Эволюта и эвольвента

Математики занимались изучением свойств кривых с глубокой древности, и названия многих необычных кривых связаны с именами тех, кто впервые их исследовал. Например, спираль Архимеда, локон Аньези, лемниската Бернулли.

Обычно кривую представляют лишь как плавно изгибающуюся линию, но математическое понятие кривой охватывает и прямую и фигуры, составленные из отрезков прямых.

В данной работе будут подробно рассмотрены такие виды кривых, как эволюта и эвольвента.

Поэтому объектом исследования в данной работе являются замечательные кривые: эволюта и эвольвента. Предметом исследования является аналитическое и практическое построение эволюты и эвольвенты некоторых кривых.

В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Зацепление это было предложено в 1754 году великим математиком и механиком Леонардом Эйлером.

Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O₁ и O₂ (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К. Тогда в точке К нормали КМ₁ и КМ₂ к эвольвентам Э₁ и Э₂ будут лежать на отрезке М₁М₂ общей касательной к окружностям радиусов R₁ и R₂ соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М₁М₂ (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М₁М₂.

Если угловая скорость ₂ ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость ₂R₂ движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость ₁ =₂R₂/R₁ ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацепление обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения ₁/₂ = R₂/R₁ зубчатой передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O₁O₂, вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти в зацепление.

2. Теоретическая часть

2.1 Вспомогательные понятия

Введем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M (x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f (x) и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках M и M₁ с абсциссами x и x+x и обозначим через и + углы наклона этих касательных (рис.4).

Длину дуги M₀M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M₀, обозначим через s;

Рис.4

тогда s = M₀M_{1 -} M₀M, аs = MM_1. Как видно (рис.4), угол смежности, соответствующий дуге MM₁ равен абсолютной величине разности углов и +, то есть равен .

Согласно определению средней кривизны кривой на участке MM₁ имеем

.

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги MM₁ стремится к нулю:

Так как величины и s зависят от x, то, следовательно, можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически:

.

Чтобы выразить производную через функцию y=f (x), заметим, что и, следовательно .

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем .

И так как , то , и окончательно, так как , получаем

.

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x= (t), y= (t). Тогда

Подставляя полученные выражения в формулу кривизны кривой, получаем

.

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида = f (). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = cos , y = sin .

Если в эти формулы подставить вместо его выражение через , то есть f (), то получим

x = f () cos , y = f () sin

Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является .

Тогда,

,

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

2.2.1 Эволюта и ее свойства

Если в точке M₁ (x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C₁ (, ).

Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.

По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 7. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой. Если данная кривая определяется уравнением y=f (x), то уравнения

можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты и . Если же кривая задана параметрически x = (t), y = (t), то уравнения

Представляют собой параметрические уравнения эволюты данной кривой, так как выражают координаты центра кривизны как функции того же параметра t, к которому отнесена данная функция. При изменении t точка M (x,y) описывает исходную кривую, а точка C - ее эволюту, причем при каждом данном значении t точка С является центром кривизны исходной кривой в точке М.

При практическом отыскании эволюты обычно пользуются данными формулами или их частным случаем, когда кривая задана уравнением y=f (x). Но при исследовании общих свойств эволюты гораздо более уместно пользоваться векторной записью. А именно, полагая, что исходная кривая задана уравнением

Где - радиус-вектор переменной М на кривой. Для вектора , соединяющую точку М с ее центром кривизны С:

Следовательно, радиус-вектор центра кривизны С, который будем обозначать через p можно выразить так:

Здесь и , чтобы подчеркнуть функциональную зависимость этих величин от параметра s, но в дальнейшем будем писать короче:

Это уравнение можно рассматривать при переменном параметре s как параметрическое представление эволюты, радиус-вектор которой p выражен в функции параметра s.

Вычислим дифференциал радиус-вектора эволюты p. Получаем:

Но, с одной стороны,

С другой стороны, пользуясь формулой запишем

,

Так как RK=1.

Таким образом, в выражении для первый и третий члены взаимно уничтожаются, и мы получаем

Из этой основной формулы выведем важные геометрические свойства эволюты.

Нам известно, что при каждом значении s радиус-вектор определяет некоторую точку М на исходной кривой, а - соответствующий центр кривизны (точку эволюты) С, лежащий на нормали к исходной кривой. Дифференциал радиус-вектора эволюты направлен (как и для любой кривой) по касательной к эволюте в точке С. Но, с другой стороны, полученная формула показывает, что только скалярным множителем отличается от вектора n, т.е. направлен параллельно нормали MC. Следовательно, касательная к эволюте в точке С направлена параллельно нормали MC и тем самым с ней совпадает.

