Криволінійні інтеграли першого роду

22

Вступ

Знаходження похідної f'(x) або диференціала df=f'(x) dx функції f(x) є основним завданням диференціального вирахування. В інтегральному вирахуванні вирішується зворотне завдання: по заданій функції f(x) потрібно знайти таку функцію F(x), що F'(х)=f(x) або F(x)=F'(x) dx=f(x) dx. Таким чином, основним завданням інтегрального вирахування є відновлення функції F(x) по відомій похідній (диференціалу) цієї функції. Інтегральне вирахування має численні додатки в геометрії, механіку, фізику й техніку. Воно дає загальний метод знаходження площ, обсягів, центрів ваги й т.д.

Інтеграл - одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з однієї сторони відшукувати функції по їхніх похідних (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, по швидкості цієї точки), а з іншого боку - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу й т. п. [2]

Символ інтегралу уведений Лейбніцем. Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі. Імовірно, воно походить від латинського іntegero, що переводиться як приводити в колишній стан, відновлювати. Можливе походження слова інтеграл інше: слово іnteger означає цілий.

Виникнення завдань інтегрального вирахування пов'язане зі знаходженням площ й обсягів. Ряд завдань такого роду був вирішений математиками древньої Греції. Антична математика внесла ідеї інтегрального вирахування в значно більшому ступені, чим диференціального вирахування. Більшу роль при рішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Книдським і широко застосовувався Архімедом.

Однак Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму інтегрального вирахування. Учені Середнього й Близького Сходу в ІX-XV ст. вивчали й переводили праці Архімеда на загальнодоступну у їхньому середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному вирахуванні вони не одержали.

Діяльність європейських учених у цей час була ще більш скромною. Лише в XVІ й XVІІ століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання на обчислення площ фігур), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) і визначення центрів ваги.

Праці Архімеда, уперше видані в 1544 р. (на латинській і грецькій мовах), стали привертати широку увагу, і їхнє вивчення з'явилося одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального вирахування. Архімед передбачив багато ідей інтегрального вирахування. Але треба було більше півтори тисяч років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження й були доведені до рівня вирахування.

Математики XVІІ сторіччя, що одержали багато нових результатів, училися на працях Архімеда. Активно застосовувався й інший метод - метод неподільних, котрий також зародився в Древній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f(x), яким проте приписували площа, рівну нескінченно малій величині f(x) dx. Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком позитивну суму.

На такий гаданій тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571-1630) у своїх творах «Нова астрономія» (1609) і «Стереометрія винних бочок» (1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури, обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).

В XVІІ столітті були зроблені багато відкриттів, що ставляться до інтегрального вирахування. Так, П. Ферма вже в 1629 році вирішив завдання квадратури будь-якій кривій, і на цій основі вирішив ряд завдань на знаходження центрів ваги. І. Кеплер при висновку своїх знаменитих законів руху планет, фактично опирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтегрування й диференціювання. Велике значення мали роботи з подання функції у вигляді статечних рядів.

Однак при всій значимості результатів, отриманих з XVІІ сторіччя, вирахування ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання й інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніць, що відкрили незалежно друг від друга факт, відомий вам за назвою формули Ньютона - Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Стояло ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового вирахування й т. п. Але головне вже було зроблено: диференціальне й інтегральне вирахування створене.

Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (у першу чергу варто назвати імена Л. Ейлера, що завершило систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, і І. Бернуллі). У розвитку інтегрального вирахування взяли участь російські математики М.В. Остроградський (1801-1862), В.Я. Буняковський (1804-1889), П.Л. Чебишев (1821-1894). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, що довів, що існують інтеграли, не виразимі через елементарні функції.

Строгий виклад теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті, Рішення цього завдання пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Римана (1826-1866), французького математика Г. Дарбу (1842-1917). [5]

Відповіді на багато питань, пов'язані з існуванням площ й обсягів фігур, були отримані зі створенням К. Жорданом (1826-1922) теорії міри.

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку 20 сторіччя були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875-1941) і А. Данжуа (1884-1974) радянським математиком А.Я. Хичиним (1894-1959).

Об'єкт роботи - інтегральне вирахування.

Предмет роботи - криволінійний інтеграл І роду.

