Обчислення характеристик немарківських систем масового обслуговування чисельними методами

97

ДИПЛОМНА РОБОТА

«Обчислення характеристик немарківських систем масового обслуговування чисельними методами»

Annotation

The graduation research of the fifth-year students Novikova Anna (Dnipropetrovs'k National University, Mechanics and Mathematics Faculty, Department of Probability Theory and Statistics) deals with calculation of descriptions of the queuing systems which are not markoven, by numeral methods

Реферат

Дипломна робота (проект): 90с., рис.3, джерел 14, додатків 2.

Об'єкт дослідження: немарківські системи масового обслуговування

Мета роботи: розробити методику наближеного обчислення характеристик немарківських СМО, заданих в термінах різних перетворень, чисельними методами.

Одержані висновки та їх новизна: Для СМО M|G|1 з необмеженою чергою знайдені аналітичні вирази для обчислення ймовірностей станів СМО в стаціонарному режимі у вигляді інтегралів від швидко осцилюючих функцій (при великому к, к - кількість заявок в системі, для підрахунку цих інтегралів використовують метод Філона). Для характеристик СМО, знайдених у термінах перетворення Лапласа, підібраний алгоритм його обернення і на його основі створена програмна реалізація, яка дозволяє відновлювати оригінал.

Результати досліджень можуть бути застосовані при дослідженні реальних СМО, які адекватно описуються немарківськими моделями.

Перелік ключових слів: МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ, СИСТЕМА МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ, ТВІРНА ФУНКЦІЯ, ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА, МАРКІВСЬКІ ПРОЦЕСИ, НЕМАРКІВСЬКІ ПРОЦЕСИ, ВКЛАДЕНІ ЛАНЦЮГИ МАРКОВА, ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ.

Зміст

Вступ

Розділ 1 Математичні моделі СМО

1.1 Загальні положення та визначення

1.1.1 Поняття системи та моделі

1.1.2 Вимоги до моделей

1.1.3 Принципи побудови моделей

1.1.4 Технології моделювання

1.2 Методи дослідження немарківських СМО

1.2.1 Метод вкладених ланцюгів Маркова

1.2.2 Метод додаткових змінних

1.2.3 Метод Монте-Карло

1.2.4 Дослідження СМО M|G|1 з необмеженою чергою

1.2.4.1 Дослідження інтервалу зайнятості

1.2.4.2 Дослідження характеристик черги в нестаціонарному випадку

1.2.4.3 Дослідження часу очікування початку обслуговування

1.2.4.4 Елементи теорії відновлення

Розділ 2 Наближене обчислення характеристик СМО M|G|1 з необмеженою чергою

2.1 Обчислення ймовірностей станів системи. Метод Філона. Приклад

2.2 Метод обернення перетворення Лапласа за допомогою ряду Фур'є за синусами. Приклад

2.3 Алгоритм обчислення характеристик M|G|1 з необмеженою чергою методом статистичного моделювання

Розділ 3 Описання програмного забезпечення

Висновки

Список використаної літератури

Додаток А

Додаток В

Вступ

Для систем масового обслуговування, які описують функціонування різноманітних реальних об'єктів, характерно те, що вони працюють під впливом випадкових факторів. Моменти надходження заявок є випадковими величинами, тривалість обслуговування - також випадкові величини. Тому процес функціонування системи масового обслуговування носить випадковий характер. У зв'язку з цією обставиною методи дослідження СМО зводяться до побудови деякого випадкового процесу, який описує еволюцію системи, і дослідженню цього процесу. У зв'язку з цим, характеристики, які досліджуються, також носять імовірнісний характер.

Якщо в СМО вхідний потік заявок описується марківським процесом, а обслуговування заявок довільне, наприклад M|G|1, де (за кодуванням, яке запропонував Кендалл) M (markoven) - інтервали між надходженнями заявок розподілені за показниковим законом; G - означає, що час обслуговування заявок розподілений за одним і тим самим законом, може бути довільним, тривалості обслуговування незалежні випадкові величини; 1- модель має тільки один пристрій для обслуговування, то для них вдається отримати характеристики у вигляді твірних функцій. Математичний апарат при цьому дуже ускладнюється.

Для СМО загального виду, які описуються немарківськими процесами, як правило характеристики роботи системи аналітично представити неможливо.

Вихід із такого положення можна знайти, якщо досліджувати більш загальні випадкові процеси або розглядати процес обслуговування в спеціально підібрані моменти часу, в яких значення процесу, який описує стан СМО, утворює ланцюг Маркова (метод вкладених ланцюгів Маркова). Ці методи використовуються в подальшому для дослідження немарківських моделей СМО. В цій роботі досліджується одноканальна система з необмеженою кількістю місць для очікування, на вхід до якої надходить найпростіший потік однорідних заявок, а тривалість обслуговування розподілена за довільним законом.

Розділ 1 Математичні моделі СМО

1.1 Загальні положення та визначення

Моделювання - це спосіб дослідження будь яких явищ, процесів або об'єктів шляхом побудови та аналізу їх моделей. У широкому розумінні моделювання є однією з основних категорій теорії пізнання і чи не єдиним науково обґрунтованим методом наукових досліджень систем і процесів будь-якої природи в багатьох сферах людської діяльності.

1.1.1 Поняття системи та моделі

Основними поняттями в теорії і практиці моделювання об'єктів, процесів і явищ є «система» та «модель».

У перекладі з грецької «sistema» - ціле, яке складається із частин; об'єднання.

Системою може бути і один комп'ютер, і автоматизована лінія або технологічний процес, в яких комп'ютер є лише одним із компонентів, і все підприємство або кілька різних підприємств, які функціонують як єдина система в одній галузі промисловості.

Для всіх визначень системи загальним є те, що система - це цілісний комплекс, взаємопов'язаних елементів, який має певну структуру і взаємодіє із зовнішнім середовищем. Структура системи - це організована сукупність зв'язків між її елементами. Під таким зв'язком розуміють можливість впливу одного елементу системи на інший. Середовище - це сукупність елементів зовнішнього світу, які не входять до складу системи, але впливають на її поведінку або властивості. Система є відкритою, якщо є середовище, яке впливає на систему, і закритою, якщо воно відсутнє, або з огляду на мету досліджень не враховується.

