Построение линейной модели парной корреляции

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.)от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Требуется:

1. Для характеристики Y от Х построить следующие модели:

- линейную,

- степенную,

- показательную,

- гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

- индекс корреляции,

- среднюю относительную ошибку,

- коэффициент детерминации,

- F-критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Задание к задаче№1

Таблица 1

y	32	40	44	28	50	56	50
х	60	68	80	76	74	87	96

Решение:

1. Построение линейной модели парной корреляции.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

По данным вычислениям видно, что связь между объемом капиталовложений и выпуском продукции прямая и достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличивается в среднем на 558 тыс.руб. Это свидетельствует об прямой связи данных показателей и эффективности работы предприятия.

Расчеты производились исходя из данных, указанных в таблице 2,3

Таблица 2

№п/п	Y	X	Y-Yср	(Y-Yср)кв	X-Xср	(X-Xср)кв	(Y-Yср)(X-Xср)
1	32	60	-10,857	117,878	-17,286	298,796	187,673
2	40	68	-2,857	8,163	-9,286	86,224	26,531
3	44	80	1,143	1,306	2,714	7,367	3,102
4	28	76	-14,857	220,735	-1,286	1,653	19,102
5	50	74	7,143	51,020	-3,286	10,796	-23,469
6	56	87	13,143	172,735	9,714	94,367	127,673
7	50	96	7,143	51,020	18,714	350,224	133,673
Сумма	300	541	0,000	622,857	0,000	849,429	474,286
Среднее	42,86	77,29		88,980		121,347	67,755

Таблица 3

№п/п	YX	Xкв	Yкв	В	А	Yрасч	е=Y-Yрасч	e/Y*100%
1	1920,000	3600,000	1024,000	0,558	-0,268	33,212	-1,212	-3,788
2	2720,000	4624,000	1600,000			37,676	2,324	5,810
3	3520,000	6400,000	1936,000			44,372	-0,372	-0,845
4	2128,000	5776,000	784,000			42,140	-14,140	-50,500
5	3700,000	5476,000	2500,000			41,024	8,976	17,952
6	4872,000	7569,000	3136,000			48,278	7,722	13,789
7	4800,000	9216,000	2500,000			53,300	-3,300	-6,600
Сумма	23660,000	42661,000	13480,000			300,002	-0,002	-24,182
Среднее	3380,000	6094,429	1925,714			42,857		-3,455

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 99,8% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).

Оценку значимости равнения регрессии проведем с помощь. F-критерия Фишера:

для ; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. .

Определим среднюю относительную ошибку:

Данный показатель отражает на сколько в среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений (на 3,455%).

2. Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Таблица 4

№п/п	Факт Y(t)	lg (Y)	Переменная Х(t)	lg (X)
1	32	1,505	60	1,778
2	40	1,602	68	1,833
3	44	1,643	80	1,903
4	28	1,447	76	1,881
5	50	1,699	74	1,869
6	56	1,748	87	1,940
7	50	1,699	96	1,982
Сумма	300	11,344	541	13,186
Среднее	42,857	1,621	77,286	1,884

Обозначим Y=lg, Х=lgx, А=lga.

Тогда уравнение имеет вид: Y=A+bX - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя таблицу 5.

Уравнение регрессии будет иметь вид: .

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения и получим уравнение степенной модели регрессии.

.

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем и фактором можно считать средней по силе.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 41,7% объясняется вариацией фактора Х.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

для ; , .

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 0,287%.

3. Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

, обозначим: , , .

Получим линейное уравнение регрессии: .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 6.

Уравнение будет иметь вид: .

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Данный показатель характеризует среднюю связь между показателем и фактором.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y на 40,7% объясняется вариацией фактора Х.

Рассчитаем F-критерий Фишера:

для ; , .

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 0,231%.

4. Построение гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х.

В результате получим линейное уравнение: .

Получим следующие уравнение гиперболической модели: .

Определим индекс корреляции:

Исходя их данного показателя силу связи можно оценить средним уровнем.

Индекс детерминации:

=0,421

То есть вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 42,1% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

для ; , .

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения у для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 0,0082%.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов:

В качестве лучшей модели для построения прогноза можно взять линейную модель, так как она имеет большее значение F-критерия Фишера и коэффициента детерминации.

Расчет прогнозного значения результативного показателя:

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению линейной модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений.