Задачі роботи: розглянути поняття інтегрування, поняття криволінійного інтегралу І роду та правила його знаходження.

1. Теоретичні відомості про інтеграл

1.1 Загальні відомості про інтегрування

Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса, тощо.

Перед розглядом криволінійного інтеграла потрібно розглянути основні відомості про визначений і невизначений інтеграл.

Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x) dx.

Із означення виходить, що первісна F(x) - диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається. [1]

Приклад: Первісні для функції мають вигляд:

причому, F₁(x), F₂(x) - неперервні R, a F₃(x) у точці х = 0 має розрив. У цьому прикладі первісні F_i(x) і = 1,2,3, знайдені методом добору із наступною перевіркою, використовуючи таблицю похідних функцій.

Теорема (про множину первісних). Якщо F(x) - первісна для функції f(х) на проміжку I, то

1) F(x) + C - також первісна для f(x) на проміжку I;

2) будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може бути представлена у вигляді Ф(х) = F(x) + С на проміжку I. (Тут С = const називається довільною сталою).

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку I відрізняються між собою на сталу величину (рис. 7.1).

Означення: Операція знаходження первісних для функції f(x) називається інтегруванням f(x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція немає первісних на цьому проміжку.

Для розв'язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних) F(x) + С - загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення: Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(х) на проміжку I, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку I і позначається

де - знак не визначеного інтеграла;

f(x) - підінтегральна функція;

f(x) dx - підінтегральний вираз;

dx - диференціал змінної інтегрування.

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає у тому, що функція у= F(X) + С є рівняння однопараметричної сім'ї кривих, які одержуються одна з другої шляхом паралельного переносу вздовж осі ординат.

Теорема (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f(x) на певному проміжку достатньо, рис. 7.2 щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку. [3]

Зауваження. Виявляється є такі невизначені інтеграли від елементарних функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають «не інтегрованими».

Визначений інтеграл - в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування - це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла - це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтергал Стільтьєса, тощо.

Інтеграл Рімана - найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної f(x), визначеній на відрізку [a, b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки [x_i, x_{i + 1}] інтегральна сума визнається як

S_R = ? f(?_i) (x_{i + 1} ? x_i), i де - будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відрізку [x_i, x_{i + 1}] до нуля, то функція f(x) називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку [a, b] і позначається .

Інтеграл Рімана можна також визначити як границю сум Дарбу.

Інші визначення інтегралу розширюють клас інтегрованих функцій, включаючи в них функції, для яких границі інтегральних сум не існує.

Головна теорема інтегрального числення.

Якщо у функції f(x) існує первісна F(x), то

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

Інтеграл Рімана - одне з найважливіших понять математичного аналізу. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є одною з перших формалізації поняття інтегралу. Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене Ньютоном та Лейбніцем, як площу під графіком (фігуру обмежену графіком функції та віссю абсцис). Для цього він розглянув фігури, які складаються з декількох вертикальних прямокутників отримані при розбитті відрізка (див. малюнок). Якщо при «подрібненні» розбиття існує границя, до якої збігаються площі таких фігур (інтегральні суми), то цю границю називають інтегралом Рімана функції на відрізку. Властивості

Якщо функція F є первісною функції f, то інтеграл функції f на відрізку [a, b] можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца: він дорівнює F(b) ? F(a).

Неперервна на відрізку функція інтегрована за Ріманом. Розривні функції можуть бути інтегрованими, але можуть і не бути; прикладом функції, не інтегрованої за Ріманом, є всюди розривна функція Діріхле.

Обмеження: Якщо функція f інтегрована на відрізку [a, b], то вона інтегрована й на меншому відрізку [a₁, b₁], де .

Якщо функція інтегрована на відрізку [a, b] та на відрізку [b, c], то вона інтегрована і на відрізку [a, c], і .

Лінійність: Якщо функції f і g інтегровані, і , то функція ?f + ?g також інтегрована, і

Границя: Якщо інтегровані функції f_i рівномірно збігаються на відрізку [a, b] до функції f, то f інтегрована, і

Інтеграл Лебега - це узагальнення інтеграла Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровані за Ріманом, є також інтегровані по Лебегу, причому в такому випадку обидва інтеграли співпадають. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегрованих за Лебегом, але не інтегрованих по Ріману. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах. [5]

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від більш простих функцій до складних. Будемо вважати, що дано простір з мірою , і на ньому визначена вимірна функція .

