Випадкові величини

Контрольна робота

на тему

«ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ»



В багатьох практичних випадках настання події полягає у тому, що деяка скалярна величина набуває деякого чисельного значення, взагалі кажучи різного при повторних експериментах в однакових умовах. Такі величини називають випадковими величинами.

Дискретні випадкові величини

Випадкова величина, яка в результаті експерименту може набувати одне із дискретної множини ( n може бути і нескінченістю) можливих значень, називається дискретною.

Приклад 1. Кількість очок, які випадають при киданні грального кубика є випадковою величиною X, яка може набувати значень .

Приклад 2. Кількість успіхів у схемі Бернуллі дискретна випадкова величина X, яка може набувати значень від 0 ( жодного успіху) до n (всі експерименти успішні).

Імовірність події випадкова величина X набуває значення x_i називають ймовірністю значення x_i. Функція , яка визначена на дискретній множині значеннями називається розподілом випадкової величини X (або законом розподілу, або дискретною густиною розподілу, або функцією ймовірностей).

Розподіл дискретної випадкової величини записують у табличній формі:

або , або , або (1)

Розподіл (1) однозначно визначає дискретну випадкову величину X. Функція



, (2)

( ймовірність події випадкова величина X набуває значення менше ніж x) називається інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу, інтегральним законом розподілу) випадкової величини.. Інтегральна функція однозначно описує будь-яку випадкову величину (необов'язково дискретну)

У випадку дискретної випадкової величини події утворюють повну групу подій.

Тому за теоремою додавання ймовірностей можна записати

(3)

Приклад 3. Необхідно обчислити розподіл та інтегральну функцію розподілу випадкової величини X, можливі значення якої дорівнюють сумі очок при киданні двох гральних кубиків.

Розв'язування. Сума очок є випадковою величиною з можливими значеннями , , , ,…, . Для обчислення ймовірностей значень x_i можна скористатися класичним означенням ймовірностей. Для цього необхідно підрахувати число наслідків, які сприяють подіям . У результаті:

Значення інтегральної функції розподілу обчислюються за формулою (3):

(тому, що сума очок на двох кубиках не може бути меншою за 2);

;

;

У підсумку

З означення функції розподілу слідує, що вона неспадна: якщо , то

.

Сума ймовірностей , тому для ймовірності попадання випадкової величини X у напівінтервал можна записати



(4)

Неперервні випадкові величини

Випадкова величина X називається неперервною, якщо вона може набувати будь-якого значення x деякого відрізка ( інтервалу). Таку величину не можна задати розподілом (1) тому, що кількість її значень нескінченна. Але, як і дискретна випадкова величина, неперервна випадкова величина однозначно визначається інтегральною функцією розподілу

(3.2.1)

Для інтегральної функції розподілу неперервної випадкової величини мають місце співвідношення

, якщо ,

(функція неспадна),

,(3.2.2)

як і у випадку дискретної випадкової величини. Крім цього

, .(3.2.2a)

Множина значень неперервної випадкової величини нескінченна, тому ймовірність набути випадковій величині окремого значення є нескінченно малою величиною. Це означає, що ймовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервал не залежать від того, включені, чи ні його границі. Іншими словами, ймовірності попадання на відрізок, в інтервал, в напівінтервали однакові:

(3.2.3)

За аналогією до дискретних випадкових подій, буде використовуватися запис у будь-якому випадку.

Перша похідна від інтегральної функції розподілу неперервної випадкової величини,

(3.2.4)

називається густиною розподілу ймовірності неперервної випадкової величини X (густиною ймовірності, функцією густини ймовірності, диференціальною функцією розподілу). З означення (3.2.4) слідує, що

(3.2.5)

Рівність (3.2.5) визначає зміст густини розподілу .

Для інтегральної функції розподілу і тому для густини розподілу можна записати рівність нормування

(3.2.6)

Це означає, що площа під кривою густини розподілу дорівнює одиниці.

Інтегральна функція розподілу неперервної випадкової величини є неспадною функцією. Як наслідок цього для густини розподілу неперервної величини має місце нерівність

.(3.2.7)

За відомою густиною розподілу можна обчислити ймовірність попадання неперервної випадкової величини у заданий інтервал

(3.2.8)

Доведення. За формулою (3.2.3)

.

Згідно (3.2.5)

, .

Тому

,

що й треба було довести.

