Построение линии пересечения и линии перехода поверхностей

Федеральное агентство по образованию

Сарапульский политехнический институт (филиал) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет»

Кафедра «ТММСиИ»

Методические указания

к расчётно-графической работе

«Построение линии пересечения и линии перехода поверхностей»

по курсу «Начертательная геометрия»

Сарапул, 2008

В методических указаниях представлен как теоретический материал, так и рассмотрены примеры решения задач на тему: «Построение линии пересечения поверхностей» и «Построение линий перехода поверхностей».

Составитель: Русинова Л.П.

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры ТММСиИ № 83 от 25.12.2008 г.

Сарапульский политехнический институт, 2008

Содержание

Введение

1. Общие правила построения линий пересечений поверхностей

2. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих концентрических сфер

2.1 Частные случаи построения линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер

3. Особые случаи построения линии пересечения двух поверхностей вращения

3.1 Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей

3.2 Построение линии пересечения поверхностей способом преобразования чертежа с применением вспомогательных секущих плоскостей

4. Проецирование технических деталей

4.1 Построение проекций детали (подшипника)

4.2 Построение проекций детали (шатуна)

5. Вопросы для самопроверки

Список литературы

Введение

В большинстве случаев детали машин представляют собой совокупность пересекающихся геометрических поверхностей. В процессе изготовления и эксплуатации в таких деталях возникают внутренние напряжения, ведущие к их поломке. Концентраторами напряжений являются линии пересечений поверхностей, определяющих форму деталей. Для уменьшения концентраций напряжений при проектировании стремятся осуществить плавный переход одной поверхности к другой с помощью поверхностей тора и цилиндрических поверхностей.

В результате такого плавного перехода в литых и штампованных деталях нет четкой линии пересечения.

Линией пересечения называется линия, полученная от непосредственного пересечения двух поверхностей. В месте пересечения ограничивающих предмет поверхностей, имеется сопрягающая поверхность (ее называют галтелью). При этом осуществляется плавный переход от одной поверхности к другой и получаются две, близко расположенные линии пересечения. В этих случаях для сокращения трудоемкости выполнения чертежей вместо двух линий пересечения на чертеже проводят одну линию, называемую линией перехода.

Линия перехода - это условная линия, заменяющая проекции линий пересечения сопрягающей поверхности с основными.

Линии пересечения на чертежах изображаются основной линией, как изображено на рисунке 1, а линия перехода сплошной тонкой линией, соединяющей точки пересечения продолжений очерковых образующих, пересекающихся поверхностей.



Рис. 1

1. Общие правила построения линий пересечений поверхностей

При построении проекции кривой - линии пересечения - вначале находят так называемые явные точки, определяемые без графических построений. На рисунке 3, где изображены линии пересечения призмы с конусом, это будут точки А и В. Затем определяют характерные точки, расположенные, на очерковых образующих поверхностей вращения (цилиндрической, конической и д.р.) или крайних ребрах, отделяющих видимую часть линий перехода от невидимых.

Это точки С и D, расположенные на крайних рёбрах верхней горизонтальной грани призмы. К характерным точкам относятся также крайние точки линии пересечения - высшие, низшие, правые, левые и т.д.

Рис. 2

Рис. 3

В данном примере такими точками будут: крайние правые точки С и D, левая точка В, высшие точки А, С, D и низшая В и т.д.

Все остальные точки линии пересечения называются промежуточными. К ним относятся точки Е и F.

2. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих концентрических сфер.

Рассмотрим следующие примеры построения линий пересечения поверхностей. На рисунке 4 изображён цилиндр, пересеченный цилиндром и конусом, оси которых лежат в одной плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекции, и пересекают ось основного цилиндра под углом 90 градусов .

В качестве посредников в этих случаях рационально принять концентрические сферические поверхности. Плоскости уровня применить здесь невозможно, так как фигура задана одной проекцией.

Рассмотрим оба случая одновременно. В связи с этим целесообразно принять одинаковые обозначения точек линий перехода.

Рис. 4.