Итак, нормали исходной кривой совпадают с касательными к эволюте в соответствующих точках.

Данное свойство также можно доказать для кривой, заданной уравнением y=f (x).

Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями

,

равен .

В силу данных уравнений

,

Получаем соотношение

.

Но y^| есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Чтобы вывести другое замечательное свойство эволюты, ограничимся таким участком исходной кривой, на котором радиус кривизны R меняется монотонно. Будем пробегать этот участок на исходной кривой, а также соответствующий ему участок на эволюте в сторону возрастания R (на рис.7 рассмотрим участок от М до М₁ и от С до С₁)

Возьмем обе части равенства по модулю; учитывая, что n - единичный вектор, получим

Учитывая, что модуль дифференциала радиус-вектора и модуль дифференциала дуги рис.7

вдоль любой кривой совпадают, и обозначив через дифференциал дуги вдоль эволюты, предыдущее равенство можно переписать в виде:

Условимся на соответствующем участке эволюты (на чертеже от С до С₁) отсчитывать длину дуги в сторону возрастания R. Тогда R и растут одновременно, иимеют одинаковые знаки, таким образом:

Интегрирую почленно, получим

Это означает, что приращения всегда равны соответствующим приращениям R. Пусть на рис.7 мы перешли из точки М в точку М₁ и на эволюте - соответственно из С в С₁. Тогда приращение, полученное , равно длине дуги эволюты , так что можно записать , где R₁ - радиус кривизны в точке М₁, а R - в точке М.

Если переписать равенство в виде , то это означает равенство длин прямолинейного отрезка С₁М₁ и комбинированной линии С₁СМ_. Таким образом, радиус кривизны получился как бы распрямлением линии С₁СМ путем "сматывания" ее криволинейной части с эволюты.

Таким образом, при монотонном изменении R на данном участке его приращение равно пути, пройденному центром кривизны по эволюте.

Докажем это свойство через формулы

,

Так как , где - дифференциал длины дуги эволюты; отсюда

Подставляя сюда выражения

,

получим

.

Так как

, то .

Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на

,

получим

.

Возведём в квадрат полученное равенство:

,

и, сравнивая полученное равенство и

находим

, откуда

По условию не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Пусть для определённости , а. (рис.8) Следовательно,

Пусть точка M₁ имеет абсциссу x₁, а M₂ - абсциссу x₂.

Применим теорему Коши к функциям и рис.8 на отрезке [x_1, x₂]:

Где - число, заключённое между x₁ и x₂.

Введём обозначения (рис.8):

Тогда . Но это значит, что .

Теперь выясним, как ведет себя эволюта в точках, где радиус кривизны исходной кривой переходит от возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию, т.е. достигает максимума или минимума. Этих точках производная R (s) необходимо обращается в нуль, следовательно, также равно нулю и из выражения следует:

, а значит

На рис.7в точке М₂ кривая достигает максимального искривления, R достигает, следовательно, минимума М₂С₂, и центр кривизны С, описывая эволюту, в положении С₂ наиболее приближается к исходной кривой. Эволюта образует заострение, обращенное к исходной кривой. Напротив, в точке М₃, где R достигает максимума, заострение эволюты обращено в обратную сторону от исходной кривой.

Выясним поведение эволюты вблизи точки распрямления (k=0) на исходной кривой. Прежде всего самой этой точке не отвечает никакая точка на эволюте, так как R обращается в бесконечность. Когда же мы приближаемся по исходной кривой к точке распрямления с той или другой стороны, то бесконечно возрастает, и центр кривизны С стремиться по эволюте в бесконечность. Итак, по обе стороны точки распрямления М₀ эволюта образует уходящие в бесконечность ветви. Нормаль в самой точке М₀ служит рис.9

Асимптотой для каждой из этих ветвей (рис.9) В случае, когда точка распрямления есть точка перегиба, ветви эволюты уходят в бесконечность в разные стороны своей общей асимптоты (рис.9). Но возможны и другие случаи обращения кривизны в нуль, тогда обе ветви удаляются в одну и ту же сторону.

2.2.2 Эвольвента и ее свойства

Пусть дана кривая, определяемая уравнением

Где р - радиус-вектор, а - длина дуги вдоль этой кривой отсчитываемая от какой-нибудь точки С₀ (=0). На касательной в каждой точке выбираем положительное направление в сторону единичного касательного вектора .