Чисельні характеристики випадкових величин

Випадкові величини однозначно описується своїм законом розподілу (або дискретним розподілом, або густиною розподілу, або інтегральними функціями розподілу). Проте, на практиці не завжди потрібно такого докладного опису. В таких випадках випадкові величини характеризуються своїми чисельними характеристиками - початковими та центральними моментами.

Початковим моментом порядку k випадкової величини називається число

(3.3.1)

Центральним моментом порядку k називається число

(3.3.2)

На практиці для опису випадкової величини досить початкових та центральних моментів перших чотирьох порядків, деякі з яких мають спеціальні позначення та назви. Найбільш важливими серед них є математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.

Математичне сподівання випадкових величин

Математичним сподіванням випадкової величини X називають її початковий момент першого порядку. Для математичного сподівання використовують позначення . Отже, за означенням

(3.1)



Приклад 3.1. Математичне сподівання суми очок, які випадають при киданні двох гральних кубиків (приклад 3) дорівнює

Приклад 3.2. Математичне сподівання неперервної випадкової величини з густиною розподілу ймовірності

Дорівнює

.

Математичне сподівання приблизно дорівнює середньоарифметичному значенню випадкової величини в окремій серії експериментів (у цьому полягає ймовірнісний зміст математичного сподівання):

,(3.2)

(середньоквадратичне значення випадкової величини змінюється від серії до серії експериментів, тобто є випадковою величиною - саме тому воно позначається великою буквою).

Доведення. Середньоарифметичне значення випадкової величини X для серії експериментів за означенням

,

k - кількість експериментів, в яких дискретна випадкова величина X набуває значення разів, разів, …, разів. Враховуючи, що (відносній частоті значення ), , ..., , ( - випадкові величини, тому позначені великими буквами, аналогічно для відносних частот ) можна записати

.

При великих n і тому

.

Математичне сподівання має такі властивості.

Властивість 1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює сталій величині:

.

В подальшому, стала величина позначається малою буквою, як і її значення. З врахуванням цього, останню рівність можна записати так:

. (3.3)

Доведення 3.2. Постійну величину C можна розглядати як випадкову величину, яка приймає одне значення c з ймовірністю . Тому

.

Властивість 2. Математичне сподівання добутку сталої на випадкову величину дорівнює добутку сталої на математичного сподівання:

.(3.4)

Іншими словами, сталу можна виносити з-під знака математичного сподівання.

Доведення. Нехай X - дискретна випадкова величина з розподілом

Добуток постійної величини c та випадкової величини X визначається як випадкова величина CX із розподілом

.

Математичне сподівання випадкової величини cX

Властивість 3. Математичне сподівання суми довільних випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань, аналогічно для різниці випадкових величин:

.(3.5)

Доведення. Cтроге доведення цієї властивості використовує сумісний розподіл системи двох випадкових величин і тому наводиться у темі 4 .Тут лише ілюструється принцип доведення на прикладі випадкових величин з розподілами

та .

Сума цих випадкових величин є випадковою величиною з розподілом

,

.

Вважається, що серед сум немає однакових. Якщо це не так, то відповідні ймовірності треба додати.

За означенням

.

Події з ймовірністю сприяють несумісні події та з ймовірностями , відповідно. Тому згідно теореми додавання ймовірностей несумісних подій . Анологічно,

, , .

З врахуванням цього

.



Різницю випадкових величин можна означити через додавання випадкових величин та множення випадкової величини на число:

.

Тоді

.

Рівність (3.5) легко узагальнюється на випадок суми довільної кількості випадкових величин:

.

Властивість 4. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань:

.(3.6)

Доведення. Cтроге доведення цієї властивості використовує сумісний розподіл системи двох випадкових величин і тому наводиться у темі 4. Тут лише ілюструється принцип доведення на прикладі випадкових величин з розподілами

та

Добутком цих випадкових величин є випадковою величиною з розподілом



,

.

Вважається, що серед добутківнемає однакових. Якщо це не так, то відповідні ймовірності треба додати. Якщо випадкові величини незалежні (це означає, що події та незалежні), то за теоремою множення ймовірностей незалежних подій , і розподіл добутку випадкових величин набуде вигляду:

За означенням

.

Рівність (3.6) легко узагальнюється на випадок добутку довільної кількості незалежних випадкових подій:

.

