Комплексні числа

Комплексні числа

Вже досить давно під час розв'язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корень з від'їмних чисел. Але чисел, які піднесені до квадрату дають від'ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені з від'ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв'язків. Зокрема, так було під час розв'язування квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом, наприклад:

хІ - 4х + 10 = 0 х?,?=2±-6

Тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, прєданням до неї нових так, щоб у розширеній множині крім чотирьох арифметичних дій - додавання, віднімання, множення і ділення (за вийнятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв'язано лише у ХІХ сторіччі. Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовільнятися такі вимоги:

озачення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;

для нових чисел повині виконуватись п'ять законів прямих арифметичних чисел (пригадайте ці закони);

у новій числовій множині мусить мати розв'язок рівняння

хІ=-1.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння хІ=-1 мало розв'язок, необхідно внести деяке нове число, вважаючи його розв'язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює -1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і - перша буква латинського слова imaginarius - уявний). Підкреслимо, що рівність іІ=-1 приймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду bЯ (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду a + bЯ (сумма дійсного числа a та добуток дійсного числа b на уявну одиницю).

Отже, нова множина множина чисел повина містити всі числа виду a + bЯ.Числа виду a + bЯ, де a і b - довільні дійсні числа, аЯ - уявна одиниця називають комплексними. Слово “комплексний” означає складений. Число a називають дійсною частиною числа a + bЯ , а вираз bЯ - уявною.

Число називають коефіцієнтом при уявній частині. Наприклад, у числі 6 + 7Я дійсна частина 6, уявна 7. Коефіціент при уявній частині дорівнює 7. Дійсною частиною числа 0 + 3Яє число нуль, а уявною - вираз 3Я; коефіцієнт при уявній частині дорівнює 3. Числа виду a + 0Я ототожнюються з дійсними числами, а саме вважають, що a + 0Я=a. Таким чином виконується обов'язкова для будь - якого розширення поняття числа вимога, щоб попередній числовий “запас” входив до нової числової множини як її частина. Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, що ставляться при будь - якому розширення поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за означенням умову рівності цих чисел і правила виконання прямих дій - додавання і множення.

Два комплексних числа a + bЯ і c + dЯрівні між собою тоді і тільки тоді, коли a = c і b=d, тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше 10Я чи 3Я, 2+5Я чи 5+2Я.

Важливим є поняття про српяжені комплексні числа. Числа a + bЯ і a - bЯ, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числа a + bЯ і a - bЯ, які відрізняються лише знаком уявної частини, називають спряженими.

Наприклад, спряженими є комплексні числа 4+3Я та 4-3Я; 2-Я та 2+Я; -8+7Я та -8-7Я;-5-Я та -5+Я. Якщо дане число 6Я, то спряженим до нього є -6Я. До числа 11 спряженим буде 11, бо 11+0Я=11-0Я.

Дії над комплексними числами:

а) додавання комплексних чисел.

Означення: сумою двох комплексних чисел a + bЯ і c + dЯ називається комплексне число (a + c) + (b + d)Я, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при явних частинах додатків, тобто (a + bЯ) + (c + dЯ) = (a + c) + (b + d)Я.

Приклади. Виконати додавання комплексних чисел:

(3+2Я) + (-1-5Я) = (3-1) + (2-5)Я = 2-3Я

(4-5Я) + (2-Я) = (4+2) + (-5-1)Я = 6-6Я

(2+3Я) + (6-3Я) = (2+6) + (3-3)Я= 8

(10 - 3Я) + (-10+3Я) = (10-10) + (-3+3)Я = 0

З наведених прикладів випливає, що додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність a + 0 = a. У множині комплексних чисел нулем є число 0 + 0Я. Справді, яке б не було число , справедлива рівність

(a + bЯ) + (0+0Я) = (a +0) + (b +0)Я = a + bЯ

За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел вводиться поняття про протилежні числа: два числа a + bЯ та -a - bЯ, сумма яких дорівнює 0, називають протилежними.

Додавання комплексних чилел підлягає переставному та сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай,z? = a + bЯ, z?= c + dЯ. Тоді z?+ z? = (a + bЯ) + (c + dЯ) = (a + c) + (b+d )Я , z?+ z? = (c + dЯ) + (a + bЯ) = (c + a) + (d+b)Я. Оскільки для додавання дійсних чисел справджується переставний закон, тобто a + c = c + a; b+d = d+b, тобто (a + c) + (b+d)Я = (c + a) + (d+b)Я , то z? + z? = z?+ z?, що й треба було довести. Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

б) віднімання комплексних чисел.

Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.

Означення. Різницею двох комплексних чисел z?= a + bЯ і z? = c + dЯ називається таке комплексне число z?= x+yЯ , яке в суммі з z? дає z?.

Отже, z?- z?= z?, якщо z? + z?= z?. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.