У філософській літературі терміном «модель» позначають «деяку реально існуючу систему або ту, що представляється в думках, яка, заміщаючи і відображаючи в пізнавальних процесах іншу систему-оригінал, знаходиться з нею у відношенні схожості (подібності), завдяки чому вивчення моделі дає змогу отримати нову інформацію про оригінал». У цьому визначенні закладено генетичний зв'язок моделювання з теорією подібності, принципом аналогії. Таким чином моделлю можна називати систему, яку використовують для дослідження.

Термін «модель» походить від латинського слова «modulus», тобто зразок, пристрій, еталон. У широкому значенні - це будь-який аналог (уявний, умовний: зображення, опис, схема, креслення тощо) певного об'єкта, процесу, явища («оригіналу» даної моделі), що використовується як його «замінник». Словник Вебстера визначає модель як «спрощений опис складного явища або процесу».

У сучасній теорії використовуються моделі двох основних типів.

Перший тип моделей - моделі даних, які не потребують, не використовують і не відображають будь-яких гіпотез про фізичні процеси або системи, з яких ці дані отримано. До моделей даних належать усі моделі математичної статистики.

Другий тип моделей - системні моделі, які відбуваються в основному на базі фізичних законів і гіпотез про те, як система структурована і, можливо, як вона функціонує. Використання системних моделей передбачає можливість працювати в технологіях віртуального моделювання - на різноманітних тренажерах і в системах реального часу.

Таким чином, модель є абстракцією системи і відображає деякі її властивості. Цілі моделювання формулює дослідник. Значення цілей моделювання не можливо переоцінити. Тільки завдяки їм можна визначити сукупність властивостей модельованої системи, які повинна мати модель, тобто від мети моделювання залежить потрібний ступінь деталізації моделі.

1.1.2 Вимоги до моделей

У загальному випадку під час побудови моделі потрібно враховувати такі вимоги:

· незалежність результатів розв'язання задач від конкретної фізичної інтерпретації елементів моделі;

· змістовність, тобто здатність моделі відображати істотні риси і властивості реального процесу, який вивчається і моделюється;

· дедуктивність, тобто можливість конструктивного використання моделі для отримання результату;

· індуктивність - вивчення причин і наслідків, від окремого до загального, з метою накопичення необхідних знань.

Оскільки модель створюється для вирішення конкретних завдань, розробник моделі має бути впевненим, що не отримає абсурдних результатів, а всі одержав результати відображатимуть необхідні для дослідника характеристики та властивості модельованої системи. Модель повинна дати можливість знайти відповіді на певні запитання, наприклад: «що буде, якщо…», оскільки вони є найбільш доцільними під час глибокого вивчення проблеми. Недоцільно використовувати модель, якщо її не можна буде використовувати. Ступінь деталізації моделі потрібно вибирати з огляду на цілі моделювання, можливості отримання необхідних вхідних даних для моделі та з урахуванням неявних ресурсів для її створення.

1.1.3 Принципи побудови моделей

Розглянемо коротко основні принципи моделювання, які відображають достатньо багатий досвід, накопичений на даний час у галузі розроблення і використання моделей.

· Принцип інформаційної достатності. За повної відсутності інформації про систему модель побудувати неможливо. За наявності повної інформації про систему її моделювання недоцільне. Існує деякий критичний рівень апріорних відомостей про систему, після досягнення якого можна побудувати адекватну модель.

· Принцип доцільності. Модель створюється для досягнення деяких цілей, які визначають на первинному етапі формулювання проблеми моделювання.

· Принцип здійсненності. Модель, яка створюється, має забезпечувати досягнення мети дослідження з урахуванням граничних ресурсів з імовірністю, суттєво відмінно. Від нуля, і за кінцевий час. Звичайно задають деяке граничне значення P (ступінь ризику) ймовірності досягнення мети моделювання P(t), а також сам граничний термін t досягнення мети. Модель вважають здійсненою, якщо .

· Принцип множинності моделей.. Модель, яка створюється, має відображати в першу чергу ті властивості реальної системи, які впливають на вибраний показник ефективності. Відповідно під час використання будь-якої конкретної моделі пізнаються лише деякі складові реальності. Для повного її дослідження необхідно мати ряд моделей, які дали б змогу відобразити певний процес з різних боків і з різним ступенем детальності.

· Принцип агрегації. У більшості випадків складну систему можна подати такою, що складається з агрегатів (підсистем), для адекватного формального описування яких придатними є деякі стандартні математичні схеми. Принцип агрегації дає змогу досить гнучко перебудовувати модель залежно від завдань дослідження.

· Принцип параметризації. У ряді випадків модельована система має у своєму складі деякі відносно ізольовані підсистеми, які характеризуються певними параметрами, у тому числі векторними. Такі підсистеми можна змінювати в моделі відповідними числовими величинами, а не описувати процес їх функціонування. У разі необхідності залежність значень цих величин від ситуації може задаватись у вигляді таблиць, графіків або аналітичних виразів (формул), наприклад за допомогою регресійного аналізу. Принцип параметризації дає змогу скоротити обсяг і тривалість моделювання, але слід мати на увазі, що параметризація знижує адекватність моделі.

Розроблення моделі доцільно починати зі створення простої вихідної моделі, яку в процесі уточнення вхідних даних і характеристик систем ускладнюють і корегують, тобто адаптують до нових умов. Водночас модель має залишатись досить наочною, тобто її структура має відповідати структурі модельованої системи, а рівень деталізації моделі повинен вибиратися з урахуванням мети моделювання, ресурсних обмежень і можливість отримання вхідних даних.

Отже, модель має бути багаторівневою, адаптивною, наочною, цільовою, розвиватись ітераційним способом, ускладнюватись і корегуватись у процесі утворення. Програмування та налагодження моделі доцільно провадити поетапно, з наступним збільшенням програмних модулів.

Один із способів підвищення ефективності моделювання полягає в тому, щоб не будувати заново модель для кожної нової системи, а вирізняти окремі класи систем і створювати уніфіковані програмні моделі для класів у цілому.

1.1.4 Технологія моделювання

Основою моделювання є методологія системного аналізу. Це дає змогу досліджувати систему, яка проектується або аналізується, за технологією операційного дослідження, включаючи такі взаємопов'язані етапи:

1. Формулювання проблеми та змістове поставлення задачі.

2. Розроблення концептуальної моделі.