З використанням математичного сподівання можна дати більш зручні означення початкових та центральних моментів випадкової величини, які справедлива як у випадку дискретних, так і у випадку неперервних випадкових величин, а саме:

,(3.7)

та

,(3.8)

де

(3.9)

центрована випадкова величина або відхилення (розсіювання) випадкової величини X від (навколо) її математичного сподівання.

Властивості центрованих величин:

Властивість 1. Якщо

, то

.(3.10)

Доведення.

Властивість 2. Якщо

, то

.(3.11)

Доведення

.

Властивість 3. Якщо то

.(3.12)

Доведення

.

Математичне сподівання розсіювання випадкової величини дорівнює нулю:

.

Доведення

.

З цієї причини математичне сподівання не може бути чисельною характеристикою розсіювання випадкової величини навколо її математичного сподівання.

З використанням означень (3.7) та (3.8) можна просто одержати співвідношення, які зв'язують центральні та початкові моменти:

, (3.13)

, (3.14)

.(3.15)

Доведення.

.

.

.

Дисперсія випадкової величини та її властивості

Дисперсією називають другий центральний момент випадкової величини X. Для дисперсії використовують позначення . Отже, за означенням дисперсія випадкової величини

,(3.3.2.1)

або згідно (3.8)

(3.3.2.2)

Квадратний корінь із дисперсії називають середньоквадратичним відхиленням випадкової величини:

.(3.3.2.3)

Через це дисперсію часто позначають . Середньоквадратичне відхилення є чисельною характеристикою розсіювання випадкової величини навколо її математичного сподівання.

З означення дисперсії (3.3.2.2) можна одержати більш зручну формулу для її обчислення,

(3.3.2.4)

Доведення.

.

Приклад 3.3.2.1. Обчислити дисперсію дискретної випадкової величини, яка задана розподілом

.

Розв'язування. Для обчислення дисперсії можна скористатися її означенням (3.3.2.1), але більш зручною є формула (3.3.2.4). З означення математичного сподівання (3.1)

.

Математичне сподівання квадрата випадкової величини X

:

.

За формулою (3.3.2.4)



.

Приклад 3.3.2.2. Знайти дисперсію неперервної випадкової величини з густиною розподілу ймовірності

Розв'язування.

(приклад 3.2).

.

.

Дисперсії випадкової величини має такі властивості.

1 властивість. Дисперсія сталої дорівнює нулю:

.(3.3.2.5)

Доведення.

.

2 властивість. Дисперсія добутку сталої на випадкову величину дорівнює добутку квадрата сталої на дисперсію випадкової величини:

.(3.3.2.6)

Доведення

.

3 властивість. Дисперсія суми (різниці) незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій випадкових величин:

.(3.3.2.7)

Доведення.

.

У випадку суми довільної кількості незалежних величин

.

3.4 Стандартні розподіли випадкових величин

На практиці широко використовуються стандартні розподіли дискретних випадкових величин, які обслуговують задачі теорії надійності, похибок вимірювань, контролю якості, систем масового обслуговування, тощо.

Біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл - це розподіл дискретної випадкової величини - кількість успіхів у схемі Бернуллі з n експериментів:

,(3.4.1.1)

Біноміальний прозподіл однозначно визначається своїми параметрами n і p. (додаток 1.3)

Доведення.

Виведення біноміального розподілу аналогічне виведенню формули Бернулі (2.1.2)

Математичне сподівання біноміального розподілу

,(3.4.1.2)

дисперсія

.(3.4.1.3)

Доведення. Кількість успіхів у схемі Бернуллі дорівнює сумі кількості успіхів (0 або 1) у кожному окремому експерименті:

.

Розподіл всіх випадкових подій однаковий:

.

Відповідно однакові і математичні сподівання:

.



Тому

.

Дисперсія випадкових величин згідно (3.3.2.4)

Випадкові величини тамають однаковий розподіл і тому їх математичні сподівання рівні між собою. На підставі цього

.

Випадкові величини незалежні , тому можна скористатися 3-ю властивістю дисперсії (3.3.2.7):

.

3.4.2 Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона - це розподіл з дискретною густиною

(3.4.2.1)

. Розподіл Пуассона однозначно задається параметром (додаток Д.4).

Розподіл Пуассона є граничним розподілом для біноміального розподілу (3.4.1.1) при та ( p - ймовірність успіху, -- кількість експериментів) так, що () (розподілом для рідкісних подій). Його дискретна густина розподілу

Доведення. Нехай (за умовою ), тоді .З врахуванням цього біноміальний розподіл можна переписати у вигляді

.

,

,

.

