Вероятность, теоремы сложения и умножения вероятностей

15

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Определение вероятности

1.1 Классическое определение

1.2 Геометрическое определение

2. Теорема сложения вероятностей

3. Теорема умножения вероятностей

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика.

Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей - это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления.

В данной работе мы обратим внимание прежде всего на подходы к определению категории «вероятность». Второй интересующий нас момент - теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Определение вероятности

Рассматривая различные случайные события при выполнении одних и тех же условий G, нетрудно убедиться в том, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни большей, другие - меньшей. Так, например, события A= {появление дамы пик} и C = {появление карты бубновой масти} различаются возможностью происхождения в одних и тех же условиях. А события A = {появление герба} и B = {появление цифры} одинаково возможны при одном подбрасывании «правильной» монеты, т. е. монеты правильной формы и сделанной из однородного материала.

Для того чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число назовем вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности происхождения этого события в некоторых условиях. Будем говорить, что при выполнении комплекса условий G событие А происходит с вероятностью P(A).

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события - возможные, но не достоверные - будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое, которое в данном опыте не может произойти.

Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю. Таким образом, P(Ш)= 0, 0 < P(A) <1.

Для определения вероятности события существуют различные подходы.

1.1 Классическое определение

Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.

Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу, состоящую из n равновозможных, попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется как

(1.1)

Справедливость классического определения вероятности, т. е. справедливость формулы (1.1) можно обосновать следующим образом. Если под вероятностью события А понимать число

где p(щ) - вероятности элементарных событий, определенные таким образом, что

то для пространства элементарных событий Щ , состоящего из n равновозможных исходов, для всех. Тогда вероятность события А = {}, состоящего из m элементов, будет равна отношению числа элементарных событий , входящих в А, к общему числу элементарных событий в Щ:

Здесь число элементов любого конечного множества M будем обозначать .

По-иному можно сказать, что вероятность события А, определяемая по формуле (1.1), равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятных наступлению события А, к числу всех возможных исходов испытания при условии, что все эти исходы равновозможны или равновероятны.

Приведем примеры классического определения вероятностей.

Пример 1. Правильная монета подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: А = {появление герба}, В = {появление цифры}.

Решение. В этом простейшем примере Щ = {щ1 ,щ2} , А={щ1} ; В={щ2} , где щ1 = {г}; щ2 = {ц}. Тогда по формуле (1.1)

.

Пример 2. Стандартная игральная кость брошена один раз. Каковы вероятности событий: А = {выпадения четного числа очков}, В = {выпадения числа очков, кратного трем}, С = {выпадение дробного числа очков}, D = {выпадение любого числа очков}.

Решение. Пространство элементарных событий Щ = {щ1 ,щ2 ,...,щ6} , где щi = {выпадение i очков, i = 1, 2,…,6}, = n = 6. Здесь А = {щ2 ,щ4 ,щ6}, = 3; В = {щ3 ,щ6} , = 2; С = Ш , = 0 ; D = {щ1 ,щ2 ,...,щ6}, = 6 .

По классическому определению (1.1) получаем:

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае целесообразно переходить на геометрический язык и пользоваться геометрическим подходом к определению вероятности или геометрическими вероятностями.

1.2 Геометрическое определение

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Если пространство Щ непрерывное и состоит из равновозможных элементарных исходов, то для любого события

(1.2)

где под mes (от английского measure), обозначена любая геометрическая мера этого пространства (длина, площадь, объем и т. д.).

Геометрическая вероятность (1.2), так же как и классическая (1.1), равна отношению геометрической меры области, благоприятной наступлению события А, к мере всей области Щ.

Пример 3. В точке С, положение которой на телефонной линии связи KL длины z равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки К на расстояние, не меньшее l (событие А).

Решение. Представим линию связи в виде отрезка KL, длина которого равна z. Тогда = l, = z ? l.

Обрыв равновозможен на любой единице длины отрезка CL. Тогда по геометрическому определению искомая вероятность определится как отношение длин области, благоприятной наступлению события, к длине всей области, т.е. отрезка KL.

2. Теорема сложения вероятностей

В любых сколь угодно сложных расчетах по теории вероятностей в той или иной форме используют две теоремы: теорему сложения и теорему умножения вероятностей.

Теорема 1. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Доказательство. Докажем теорему для двух событий, т.е. покажем, что если С=А+В и АВ=Ш , то

Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В), (1.3)

Для простоты рассуждений будем опираться на классическое определение вероятности. Пусть множество элементарных исходов испытания или опыта Щ дискретно и состоит из n равновозможных исходов, т. е. = n; пусть событию А благоприятствуют m? исходов, = m?; событию В - m?? исходов, = m?? . Так как А и В несовместны, то среди исходов, благоприятствующих наступлению этих событий, нет совпадающих. Поэтому событию С=А+В будет благоприятствовать m? + m?? исходов, = m? + m??. Тогда по классическому определению

Последнее выражение можно также представить в виде

Таким образом, соотношение (1.3) доказано.

