Диференціальні рівняння першого порядку

План

1. Диференціальні рівняння першого порядку.

2. Метод ламаних Ейлера. Наближене розв'язання диференціального рівняння І порядку.

3. Загальний розв'язок рівняння у'=у+3 і задача Коші для рівняння з початковою умовою: у(0)=1.

1.Диференціальне рівняння першого порядку

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв'язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідні. Найвищий порядок похідної від шуканої функції, що входить в диференціальне рівняння, називається його порядком. Отже, загальний вигляд диференціального рівняння -го порядку такий:

.

Найпростіші диференціальні рівняння вже розглядалися при вивченні інтегрального числення. Справді, нехай дано функцію . Знайдемо її визначений інтеграл. Маємо:

і, отже,

.

Інтегруючи, отримаємо:

,

де - довільна стала.

Виявляється, що будь-яке диференціальне рівняння також має безліч розв'язків виду , де - довільна стала

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Якщо це рівняння можна розв'язати відносно похідної то можна записати у вигляді

.

В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв'язане відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування та єдності розв'язку диференціального рівняння.

Теорема. Якщо в рівнянні

функція та її частинна похідна неперервні в деякій області на площині що містить точку то існує єдиний розв'язок цього рівняння що задовольняє умові: при

Геометричний зміст цієї теореми такий: існує і при тому єдина функція графік якої проходить через точку

Умова, що при функція повинна дорівнювати заданому числу називається початковою умовою. Вона часто записується так:

Означення 1. Загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція

яка залежить тільки від однієї довільної сталої і задовольняє таким умовам:

1) вона задовольняє диференціальному рівнянню при довільному конкретному значенню сталої

2) якою б не була початкова умова ( із області, в якій виконуються умови теореми існування і єдності розв'язку), можна знайти таке значення, що функція задовольняє даній початковій умові.

Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв'язку диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду

не розв'язаному відносно В таких випадках загальний розв'язок залишається в неявному вигляді. Рівність , що задає неявно загальний розв'язок, називається загальним інтегралом.

Означення 2. Частинним розв'язком називається довільна функція яка одержується із загального розв'язку якщо в останньому довільній сталій надати певного значення Співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом.

З геометричної точки зору загальний інтеграл представляє собою однопараметричне сімейство кривих на координатній площині, що залежить від одного параметра Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що проходить через деяку точку площини.

Розв'язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння - це значить:

а) знайти його загальний розв'язок або загальний інтеграл (якщо не задані початкові умови);

б) знайти той частинний розв'язок рівняння або частинний інтеграл, який задовольняє початковим умовам (якщо такі є).

2. Метод ламаних Ейлера. Наближене розв'язання диференціального рівняння І порядку

Існують окремі типи диференціальних рівнянь, для яких задача про знаходження всіх розв'язків зводиться до обчислення скінченого числа інтегралів і похідних від відомих функцій і алгебраїчних операцій. Про диференціальні рівняння таких типів кажуть, що вони інтегруються в квадратурах (зводяться до квадратур). Проте більшість рівнянь неможливо звести до квадратур. Такі рівняння розв'язують наближеними методами. Найпростіший із них - метод ламаних Ейлера або коротше метод Ейлера. Правда точність цього методу невелика, тому на практиці користуються порівняно рідко. Але він допомагає краще зрозуміти інші, більш ефективні методи.

Нехай на якомусь відрізку [х₀,b] треба знайти такий розв'язок у=у(х) диференціального рівняння

У'=f(x,y), (3)

Який задовольняє початкову умову

У(х₀)=у₀ (4)

Припустимо, що права частина даного рівняння (функція f(x,y) задовольняє умови теореми Коші про існування і єдність розв'язку, причому відрізок [х₀,b] входить в окіл, в якому розв'язок рівняння (3)-(4) існує і єдиний. Графік цього розв'язку називається інтегральною кривою диференціального рівняння (3).