Тому

, що й треба було довести

Практичний зміст розподілу Пуассона полягає у наближенній формулі

,(3.4.2.1a)

, - ймовірність того, що у схемі Бернуллі успіху буде досягнуто рівно k разів. Ця формула тим точніша, чим більше число експериментів n та чим менша ймовірність успіху p .

Не менше, якщо не більше, значення має розподіл Пуассона при вивченні випадкових процесів, систем масового обслуговування.

Математичне сподівання розподілу Пуассона дорівнює параметру :

.(3.4.2.2)

Цьому ж параметру дорівнює і дисперсія розподілу Пуассона:

.(3.4.2.3)

Доведення.

.

.

.

Гіпергеометричний розподіл

Гіпергеометричний розподіл - це розподіл дискретної випадкової величини - кількість виділених елементів серед m вибраних із n елементів, серед яких є k виділених елементів. Гіпергеометричний розподіл задається функцією



,(3.4.3.1)

Параметри розподілу , , , (додаток 1.5).

Доведення аналогічне виведенню формули у прикладі 1.3.5.

Математичне сподівання гіпергеометричного розподілу обчислюється за формулою

.(3.4.3.2)

Дисперсія гіпергеометричного розподілу дорівнює

.(3.4.3.3)

Доведення. Якщо вважати, що елементи вибираличя послідовно по одному, а не одразу, то можна представити випадкову величину як суму випадкових величин кількість відміченних елементів при i-вийманні :

Випадкові величини залежні, тому не можна скористатися 3-ю властивістю (3.3.2.7) дисперсії. Тому математичне сподівання та дисперсія гіпергеометричного розподілу можна знайти послідовно.

Нехай подія при i-вийманні вийнятий відміченний елемент. Очевидно, що випадкова величина має розподіл



,

де , ,

математичне сподівання

,

дисперсію

.

Випадкова величина має розподіл

де

,

,

;

математичне сподівання



;

дисперсію

.

Для дисперсії закономірність поки що не виявляється.

Випадкова величина має розподіл

де

,

,

,

;

математичне сподівання

;

дисперсію

.

Продовжуючи цей процес і надалі у підсумку можна записати

,

3.4.4 Геометричний розподіл

Геометричний розподіл - це розподіл дискретної випадкової величини - кількість експериментів у схемі Бернуллі, які треба здійснити перед досягненням успіху . Цей розподіл задається дискретною густиною розподілу

,(3.4.4.1)

x-- кількість експериментів у схемі Бернуллі, які треба виконати перед досягненням успіху (x=0 - успіху досягнуто у першому експерименті, - в 6-му експерименті) (іншими словами, - кількість експериментів, які треба здійснити для досягнення успіху), p - ймовірність успіху, - ймовірність невдачі. Параметр розподілу - ймовірність p (додаток 1.6).

Доведення. Нехай - подія - у k-експерименті досягнуто успіху. Подію B - успіху досягнуто у -експерименті - можна представити у вигляді

.

Події незалежні. За теоремою множення ймовірностей незалежних подій

.

Імовірності подій

, .

Тому , що й треба було довести.

Математичне сподівання та дисперсія геометричного розподілу обчислюються за формулами

,(3.4.4.2)

.(3.4.4.3)

Доведення. Для спрощення доведення має зміст знайти математичне сподівання випадкової величини .Очевидно, що розподіл випадкової величини З означення математичного сподівання

.

Нескінченна сума як функція дорівнює похідній від нескінченої суми

:

Сума є сумою геометричної прогресії з першим членом та знаменником :

.

Тому і .



Математичне сподівання випадкової величини

.

Дисперсія випадкової величини обчислюється за формулою

.

.

Для обчислення суми можна скористатися тим, що

.

Тому

,

.

Розподіл Паскаля (від'ємний біноміальний розподіл)

Розподіл Паскаля - це розподіл з дискретною густиною розподілу

,(3.4.5.1)



- кількість експериментів у схемі Бернуллі, які необхідно виконати для досягнення успіхів. При розподіл Паскаля (3.4.5.1) переходить у геометричний розподіл (3.4.4.1). Розподіл Паскаля однозначно визначається параметрами (додаток 1.7).

Доведення. Подія - після експериментів буде досягнуто успіхів - настане, якщо після експериментів буде досягнуто успіхів (подія ) і в -експерименті буде досягнуто успіху (подія ):

.