Отмечаем точки 12 и 52, как точки пересечения очерковых образующих. Находим третью характерную точку 3 . Для этого радиусом О2 А2 , равным наибольшей из двух нормалей, проведенных из центра О2 к образующим цилиндров и конуса, описываем сферу, изображенную на чертеже в виде окружности. Эта сфера пересекает заданные поверхности по окружностям проекции которых на чертеже изображаются прямыми линиями А2 В2 и С2 Е2. Точка пересечения этих прямых является искомой точкой 32. Промежуточные точки 22 и 42 находим при помощи концентрической сферы несколько большего радиуса, чем предыдущая сфера. Эта сфера пересекает заданные поверхности по окружностям, проекциями которых являются прямые Н2 Р2, К2 22, М2 42. Точки пересечения этих прямых являются промежуточными точками 22 и 42. Соединив найденные точки плавной кривой, получим проекции линии перехода. В данном случае получаются линии гиперболы.

2.1 Частные случаи построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер

При построении линии пересечения поверхностей особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качестве вспомогательных поверхностей-посредников использовать сферы, соосные с данными поверхностями.

К соосным поверхностям вращения относятся поверхности, имеющие общую ось вращения. На рис. 5 изображены соосные цилиндр и сфера (рис. 5, а), соосные конус и сфера (рис. 5, б) и соосные цилиндр и конус (рис. 5, в).

Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Этих общих для обеих поверхностей окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей. Поверхности на рис. 5 пересекаются по окружностям, создаваемым точками 1 и 2 пересечения их главных меридианов.

Вспомогательная сфера- посредник пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, в пересечении которых получаются точки, принадлежащие и другой поверхности, а значит, и линии пересечения.



Рис. 5

Если оси поверхностей пересекаются, то вспомогательные сферы проводят из одного центра-точки пересечения осей. Линию пересечения поверхностей в этом случае строят способом вспомогательных концентрических сфер.

При построении линии пересечения поверхностей для использования способа вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий:

пересечение поверхностей вращения;

оси поверхностей -- пересекающиеся прямые -- параллельны одной из плоскостей проекций, т. е. имеется общая плоскость симметрии;

нельзя использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как они не дают графически простых линий на поверхностях.

Обычно способ вспомогательных сфер используется в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 6 построена линия пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающимися во фронтальной плоскости уровня Ф (Ф1) осями вращения. Значит, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения относительно плоскости П2 или самую высокую А и самую низкую В точки. В пересечении горизонтального меридиана h и параллели h', лежащих в одной вспомогательной секущей плоскости Г(Г2), определены точки видимости С и D линии пересечения относительно плоскости П1. Использовать вспомогательные секущие плоскости для построения дополнительных точек линии пересечения нецелесообразно, так как плоскости, параллельные Ф, будут пересекать обе поверхности по гиперболам, а плоскости, параллельные Г, будут давать в пересечении поверхностей окружности и гиперболы. Вспомогательные горизонтально или фронтально проецирующие плоскости, проведенные через вершину одной из поверхностей, будут пересекать их по образующим и эллипсам. В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О (О1; О2), которая является центром вспомогательных сфер, радиус сферы изменяется в пределах Rmin < R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).

Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:



Рис.6

h22--^--h32--=--E2(F2);--Е2Е1--||--А2А1;

Е2Е1--^--h21--=E1;--F2F--^--h1--=--F1

Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности по окружностям h4 и h5, в пересечении которых находятся точки Ми N:

h42--^--h52--=--M2(N2);--M2M1--||--А2А1,

М2М1--^--h41--=--М1;--N2N1--^--h41--=--N1

Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей.

3. Особые случаи построения линии пересечения двух поверхностей вращения

При построении линии пересечения поверхностей вращения -- конуса и цилиндра -- могут быть различные случаи. На рис. 7 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае (рис. 7, а) цилиндр врезается в конус, потому что если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором (рис. 7, б) конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем (рис. 7, в) сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра, и конуса. В этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).

Это положение подтверждается теоремой Монжа: если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум кривым второго порядка. Такие поверхности имеют две точки, в которых они касаются друг друга, или говорят, что поверхности имеют двойное прикосновение. Линия пересечения двух поверхностей вращения, имеющих двойное прикосновение, распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 8). Две цилиндрические поверхности вращения одного диаметра касаются друг друга в точках А и В или имеют общие касательные, плоскости Ф1 и Ф2. Линия АВ занимает фронтально проецирующее положение, поэтому плоскости кривых пересечения будут фронтально проецирующими. Эллипсы ACBF и AEBD изображаются отрезками прямых на фронтальной плоскости проекций и окружностями, совпадающими с вырожденной проекций вертикального цилиндра, на горизонтальной плоскости проекций. Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 9).

В конструкциях технических деталей часто при пересечении поверхностей вращения используют сопрягающую поверхность, которая осуществляет плавный переход от одной поверхности к другой (рис. 10, а, б, в).