3. Розроблення програмної реалізації моделі (зазвичай застосовується комп'ютерна модель), яка включає:

а) вибір засобів програмування, за допомогою яких буде реалізовано модель;

б) розроблення структурної схеми моделі та складання опису її функціонування;

в) програмна реалізація моделі.

4. Перевірка адекватності моделі.

5. Організація та планування проведення експериментів, яке включає оцінювання точності результатів моделювання.

6. Інтерпретація результатів моделювання та прийняття рішень.

7. Оформлення результатів дослідження.

На першому етапі визначаються цілі дослідження та спеціальні питання, відповіді на які буде одержано за результатами дослідження; встановлюються критерії оцінювання роботи, які використовуватимуться для вивчення ефективності різних конфігурацій системи; розглядаються такі показники, як масштаб моделі, період дослідження і необхідні ресурси; визначаються конфігурації модельованої системи, а також потрібне програмне забезпечення.

На другому етапі розробляється концептуальна модель - абстрактна модель, яка дає змогу виявити причинно-наслідкові зв'язки, властиві досліджуваному об'єкту в межах, визначених цілями дослідження. По суті, це формальний опис об'єкта моделювання, який відображає концепцію. Вона включає в явному вигляді логіку, алгоритми, припущення й обмеження.

Згідно з цілями моделювання визначаються вихідні показники, які потрібно збирати під час моделювання, ступінь деталізації, необхідні вхідні данні для моделювання.

Рівень деталізації моделі залежить від таких чинників: цілі проекту; критерії оцінювання показників роботи; доступність даних; достовірність результатів; комп'ютерні можливості; обмеження, пов'язані з часом. Провадиться структурований аналіз концептуальної моделі, пропонується опис допущень.

Розробляються моделі вхідних даних, провадиться їх статистичний аналіз, за результатами якого визначають розподіли ймовірностей, регресійні, кореляційні та інші залежності. На цьому етапі для попереднього аналізу широко застосовують різні статистичні пакети (наприклад, Statistica).

Одна з найскладніших проблем, з якою має справу аналітик моделювання, полягає і визначенні, чи адекватна модель системі. Якщо імітаційна модель «адекватна», її можна використовувати для прийняття рішень щодо системи, яку вона представляє, тобто ніби вони приймались на основі результатів проведення експериментів з реальною системою. Модель складної системи може тільки приблизно відповідати оригіналу, незалежно від того, скільки зусиль затрачено на її розроблення, тому що абсолютно адекватних моделей не існує.

Оскільки модель завжди має розроблятись для певної множини цілей, то модель, яка є адекватною для однієї мети, може не бути такою для дослідження іншої. Слід визначити, що адекватна модель не обов'язково є достовірною, і навпаки. Модель може бути достовірною, але, в цьому разі, не використовуватись для прийняття рішень.

Під час розроблення програмної реалізації моделі визначаються засоби для програмування, тобто мови програмування або пакети. Наприклад, можуть використовуватись мови програмування загального призначення, такі як С чи PASCAL, або спеціалізовані засоби для моделювання (наприклад, Arena, AutoMod, Extend, GPSS, iThink).

Далі здійснюється програмування моделі та її налагодження, виконуються тестові прогони моделі на основі контрольних даних, провадиться аналіз чутливості, щоб визначити, які фактори в моделі суттєво впливають на робочі характеристики системи і мають моделюватися дуже точно.

За отриманими результатами формулюють висновки з проведених досліджень і визначають рекомендації щодо використання і прийняття рішень.

Вищенаведені етапи моделювання взаємопов'язані, а сама процедура створення моделі ітераційна. Це пояснюється тим, що після виконання кожного етапу перевіряється правильність і достовірність моделі та в разі невідповідності моделі об'єкту здійснюється повернення до попередніх етапів з метою корегування та підстроювання моделі. Залежно від характеру внесених змін повертаються безпосередньо до попереднього етапу або до більш ранніх етапів. досліджувати систему, яка проектується або аналізується, за технологією операційного дослідження, включаючи такі взаємоповязання і використання моделей.зації моделі потрібно вибирати з огляду н увати його розмірківської ують процес обслуговування.

1.2 Методи дослідження немарківських СМО

1.2.1 Метод вкладених ланцюгів Маркова

Досліджуємо одноканальну систему масового обслуговування (СМО).

Будемо вважати, що моменти надходження заявок утворюють найпростіший потік однорідних подій з параметром л. В системі є необмежена кількість місць для очікування (система з очікуванням і необмеженою чергою), тому заявка, яка застала систему вільною, одразу надходить на обслуговування, а заявка, яка застала систему зайнятою, надходить в чергу й очікує початку обслуговування. Тривалості обслуговування заявок є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами, функцію розподілу яких позначимо через . Вважаємо також, що в початковий момент функціонування заявок в системі немає.

Основні характеристики описаної системи з очікуванням наступні: стаціонарний розподіл довжини черги, стаціонарний розподіл часу очікування початку обслуговування, стаціонарний розподіл часу перебування в системі й спільний розподіл довжини черги і часу, який пройшов з початку обслуговування заявок, яка знаходиться на приладі.

Якщо довільний розподіл тривалості обслуговування заявок , число заявок , які знаходяться в системі в момент t, не є марківським процесом, оскільки поведінка цього процесу в майбутньому залежить від минулого (зокрема, при розподіл інтервалу часу від моменту t до моменту виходу із системи першої обслугованої після t заявки залежить від того, скільки часу ця заявка вже обслуговувалася в минулому). Тому при дослідженні стаціонарного розподілу довжини черги застосуємо метод вкладених ланцюгів Маркова.

Ідея методу достатньо проста й полягає в наступному:

1. Вибирають моменти часу (випадкові чи детерміновані), в яких процес , який описує еволюцію СМО в часі, має марківську властивість, тобто утворює однорідний ланцюг Маркова.

2. Вивчають граничний ергодичний розподіл однорідного ланцюга

, тобто .

3. Доводять факт співпадання границь

.

Застосовуючи метод вкладених ланцюгів Маркова для дослідження стаціонарного розподілу довжини черги, отримуємо результат, який О.Я. Хінчин назвав основним законом стаціонарної черги.

В системі масового обслуговування зв'язок минулого й майбутнього для процесу - числа заявок в системі в момент t - проявляється в залежності розподілу часу дообслуговування від інтервалу часу, який пройшов з початку обслуговування. Тому потрібно вибирати такі моменти, в яких би цей факт не впливав на майбутнє.