Події незалежні тому

Імовірність події за формулою (3.4.1.1) ,

,

а події

,

тому

,

що і треба було довести.

Математичне сподівання розподілу Паскаля

.(3.4.5.2)

Дисперсія розподілу Паскаля

.(3.4.5.3)

Доведення. Випадкову величину можна представити у вигляді суми випадкових величин:

,

- кількість експериментів, які необхідно виконати для досягнення 1-го успіху, - кількість експериментів, які необхідно виконати після 1-го успіху для досягнення 2-го успіху, - кількість експериментів, які необхідно виконати після 2-го успіху для досягнення 3-го успіху, і т.д. Очевидно, що всі ці випадкові величини незалежні, мають однаковий розподіл і, як наслідок, однакові математичні сподівання (3.4.4.2) та дисперсії (3.4.4.3). Тому

,

Рівномірний розподіл

Рівномірний розподіл визначається густиною розподілу

,(3.4.6.1)



x-- значення випадкової величини (дійсне число), -- довільний відрізок довжиною L.

Імовірність попадання випадкової величини в інтервал довжиною l

,

що співпадає із геометричною ймовірністю попадання навмання кинутої точки на відрізок .

Доведення. За формулою (3.2.8)

.

Математичне сподівання рівномірного розподілу дорівнює середині відрізку:

,(3.4.6.2)

дисперсія

.(3.4.6.3)

Доведення. З означення математичного сподівання

.



Дисперсія

Нормальний розподіл

Нормальний розподіл визначається густиною розподілу

,(3.4.7.1)

x-- значення неперервної випадкової величини X, -- невід'ємні дійсні числа -- параметри нормального розподілу. Графік функції (3.4.7.1) називають нормальною кривою (додаток 1.8). Інтегральна функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини за означенням

.(3.4.7.2)

Проте, інтегральна функція нормального розподілу у формі запису (3.4.7.2) не зручна і на практиці використовується рідко.

Якщо X є нормально розподілена величина з довільними параметрами , то випадкова величина є також нормально розподіленою величиною з параметрами та . Її густина розподілу



,

а інтегральна функція розподілу

,(3.4.7.3)

- інтеграл або функція Лапласа.

Доведення. Інтегральну функцію розподілу можна переписати у вигляді

.

Перший інтеграл, як відомо з математичного аналізу, дорівнює 0.5, а другий є інтегралом Лапласа . Тому

.

Для нормально розподіленої величини X із довільними параметрами та рівність (3.4.7.3) можна переписати у вигляді:

.(3.4.7.4)

Форма запису (3.4.7.4) інтегральної функції розподілу нормальної випадкової величини є зручною. Саме вона, на відміну від (3.4.7.2), і використовується на практиці.

Математичне сподівання нормального розподілу дорівнює його параметру :

;(3.4.7.5)

дисперсія нормального розподілу квадрату параметра :

.(3.4.7.6)

Отже, параметр нормального розподілу є середньоквадратичним відхиленням нормальної випадкової величини від математичного сподівання.

Доведення. Математичне сподівання нормально розподіленої величини за означенням

.

Заміна змінної:

, , .

.

Перший інтеграл дорівнює 0 як інтеграл від несиметричної функції у симетричних границях, другий є інтегралом Пуассона

при



і дорівнює (відомо з математичного аналізу).

Тому

Дисперсія нормальної випадкової величини за означенням

.

Заміна змінної:

, , .

.

Інтеграл обчислюється по частинам:

, , ,.

Імовірність попадання нормально розподіленої величини в інтервал

.(3.4.7.7)

Доведення. Згідно (3.2.8) та (3.4.7.4)



Якщо і , то

.

Функцію називають інтегралом ймовірності і позначають

.(3.4.7.8)

З її використанням для ймовірності попадання нормально розподіленої величини в інтервал можна остаточно записати

,(3.4.7.9)

.

У частковому випадку, коли (k--ціле число), , , , , , . Отже, лише у 0.27% випадках нормальна величина може набути значення, яке перевищує , що є практично неможливою подією. У цьому полягає правило .

Нормальний розподіл займає особливе місце в теорії ймовірностей, а нормально розподілені випадкові величини широко використовуються на практиці. Підставою для цього є теорема Ляпунова: Якщо випадкова величина X є сумою великої кількості взаємно незалежних випадкових величин, жодна з яких немає домінуючого впливу на значення суми, то X має закон розподілу (інтегральну функція розподілу та густину розподілу) близький до нормального.

