Случайные события. Вероятность события. Свойства вероятностей. Частота (статистическая вероятность) события

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Шевченко

Факультет физики и астрономии

РЕФЕРАТ

ПО АСТРОМЕТРИИ

НА ТЕМУ: Случайные события. Вероятность события. Свойства вероятностей. Частота (статистическая вероятность) события

Выполнила: студентка ІV курса

Группа 105 В

Махно Наталия

Полтава 2009

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Если сознательно не округлять результаты измерений, оставляя лишь «верное» число знаков, то мы, повторяя измерения, будем, вообще говоря, получать разные значения одной и той же величины. Таким образом, тот факт, что мы в результате единичного измерения получили данное число, представляет собой случайное событие, которое может произойти или не произойти. Случайным является также результат математической обработки нескольких измерений, который не повторяется при использовании различных серий измерений. Поэтому обработка данных измерений представляет собой классический пример оперирования со случайными событиями, теоретической основой которого являются теория вероятностей и математическая статистика. Целью настоящей главы является ознакомление читателя с некоторыми положениями указанных наук, с тем чтобы он мог легче понимать последующие основные главы книги.

Случайные события окружают нас всюду в жизни. Выходя на улицу, мы неожиданно встречаем знакомого, которого не видели много лет. Случай! А может закономерность? Ведь мы вышли на улицу не просто так, а нам нужно было к определенному времени поспеть на работу или в какое-нибудь другое место. А наш приятель только что сошел с поезда и спешил в учреждение, куда он командирован своим начальником. Зная- все это, можно было бы точно предугадать время и место встречи. Случайность исчезла бы! Многие читатели помнят аналогичную историю из «Мастера и Маргариты» Булгакова. Там Берлиоз попал под трамвай совершенно случайно с точки зрения обычного человека. Но Воланд задолго предвидел его гибель, так как знал закономерности, сокрытые от простых смертных.

Аналогичный вопрос можно поставить по отношению к любому случайному событию. Является ли оно действительно случайными или определяются неизвестными нам закономерностями? Оставим обсуждение этого вопроса философии. Для нас ясно, что имеют место разнообразные события, причины которых плохо изучены или вообще неизвестны (а может быть, просто отсутствуют?). Такие события мы можем рассматривать только как случайные и при их изучении исходить из результатов теории вероятностей и статистики. Заметим, что эти науки рассматривают не произвольные случайные события, а лишь такие, про которые можно предположить, что они обладают так называемой статистической устойчивостью (см. § 1.4).

Случайное событие (или просто событие) является основным понятием теории вероятностей. При проведении некоторого эксперимента каждый конкретный исход опыта можно рассматривать как событие. В частности, в процессе измерений получение данного конкретного числа является событием. Введем некоторые связанныес событием вспомогательные понятия.

Полная группа событий - это совокупность всех событий, которые могут иметь место в данном эксперименте. Так, при проведении одного измерения полную группу образуют все возможные значения измеряемой величины. В данном случае полная группа включает, вообще говоря, бесконечное число событий. Легко представить себе конечную полную группу событий. Так, например, если при измерении температуры некоторого тела нас интересует только ее знак, то полная группа включает лишь три события: получение отрицательной, нулевой или положительной температур.

События называются несовместными в данном эксперименте, если*никакие два из них не могут появиться вместе. Так, при проведении одного измерения несовместным является получение различных значений измеряемой величины. Два несовместных события, образующие полную группу, называются взаимно дополнительными. Так, при измерении температуры t тела взаимно дополнительными: будут событие А, при котором t>0, и событие В, для которого t < 0.

Несколько событий в данном опыте являются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно ив них не является объективно более возможным, чем другое. Классический пример равновозможных событий: вытягивание одинаковых на ощупь шаров из урны или карт из колоды.

ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Основной задачей теории вероятностей является оценка степени возможности осуществления того или иного события. Эта степень возможности количественно описывается некоторым числом, называемым вероятностью данного события в рассматриваемом эксперименте. Наиболее просто вероятность определяется в том случае, когда полная группа событий может быть представлена как совокупность з равновозможных случаев, а рассматриваемое событие А заключается в осуществлении одного из гп этих случаев. Тогда вероятность этого события С (А) может быть найдена по формуле

Так, например, при вытягивании карты из колоды в 36 карт число равновозможных случаев з = 36. Если определять по формуле (1.2.1) вероятность события А, заключающегося в вытягивании туза любой масти, то для него

Так как по определениюто для любого события А

Если число з равновозможных случаев црнечно, то при Р(А) =0 m = 0, а при С (А) = 1 тп = п. Иначе- говоря, при конечном з событие с нулевой вероятностью не может произойти, т. е. является невозможным, а событие с вероятностью единица происходит всегда и является достоверным.

Определение вероятности по формуле (1.2.1) осуществимо лишь тогда, когда полная группа результатов эксперимента может сводиться к некоторому числу равновозможных случаев. В подавляющем большинстве опытов это сделать нельзя, и формула (1.2.1) теряет смысл. Однако при этом продолжают пользоваться понятием вероятности Р(А), рассматривая ее как некоторую характеристику возможности осуществления рассматриваемого события Л, удовлетворяющую следующим условиям:

- с увеличением возможности осуществления события А возрастает его вероятность Р(А);

- величина С (А) всегда удовлетворяет неравенству(1.2.2);

- при представлении полной группы событий в виде совокупности равновозможных случаев вероятность определяется по формуле (1.2.1).

Остановимся подробнее на случае . В теоретических исследованиях может оказаться, что такой вероятности соответствует возможное (но чрезвычайно редкое) событие. Так, например, при проведении измерений можно считать, что получение данного числа с точностью до неограниченного количества знаков возможно, но вероятность такого события равна нулю. Однако на практике измерения всегда проводятся до некоторого конечного количества знаков. Получение такого числа при измерениях равносильно тому, что результат измерения попадает в некоторый интервал, в котором он округляется до заданного значения.. А вероятность такого' события следует считать конечной! Поэтому при практической постановке задачи событие с вероятностьюоказывается невозможным. По-видимому, это утверждение справедливо для всех практически поставленных задач. Аналогично, событие с вероятностью Р(А) = 1 может в теоретических задачах не произойти. Однако при практической постановке задачи оно является достоверным.

Таким образом, вероятность следует рассматривать как некоторую численную характеристику возможности осуществления случайного события, являющуюся основным понятием теории вероятностей, таким же как расстояние, время и масса в механике. Это понятие раскрывается своими свойствами, которые вводятся аксиоматически или по определению. В случае представления полной группы событий в виде совокупности равновозможных случаев эти свойства непосредственно следуют из выражения (1.2.1).

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часть свойств вероятности случайного события была указана нами в предыдущем параграфе. Здесь мы остановимся на некоторых других свойствах, важных для дальнейшего изложения.

1. Сложение вероятностей. Рассмотрим некоторые несовместные события Бй, А₂, ».., A_k. Событие, заключающееся в осуществлении одного из них, мы будем называть их суммой и обозначать через Вероятность этой суммы определяется равенством

Это утверждение непосредственно может быть доказано при условии справедливости схемы равновозможных случаев [6]. Если эта схема неприменима, то равенство (1.3.1) недоказуемо и является аксиомой.

В качестве примера используем рассмотренное выше вытягивание, карты из колоды в 36 карт. Пусть событием Бй является вытягивание туза, событием А₂ - вытягивание «картинки» (короля, дамы или валета), а событием Бй + Бг - вытягивание туза или «картинки». Путем подсчета числа равновозможных случаев легко убедиться в том, что равенство (1.3.1) имеет место.

При пользовании равенством (1.3.1) следует обратить внимание на несовместность рассматриваемых событий. Если это условие не выполняется, то равенство (1.3.1) оказывается несправедливым. Так, например, в рассмотренной выше задаче обозначим через А_х вытягивание туза,· Л₂ - вытягивание бубновой масти, а через А, + А₂ --вытягивание туза или бубновой масти. Легко убедиться в том, что

Несправедливость равенства (1.3.1) объясняется в данном случае "тем, что события Л, и А₂ не являются несовместными, так как можно вытащить бубновый туз.