Суть методу Ейлера полягає в тому, що маючи точне чи наближене значення у(х) розв'язку диференціального рівняння (3) для якогось конкретного значення х, можна обчислити наближено і значення у(х+х)

розв'язку для близької точки х+х; для цього замість повного приросту функції у(х) на відрізку [х,х+х] береться наближене значення її приросту - її диференціал у'(х)*х:

у(х)=у(х+х)-у(х) у'(х)*х

звідси одержуємо:

у(х+х)у(х)+у'(х)*х (5)

Похідна у'(х) в точці х знаходиться з самого диференціального рівняння (3), яке і вказує, як знайти числове значення похідної розв'язку в точці х, коли відомий сам розв'язок в точці х:

у'(x)=f(х,у(х)) (6)

З (5) і (6) одержуємо

у(х+х)у(х)+f(х,у(х))*х,

у'(х+х)=у'(х)+f(х,у'(х))*х,

Так само, маючи наближене значення у(х+ х), обчислене за цією ж формулою обчислити значення

У((х+х)+х), у(х+3х), у(х+4х) і т.д.

Таким чином, маючи значення у(х₀)=у₀ задане початковою умовою (2), можна за формулою (7) поступово обчислювати значення

У(х₀+2х), у(х₀+3х) і т.д.

Нанести знайдені точки на координатну площину і сполучивши їх відрізками прямих, одержимо ламану Ейлера, яка є наближеним зображенням інтегральної кривої.

Враховуючи сказане, знаходження розв'язку диференціального рівняння (3)-(4) організуємо в такий спосіб.

Розіб'ємо відрізок [х₀,b] на n рівних частин, так що довжина h=х кожної з них дорівнюватиме

h=b-x₀/n.

Точки поділу х₁ , х₂ , … , х_і , … , х_n відрізка [х₀,b] матимуть координати

Х_і+1=х_і+h , і= 0 , 1 , 2 , … , n-1 . (8)

Позначимо через у_і наближене значення у'(х_і) розв'язку в точці х_і:

У_і=у'(х_і) (9)

Тоді, поклавши х =h, з рівностей (7), враховуючи (8) і (9) матимемо

У'(x_i+x)=y'(x_i+h)=y'(x_i+1)=y_i+1

y'(x_i+x)=y_i+1=y_i+f(x_i,y_i)*x, i=0 , 1 , 2 , … , n-1 . (10)

Маючи у₀ з початкової умови (4), за формулою (10) можна обчислити у₁, у₂, … ,у₁₀:

y₁=у₀=f(x₀,y₀)*h,

y₂=y₁+f(x₁,y₁)*h,

y₃=y₂=f(x₂,y₂)*h,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

y_n=y_n-1+f(x_n-1,y_n-1)*h.

Сполучаючи на координатній площині точки (х₀,у₀), (х₁, у₁), … , (х_n,y_n) відрізками прямих, одержимо ламану лінію, яка називається ламаною Ейлера і є наближеним зображенням інтегральної кривої - графіка розв'язку рівняння (3) з умовою (4)(див. рисунок)

Геометрично відрізок, що сполучає точки (х_і.у_і) і (х_і+1, у_і+1) є відрізок дотичної до інтегральної кривої, що проходить через точку (х_і, у_і).

3. Загальний розв'язок рівняння у'=у+3 і задача Коші для рівняння з початковою умовою: у(0)=1

y'=у+3;

dy/dx=y+3;

dy=(y+3)dx;

dy/y+3=dx;

dy/y+3=dx;

d(y+3/y+3=dx;

lny+3=x+lnc₁;

lny+3=ln e^x+lnc₁;

lny+3=lnc₁*e^x;

y+3=c₁*e^x;

y+3=c*e^x;

Звідси:

y=c*e^x-3.

Це загальний розв'язок рвіняння у'=у+3.

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє умову у(0)=1:

1=с*е⁰-3;

1=e-3;

С=1+3=4;

y=4e^x-3 -частинний розв'язок

Обчислимо значення знайденої функції у(х)=4е^х-3 для значень х=0,1; 0.2; 0.3; … ;0.9; 1 і побудуємо за цими точками графік даної функції на відрізку [0,1], а також ламану Ейлера.

Таб. 2.

Отже, наближене значеня розв'язку при х=1 є у'(х=1)=7,482 , точне значення при х=1 є у(х=1)=7,872.

Абсолютна похибка дорівнює

7,872-7,482=0,39

Відносна похибка дорівнює

0,39/7,872=39/7872=0,00490,49%.