Непрерывные функции

Высшая математика

"Непрерывность функции"

Содержание

1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке

2. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке

3. Точки разрыва функции и их классификация

1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т. е.

Так как , то равенство (1) можно записать в виде

Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и функции можно переставлять.

На практике часто используется следующее определение непрерывности функции в точке, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечные односторонние пределы и ; 3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке , т. е.

Сформулируем еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция определена в точке и ее окрестности. Дадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение (рис. 1).

Рис. 1. - Непрерывная функция

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .

Решение. Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :

Следовательно,

.

Таким образом, , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Пример 2. Исследовать на непрерывность в точке следующие функции:

а) ; б) в) .

Решение. а) Функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности).

б) Для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2. В точке функция определена ( ), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .

в) Функция является непрерывной в точке , так как выполнены все три условия непрерывности: она определена в точке и ее окрестности; существуют односторонние пределы , ; эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке : .

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) Если функции и непрерывны в точке , то функции , (с - постоянная), и (при условии что ) также непрерывны в точке .

2) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

2. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е. ).

Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).

2) Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).

3) Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).

3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции , то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:

1) Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Так функция , рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке , так как не определена в этой точке.

2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но , так как , а .

3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , они равны между собой, но не равны значению функции в точке : . Например, функция . Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и , равные между собой, но , т. е. .

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке .

Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке , или определена, но .

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или ) не существует или равен бесконечности.

Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)

Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции:

.

Для точки находим:

,

, .

Таким образом, имеем: . Следовательно, в точке наша функция является непрерывной.

График данной функции изображен на рис.4.

Рис. 4. - График представленной функции

Решение. б) В точке функция меняет свое аналитическое задание, следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:

,

,

Так как , то точка является точкой разры-ва первого рода. Скачок функции: .

В точке функция не определена, значит точка является точкой разрыва. Определим ее тип:

, .

Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

Литература

1. Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. - М.: Новое знание, 2002. - 140 с.

2. Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравнения.- Мн.: ТетраСистемс, 1998. - 416 с.

3. Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. - Мн., 1998. - 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с.

5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2000. - 351 с.