Пусть события А и Д взаимно дополнительны, т. е. несовместны, и их сумма представляет событие, вероятность которого равна единице. Тогда равенства (1.3.1) принимает вид

2. Произведение вероятностей. Вероятность одновременного осуществления событий А и В*) (т. е. так называемого произведения АВ этих событий) равна произведе нию вероятности Р(А) события А на вероятность Р(В/А) события В при условии, что событие А имело место, т. е.

Остановимся несколько подробнее на так называемой условной вероятности Р(В/А). Введение этого понятия предполагает, что осуществление события А меняет условия, при которых осуществляется событие В, так, что при этом изменяется его вероятность. В этбм случае говорят, что события А и В 'зависимы.

Рассмотрим в качестве примера вытаскивание шаров из урны, содержащей 2 белых и 2 черных шара. При этом вынутый шар в урну не возвращается. Требуется определить вероятность того, что в результате, двух вытаскиваний будут получены 2 белых шара. Это событие можно рассматривать как произведение двух следующих событий: .

А, при котором первый раз вынимается белый шар;

В - получение белого шара при втором вытаскивании.

Очевидно, что После осуществления собы-

тия А в урне остается 1 белый и 2 черных шара. Поэтому Отсюда, пользуясь равенством (1.3.3), находим Р(АВ) = 1/6.

Если вероятность события В не зависит от осуществления события А, эти события называются независимыми. Прц этом Р{В/А) = Р{В) и формула (1.3.3) принимает вид

Так, например, рассмотренную выше задачу можно решать в предположении, что вынутый первый раз шар возвращается в урну, которая встряхивается, и производится второе вытаскивание. При этом события А ж В становятся независимыми и их вероятности Отсюда, пользуясь формулой (1.3.4), находим

Формула (1.3.4) очень удобна и широко используется на практике. При этом часто забывают о необходимости достаточно аккуратного доказательства независимости рассматриваемых событий. Неучет реально существующих зависимостей между этими событиями может привести к грубым ошибкам. Так, в рассмотренном выше примере последовательного вытаскивания черных и белых шаров из урны (без возвращения их обратно) учет влияния осуществления события Л на вероятность события В сущёственным образом отражается на значений вероятности произведения А В этих событий (с учетом этого влияния Р(АВ) - 1/6, а без его учета Р(АВ) =* 1/4). В ряде прикладных задач неучет влияния реально существующих зависимостей между рассматриваемыми случайными событиями может изменить получаемое решение не только количественно, но и качественно. Так, при обработке измерительной информации предположение об отсутствии зависимости между вероятностями ошибок отдельных измерений приводит к выводу о том, что, неограниченно увеличивая число измерений, можно добиться сколь угодно высокой точности конечного результата обработки. Однако в действительности это невозможно из-за ^реально существующих - зависимостей между ошибками измерений (см. следующую главу). <· .

ЧАСТОТА (СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ) СОБЫТИЯ

Итак, случайное событие и его вероятность представляют собой основные понятия теории вероятностей. Аксиоматически, определив первичные свойства этих понятий, можно построить соответствующую математическую теорию. В настоящее время принята предложенная А.Н. Колмогоровым система аксиом, на основе которой строится современная математическая теория вероятностей, представляющая собой хорошо развитый, достаточно сложный и изящный раздел математики. Она позволяет по значениям вероятностей некоторых исходных событий определять вероятности других связанных с ними событий. Можно всю жизнь заниматься этой наукой, не интересуясь физическим смыслом ее основных понятий. Однако для того, чтобы применить ее на практике, необходимо ответить по крайней мере на следующие два вопроса:

каким образом определяются значения вероятностей исходных событий?

какой практический смысл имеют величины получаемых в результате вероятностей?

В случае применимости схемы равновозможных случаев ответ на эти вопросы дает формула (1.2.1). Однако в подавляющем большинстве прикладных задач эта схема неприменима. В этих условиях для ответа на указанные вопросы используется понятие частоты (статистической частоты, статистической вероятности) события. Последнее вводится Следующим образом. Предположим, что мы многократно и при одинаковых условиях провели некоторый эксперимент, при котором можно ожидать появления события А. Исход эксперимента, в результате которого событие А действительно имело место, мы будем называть благоприятным. Тогда частотой события А в данной серии экспериментов будем называть величину

где н - общее число экспериментов,

м - число экспериментов с благоприятным исходом.