По условию нужно рассчитать прогнозное значение результативного признака (объема выпускаемой продукции), если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня. Средний уровень значения фактора (объема капиталовложений-Х) составляет 77,29млн. руб.

При увеличении на 110% он составит 85,019 млн.руб.:

Из этого уравнения следует, что при увеличении объема капиталовложений на 110% относительно среднего уровня объем выпуска продукции повысится в среднем до 47,708 млн.руб.

Фактический, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике:

Задача 2

По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (), ставки по депозитам () и размера внутрибанковских расходов ().

Требуется:

1. Осуществить отбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели определить:

- линейный коэффициент множественной корреляции,

- коэффициент детерминации,

- средние коэффициенты эластичности,

- бета-, дельта - коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.

5. Оценить с помощь t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

7. Отразить результаты расчетов на графике.

Задание к задаче 2.

Таблица 1

Объем прибыли Y	Ставки по кредитам	Ставки по депозитам	Внутрибанковские расходы
50	22	176	150
54	30	170	154
60	20	156	146
62	32	172	134
70	44	162	132
54	34	160	126
84	52	166	134
82	56	156	126
86	66	152	88
84	68	138	120

1. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной модели регрессии.

n=10, m=3

С помощью MS Excel проведем корреляционный анализ. Результаты корреляционного анализа представлены в таблице 2.

Таблица 2

	Объем прибыли Y	Ставки по кредитам	Ставки по депозитам	Внутрибанковские расходы
Объем прибыли Y	1
Ставки по кредитам	0,925	1
Ставки по депозитам	-0,645	-0,705	1
Внутрибанковские расходы	-0,705	-0,793	0,606	1

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает что Y имеет тесную связь со всеми факторами но между факторами Х1 и Х3 связь теснее а значит можно говорить о мультиколлинеарности этих факторов поэтому мы выбираем фактор Х2

1. Выбор вида модели и оценка ее параметров.

С помощью MS Excel проведем регрессионный анализ, результаты отразим в таблицах 3, 4, 5, 6.

Таблица 3

Регрессионная статистика
Множественный R	0,925
R-квадрат	0,855
Нормированный R-квадрат	0,813
Стандартная ошибка	6,190
Наблюдения	10,000

Таблица 4

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	2,000	1580,193	790,097	20,621
Остаток	7,000	268,207	38,315
Итого	9,000	1848,400

Таблица 5

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	33,295	47,311	0,704
X1	0,767	0,167	4,604
X2	0,017	0,261	0,066

Таблица 6

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1,000	53,220	-3,220
2,000	59,251	-5,251
3,000	51,340	8,660
4,000	60,819	1,181
5,000	69,848	0,152
6,000	62,145	-8,145
7,000	76,052	7,948
8,000	78,946	3,054
9,000	86,545	-0,545
10,000	87,835	-3,835

Уравнение регрессии зависимости объема прибыли от Ставки по кредитам и Ставки по депозитам можно записать в следующем виде:

у=33,295+0,767х1+0,017х2

2. Оценка качества модели.

В таблице 14 приведены вычисленные по модели значения Y и значения остаточной компоненты.

Рис.2

Вычислим для модели коэффициент детерминации.

Этот коэффициент уже вычислен нами и находится в таблице 3.

R2 = 0,855

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 86% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

Fтабл мы вычисляем с помощью функции FРАСПОБР

Fтабл = 4,737

Fрасч уже вычислено и находится в таблице 4

Fрасч = 20,621

Поскольку .Ррасч > Ртабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности (Э) и бета-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:

Эj = аj*xср j / yср

= ai * Sxi / Sy

Таблица 7

S2y	205,3778
S2x1	304,7111
S2x2	123,7333

Э1 = 0,767*42,4/68,6 = 0,474

Э2 = 0,017*160,8/68,6 = 0,040

= 0,767 * 304,7111 / 205,3778 = 1,138

= 0,017 * 123,7333 / 205,3778 = 0,010

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

2. Оценка статистической значимости

Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а,, а2 приведены в четвертом столбце таблицы 5.

Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЫОДРАСПОБР

tтабл=2,36462256

tрасч=0,704

tрасч =4,604критерий статистически значим

tрасч =0,066

3. Точечный и интервальный прогноз

Прогноз показателя «Ставка по кредитам»

Рис

Прогноз показателя «Ставка по депозитам»

Рис.2