Чтобы не строить две близко расположенные линии пересечения сопрягающей поверхности с основными поверхностями, на чертеже проводят условно одну линию, выполняя ее тонкой сплошной линией.

Эту линию и называют линией перехода. Линия перехода заканчивается в точках пересечения очерковых линий основных поверхностей (рис. 10, а) и заменяется более простыми (циркульными) кривыми.

Рис. 7

Рис. 8



Рис. 9

Рис. 10

Ri

Рис. 11

На рисунке 11 изображен тор, пересеченный цилиндром. Цилиндр перпендикулярен горизонтальной плоскости проекций, это значит горизонтальные проекции точек линии пересечения совпадают с горизонтальной проекцией цилиндрической поверхности. Для определения фронтальных проекций точек используем метод секущих плоскостей. В качестве посредников целесообразно применить фронтальные секущие плоскости. Отмечаем горизонтальные проекции характерных точек: Точки пересечения очерковых об-

разующих (liи5i), определяющие границы видимости линии пересечения.

Точки 2i,3i,4i,6i,7i,8i являются промежуточными. (Выбирают произвольно) Рассмотрим построение фронтальных проекций точек 22 и 42.Для этого проведем горизонтальный след секущей плоскости Pi Эта плоскость пересечет тор по окружности радиуса R=Ri. Точки пересечения этой окружности с линиями связи, проходящими через точки 2i 4i перпендикулярно оси X, и будут фронтальными проекциями точек 22,42.Остальные точки строят аналогично. Профильные проекции точек определяют обычным проецированием.

3.1 Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей

При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения.

Плоскости общего положения применяются в ограниченных случаях. Например, их удобно использовать при построении линии пересечения конических и цилиндрических, а также пирамидальных и призматических поверхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости.

Решение задачи построения линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей рассмотрим на примере пересечения конуса вращения со сферой. В качестве поверхностей-посредников примем плоскости частного положения-- горизонтального уровня (параллельные горизонтальной плоскости проекций). В данной задаче достаточно взять только три секущие плоскости.

Рис. 12

На рис. 12 сначала отметим очевидные общие точки А и В поверхностей в пересечении их главных меридианов f и 1-S2, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф(Ф1); f2^S2--S2 = А2(В2); A2Al(B2Bl) || S2S1, A2Al(B2Bl) ^f1 =A1(B1)

Эти опорные точки являются наивысшей А и наинизшей В точками линии пересечения, а также точками видимости линии на плоскости П2.

Брать вспомогательные фронтальные плоскости, параллельные П2, для построения следующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графические простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г.

Первую такую вспомогательную плоскость Г1 берем на уровне экватора сферы И (максимального диаметра сферы). Эта плоскость пересекает конус по параллели h1. В пересечении этих параллелей находятся точки видимости линии пересечения относительно плоскости П1:

h1^h11--=--С1(D1);--С1С2||--S1S2;--С1С2--^--h2(hl2)--=--C2(D2).

Две других секущих плоскости берем выше и ниже

Такие задачи называются позиционными задачами №3.

3.2 Построение линии пересечения поверхностей способом преобразования чертежа с применением вспомогательных секущих плоскостей

Если пересекающиеся поверхности вращения не имеют общей фронтальной плоскости симметрии (рис. 13). То такие задачи рекомендуется решать методом перемены плоскостей. Самую высокую А и низкую В точки линии пересечения поверхности легко определить, построив изображения этих поверхностей на плоскости П4, параллельной осевой плоскости У1 данных поверхностей. Можно построить проекции всей линии пересечения в системе плоскостей П1_|_П4, а затем построить ее фронтальную проекцию в проекционной связи с горизонтальной проекцией, замеряя высоты точек на плоскости П4, так, как это показано на рис. 13 для точек А и В.



Рис. 13

4. Проецирование технических деталей

Рисунок 14

Линии пересечения поверхностей

При изготовлении чертежей деталей и узлов приходится часто строить линии пересечения поверхностей (линии перехода). Наиболее важную роль играет линия перехода при построении разверток элементов конструкций, выполняемых из листового металла. Для решения таких задач необходимо знать некоторые положения начертательной геометрии. Построение линий перехода упрощается, если известен вид кривой.

Так, например, если две поверхности

второго порядка имеют общую плоскость

симметрии, то проекция их линий

пересечения в направлении перпендикулярном к этой плоскости есть кривая второго порядка. Такими линиями могут быть окружность, эллипс, парабола, гипербола.