Результаты определения частоты &(А) до различным сериям экспериментов, вообще говоря, различны. При малом числе н разброс этих величин может быть значительным. Однако по мере увеличения н этот разброс постепенно уменьшается и величина &(А) приближается к некоторому среднему значению. События, обладающие этим свойством, называются статистически устойчивыми. Для анализа таких событий может быть использована теория вероятностей. События, не обладающие этим свойством, называются неопределенными и теорией вероятностей не рассматриваются.

Для многих статистически устойчивых событий их частота определяется экспериментально. При этом в качестве величины вероятности Р(А) рассматриваемого события А принимается его частота ЯС(Б), найденная по достаточно большому числу экспериментов (это число выбирается в зависимости от требуемой точности и надежности знания величины вероятности). В этом случае между вероятностью и частотой события существует такое же соотношение, как между истинным и измеренным значениями некоторой физической величины. Возможность подобного рассмотрения подтверждается следующими соображениями:

Многочисленные эксперименты показали существование разнообразных статистически устойчивых событий.

Экспериментально показано, что для событий, соответствующих схеме равновозможных случаев, частота !?(А) по мере увеличения числа н,экспериментов приближается к определяемому по формуле (1.2.1) значению вероятности С (А).

Определяемая по формуле (1.4.1) частота подчиняется аксиомам теории вероятностей.

В качестве примера использования понятий частоты и вероятности при исследовании прикладных вопросов рассмотрим следующую простую задачу. Предположим, что мы собираемся изготовить некоторое устройство, состоящее из четырех однотипных элементов, соединенных в два параллельных канала, по два элемента в каждом, по изображенной на рис. 1.4.1 схеме. Устройство предназначено для преобразования поступающего на его вход сигнала и выдачи его в преобразованном виде на выходе.

При этом для правильного срабатывания устройства достаточно правильного срабатывания по крайней мере одного канала. Однако каждый канал срабатывает лишь при условии нормальной работы обоих его элементов. Требуется еще до изготовления устройства оценить ожидаемую частоту его правильных срабатываний, т. е. отношение числа случаев нормальной работы к общему числу включений устройства. Эту величину обычно называют надежностью устройства.

Для решения поставленной задачи воспользуемся результатами заводских испытаний используемых элементов, при которых была определена частота с отказа (т. е. ненормальной работы) одного элемента. Примем ее за величину вероятности отказа одного элемента. Отсюда, пользуясь зависимостью (1.3.2), находим вероятность безотказной работы одного элемента

Будем рассматривать отказы всех входящих в устройство элементов как независимые события. Тогда, пользуясь равенствами (1.3.4) и (1.4.2), находим вероятность безотказной работы

одного канала из двух элементов. Для нормальной работы всего устройства в целом необходимо и достаточно осуществления одного из следующих трех несовместных событий:

канал I работает правильно, а канал II - неправильно;

канал I работает неправильна, а канал II - правильно;

оба канала работают правильно.

Пользуясь зависимостями (1.3.2), (13.4) и (1.4.3), легко подсчитать вероятность каждого из этих событий в отдельности. При этом вероятность первого или второго из них равнаа вероятность третьего - (1 - р)\ Отсюда, пользуясь правилом (1.3.1) сложения вероятностей, находим вероятность безотказной работы устройства в целом '

Эта величина и принимается за частоту безотказной работы устройства, т. е. его надежность.

Сравнивая выражения (1.4.3), (1.4.4) и учитывая неравенство 0 < с < 1, можно показать, что всегда

т. е. введение второго (резервного) канала повышает надежность устройства. Если обозначить через р' 1 - Р_г вероятность отказа одного канала, а через р'^/в»1 -# - вероятность отказа устройства из двух каналов, то, пользуясь выражениями (1.4.3) и (1.4.4), можно написать, что

Отсюда видно, что введение второго канала существенно уменьшает вероятность отказа устройства в целом. Особенно эта будет заметно для устройств, состоящих из надежных элементов (р мало).