Позначимо через момент закінчення обслуговування n-ї заявки, а через - число заявок, які залишилися в системі після уходу цієї заявки із системи. Легко переконатися в тому, що послідовність утворює ланцюг Маркова. Насправді, в момент система або звільняється, або починає обслуговування нової (n+1)-ї заявки. В першому випадку майбутня поведінка послідовності залежить лише від потоку заявок, які надходять після моменту , і від тривалості їх обслуговування. Так як вхідний потік найпростіший, то вказані фактори не залежать від минулого. В другому випадку поведінка послідовності також не залежить від минулого в силу відсутності наслідків у вхідного найпростішого потоку, незалежності тривалості обслуговування і того факту, що в момент нова (n+1)-а заявка лише починає обслуговуватись.

Позначимо через число заявок, які надійшли в систему за час обслуговування n-ї заявки. Тоді

. (1.2.1.1)

Випадкова величина не залежить від минулого, тому рівність (1.2.1.1) доводить марківську властивість послідовності .

Позначимо через

.

Тоді за формулою повної ймовірності маємо

, і=0,1, j=0,1,2,… при ,

, при . (1.2.1.2)

Рівності (1.2.1.2) доводять однорідність ланцюга Маркова . Якщо покласти

,

тоді матриця перехідних ймовірностей приймає вигляд

. (1.2.1.10)

Позначимо через ергодичний розподіл ймовірностей стану ланцюгу

Зазначимо, що розв'язок питання про існування границь для ланцюга Маркова зі зліченою множиною станів зводиться до перевірки умов додатності приведеного ланцюга. Можна показати, що ланцюг додатній тоді і тільки тоді, коли

, де .

Умова в подальшому фігурує як умова існування ергодичного розподілу вкладеного ланцюга Маркова. Тоді ймовірності задовольняють системі алгебраїчних рівнянь

; .

В нашому випадку , (1.2.1.3).

При розв'язанні цієї системи скористаємося методом твірних функцій. Введемо наступні позначення:

; .

Тоді, перемножуючи рівняння (1.2.1.3) на і сумуючи по к, отримуємо

або .(1.2.1.4)

Для кінцевого визначення функції необхідно знайти величину . Вона може бути отримана з умов нормування

.

При z=1 чисельник і знаменник функції (1.2.1.4) обертаються в нуль. Розкриваючи невизначеність, маємо

.

Випливає .

Далі

, (1.2.1.5)

де - перетворення Лапласа-Стілтьєса функції Н(х). Перестановка суми та інтегралу законна, оскільки при А>?

й, крім цього, при достатньо великих п

.

Із рівності (1.2.1.5) знаходимо

або .

Остаточно маємо

. (1.2.1.6)

Рівність (1.2.1.6) дозволяє визначати характеристики черги в спеціально підібрані моменти часу. Однак нас цікавить розподіл величини черги в довільний момент часу.

Доведемо основний закон стаціонарної черги, слідуючи методу, який запропонував А.Я.Хінчин. Нехай існує стаціонарний розподіл

.

Покажемо, що виконується рівність (1.2.1.7).

Час, на протязі якого функціонує досліджувана система, складається з періодів, коли вона вільна (вимог в системі немає), які чергуються з періодами, коли система зайнята обслуговуванням.

Період, коли система зайнята обслуговуванням, називається інтервалом зайнятості. Він починається в момент надходження заявок у вільну систему і закінчується в найближчий момент переходу із стану обслуговування у вільний стан (момент закінчення обслуговування чергової заявки в черзі немає заявок).

В силу попередніх викладок (найпростіший потік на вході системи) тривалості інтервалів зайнятості утворюють послідовність додатних взаємно незалежних однаково розподілених випадкових величин.

Період вільного стану починається в момент звільнення системи й закінчується найближчим моментом надходження нової заявки у вільну систему. Оскільки вхідний потік - найпростіший, то період вільного стану розподілений за експоненційним законом з параметром л, а його середня тривалість рівна 1/л.

Інтервали між сусідніми моментами звільнення системи утворюють процес відновлення. Основні твердження теорії відновлення наведені в пункті 1.2.4.4. Тому ймовірність того, що деякий нескінченно далекий момент часу t належить інтервалу зайнятості, рівна

.

Визначимо при цій умові ймовірність того, що обслуговування заявок, які знаходяться на приладі, триває час, менший у (у>0). За прийнятою умовою (виключені інтервали вільного стану) досліджувана випадкова величина має розподіл, який співпадає зі стаціонарним розподілом часу недоскоку (зворотній час повернення) в процесі відновлення, утвореного випадковими величинами з розподілом Н(х). Тоді шукана ймовірність рівна

.

Тепер за формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність того, що за час обслуговування заявки, яка знаходиться на приладі в нескінченно далекий момент t, надійшло в систему рівно к нових вимог:

,

і при п>0 маємо

.

Нехай і при

. (1.2.1.8)

Тоді

(1.2.1.9)

Безпосередньою перевіркою можна встановити, що введені до розгляду функції задовольняють різнично-диференційному рівнянню

.

Далі, підставляючи в (1.2.1.3) вираз для й враховуючи при цьому співвідношення (1.2.1.8) та (1.2.1.9), отримаємо

.

Випливає, .

Однак ймовірності й р(к) - члени збіжних рядів, тому константа повинна дорівнювати нулю .

Твердження (1.2.1.7) доведено. Таким чином, вираз (1.2.1.6) визначає твірну функцію числа заявок, які знаходяться в системі в нескінченно віддалений момент часу.

Твірна функція (1.2.1.6) дозволяє визначати числові характеристики величини черги. Зокрема, диференціюючи по z та полагаючи z=1, отримаємо вираз середнього числа заявок, які знаходяться в системі(в стаціонарному випадку),

,

де - другий момент розподілу тривалості обслуговування.

Неважко отримати математичне сподівання величини черги. Якщо - величина черги в момент t і , то

.

Звідси шукана характеристика

.

1.2.2 Метод додаткових змінних

Марківська модель масового обслуговування, що описана в 1.1, яка описується процесом функціонування системи однорідним марківським процесом з скінченою або зліченою множиною станів. Така модель може бути побудована лише в найпростіших аналітичних виразах. В більш загальних випадках доводиться розглядати харківські процеси з континуальною множиною станів. Одним із простіших підходів до побудови подібних моделей - введення додаткових змінних.