4.1 Построение проекций детали (подшипника)

На рисунке 15 показано построение проекций деталей, линий пересечения сферы с цилиндрами, сферы с плоскостями, цилиндра с конусом и цилиндра с цилиндром .

Для решения задачи необходимо найти:

линии пересечения сферы диаметра d с цилиндрами диаметра d1 (кpивaя линия 1,2,3);

линии пересечения сферы диаметра d фронтальной плоскостью (окружность RД);

линии пересечения сферы диаметра d с горизонтальной плоскостью Р (окружность d p);

4) линии пересечения цилиндра диаметра d с цилиндром диаметров d3 и d4 (кривые 5,6,7 и 8,9,10).

Горизонтальная проекция (11, 21, 3 1) кривой линии пересечения (1,2,3) сферы диаметра d с цилиндром диаметра dl совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра диаметра d1. Точка 1 принадлежит главному меридиану сферы диаметра d. Фронтальную 12 и профильную 13 проекции точки 1 находят обычным проецированием.

Фронтальную проекцию 22 точки 2 находят, проведя через 2i вспомогательную секущую плоскость е и описав на фронтальной проекции полученным радиусом R=R6, дугу окружности, которая в пересечении с вертикальной линией связи 21 22 отметит 22.

Для нахождения фронтальной проекции промежуточной точки 3 проводят между характерными точками 1 и 2 секущую плоскость в и определяют радиус R6. Дальнейшие построения аналогичны построениям для нахождения 22. Профильные проекции точек 2з и 3з этих точек находят обычным проецированием.

Линия сечения 24 сферы диаметра d с плоскостью Д проецируется на горизонтальную и профильную плоскости проекций в прямые линии 21 41 и 23 43, а на фронтальную плоскость проекций - в дугу 22 42 окружности

радиуса R6.

Горизонтальная проекция линии сечения сферы диаметра d с горизонтальной плоскостью б есть дуга окружности (41,41)радиуса R=Re Фронтальная (42, 42) и профильная (43,43) проекции этой дуги представляют собой прямые линии.

Фронтальная проекция (526272) линии пересечения цилиндра диаметра d2 с цилиндром диаметра d3 совпадает с фронтальной проекцией цилиндра диаметра d2, так как этот цилиндр является фронтально проецирующей поверхностью. Горизонтальная проекция (516171) линии пересечения этих цилиндров совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра диаметра d, так как он является горизонтально проецирующей поверхностью.

Профильная проекция этой линии пересечения находится обычным проецированием. Проекции линии пересечения (точки 8,9,10) цилиндров диаметров d2 и d4 находят аналогично.



Рис. 15

4.2 Построение проекций детали (шатуна)

На рисунке 16 показано построение проекций детали, линии пересечения цилиндров, цилиндра с плоскостью, тора с цилиндром, тора с плоскостью. Для построения проекций головки шатуна необходимо найти:

линии пересечения цилиндров диаметров d и d1 с цилиндрами диаметра d2 и линии пересечения этих же цилиндров фронтальными плоскостями уровня (отверстия для клина);

линию пересечения цилиндров с диаметрами d3 и d4; (кривая Д, Е, К);

линии пересечения цилиндров с диаметрами d4 и d5 (кривая L,M,N);

линии пересечения цилиндров диаметра d6 с тором диаметра образующей окружности d7 (кривая 7,8,9,10);

линии пересечения тора с плоскостями, касательными к цилиндру диаметра d6 (кривая 9,10);

линии пересечения тора фронтальными плоскостями (кривая 11,12,13);

линии пересечения цилиндра диаметра d8 с фронтальными плоскостями (прямая 13,14).

Поверхность, ограниченная двумя цилиндрами диаметров d, d1 и двумя фронтальными уровнями, пересекает цилиндр диаметра d по двум одинаковым замкнутым линиям, а цилиндр диаметра d1 --по двум другим одинаковым замкнутым линиям. Горизонтальные проекции этих линий пересечения совпадают с горизонтальными проекциями цилиндров диаметра d и d1, так как эти цилиндры являются горизонтально проецирующими поверхностями. Профильные проекции линий пересечения проецируются в две дуги окружности диаметра d2 и прямые линии, касательные к ним, так как эти линии пересечения лежат во фронтальных плоскостях уровня.