Доведемо, що для будь - яких комплексних чисел z?= a + bЯ і z? = c + dЯ різниця z?- z? визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+yЯ, яке в сумі з z? дає z?.

За означенням дії віднімання, (c + dЯ) + (x+yЯ) = a + bЯ. виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:

(c + x) + (d + y)Я = a + bЯ (1)

З умови рівності двох комплексних чисел маємо:

c + x = a

d + y = b

Ця система має розвиток, і до того ж єдиний: x = a - c, y = b - d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:

(a + bЯ) - (c + dЯ) = (a - c) + (b - d)Я

Приклади: Виконати віднімання комплексних чисел.

(3+4Я) - (1+2Я) = (3-1) + (4-2)Я = 2 + 2Я;

(-5+2Я) - (2+Я) = (-5-2) + (2-1)Я = -7+Я;

(6+7Я) - (6-5Я) = (6-6) + (7+5)Я = 12Я;

(0,3+2,5Я) - (-0,75+1,5Я) = (0,3+0,75Я) + (2,5-1,5Я) = 1,05+Я;

(2-2Я) - (2+3Я) = (2-2) + (-2-3)Я = -5Я;

1+1/2) - (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.

в) Множення комплексних чисел.

Означення. Добутком двох комплексних чисел a + bЯ і c + dЯ називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)Я . Суть і доцільність цьго означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + bЯ)( c + dЯ) = ac + adЯ + bcЯ + bdЯІ = ac + (ad + bc)Я + bdЯІ. Замінюючи, за означенням, ЯІна -1, дістанемо: bdЯІ = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:

(a + bЯ)( c + dЯ) = (ac - bd) + (ad + bc)Я (2)

Формулу (2) не слід намагатися механічно запам'ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + bЯ і c + dЯ з наступною заміною ЯІна -1.

Приклади: Виконити множення комплексних чисел.

1) (4-5Я)(3+2Я) = 12+8Я -15Я -10ЯІ= 12+10-7Я =22-7Я;

2)(3-Я)(2+5Я) = 6-2Я+15Я-5 ЯІ= (6+5) + (15-2)Я;

3)8Ях3Ях3 = -243;

4)(2-Я)(-5) = -10+5Я;

5)(-4-3Я)(-6Я) = -18+24Я.

Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному і сполучному.

Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо:

(a + bЯ)( a - bЯ) = aІ - (bЯ)І = aІ -bІЯІ = aІ + bІ, тобто (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ + bІ

Приклади: Обчислити добуток.

(3+5Я)(3-5Я) = 9+25 = 34;

(2+Я)(2-Я) = 4+1 = 5;

(4+3Я)(4-3Я) = 16+3 = 19;

(х+уЯ)( х-уЯ) = х+у;

(3/4+2/5Я)(3/4-2/5Я) = 9/16+4/25 = 289/400.

Читаючи рівність (a + bЯ)( a - bЯ) = aІ + bІ справа наліво, робимо висновок, що сумму квадратів будь - яких двох чисел можна подати у вигляді добутку комплексно - спряжених множників.

Приклади: Розкласти на множники двочлени

а+9 = (а+3Я)(а-3Я);

16mІ+25nІ = (4m+5nЯ)(4m-5nЯ);

49+36 = (7+6Я)(7-6Я);

а+16 = (а+4Я)( а-4Я);

в+7 = (в+7Я)( в-7Я).

г) Ділення комплексних чисел.

Ділення комплексних чисел означають як дію, обернену до дії множення, коли за даним добутком і одним з множників знаходять другий, невідомий множник. Причому в множині комплексних чисел залишається вимога, щоб дільник був відмінним від нуля.

Означення. Часткою комплексних чисел z? = a + bЯ та z? = c + dЯ називеється таке комплексне число z?= x+yЯ, яке при множенні на z? дає z?.

Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.

Доведемо, що частка комплексних чисел z? = a + bЯ та z? = c + dЯ визначена і до того ж однозначно, якщо c + dЯ? 0+0Я. Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+yЯ, яке при множенні на z? дає z?. За означенням дії ділення, (c + dЯ)( x+yЯ) = a + bЯ. Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо:

(c x - dy) + (cy +d x)Я = a + bЯ

З умови рівності двох комплексних чисел випливає:

c x - dy= a

cy +d x=b

Система має єдиний розв'язок:

x= (a c +bd)\( cІ+dІ);

y = (bc- ad)\( cІ+dІ).

Із доведення випливає, що ділення ккомплексних чисел відбувається за таким правилом:

(a + bЯ)\( c + dЯ) = (a c +bd)\( cІ+dІ) + (bc- ad)Я\( cІ+dІ).

Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:

(a + bЯ)\( c + dЯ) = (a + bЯ)( c - dЯ)\( c + dЯ)( c - dЯ) = ((a c +bd) + (bc- ad)Я )\( cІ+dІ) = (a c +bd)\( cІ+dІ ) + ((bc- ad)Я)\( cІ+dІ).

Цим принципом користуються під час розв'язування вправ на ділення комплексних чисел.

Приклади. Знайти частку комплексних чисел.

а) (2+5Я)/(3-2Я) = (2+5Я)(3+2Я)/(3-2Я)(3+2Я) = (-4+19Я)/13 = -4/13+19Я/13;

б) (3+Я)/Я = (3+Я)(-Я)/Я = 1-3Я;

д) піднесення комплексних чисел до степеня.

За означенням, Я№ = Я, ЯІ= - 1.

Користуючись рівністю ЯІ= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці:

Яі =ЯІЯ= - 1Я= -Я; Я = ЯіЯ = -ЯЯ= 1; Я=ЯЯ=Я; Я=ЯЯ=-1; Я=ЯЯ=-Я; Я=-ЯЯ=1.

Оскільки Я=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, ЯІ= Я =-1, Яі=Я =-Я, Я =Я = 1і так далі.

Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклади. Піднести до степеня:

а) Я = Я =Я = ЯЯ =-Я ;

б) Я = Я = Я = ЯІ= -1;

в) Я =Я = Я = -Я.

Правила піднесення до степеня уявної одиниці застосовується при піднесенні до степеня комплексних чисел.

Приклади. Піднести до степеня двочлени:

(2+5Я)І = 4+20Я +25ЯІ = -21+20Я;

(3+2)і = 27+54Я +36ЯІ+8 = -9+36Я;

(1+Я)І = 1+2Я + ЯІ= 2Я;

(1-Я) І = 1-2Я + ЯІ= -2Я;

(1-Я) = (1-2Я +Я) І = (-2Я) І = 4ЯІ = -4;

(1+Я) = ((1+Я)І)і = (2Я) і = 8Яі = -8 Я;

(1-Я) = ((1-Я) І) = (-2Я) = -32Я = -32Я.

Рівності(1+Я)І = 1+2Я + ЯІ= 2Я, (1-Я) І = 1-2Я + ЯІ= -2Я корисно запам'ятати, бо їх часто використовують.

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, якщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу a + bЯ поставимо у відповідність точку М(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината - коефіцієнту уявной частини. Кожній точці М(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (малюнок 1).

Малюнок 1

Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис - дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a + 0Я, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називають уявною віссю - на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0+ bЯ.

Зручною є також інтерпритація комплексного числа як вектора ОМ (дивіться малюнок 2)

Малюнок 2

Поставимо у відповідність кожному комплексному числу вектор з початком у точці О(0;0) і кінцем у точці М(a;b). Ви знаєте, що такий вектор називають радіус - вектором, а його проекції на осі є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометрични зображенням комплексного числа z = a + bЯ є радіус - вектор з координатами a і b. Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати векторами аьо точками і говорити, наприклад, про вектор a + bЯ або про точку a + bЯ.

На малюнку 2 вектори ОА, OB, OC, OD є відповідними геометричними зображеннями комплексних чисел z?= 2+2Я; z ?= -3+4Я; z ?= -4-3Я; z ?= 4-2Я.

Протилежним комплексним числам відповідають протилежні вектори.

Малюнок 3

На малюнку 3 зображено дві пари протилежних векторів OA i OC, OB i OD, що відповідають парам протилежних чисел 3+4Я та -3-4Я; -2+3Я та 2-3Я.

Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних чисел.

З геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді векторів випливає можливість геометричного зображення додавання комплексних чисел. Воно знаходиться до знаходження сум двох векторів за відомим правилом паралелограма.

Нехай дано два комплексних числа z? = a? + b?Я та z? = a? + b?Я, яким відповідають радіус - вектори ОА і ОА (малюнок 4). Побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограм.

Малюнок 4

Тоді зображенням суми комплексних чисел z? і z? буде вектор ОВ (діагональ паралелограма) справді, при додаванні векторів їх відповідні координати додають. Тому, якщо вектор ОА? має координати (a?;b?), а вектор ОА? (а?;b?), то їх сума - вектор ОВ - матике координати (а?+а?;b?+b?). Вектор ОВ відповідає комплексному числу (а?+а?) + (b?+b?), яке є сумою чисел z? і z?.

Нехай, наприклад, треба знайти геометричне зображення різниці z? - z? комплексних чисел z? = 2+3Я та z? = -3+2Я. Будуємо вектор ОА, що є зображенням числа z?, і додаємо до нього вектор ОВ, який зображує число z? = -3+2Я, протилежне від'ємнику (малюнок 5). Шукану різницю зображують вектором ОС, що є сумою векторів ОА і ОВ. Йому відповідає комплексне число 5+Я.