідно: , . У стаціонарному рівноважному стані розв'язок рівняння (2) набуває вигляду

,,(4)

де залишається довільною функцією; - це константа, що характеризує інтенсивність шуму; визначається умовою нормування . Нелінійність рівняння Фоккера-Планка задається формулою функції : у разі переходимо до статистики БГ; -деформація логарифма приводить до статистики Цалліса, де . Інше припущення, яке далі буде нами використано, приводить до відомих рівнянь, наведених у [7].

2. Рівняння для середніх

Основна задача роботи полягає у з'ясуванні поведінки моментів. Такими моментами є: - параметр порядку , дисперсія , яка виконує роль одночасової кореляційної функції , та двочасова кореляційна функція .

Для одержання таких еволюційних рівнянь будемо використовувати стандартну методику. Помножимо (2) на та проінтегруємо за змінною . Результатом буде еволюційне рівняння для першого та другого моментів у формі

(5)

Одержані рівняння та (2) дозволяють записати ефективне рівняння Ланжевена у вигляді

,(6)

де складова Ланжевена визначається як процес Маркова з такими властивостями: , . У випадку отримуємо лінійне рівняння Фоккера-Планка та приходимо до стандартного рівняння Ланжевена в Іто інтерпретації з мультиплікативним шумом з амплітудою, що визначається . У такому випадку виникнення мультиплікативного шуму є умовою впливу середовища на систему. Якщо , характер мультиплікативного шуму у (6) визначається через уведення функції розподілу, якщо , -залежність коефіцієнтів дифузії та дрейфу може бути пояснена як двосторонній зв'язок між різними (мікро- та макро-) ієрархічними рівнями системи [8]. Таким чином, керує процедурою ієрархічного зв'язку станів системи.

Розв'язання задачі відносно системи з мультиплікативним шумом у рамках лінійної кінетики було запропоновано в [13], де розглядався довільний мультиплікативний шум (у степеневій формі). Було показано, що мультиплікативний шум керує поведінкою системи (він змінює значення біфуркаційних параметрів системи), степенева залежність його амплітуди обумовлює аномальну поведінку системи (властивості фрактальності фазового переходу) [14]. Системи з нелінійною кінетикою є ієрархічними і тому повинні мати фрактальні властивості. Типовим та добре відомим прикладом є польоти Леві (рух “частинки” на ієрархічному дереві в ультраметричному просторі [15]). На жаль, опис таких об'єктів виходить за рамки стандартного макроскопічного підходу, де НРФП тільки постулюється. Використовуючи теорію дифузійних процесів, можна отримати відповідне рівняння Фоккера-Планка, ефективне рівняння Ланжевена, яке залежить від функції густини ймовірності . Вперше така проблема обговорювалася в [16,17].

Далі, визначаючи через -деформований логарифм, розглянемо систему для таких залежностей : (a) лінійна форма ; (b) степенева форма . Основна увага зосереджується на властивостях процесів упорядкованих. Динаміка основних статистичних моментів розглядається на основі моделі системи з потенціалом

,(7)

де є керуючим параметром, що виконує роль температури, яка відраховується від критичного значення ; інтенсивність шуму вважається сталою: .

2.1 Лінійна форма

Припустивши

, (8)

НРФП набуває вигляду

.(9)

Будемо використовувати рівняння Фоккера-Планка (9) для знаходження скейлінгової поведінки процесів на великому проміжку часу. Спочатку розглянемо систему вільних частинок, де . У такому випадку отримаємо еквівалентні рівняння для стохастичного процесу та функції густини ймовірності у вигляді

, (10)

. (11)

Нелінійне дифузійне рівняння (11) може бути розв'язане в автомодельному режимі, де , , де замість (11) отримуємо

. (12)

Припустивши , рівняння (12) набуває вигляду

. (13)

Розв'язок рівняння (13) має форму розподілу Цалліса

, (14)

де використовуються такі умови , . Часова залежність подається у вигляді

. (15)

Використовуючи таку скейлінгову процедуру, визначимо та припустимо . Таким чином, ми отримаємо вираз для показника Херста у формі [8]. Скейлінговий закон може бути отриманий із розв'язку рівняння (10):

, (16)

де і використовується визначення білого шуму , де - вінерівський процес.

Розглядаючи динаміку статистичних моментів, використовуємо детерміновану силу . Отримуючи рівняння для моментів, ми виражаємо середні з -залежністю через форму функції стаціонарного розподілу . Стаціонарний розв'язок рівняння (9) є розподілом Цалліса у вигляді

, (17)

де - константа нормалізації, що визначає константу , яка залежить від керуючого параметра, інтенсивності шуму та індексу , тобто .