Методом математической индукции можно показать справедливость теоремы для любого конечного числа попарно несовместных событий:

если Ш,

Пример 4. Мишень состоит из концентрических окружностей. Вероятность попадания в первый, центральный круг - 0,05, во второй (средний) - 0,20 и наружное кольцо - 0,50. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?

Решение. Искомое событие A произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий: A1={попадание в первый, центральный круг}, A2 ={попадание в среднее кольцо}, A3 = {попадание в наружное кольцо} , т. е. событие A представимо в виде суммы событий A1 ,A2 ,A3 , причем слагаемые события в этой сумме попарно несовместны и вероятности их наступления заданы. Тогда по теореме сложения получим

P(A) = P(A1 + A2 + A3) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3) = 0,05+ 0,20+ 0,50 = 0,75.

Из теоремы сложения следует практически важное следствие или свойство вероятностей противоположных событий.

Следствие. Вероятности двух взаимно противоположных событий дополняют друг друга до единицы: , или вероятность события , противоположного событию A, равна

, (1.4)

Действительно, так как A + = Щ и A = Ш, то по формуле (1.3) P(A + ) = P(A) + P() = P(Щ ) =1. Отсюда P() =1 ? P(A).

Теорема 2. (обобщенная теорема сложения). Если событие С представимо в виде суммы двух событий А и В, где A и В - любые события из одного поля, то

Р(С)=Р(А+В)=Р(А) + Р(В) - Р(АВ), (1.5)

3. Теорема умножения вероятностей

В основе определения вероятности события лежит некоторый комплекс условий G, который остается неизменным при всех вариантах условий испытаний. Но, кроме этого, для того, чтобы установить характер соотношений между событиями А и В, приходится наблюдать происхождение или непроисхождение события А то без всяких дополнительных условий, то при условии, что уже произошло событие В. Если вероятность события А подсчитывается без каких-либо дополнительных условий или ограничений, то ее называют безусловной вероятностью данного события и записывают Р(А). Вероятность события А, найденная при условии, что произошло некоторое другое событие В, называется условной и обозначается Р(А/В) либо .

Условные вероятности обладают всеми свойствами безусловных вероятностей и находятся по тем же формулам.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению безусловной вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В) (1.7)

Доказательство.

Для простоты будем также опираться на классическое определение вероятности. Пусть множество Щ конечно и состоит из n равновозможных, попарно несовместных исходов испытания или опыта, = n; событие А состоит из m исходов, = m; m ? n; событие В - из k исходов, = k, k ? n; событие АВ - из r исходов, = r, r ? n, r ? k, r ? m, т. е. событиям А, В и АВ будут благоприятствовать m, k и r равновозможных исходов соответственно. Найдем условную вероятность события А при условии, что событие В произошло: Р(А/В)=r/k.

Поделим числитель и знаменатель этой дроби на n.

Отсюда Р(АВ)=Р(В)Р(А/В).

В наших рассуждениях мы могли поменять события А и В. Меняя ролями А и В, получим Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). Таким образом, равенство (1.7) доказано. Теорема умножения распространяется и на большее, чем два число сомножителей

(1.8)

Пример 5. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять - внутри страны, а три - на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

Решение. Используем для решения задачи формулу умножения вероятностей (1.7) и непосредственный подсчет по классическому определению, т. е. решим ее двумя способами.

1-й способ: событие А = {первый взятый наугад заказ - внутри страны}, В = {второй, тоже взятый наугад заказ - внутри страны}. Нам необходимо найти вероятность Р(АВ), поэтому по формуле (1.7)

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=(5/8)(4/7)=5/14.

2-й способ: событие А ={два выбранных наугад заказа - внутри страны}. По классическому определению

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая математические модели массовых случайных явлений. В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики и т. п.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеобразием, поскольку она очень тесно связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения алгебры или дифференциальных уравнений. Задачи теории вероятностей также необычны и часто имеют нематематическую постановку. Это в первую очередь объясняется тем, что зарождение теории вероятностей связано с комбинаторными задачами азартных игр. Азартные игры трудно считать серьезным занятием. Но именно они привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших математических соотношений и стимулировали тем самым поиск новых понятий, подходов и идей.

Подобно другим математическим наукам, теория вероятностей развивалась из потребностей практики и представляла собой прикладную дисциплину. В связи с этим ее понятия и выводы имели характерные черты тех областей знаний, в которых они были получены. Лишь постепенно выкристаллизовалось то общее, что присуще вероятностным схемам, независимо от области их приложения и что позволило превратить теорию вероятностей в надежный, точный и эффективный метод познания.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1972, 1977.

3. Ежова Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. - Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2000.

4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991.

5. Теория вероятностей: Учебное пособие / Ежова Л.Н., Абдуллин Р.З., Калашникова Л.С., Никулина С.И., Леонова О.В.. - Иркутск: изд-во ИГЭА. - 1996.