Аналогичным образом может быть проанализирована работа устройства, состоящего из трех и большего числа параллельных каналов. Таким образом, зная надежность исходных элементов, можно выбрать конструкцию, удовлетворяющую заданным требованиям по надежности устройства в целом. Подобные методы широко используются в' настоящее время при проектировании различных устройств, состоящих из большого числа Элементов, При этом решаются задачи, во много раз превосходящие по сложности рассмотренную выше.

Приведенный пример расчета надежности методами теории вероятностей базируется на ряде допущений. Укажем основные из них.

Статистическая устойчивость результатов заводских испытаний используемых элементов.

Допустимость перехода от частоты к вероятности (при определении вероятности отказа одного элемента) и от вероятности к частоте (при практических использованиях найденной вероятности безотказной работы устройства в целом).

Независимость вероятности отказа одного элемента от различия между условиями заводских испытаний и условиями работы элементов в устройстве.

4 Взаимная независимость отказов элементов в устройстве.

5. Безотказность остальных частей устройства (соединяющих элементов, коммуникационных линий, различных переключателей и т. п.).

Существенное нарушение хотя бы одного из этих условий может быть причиной пру бой ошибочности найденных результатов. Так, например, какой-либо внешний фактор (сотрясение, изменение температуры, вспышка на Солнце) может повысить вероятность отказа всех элементов устройства. При этом возникает зависимость между отказами различных элементов и резервирование каналов иногда становится практически бесполезным. Следует иметь в виду, что небольшие отклонения от принятых допущений всегда имеют место. Поэтому в ответственных случаях (например, при передаче изделий в массовое производство) результаты предварительных проектных расчетов надежности проверяются испытаниями готовых изделий.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует основные принципы использования вероятностных расчетов для практических целей. При этом решение рассматриваемой прикладной выдачи можно разделить на следующие этапы:

определение вероятностей некоторых исходных событий (по данным статистических испытаний или по схеме равновозможных случаев);

пересчет вероятностей исходные событий в вероятности интересующих исследователя окончательных событий;

- переход от вероятностей окончательных событий к их частотам или другим, имеющим практическое значение параметрам.

Проведение подобных исследований возможно лишь на основе некоторых допущений о характере рассматриваемых событий и их взаимной связи. Правильный выбор системы -допущений имеет решающее значение для задач рассматриваемого типа. Эта система должна соответствовать существу решаемой прикладной задачи и обеспечивать возможность проведения необходимых расчетов методами теории вероятностей. Так как ни одна система допущений не учет выполняться абсолютно точно, то следует обратить особое внимание на устойчивость получаемого решения к малым отклонениям от принятых допущений. А именно, при возможных малых отклонениях от этих допущений результаты не должны существенно изменяться. Из изложенного следует, что выбор системы допущений должен производиться специалистами, хорошо знающими рассматриваемую прикладную задачу и в достаточной мере владеющими методами теории вероятностей» В ответственных случаях следует по возможности проверять результаты теоретических расчетов статистическими испытаниями всего исследуемого явления в целом.

Таким образом, устанавливается близость понятий частоты и вероятности. А именно, частоту статистически устойчивого случайного события следует рассматривать как измеренное значение его вероятности и использовать в числе исходных данных для вероятностных расчетов. Получаемая в результате этих расчетов вероятность некоторого другого события может рассматриваться как его частота при многократном повторении эксперимента. Такой переход имеет смысл даже в том случае, когда эксперимент проводится всего один раз (например - при запуске космического аппарата на другую планету). В этом случае многократное повторение эксперимента следует рассматривать как гипотетическую возможность. Если вероятность некоторого события мала, то при единичном эксперименте мы можем с большой уверенностью считать, что оно не произойдет. По сути, этим мы все время руководствуемся в обыденной жизни. Пешеход, выходящий на улицу большого города, и пехотинец, идущий в атаку на пулемет, испытывают совершенно различные чувства. Но ведь в обоих случаях можно погибнуть. Только с разной вероятностью!

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Измерительная информация: сколько ее нужно? как ее обрабатывать? Эльясберг П.Е. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 208 с.