Откладывая по касательным отрезки, будем брать их со знаками "+" или "-" в зависимости от того, в положительном или отрицательном направлении от точки касания они отложены.

Отложим прежде всего в начальной точке С₀ произвольный отрезок (рис.10). рис.10 Переходя в любую точку С на кривой, строим в ней касательную, а на этой касательной - точку М, откладывая отрезок

Отрезок СМ укорочен по сравнению с С₀М₀ на путь С₀С, пройденный по кривой от начальной точки С₀ до точки С, т.е. на значение в точке С. Итак, .

Таким образом, мы как бы навертываем гибкий, но нерастяжимый отрезок С₀М₀ на кривую так, что навернутая часть С₀С и остающаяся прямолинейной часть СМ в сумме равны по длине С₀М₀.

Кривая, описываемая точкой М, когда точка С пробегает данную кривую, называется эвольвентой данной кривой.

Нетрудно записать параметрическое представление эвольвенты. Радиус-вектор точки М, который мы будем обозначать через r, выражается так:

Что же касается вектора , то он равен единичному касательному вектору t, умноженному на длину отрезка СМ с соответствующим знаком, т.е. на :

Отсюда

Таково уравнение эвольвенты, отнесенное к параметру , т.е. к длине дуги на исходной кривой. Так как начальный отрезок выбирается произвольно и точку М₀ на начальной касательной можно взять где угодно, то эвольвенты образуют целое семейство с параметром . Наглядно это можно представить так, что гибкая, но нерастяжимая нить С₀М₀ в натянутом состоянии постепенно навертывается на исходную кривую. Тогда каждая точка, отмеченная на это нити, описывает одну из эвольвент исходной кривой.

Если кривая задана параметрически: x = (t), y = (t), то уравнение эвольвенты будет иметь следующий вид:

Докажем основное свойство эвольвенты, именно, что касательная к исходной кривой в каждой точке С является нормалью к эвольвенте в соответствующей точке М. Действительно, дифференцируя , получим

Так как вектор t есть сокращенное обозначение производной , то первые два слагаемых в правой части взаимно уничтожатся. Что же касается , то, согласно первой формуле Френе,

Следовательно,

Здесь к - кривизна, n - единичная нормаль для исходной кривой. Как и для всякой кривой, , дифференциал радиус-вектора эвольвенты, направлен по касательной к эвольвенте и в то же время, отличаясь от n только скалярным множителем, параллелен n. Следовательно, касательная к эвольвенте в точке М параллельна нормали в соответствующей точке С исходной кривой.

Отсюда следует, что нормаль к эвольвенте в точке М параллельна касательной к исходной кривой в точке С, а так как обе прямые проходят через точку М, то они совпадают между собой. Итак, СМ служит не только касательной С, но и нормалью в М.

Таким образом, каждая эвольвента исходной кривой пересекает под прямым углом все ее касательные (эвольвенты являются ортогональными траекториями семейства касательных). При этом отрезок касательной между двумя различными эвольвентами сохраняет постоянную длину (рис.10).

Действительно, если для данной эвольвенты начальный отрезок на касательной , а для другой эвольвенты он будет , то на касательной в произвольной точке нам придется отложить соответственно отрезки и . Тогда отрезок касательной между двумя эвольвентами равен

Т. е. сохраняет постоянную длину от точки к точке.

Выясним, что происходит с эвольвентой в точке , т.е. в точке С₁, где отрезок СМ обращается в нуль и точка эвольвенты попадает на исходную кривую. В этой точке, рис.11

как видно из ,

или

Это видно, если учесть, что отрезок СМ, проходя через нуль, меняет знак на обратный и начинает расти, откладываясь в обратном направлении (рис.11).

2.2.3Связь эволюты и эвольвенты

Установим связь между понятиями эволюты и эвольвенты. Если построить для данной кривой эвольвенту, то нормали к эвольвенте, как было показано ранее, являются касательными к исходной кривой. Исходная кривая будет, таким образом, огибающей нормалей, т.е. эволютой по отношению к своей эвольвенте.

Обратно, если для данной кривой построена эволюта, то, разбивая данную кривую на участки монотонного изменения R и применяя свойство эволюты , можно записать

Считая точку С₁ фиксированной на эволюте, а С - переменной, видно, что исходная кривая, описываемая точкой М, является эвольвентой для своей эволюты (согласно определению эвольвенты).

Укажем без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L^{! (}рис.12).

Рис.12

2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L^! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L^!; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L^!. Отсюда следует, что данная эволюта L^! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.

3. Эволюты и эвольвенты некоторых кривых

3.1 Эволюты некоторых кривых