Беручи до уваги рівняння (7), отримаємо еволюційні рівняння для параметра порядку та автокореляційної функції:

(18)

де похідні беруться за перенормованим часом . Рівняння для функції Гріна набуває вигляду

. (19)

Розглянемо стаціонарну картину поведінки системи. Враховуючи , знаходимо, що неупорядкований стан системи визначається точкою з координатами

(20)

на фазовому портреті . Стійкий стан виникає, якщо величини і переходять за критичні значення, визначені рівнянням фазової діаграми:

 (21)

Критичні значення параметрів наведені на рисунку 1. Бачимо, що зменшення значення індексу зміщує біфуркаційну точку в бік великих значень інтенсивності шуму (рис.1a). Формально, така залежність показує, що у випадку система поводиться так само, як і у випадку наявності мультиплікативного шуму [13]. Насправді тут зменшення індексу сприяє тому, що положення біфуркаційної точки залежить від інтенсивності шуму . Рисунок 1б показує вплив на положення критичного значення для при різних значеннях індексу Тут впорядкований стан реалізується на великих , якщо збільшувати інтенсивність шуму. Окрім того впорядкований стан реалізується в інтервалі малих значень індексу , у разі великих інтенсивностей .

Із стаціонарних залежностей на рис.2. випливає, що впорядкований стан реалізується стрибкоподібно, а це відповідає переходам першого роду. Така поведінка параметра порядку (дисперсії) може бути пояснена за допомогою кореляційного ефекту в системі, тобто введення . Добре відомо, що на макроскопічному рівні можна знехтувати кореляціями, результатом чого буде стандартна картина Ландау для фазових переходів другого роду, де . Впорядкований стан характеризується двома точками на фазовому портреті , координати яких визначені:

(22)

Тут верхній та нижній знаки визначають сідлову та вузлову точки на фазовому портреті. Пунктирні лінії на рис.2 показують положення сідлової точки , суцільні лінії зображують положення притягувальної точки .

Розв'язки рівнянь (18) наведені на фазовому портреті () (рис.3). Тут сідлова точка розміщена між двох стійких вузлів та , якщо керуючий параметр та містяться всередині області впорядкованої фази (див. рис.1). Зовні цієї області (на малих температурах або на великих , що означає наближеність до статистики БГ) фазовий портрет характеризується однією точкою , і система є невпорядкованою. В околі точки відбувається критичне уповільнення. Тут параметр порядку та одночасовий корелятор практично не змінюються (рис.4). Аналіз часових залежностей дозволяє використовувати метод Ляпунова. Для системи, що еволюціоную за часом , знаходимо , де визначається для системи, що еволюціонує в часі . Можна бачити, що положення та визначають вузлову та сідлову точки лише за умови . Система повільно досягає цих точок, якщо збільшується.

Розглянемо кореляційні процеси в околі точок та (див. рис.5) на фазовому портреті системи, які відповідають стабільній невпорядкованій та впорядкованій фазам. Розв'язки рівняння (19) наведені на рис.5 для різних значень та при ідентичних початкових умовах. Бачимо, що при (те саме при ) спостерігається монотонне спадання, коли початкове значення параметра порядку досить велике (рис.5a). У випадку зникає максимум залежності за умови , що відповідає впорядкованому стану (рис.5б).

2.2 СТЕПЕНЕВА ФОРМА

У випадку

(23)

НРФП набуває вигляду

(24)

Як і в попередньому підрозділі, розглядається система вільних частинок () з . Тепер дифузійне рівняння буде мати такий вигляд:

(25)

Використовуючи результати попереднього підрозділу в автомодельному режимі, можна знайти розв'язки для часової функції та компоненти :

(26)

(27)

Бачимо, що кореляційна функція визначається як¹¹ ??? ??????? ??????????? ?? ??????????? ???????? . ??? ???????? ?? ??????????? ??????? ??????????? ????????????? ?? ????????? ??????? ?????????. ?????????, ??????? , ??????? ???????? ????? ???????? ?? -???????, ????? , ?? ?????? ???????????? ? (???. [11]).

(28)

Тоді для показника Херста будемо мати

(29)

У цьому випадку при та показник Херста набуває стандартного значення при , як і в попередньому випадку.

Розглядаючи еволюцію системи з -потенціалом, маємо такі рівняння для параметра порядку та автокореляційної функції :

(30)

Еволюційне рівняння для функції Гріна не змінюється за своєю конструкцією. У цих еволюційних рівняннях використовувався ренормалізований час , константа визначалося умовою нормування.

Як і в попередньому випадку, невпорядкований стан характеризується однією стабільною точкою , що є вузлом, координати якої визначаються як

(31)

Біфуркація як результат переходу до впорядкованого стану з виникає, коли перетинається лінія фазової діаграми, визначена розв'язком рівняння

(32)

Розв'язки його подано на рис.6. Бачимо, що в той час, коли форма кривої (рис.6a) є такою самою, як і у випадку , вплив параметра змінює ситуацію принципово. Тут біфуркаційне значення для інтенсивності шуму зміщується в бік великих значень при збільшенні . Складнішою є картина впорядкування системи, що подана на рис.6б. Бачимо, що при середніх за величиною значеннях параметра біфуркація реалізується на високих температурах, у той час як при малих та великих значеннях параметра впорядкований стан виникає при низьких температурах.