Розглянемо приклад. Нехай маємо технічний елемент, який в момент справний. Час його безвідмовної роботи - випадкова величина о з функцією розподілу G(x), час відновлення - випадкова величина з з функцією розподілу H(x). Якщо - моменти відмов приладу, а - моменти його відновлення, то будемо вважати, що розподілені як о, а - як з, при чому незалежні в сукупності. Позначимо через випадковий процес, який описує систему: , якщо в момент t прилад справний, - в іншому випадку. Тоді , взагалі кажучи, не є марківським процесом. Позначимо через час від моменту t до наступної зміни стану . А саме : . Тоді двомірний випадковий процес є одномірним марківським процесом: якщо відомо його значення (v, x) в довільний момент t, тоді відомо стан приладу (справний чи ні), а також час х, на протязі якого він ще буде знаходитись в даному стані. Поведінка ж процесу до моменту t випадковими величинами - майбутніми тривалостями безвідмовної роботи й відновлення приладу.

Звернемо увагу на наступну особливість випадкового процесу . Перша його компонента приймає два значення, що чергуються між собою. Моменти зміни цієї компоненти співпадають з моментами ; друга компонента в інтервалах між цими моментами спадає з одиничною швидкістю. Дійсно, якщо , то , так що . В моменти змінна приймає значення 0 і потім отримує випадковий скачок:

Тепер ускладнимо приклад. Нехай прилад може мати випадкові відмови, працює в змінному режимі. А саме: визначені випадкові величини , незалежні в сукупності та розподілені: - за законом L(x), - за законом M(x). В інтервалі довжиною прилад працює в полегшеному режимі, в інтервалі довжиною - в напруженому. Таким чином визначена послідовність моментів часу , коли змінюється режим роботи приладу. Якщо позначити через змінну, що дорівнює 1 при напруженому режимі в момент t та 0 при полегшеному режимі, то при і т.д., при і т.д. При цьому

. Припустимо, що замість часу безвідмовної роботи розглядається ресурс надійності приладу, розподілений за законом G(x). При напруженому режимі швидкість витрачення надійності дорівнює , при полегшеному . Опишемо функціонування системи чотирьохмірним марківським процесом , де - стан приладу в момент при справному та при несправному стані), - показник режиму роботи приладу ( при полегшеному та при напруженому режимі), - час від моменту t до наступної зміни режиму приладу, - час до відновлення приладу при і остаточний ресурс надійності до моменту t при . Випадковий процес (, ) , що нічим не відрізняється від процесу (, ), який розглянули в попередньому прикладі; необхідно лише взяти L(x) замість G(x) та M(x) замість H(x). Процес (, ) в моменти скачків, які співпадають з моментами, коли обертається в нуль, поводить себе так як аналогічний процес в попередньому прикладі. Відмінність полягає в швидкості спадання в інтервалах між моментами обернення в нуль. А саме: при та при . Процес (,,,) є однорідним харківським процесом, що встановлюється як в попередньому прикладі.

Визначимо багатомірну харківську модель масового обслуговування, яку назвемо кусочно-лінійною моделлю (така назва пояснюється тим, що тут основну роль грають змінні , що змінюються за кусочно-лінійним законом).

Нехай система може знаходитись в станах із скінченої чи зліченої множини {i}. Якщо система в момент t знаходиться в стані і, то будемо писати . Якщо , то в момент t продовжуються операції , де - цілочислена невід'ємна функція і, яка вказує число операцій, що тривають. З кожною операцією зв'язана деяка випадкова робота. Позначимо через остаточну роботу, яку необхідно витратити після моменту t для закінчення j-ї операції. Нехай - тем виконання j-ї операції. Таким чином, , .

Будемо вважати, що . Це означає, що в момент t закінчилася j-та операція. В такому випадку в момент t процес переходить в стан к з ймовірністю , де - невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1 при будь-яких фіксованих i, j. Припустимо тепер, що . Визначимо закон утворення . Реалізується випадковий вектор , розмірність і закон розподілу якого залежить від i, j, k і не залежать від поведінки процесу до моменту t. Значення визначаються як лінійні функції знову утворених величин . Вигляд цих функцій повністю визначається значеннями i, j, k. Якщо можливе одночасне обернення в нуль деяких , вводиться додаткова умова, яка відповідає особливостям конкретної системи, що досліджується. Наприклад, сформульований алгоритм переходу із стану в стан реалізується в застосуванні до найменшого номеру j із номерів , які обернулися в нуль. В більшості ж випадків, зокрема коли розподіли тривалостей операцій неперервні, одночасне обернення в нуль хоча би двох можливе з нульовою ймовірністю.

Сформульовані умови повністю визначають закон переходу харківського процесу . При розв'язанні конкретних задач необхідно лише знайти початковий розподіл ймовірностей , де А - множина вигляду .

Описаний підхід називають введенням додаткових змінних (маються на увазі змінні ).

Приведу деякі рекомендації для побудови косочно-лінійних моделей масового обслуговування. Як і у випадку марківських моделей є корисним введення фіктивних операцій на ряду з дійсними. Так можна ввести операцію очікування чергової заявки, тривалість якої дорівнює часу між надходженнями в систему послідовних заявок. Якщо подібні операції не залежать від інших процесів, які відбуваються в системі, то в якості додаткової змінної можна вибирати час до закінчення операції. У випадку, коли така залежність існує (як у другому з розглянутих прикладів), краще застосовувати не часову, а енергетичну інтерпретацію, визначаючи як остаточну величину роботи.

1.2.3 Метод Монте-Карло

Загальноприйнятого означення методів Монте-Карло поки що немає. Але їх називають - чисельними методами розв'язання математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин. Ці методи (як і вся теорія ймовірностей) виросли зі спроб людей поліпшити свої шанси в азартній грі. Цим пояснюється і той факт, що назву цій групі методів дало місто Монте-Карло (князівство Монако) - столиця європейського грального бізнесу, тому що одним з найпростіших пристроїв для генерування випадкових величин є рулетка. Офіційною датою народження методів Монте-Карло вважають 1949 рік, коли заявилася стаття «Метод Монте-Карло». Необхідно зауважити, що теоретичні основи методів Монте-Карло були відомі значно раніше. Більш того, фактично такі методи використовувались для розрахунків в математичній статистиці. Але до появи обчислювальних машин ці методи не могли стати універсальними чисельними методами.