Означення 1. Нехай - індикатор деякої вимірної множини , де . Тоді інтеграл Лебега функції за означенням:

Означення 2. Нехай - проста функція , де , а - скінченне розбиття на вимірні множини. Тоді

.

Означення 3. Нехай тепер - невід'ємна функція, тобто . Розглянемо всі прості функції , такі, що . Позначимо це сімейство . Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від f задається формулою:

Нарешті, якщо функція f довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід'ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

де

.

Означення 4. Нехай - довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задається формулою:

.

Означення 5. Нехай нарешті довільна вимірна множина. Тоді за означенням

, де - індикатор-функція множини A.

Інтеграл Лебега лінійний, тобто

, де - довільні константи;

Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо майже скрізь, і інтегрована, то інтегрована і , і більш того

;

Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо майже скрізь, то

Невласний інтеграл є розширенням поняття визначеного інтегралу; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». В математичному аналізі невласним інтервалом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде у нескінченість.

Невласним інтегралом «першого роду» називається границя , якщо вона існує.

Невласний інтеграл «другого роду» дозволяє в деяких випадках визначити «інтеграл від функції, необмеженої на інтервалі». А саме, нехай фугкція f(x) визначена на (a, b), і для кожного малого ? > 0 існують інтеграли . Тоді якщо існує дійсна границя , то вона зветься невласним інтегралом «другого роду».

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x? ? y?. Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох зміних буде інтегруватися. [2]

Кратний інтеграл або ж багатократний інтеграл степеня n, це визначений інтеграл по n змінних з функції n змінних:

.

Кратний інтеграл - ц саме визначений інтеграл, при його обчисленні завжди виходить число

Окремі випадки багатократного інтеграла це:

подвійний інтеграл:

потрійний інтеграл:

Для геометричної інтерпретації розглянемо випадок n = 2. Нехай функція приймає в області тільки позитивні значення. Тоді подвійний інтеграл чисельно дорівнює об'єму вертикального циліндрового тіла, побудованого на остові і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні .

Головним методом для розрахунку кратного інтеграла є зведення кратного інтеграла до повторних

Хай - вимірна множина, - також вимірна множина, визначена і інтегрована на . Тоді

Будь-який d-мірний інтеграл можна звести до d одномірних.

1.2 Криволінійні інтеграли І роду. Основні теоретичні відомості. Фізичний зміст

Неперервна крива x = x (t), y = y (t) називається гладкою на відрізку

? ? t ? ?, якщо функції x (t), y (t) мають на цьому відрізку неперервні похідні x?(t), y?(t), які одночасно не дорівнюють нулю. Якщо неперервна крива складається із скінченого числа гладких кривих, її називають кусково-гладкою.

Інтегральною сумою для функції f (x, y, z) по кривій першого роду АВ називається сума S_T(f, M) = a f(M_k) D L_k Границі цих інтегральних сум

lim S_T(f, M) = lima f(M_k) D L_k d_T® 0

Називається криволінійним інтегралом першого роду від функції f (x, y, z) по кривій АВ і позначається o _ABf (x, y, z) dl

Оскільки в інтегральних сумах присутня довжини дуги то криволінійний інтеграл першого роду називається інтегралом по довжині дуги.

Нехай крива C описується векторною функцією , де перемінна s представляє собою довжину дуги кривої.

Якщо на кривій C визначена скалярна функція F, то інтеграл називається криволінійним інтегралом І роду от скалярної функції F вздовж кривої C и визначається як

Криволінійний інтеграл є, якщо функція F неперервна на кривій C.

Криволінійний інтеграл I роду має наступні якості [4]:

· Інтеграл не залежить от орієнтації кривої;

Нехай крива C₁ починається в точці A и закінчується в точці B, а крива C₂ починається в точці B и закінчується в точці D. Тоді їх об'єднання буде називатися крива C₁ ? C₂, яка проходить от A к B вздовж кривої C₁ і потім від B до D вздовж кривої C₂. Для криволінійних інтегралів І роду справедливо відношення

Якщо гладка крива C задана параметричним відношенням і скалярна функція F неперервна на кривій C, то



Якщо C є гладкою кривою в плоскості Oxy, заданою рівнянням , то

Якщо гладка крива C в плоскості Oxy визначення рівнянням , то

В полярних координатах інтеграл виражається формулою

де крива C задана в полярних координатах функцією .