Саме такий стан справ при вимірюванні фізичних величин. Будь-яке вимірювання дає наближенне значення фізичної величини, взагалі кажучи, різне при різних вимірюваннях. На результат вимірювання впливає велика кількість випадкових факторів, тому можна допустити, що похибка значення фізичної величини має нормальний розподіл. Останнє є основною гіпотезою в теорії похибок вимірювання.

Експоненціальний розподіл

Експоненціальний розподіл визначається густиною розподілу

(3.4.8.1)

x (дійсне) - аргумент розподілу, - параметр розподілу (додаток 1.9).

Інтегральна функція експоненціального розподілу

(3.4.8.2)

Доведення. За формулою (3.2.5)

Математичне сподівання експоненціального розподілу

,(3.4.8.3)

а дисперсія

.(3.4.8.4)

Доведення. Математичне сподівання за означенням

(здійснена заміна змінної , ) Інтеграл обчислюється по частинах (, , , , ):

.

Дисперсія обчислюється за формулою

.

(здійснена заміна змінної , ). Інтеграл обчислюється по частинах (, , , ):

.



Середньоквадратичне відхилення екпоненціального розподілу

дорівнює математичному сподіванню. Це є характерною ознакою експоненціального розподілу.

Імовірність попадання величини розподіленої за експоненціальним законом у інтервал

.(3.4.7.7)

Доведення. Згідно (3.2.8) та (3.4.8.2)

Медіана, мода, асиметрія та ексцес випадкової величини

Математичне сподівання характеризує центр розподілу випадкової величини. Центр розподілу характеризується також медіаною та модою.

Медіана це точка , перпендикуляр у якій ділить площу під кривою розподілу навпіл. З означення слідує, що медіана має зміст лише для розподілу неперервної випадкової величини. За означенням медіана задовільняє рівнянню

.(3.5.1)

Приклад 3.5.1. Медіана a експоненціального розподілу за означенням (3.5.1) задовільняє рівнянню

.

Тому

і

.

Мода дискретної випадкової величини -- це значення випадкової величини, яке має найбільшу ймовірність.

Приклад 3.5.2. Мода розподілу суми очок на двох гральних кубиках (приклад 3) дорівнює 7.

Мода неперервної випадкової величини це точка максимуму густини розподілу .

Приклад 3.5.3. Мода експоненціального розподілу дорівнює 0 (значення густини розподілу).

Зрозуміло, що мода має зміст, якщо існує лише одне значення випадкової величини X із максимальною ймовірністю.

Для характеристики відхилення симетрії кривої розподілу випадкової величини від симетричної нормальної кривої вводиться поняття асиметрії. Асиметрія визначається третім центральним моментом . Крива розподілу з однією вершиною при має лівосторонню (від'ємну) асиметрію, а при має правосторонню (додатню) асиметрію (рис 3.5.1). В якості характеристики асиметрії використовується число

,(3.5.2)



яке також називають асиметрією. Для симетричної кривої асиметрія , для кривої з лівою асиметрією та для кривої з правою асиметрією (додаток 1.10).

Для характеристики гостровершинності використовується число

,(3.5.3)

яке називається ексцесом. Для нормальної кривої . Відхилення ексцеса від нуля характеризує більш гостро вершинну (при ) та менш гостро вершинну криву (при ) (додаток 1.10).

Приклад 3.5.4. Необхідно обчислити асиметрію та ексцес експоненціального розподілу

Розв'язування. Для обчислення асиметрії та ексцесу експоненціального розподілу необхідно знайти третій та четвертий центральні моменти. Для цього згідно (3.13) - (3.15) необхідно спочатку обчислити початкові моменти.

.

(інтеграл обчисленний по частинам)

Аналогічно

,,.

За формулами (3.14) та (3.15)



.

Асиметрія розподілу

,

ексцес

.

Через те, що та експоненціальний розподіл має правосторонню асиметрію і більш гостру вершину порівняно з нормальною кривою.

Функція одного випадкового аргументу

Якщо кожному одному значенню випадкової величини X відповідає одне значення випадкової величини Y, то величину Y називають функцією випадкового аргументу:

.(3.6.1)

Основною задачею при вивченні функцій від одного випадкового аргументу є знаходження її розподілу, якщо відомий розподіл її аргументу. Іншими словами, необхідно знайти розподіл випадкової величини Y , якщо відомий розподіл випадкової величини X. Ця задача розв'язується по різному у випадках дискретного та неперервного випадкового аргументу X.