Імітаційне моделювання по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation) дозволяє побудувати математичну модель для проекту з невизначеними значеннями параметрів, і знаючи імовірнісні розподіли параметрів проекту, а також зв'язок між змінами параметрів (кореляцію) отримати розподіл прибутковості проекту.

Метод статистичних випробувань - це чисельний метод математичного моделювання випадкових величин, який передбачає безпосереднє включення випадкового фактора в процес моделювання і є його істотним елементом. Вплив випадкових факторів на систему моделюється за допомогою випадкових чисел. Результатом моделювання є випадкові процеси або величини, які характеризують систему, що моделюється. Щоб їх імовірнісні характеристики (імовірність деяких подій, математичне сподівання, дисперсія випадкових величин, імовірності попадання випадкової величини в задану область та ін.) співпадали з аналогічними параметрами реальної системи або процесу під час моделювання потрібно отримати велику кількість реалізацій випадкових величин або процесів. Таким чином, метод полягає в багатократному проведенні випробувань побудованої імовірнісної моделі і подальшій статистичній обробці результатів моделювання з метою визначення шуканих характеристик розглядуваного процесу у вигляді оцінок його параметрів. Точність оцінок цих параметрів визначає ступінь наближення розв'язку задачі до ймовірносних характеристик.

На практиці метод статистичних випробувань доцільно використовувати в таких випадках, коли:

· розв'язувати задачу цим методом простіше, ніж будь-яким іншим;

· досліджується система, функціонування якої визначається багатьма імовірнісними параметрами елементарних явищ (таких як СМО);

· важко або неможливо побудувати аналітичну модель системи.

Важливою властивістю цього методу є те, що для звичайних числових методів обсяг обчислень зростає в разі збільшення розмірності задачі приблизно як показникові функція розмірності задачі, а для методу статистичних випробувань - лише як лінійна функція розмірності.

Незалежно від типу досліджуваної моделі системи, застосовуючи метод статистичних випробувань, необхідно виконати такі кроки.

1. Визначити, що являтиме собою кожне випробування і зазначити, яке випробування буде успішним, а яке - ні.

2. Обчислити кількість випробувань, які необхідно провести, щоб отримати результати із заданою точністю, і провести ці випробування.

3. Виконати статистичну обробку результатів випробувань та обчислити оцінки необхідних статистичних характеристик.

4. Проаналізувати точність отриманих статистичних характеристик.

Така послідовність кроків є обов'язковою під час розв'язання будь-якої задачі за допомогою методу статистичних випробувань. Однак конкретний зміст цих кроків залежить від поставленого завдання та типу досліджуваної системи. У цьому разі метод завжди потребує використання генераторів випадкових чисел із заданим законом розподілу.

У методі статистичних випробувань особливе значення відіграють випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0,1). Найважливіша їх властивість полягає в тому, що за їх допомогою можна отримати вибіркові значення, які мають будь-який інший розподіл, або промоделювати випадковий процес з різними статистичними властивостями.

Отже для використання методу статистичних випробувань необхідні певні можливості, а саме:

· генерувати випадкові числа, рівномірно розподілені на інтервалі (0,1);

· описувати модельовані випадкові явища функціями розподілу ймовірностей та імовірнісними процесами;

· мати методи отримання випадкових величин функцій розподілу ймовірностей, які базуються на випадкових числах;

· оцінювати статистичні характеристики випадкових величин з отриманих за допомогою методу статистичних випробувань чисел вибіркової послідовності;

· визначити точність отриманих статистичних оцінок як функцій від числа випробувань.

Метод статистичних випробувань заснований на законах великих чисел, а саме на двох граничних теоремах Чебишева й Бернуллі.

Теорема Чебишева:

При необмеженому здійсненні дослідів середнє арифметичне за ймовірністю прямує до математичного сподівання .

, (1.2.3.1)

де е>0.

Теорема Бернуллі:

При необмеженому збільшенні дослідів частота події збігається за ймовірністю до його ймовірності p.

, (1.2.3.2)

де е>0.

Теорема Бернуллі дозволяє визначити ймовірність деякої події, що відбувається.

Для того, щоб побудувати математичний аналог системи, необхідно розробити алгоритм функціонування системи. Систему представляють як сукупність взаємопов'язаних підсистем, на вхід яких надходять величини , які розподілені по певному закону. Ці випадкові величини повинні пройти певну кількість блоків, щоб потрапити на вхід системи. Процес моделювання заключається в багаторазовому повторенні дослідів над системою. Результат отримаємо наступним чином.

Кожна випадкова величина отримує певне випадкове значення, і тоді вихідна величина Y приймає також певне випадкове значення:

.

Далі усе повторюється і ми отримуємо:

.

і т.д.

Отримуємо останнє значення вихідної величини:

.

Результат моделювання отримуємо як середнє значення випадкових величин на виході системи:

. (1.2.3.3)

При чому середнє значення (випадкова величина) збігається за ймовірністю до її математичного сподівання згідно з граничною теоремою Чебишева.

Таким чином, моделювання складається з трьох етапів:

1) Розробка та введення до ЕОМ моделюючого алгоритму;

2) Генерування вхідних випадкових величин із заданими функціями і параметрами розподілу й багаторазове повторення дослідів.

3) Статистична обробка результатів моделювання.

1.2.4 Дослідження СМО M|G|1 з необмеженою чергою

1.2.4.1 Дослідження інтервалу зайнятості

Інтервал зайнятості Х визначається як інтервал часу, який починається в момент надходження у вільну систему заявок і закінчується в найближчий момент звільнення системи від заявок.

Задача полягає у визначенні функції розподілу інтервалу зайнятості

. (1.2.4.1.1)

Нехай момент t=0 у вільну систему надходить заявка і починається інтервал зайнятості. Якщо довжина обслуговування цієї заявки рівна у, то або за цей час не надійде заявка і інтервал зайнятості закінчиться, або надійдуть п заявок п=1,2,… й інтервал зайнятості продовжується. Будемо вважати, що заявки які надійшли обслуговуються в черзі, зворотній порядку надходження. Тривалості обслуговування кожної заявки - незалежні й однаково розподілені випадкові величини, а вхідний потік заявок стаціонарний, тому можна стверджувати, що інверсійний порядок обслуговування не змінює розподіл (1.2.4.1.1). Перенумеруємо заявки, які надійшли за час у в порядку надходження й позначимо через момент часу , в який починається обслуговування і-ї заявки . За період , обслуговуються (і+1)-і заявки й усі, що надійшли за нею після моменту . Структура періоду така ж, як і всього інтервалу зайнятості. Тому випадкові величини мають той самий розподіл, що і величина Х; величини незалежні.