Стаціонарна поведінка параметра порядку та автокорелятора подана на рис.7, де суцільні та пунктирні лінії відповідають стабільній точці та сідловій точці на відповідному фазовому портреті. Координати цих точок визначаються з рівнянь

(33)

Тут верхній та нижній знаки задають сідло та вузол на фазовому портреті. З рис.7 випливає, що поведінка параметра порядку від не відрізняється від його поведінки, розглянутої у випадку . Тут нестабільна фаза характеризується збільшенням значень параметра порядку та автокорелятора зі збільшенням значення .

Зрештою, топологія фазового портрета та часових залежностей основних режимів є аналогічною до випадку . На великих температурах система перебуває у невпорядкованому стані і характеризується одним вузлом (рис.3a). Поява впорядкованого стану на низьких температурах супроводжується утворенням двох особливих точок і на фазовому портреті (див. рис.3б). Аналізуючи стабільність системи в околі цих точок, можна знайти показник Ляпунова , де визначається для системи, що еволюціонує в часі . Тут на малих показник Ляпунова в околі вузла набуває великих значень, і, таким чином, система досягає стабільного стану швидше, ніж при малих значеннях параметра .

Проведений вище аналіз показує, що для систем із потенціалом, вибраним згідно з теорією катастроф, характерною є експоненційна поведінка статистичних моментів (див., наприклад, [4,7]). Можна зробити висновок, що степенева форма часових залежностей спостерігається, коли потенціал системи має вигляд із дробовим . Іншими словами, скейлінгові закони виникають, якщо система має фрактальні властивості або потенціал системи є однорідною функцією з дробовим показником , де . З форми НРФП можна бачити, що при , поданій поліномом, дрейфова складова визначає експоненційну поведінку часової залежності функції розподілу . З іншого боку, як було показано вище, скейлінгові закони реалізуються за умови і (система вільних частинок ). Можна показати, що такий режим спостерігається у випадку та з . Іншими словами, алгебраїчна форма часових залежностей реалізується, коли система має самоподібну структуру фазового простору.

Висновки

У роботі досліджено поведінку системи в рамках нелінійного підходу. Системи з неадитивною статистикою розглядаються у випадку незалежного та залежного від стохастичної змінної коефіцієнта дифузії. Встановлено скейлінгові закони руху для системи вільних частинок і досліджено картину переходів в системі. Було встановлено, що система поводиться аналогічно до такої, що зазнає дії мультиплікативних флуктуацій, де біфуркаційні значення залежать від інтенсивності шуму. Розглядаючи статистику Цалліса, було з'ясовано, що індекс неадитивності системи зміщує біфуркаційні значення параметрів. Визначено скейлінгову форму закону руху для двох випадків, властивих статистиці Цалліса.

Список літератури

1. C.Tsallis, J.Stat.Phys., 52, 479, (1988).

2. C.Tsallis, in Nonextensive Statistical Mechanics and its Applications, Lecture Notes in Physics, eds. by S. Abe and Y. Okamoto, Springer-Verlag, Berlin (2000).

3. P.Castiglione, A.Mazzino, P.Muratore-Ginanneschi, A.Vulpiani, Physica D, 134, 75, (1999).

4. E.W.Montroll, B.J.West, in Studies in Statistical Mechanics, VII, eds. by E.W.Montroll and J.L.Lebowitz, North-Holland, Amsterdam, (1979), p.62.; C.Tsallis, D.J.Bukman, Phys.Rev. E, 54, R2197, (1996);

5. P.T.Landsberg, J.Stat.Phys., 35, 159, (1984); L.G.Taff Celestial mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1985).

6. D.Kahneman, A.Tversky, Econometrica, 47, 263, (1979); A.Tversky, D.Kahneman, Journal of Risk and Uncertainty, 5, 297, (1992).

7. A.R.Plastino, A.Plastino, Phys.Lett.A, 222, 347, (1995).

8. L.Borland, Phys.Rev.E, 57, 6634, (1998).

9. O.I.Olemskoi, A.V.Khomenko, D.O.Kharchenko, Physica A, 323, 263, (2003).

10. G.Kaniadakis, P.Quarati, Phys.Rev.E, 49, 5103, (1994).

11. G.Kaniadakis, Phys.Lett.A, 288, 283, (2001).

12. C.Tsallis, D.J.Bukman, Phys.Rev.E, 54, R2197, (1996).

13. A.I.Olemskoi, D.O.Kharchenko, Physica A, 293, 178, (2001); D.O.Kharchenko, S.V.Kohan, EPJ B, 29, 97, (2002).

14. D.O.Kharchenko, Fluct. and Noise Lett., 2, L287, (2002).

15. A.I.Olemskoi, JETP Lett., 71, 412, (2000).

16. G.W.Ford, M.Kac, P.Mazur, J.Math.Phys. 6, 504, (1965).

17. R.Zwanzig, J.Stat.Phys. 9, 215, (1973).