Фронтальные проекции точек 1212. находят обычным проецированием, а проекции точек 2222, находят на пересечении линий связи из точек 2323 с горизонтальными линиями связи точек 21 21 Для нахождения промежуточных точек 3 необходимо на горизонтальной проекции отложить отрезок V030 =330з и через 30 провести линию, параллельную горизонтальной оси симметрии тела, до пересечения с горизонтальными проекциями цилиндров диаметров d и d1. Точки пересечения определяют горизонтальные проекции точек 31 31. Фронтальные проекции этих точек 32 32 находят на пересечении соответствующих линий связи. Фронтальная проекция линии пересечения цилиндров диаметров d3 и d4 совпадают с фронтальной проекцией цилиндра диаметра d4, так как этот цилиндр является фронтально-проецирующей поверхностью, а горизонтальная проекция этой линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра диаметра d3, поскольку он является горизонтально - проецирующей поверхностью. Профильную проекцию этой линии пересечения находят обычным проецированием (точки D,E,K).Фронтальная проекция линии пересечения цилиндров диаметров d4 и d5 совпадает с фронтальной проекцией цилиндрической поверхности диаметра d4, так как эта поверхность является фронтально-проецирующей.

А

Рис. 16

Горизонтальная проекция этой линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра диаметра d5,поскольку он является горизонтально-проецирующей поверхностью. Профильную проекцию этой линии пересечения находят обычным проецированием.

Проекции характерной точки 7, принадлежащей линии пересечения цилиндра диаметра d6 тором, находят обычным проецированием.

Для построения проекций других точек, принадлежащих линии пересечения тора с цилиндрами диаметра d6, проводят целый ряд вспомогательных секущих плоскостей. Так, например, для построения проекции точки 8 проводят секущую плоскость б Найденным радиусом Ra проводят на горизонтальной проекции дугу окружности до пересечения с окружностью диаметра d6 и отмечают точку 81. Фронтальную проекцию точки 82 находят на пересечении вертикальной линии связи 8281 с линией сечения. Профильную проекцию этой точки 83 находят обычным проецированием.

Аналогично строят проекции остальных точек. При помощи горизонтальных секущих плоскостей также находят проекции точек, принадлежащих линии сечения тора с фронтальными плоскостями. Для примера на чертеже при помощи плоскости Р найдены точки 10, 13. Проекции точки 11, принадлежащей линии сечения тора с фронтальной плоскостью, находят обычным проецированием.

5. Вопросы для самопроверки

1. Какие задачи называются позиционными?

2. Какова последовательность решения задач на пересечение на комплексном чертеже?

3. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с горизонтальной плоскостью уровня?

4. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

5. По какой линии пересекаются две фронтально проецирующие плоскости?

6. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей общего положения?

7. Как строится линия пересечения поверхностей плоскостью?

8. Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового цилиндра, конуса, сферы?

9. Что такое линия среза?

10. Что представляет собой вырез?

11. Чем можно задать необходимую форму выреза?

12. Как строят линию пересечения двух поверхностей?

13. Какие вспомогательные поверхности удобно использовать при построении точек линии пересечения двух поверхностей?

14. В чем сущность способа вспомогательных секущих плоскостей в построении линии пересечения двух поверхностей?

15. По каким линиям пересекаются соосные поверхности вращения?

16. Когда можно использовать вспомогательные сферы при построении линии пересечения двух поверхностей?

17. По каким линиям пересекаются два прямых круговых цилиндра одного диаметра, если их оси пересекаются? Почему?

18. Какую линию называют линией перехода и как она вычеркивается при изображении пересекающихся поверхностей?

Список литературы

1. Боголюбов С.К., Воинов А.В. Курс технического черчения. - М; Машиностроение, 1999.

2. Буланже Г.В., Инженерная графика. Проецирование геометрических тел. - М.: Высш. шк., 2008.

3. Годик Е.И., Лысянский В.М. Техническое черчение. - Киев; Высшая школа, 1998.

4. Королев Ю.И., Начертательная геометрия: Учебник для вузов. - Спб.: Питер, 2007.

5. Локтев О.В., Краткий курс начертательной геометрии. - М.: Высшая школа, 2006.

6. Соломонов К.Н., Бусыгина Е.Б., Чиченева О.Н. Начертательная геометрия: Учебник. - М.: МИСИС: ИНФРА-М, 2004.

7. Фролов А.С., Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 2002.

8. Чекмарев А.А., Начертательная геометрия и черчение. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2002.