За формулою повної ймовірності,

, (1.2.4.1.2)

(де ). Функціональне рівняння можна дещо спростити, якщо скористатись перетворенням Лапласа-Стілтьєса. Введемо наступні позначення :

,

Тоді, враховуючи властивості перетворення Лапласа-Стілтьєса і незалежність випадкових величин , маємо



,

де - п-та похідна Н*(s).

Таким чином, невідома функція повинна задовольняти функціональному рівнянню

. (1.2.4.1.3)

Відповідь на питання, чи існує розв'язок цього рівняння дає теорема, яка приведена без доведення.

Теорема 2.1: Функція є єдиним розв'язком функціонального рівняння (2,3) при , які задовольняють умову , і дійсним при всіх дійсних s>0. Позначимо через p* найменше додатне число, для якого виконується умова

.

Тоді

.

Якщо , то p*=1, і тоді - невласна функція розподілу, тобто з імовірністю 1- p* інтервал зайнятості може бути нескінченним.

Відмітимо, що функціональне рівняння дозволяє визначити середню тривалість інтервалу зайнятості. Диференціюючи (1.3.1.1.3), маємо

.

Якщо s=0 в останньому рівнянні, отримаємо рівняння для середньої тривалості інтервалу зайнятості

або . (1.2.4.1.4)

Розглянемо більш загальний випадок. Будемо вважати, що при t=0 система виконує деяку роботу і буде зайнята ще на протязі деякого випадкового часу , розподіленого за законом . Лише після завершення вказаної роботи система візьметься до обслуговування заявок, які надійдуть до неї в період . Позначимо через У інтервал часу від t=0 до першого моменту звільнення системи від заявок (якщо за період в систему не надійшло жодної заявки, то ). Період У назвемо узагальненим інтервалом зайнятості системи. Якщо покласти , то отримаємо інтервал зайнятості Х. Можна також отримати характеристики інтервалу зайнятості , який починається в момент, коли в системі к заявок, одна з яких починає обслуговуватись, й закінчується, коли систему повністю звільняється.

Позначимо через функцію розподілу узагальненого інтервалу зайнятості. Повторюючи майже дослівно міркування, що наведені вище, за формулою повної ймовірності отримаємо

.

В термінах перетворення Лапласа-Стілтьєса маємо рівність

. (1.2.4.1.5)

При м>л і Мг₀<? із рівності (1.2.4.1.5) отримаємо

. (1.2.4.1.6)

Якщо узагальнений інтервал зайнятості починається з обслуговування к-ї заявки, то

, (1.2.4.1.7)

де - розв'язок рівняння (1.2.4.1.3).

В подальшому розподілі будемо позначати через , а перетворення Лапласа цієї функції, яке визначається рівністю (1.2.4.1.7) - через .

1.2.4.2 Дослідження характеристик черги в нестаціонарному випадку

В цьому пункті дослідимо характеристики черги в нестаціонарному випадку. Розглянемо процес обслуговування на узагальненому інтервалі зайнятості , який починається за наявності в системі і заявок.

Нехай при t=0 в системі і заявок, одна з яких починає обслуговуватись, тобто (так як тривалість обслуговування розподілена за довільним законом Н(х), то при для визначення майбутньої поведінки СМО необхідно знати не лише число заявок , які знаходяться в системі в момент часу t, але і час , який витрачено до моменту t на обслуговування заявок, які знаходяться в цей момент на приладі говуватись, тобто у. ємоерджувти,а і інтервал зайнятості закінчиться,).

Введемо наступні позначення. Нехай при

,

для всіх (1.2.4.2.1)

- спільна щільність розподілу випадкових величин і на узагальненому інтервалі зайнятості .

Для функцій (1.2.4.2.1) за формулою повної ймовірності при , x>0 можна записати

,

де

;

- умовна ймовірність того, що тривалість обслуговування належить інтервалу за умовою, що вона більше х.

Переходячи до границі при Д>0, при х>0, маємо

. (1.2.4.2.2)

Аналогічно отримаємо рівняння при х=0, :

; (1.2.4.2.3)

необхідно мати на увазі, що при х>t. Відзначимо, що узагальнений інтервал зайнятості закінчується, коли обслужена заявка покидає систему, залишаючи її вільною. Тому в прийнятих позначеннях

.

При t=0 випливає, що, таким чином, рівняння (1.2.4.2.2) та (1.2.4.2.3) розв'язуємо за початковою умовою

, (1.2.4.2.4)

де д(х)=0 при і .

Використовуючи твірну функцію , з рівняння (1.2.4.2.2) знаходимо

, (1.2.4.2.5)

з рівняння (1.2.4.2.3) маємо

, (1.2.4.2.6)

враховуючи, що при х>t.

Безпосередньо підставивши можна переконатись, що функція

(1.2.4.2.7)

- розв'язок рівняння (1.2.4.2.5) з початковою умовою (1.2.4.2.4).

Введемо наступні позначення:

.

Підставляючи формулу (1.2.4.2.7) в рівність (1.2.4.2.6), в термінах перетворення Лапласа отримаємо рівняння для , розвя'язок якого має вигляд

. (1.2.4.2.8)

Тоді із співвідношення (1.3.1.2.7) маємо

.(1.2.4.2.9)

Формули (1.2.4.2.8) та (1.2.4.2.9) визначають спільний розподіл числа заявок в системі й випадкової величини - часу обслуговування заявки, яка знаходиться на приладі.

Нехай

,

,

тоді з рівності (1.2.4.2.9) отримаємо

. (1.2.4.2.10)

Останній вираз є перетворенням Лапласа твірної функції числа заявок в системі на узагальненому інтервалі зайнятості , який починається при наявності в системі і заявок.

1.2.4.3 Дослідження часу очікування початку обслуговування

Для СМО з очікуванням важливою характеристикою є функція розподілу часу очікування початку обслуговування і його моменти.