Теорема:

про обчислення криволінійного інтегралу першого роду: якщо функція f (x, y, z) неперервна на кривій АВ класу С¹, то для криволінійного інтегралу першого роду має місце формула ? _ABf (x, y, z) dl = ? ^b_af (x(t), y(t), z(t))? (x? (t)²+y? (t)²+z? (t)²dt де а - відповідає початку кривої, а b - відповідає кінцю кривої b = t_b

Доведення: для скорочення розглянемо випадок функції плоскої кривої ? _ABf (x, y) dl = ? ^b_a f (x(t), y(t))? f (x? (t)²+y? (t)²dt

2. Методи знаходження криволінійного інтегралу і роду

Приклад 1. Найти інтеграл вздовж відрізка прямої y = x от начала координат до точки (2,2).

Приклад 2. Вичислить інтеграл , де C ? дуга окружності .

Запишемо диференціал дуги кривої:

Тоді, використовуючи формулу



в плоскості Oxy, маємо

Приклад 3. Вичислить інтеграл , де C ? крива, задана рівнянням .

Використовуючи формулу

Тут

,

Приклад 4. Вичислить інтеграл , де C є відрізком прямої от точки O (0,0) до A (1,2).

Найдемо спочатку рівняння відрізка OA.



Використовуючи формулу

находимо криволінійний інтеграл.

Приклад 5. Вичислить інтеграл , де крива C задана параметрично в вигляді .

Використовуючи формулу

можна записати

Приклад 6. Вичислить криволінійний інтеграл , де крива C ? відрізок прямої от точки (0,?2) до (4,0) (рисунок 5).

Найдемо рівняння відрізка AB.

По формулі

находимо даний інтеграл



Приклад 7. Найти криволінійний інтеграл , де крива C є дуго. еліпса , яка лежить в першому квадранті.

Запишемо рівняння еліпса в параметричній формі.

Діапазон змін t для першого квадранта дорівнює , по формулі

заданий інтеграл преобразується наступним чином

Робимо заміну. Положимо .

Тоді



Уточним границі інтегрування. Якщо t = 0, то u = 0, а при получимо u = a. В результаті інтеграл дорівнює

Для вирахування отриманого інтеграла можна зробити ще одну заміну.

Якщо u = 0, то , u = a, то , тоді

Висновок

Важко назвати наукову область, у якій би не застосовувалися методи інтегрального вирахування, загалом, і властивості певного інтеграла, зокрема. Так інтегральне вирахування може використовуватися в області фізики, геометрії, механіки, біології й економіки. Звичайно, це ще далеко не вичерпний список наук, які використають інтегральний метод для пошуку встановлюваної величини при рішенні конкретного завдання, і встановленні теоретичних фактів.

Також певний інтеграл використається для вивчення властиво самої математики. Наприклад, при рішенні диференціальних рівнянь, які у свою чергу вносять свій незамінний внесок у рішення завдань практичного змісту. Можна сказати, що певний інтеграл - це деякий фундамент для вивчення математики. Звідси й важливість знання методів їхнього рішення.

Із усього вище сказаного зрозуміло, чому знайомство з елементарним інтегруванням відбувається ще в рамках середньої загальноосвітньої школи, де учні вивчають не тільки поняття інтеграла і його властивості, але й деякі його додатки повинно продовжуватися в подальшому навчанні, тому що процес інтегрування зустрічається в багатьох науках.

Список використаної літератури

1. Баврин И.И. Высшая математика - М.: Просвещение, 1993. - 319.

2. Бермантт А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вузов - М.: Наука, 1971. - 736 с.

3. Зорич В.А. Математический анализ, Т. 1,2. - М.: Наука, 1981.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов. - Том 2 - М.: Наука, 1985. - 560 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - M.: Айрис - пресс, 2003. - 288 c.

6. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. - М., 1967.

7. Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003 - 684 c.