1) X - дискретна випадкова величина

Якщо різним можливим значенням x_i випадкової величини X відповідають різні значення y_i, то ймовірності відповідних значень випадкових величин рівні між собою.

Приклад 3.6.1. Якщо випадкова величина X має розподіл

,

то функція має розподіл

.

Якщо декільком значенням випадкової величини X відповідає одне значення величини Y, то ймовірність цього значення дорівнює сумі ймовірностей відповідних значень величини X.

Приклад 3.6.2. Якщо випадкова величина X має розподіл

,

то функція має розподіл

.

2) X - неперервна випадкова величина з густиною розподілу . Якщо функція диференційована і строго монотонна, то густину розподілу функції можна знайти за формулою

,(3.6.2)

- обернена функція до функції , - її перша похідна.

Приклад 3.6.3. Випадкова величина X розподілена нормально з математичним сподіванням . Необхідно знайти густину ймовірності функції .

Розв'язування. Функція диференційована і строго зростаюча, тому можна скористатися формулою (3.6.2). Обернена функція

, , , .

Тому

.

Якщо диференційована, але має точки екстремуму (це означає, що вона зростає в одних областях і спадає в інших), то область визначення функції граничними точками області та точками екстремумів розбивається на відрізки, на яких ця функція строго монотонна. Для кожного такого відрізка можна скористатися формулою (3.6.2) і представити у вигляді суми:

,(3.6.2a)

( - густина розподілу на r - відрізку монотонності, p - кількість таких відрізків).

Приклад 3.6.4. Випадкова величина X розподілена нормально з параметром . Необхідно знайти густину імовірності функції

Розв'язування. Функція має точку мінімуму і тому мають розглядатися інтервали на якому функція строго спадає та на якому строго зростає. Область значень випадкової величини . Точка не входить в область значень тому, що при функція не має оберненої.

1. x<0.

, ,, , , .

2. .

, , , , .

І, остаточно

Інтегральну функції розподілу випадкової величини можна знайти за її густиною розподілу (3.2.5), або за формулою

(3.6.3)

Приклад 3.6.5. Нехай лінійна функція випадкового аргументу. Необхідно знайти інтегральну функцію розподілу функції , якщо відома інтегральна функція розподілу аргумента функції.

Розв'язування. Якщо , то функція всюди монотонно зростає. Обернена функція

і згідно (3.6.3)

.

Якщо , то функція всюди монотонно спадає і згідно (3.6.3)

.

Отже, у підсумку

Якщо функція має точки екстремумів, то формулу (3.6.3) необхідно використовувати для кожного відрізка монотонності і результати додати.

,(3.6.3a)

де - кількість інтервалів зростання функції, - кількість інтервалів спадання, - інтервали монотонності.

Приклад 3.6.6. Необхідно знайти інтегральну функцію розподілу функції випадкового аргументу , якщо відома інтегральна функція розподілу аргумента функції.

Розв'язування. Функція має точку мінімума , яка розбиває область визначення функції на два відрізки монотонності: та . На першому відрізку функція монотонно спадає, обернена функція . На другому відрізку функція монотонно зростає, обернена функція . Згідно формули (3.6.3a)

.

Математичне сподівання функції , якщо X - дискретна випадкова величина, можна обчислити, якщо скористатися означенням математичного сподівання, або за формулою

.(3.6.4)

Приклад 3.6.7. Задана дискретна випадкова величина з розподілом

.

Знайти математичне сподівання функції .

Розв'язування. За формулою (3.6.4)

.

У випадку неперервної випадкової величини (3.6.4) перейде в

(3.6.5)

Приклад 3.6.8. Неперервна випадкова величина задана густиною розподілу

.

Необхідно обчислити математичне сподівання функції .

Розв'язування. За формулою (3.6.5)

Функції від двох або більше випадкових аргументів

Якщо кожній парі значень випадкових величин X та Y відповідає одне значення випадкової величини Z, то Z називають функцією двох випадкових аргументів:

.(3.7.1)

Особливо важливим для практики випадком функції двох випадкових величин є їх сума:

.

Основною задачею для функцій двох випадкових аргументів є встановлення закону розподілу функції за відомими законами розподілу аргументів.

1. X та Y - дискретні незалежні випадкові величини. Для того щоб записати розподіл величини Z необхідно знайти можливі значення Z та їх ймовірності.