Нехай г(t) - час, який необхідно витратити на повне обслуговування всіх заявок, які знаходяться в момент t в системі. Якщо для визначеності покласти і позначити через моменти надходження заявок, а через - відповідно тривалість їх обслуговування, тоді для

,

і .

Тепер покажемо, що випадковий процес г(t) є марківським. При відомому майбутньому (г(t)=х) значення , визначається моментами надходження заявок в інтервалі (t,t+s) і тривалістю обслуговування цих заявок. Очевидно, що ці величини не залежать від минулої поведінки процесу г(t).

Введемо позначення F(t,x)=P(г(t)<x) й отримаємо рівняння для цієї функції, беручи до уваги, що існують неперервні частинні похідні та в області .

Теорема 1.2.4.3.1: У сформульованих умовах функція розподілу F(t,x)при t>0 задовольняє інтегродиференційному рівнянню

. (1.2.4.3.1)

Доведення:

За визначенням . Подія представляє собою об'єднання наступних несумісних подій:

1) в момент t виконувалась подія і за час не надійшло жодної заявки. Так як вхідний потік найпростіший, то ймовірність цієї події рівна ;

2) в момент t виконувалась одна з подій , , і за час надійшла одна заявка, для обслуговування якої потрібен час . Ймовірність цієї події визначається за формулою повної ймовірності й рівна ;

3) ймовірності інших подій мають порядок .

Тоді

.

Останню рівність перепишемо в наступному вигляді:

.

Переходячи до границі при , отримаємо шукане рівняння

.

Так як

,

.¦

Рівняння (1.2.4.3.1) може бути розв'язано в термінах перетворення Лапласа-Стілтьєса. Введемо наступні позначення:

.

Продиференцюємо рівняння (1.2.4.3.1) по х, помножимо на та проінтегруємо по х в межах (0,?). Тоді, враховуючи, що із неперервності частинних похідних

,

отримаємо

. (1.2.4.3.2)

Значення - ймовірність в момент t застати систему вільною від обслуговування. Із умови , яка означає, що в момент t=0 система вільна, отримаємо початкові умови F*(s,0)=1 для диференційного рівняння (1.2.4.3.2). Розв'язуючи рівняння (1.2.4.3.2), визначаємо перетворення Лапласа-Стілтьєса функції F(t,x).(Зазначимо, що розв'язок залежить від функції F(t,+0); її вираз визначимо далі.)

Зараз нас цікавить питання існування стаціонарного розподілу та його властивості.

Теорема 1.2.4.3.2: Якщо розподіл Н(х) має кінцевий момент і , то існує граничний розподіл

,

який не залежить від початкового розподілу й задовольняє інтегродиференційному рівнянню

(1.2.4.3.,3)

при x>0 і рівності .

Доведення:

Доведення опирається на теорему Сміта з теорії регенеруючи випадкових процесів. Спочатку дамо визначення регенеруючому випадковому процесу. Випадковий процес о(t) називається регенеруючим, якщо існує такий стан , що для будь-яких t, та будь-яких борелевських множин

.

Моменти , в яких процес приймає значення , називаються моментами регенерації. Інтервали між ними утворюють процес відновлення. Введемо наступні позначення:

, та будемо вважати, що .

Якщо з імовірністю, рівною одиниці, всі , кратні деякому , то процес відновлення , називається дискретним. В супротивному разі процес відновлення називається неперервним.

Регенеруючий процес о(t) називається аперіодичним, якщо процес відновлення є неперервним. Тепер сформулюємо теорему Сміта.

Теорема 1.2.4.3.3: Для аперіодичного регенерую чого випадкового процесу о(t) існує границя , якщо для деякого функція , що визначається рівністю

, (1.2.4.3.4)

є абсолютно неперервною і .

Доведення теореми 1.2.4.3.2 зводиться до перевірки умов теореми Сміта. Процес, що розглядається г(t) - регенеруючий. Стан «0» (в системі немає заявок) має властивості стану , момент звільнення системи (момент переходу у вільний стан) є моментом регенерації.

Неважко помітити, що період регенерації складається з сум двох доданків , де - випадкова величина, розподілена за експоненційним законом з параметром л ( - час від моменту регенерації до моменту надходження найближчої заявки у вільну систему), - незалежна від випадкова величина, яка дорівнює тривалості інтервалу зайнятості. Сума має щільність і тому умова абсолютної неперервності функцій (1.2..3.4) виконується.

Доведемо тепер, що при сума має скінчене математичне сподівання. Нехай - число вимог, які надійшли за час (0,Т), і нехай - тривалість їх обслуговування. Тоді загальний час зайнятості системи за час (0,Т)

.

Випливає, що час перебування в вільному стані

.

На підставі посиленого закону великих чисел при Т>? з ймовірністю, яка дорівнює одиниці, . Звідси, з ймовірністю, що дорівнює одиниці,

.

Нехай п_Т - число інтервалів зайнятості, які закінчуються до моменту Т. Тоді

,

або з ймовірністю, яка дорівнює одиниці,

.

Але тоді

.

Звідси при .

Перевірку умов теореми Сміта завершили. Отже, граничний розподіл відсутній.

Позначимо його через . Покладемо F(0,x)=F(x); тоді F(t,x)=F(x) і рівняння (1.2.4.3.2) приймає вигляд

, (1.2.4.3.5)

де , . Рівність (1.2.4.3.5) доводить твердження (1.2.4.3.3). Із рівності (1.2.4.3.5) маємо

,

очевидно . Таким чином, . Остаточно отримаємо формулу Хінчина

¦

Тепер визначимо в нестаціонарному випадку функцію . Позначимо через функцію відновлення процесу відновлення, який утворений моментами регенерації процесу . Тоді

. (1.2.4.3.6)

Інтервали між моментами регенерації процесу дорівнюють сумі інтервалу зайнятості Х і випадкової величини о, яка розподілена за експоненційним законом з параметром л. Тому, використовуючи рівність (1.2.4.3.6) та формулу (1.2.4.4.15) для перетворення Лапласа функції , отримуємо

, (1.2.4.3.7)

де - перетворення Лапласа-Стілтьєса розподілу інтервалу зайнятості Х.

1.2.4.4 Елементи теорії відновлення

Представляють інтерес класи потоків, зокрема, ті у яких марківська властивість має місце лише в окремі спеціально вибрані моменти. Дослідження таких потоків важливе ще тому, що їх властивості дозволяють отримати ряд цікавих результатів.