Приклад 3.7.1. Нехай X та Y - незалежні дискретні випадкові величини з розподілами

та .

Необхідно знайти розподіл величини .

Розв'язування. Значення випадкової величини :

;

;

.

Відповідні ймовірності:

;

.

Отже, розподіл випадкової величини Z

.



2) X та Y - неперервні незалежні випадкові величини. Густину розподілу суми цих величини можна обчислити за формулою

,(3.7.2)

або за рівносильною

.(3.7.2a)

Густина розподілу суми незалежних випадкових величин називається їх композицією.

Приклад 3.7.2. Незалежні неперервні випадкові величини задані густинами розподілів

та .

Знайти композицію цих розподілів.

Розв'язування. За формулою (3.7.2)

Закон розподілу випадкових величин називають стійким, якщо композиція випадкових величин з таким законом є випадковою величиною з таким самим законом розподілу. Нормальний закон є стійким.

Доведення. Нехай

та

з математичними сподіваннями , та дисперсіями , , відповідно. Їх композиція

,

, , .

З математичного аналізу відомо, що

.

З врахуванням цього

.

Видно, що композиція нормальних розподілів є також нормальним розподілом з математичним сподіванням

(3.7.3)

та дисперсією

.(3.7.4)

Поняття про статистичну залежність випадкових величин

Дві випадкові величини можуть бути незалежними , зв'язані функціональною або статистичною залежністю. Строга функціональна залежність реалізується дуже рідко. Це пояснюється тим, що випадкові величини є результатом дії випадкових факторів, деякі з них можуть бути різними для випадкових величин. Саме в таких випадках між випадковими величинами встановлюється статистична залежність

Приклад 3.8.1.Якщо випадкова величина залежить від випадкових факторів , а випадкова величина від випадкових факторів , то між і існує статистична залежність (на них впливають, як різні фактори, так і спільні ).

На відміну від функціональної, при статистичній залежності одному значенню випадкової величини X (аргумента) може відповідати більше ніж одне значення випадкової величини Y (функції), і зміна значення випадкової величини X приводить до зміни розподілу випадкової величини Y.

Статистична залежність може проявитися у зміні середнього значення випадкової величини Y при зміні значення випадкової величини X . У цьому випадку статистичну залежність називають кореляційною.

Приклад 3.8.2. Нехай - випадкова величина - врожай зерна, а - кількість добрив. З однакових площ при однаковій кількості добрив збирають різну кількість зерна, тобто не є функцією від . Це пояснюється впливом випадкових факторів (температура , кількість опадів, тощо). Але, як показує досвід, середній урожай є функцією від кількості добрив. Це означає, що між і є кореляційна залежність.

Вивченням кореляційної залежності за результатами спостережень займається теорія кореляції - складова частина математичної статистики.

Закони великих чисел

Відомо, що неможливо передбачити яке значення набуде випадкова величина у результаті одного експерименту. Здавалося б це вірне і для суми випадкових величин. Але виявляється, що при деяких умовах сума достатної кількості випадкових величин втрачає випадковий характер. Ці умови і вказуються у теоремах, які у сукупності називають законами великих чисел.

Нерівність Чебишева

Для будь-якої випадкової величини X справедлива нерівність Чебишева

(3.9.1.1)

де - будь-яке додатнє число.

Доведення (для дискретної випадкової величини). Події та є протилежними, тому

(*)

З означення дисперсії



(збережені доданки суми і вважається, що доданки пронумеровані від 1 до k). Якщо , то і, у свою чергу, . Враховуючи, що за теоремою додавання імовірностей несумісних подій , для дисперсії можна записати , звідки , що з врахуванням рівності (*) приводить до нерівності Чебишева (3.9.1.1).

Нерівність Чебишева не має ніякого практичного значення. Часто з неї слідує, що ймовірність значення випадкової величини додатня, що й так відомо. Але за її допомогою можна довести важливу для практики теорему Чебишева.

Теорема Чебишева

Нехай - система попарно незалежних випадкових величин з рівномірно обмеженними дисперсіями (, c -довільне додатнє число), то

(3.9.2.1)

де випадкова величина

,

є середньоарифметичним значенням випадкових величин.

Доведення. З нерівності Чебишева (3.9.1.1) слідує



.(*)

Враховуючи , що

можна записати

(**)

За умовою теореми дисперсії випадкових величин обмежені деякою сталою і тому

.

З врахуванням цього рівність (**) можна переписати у вигляді

,

звідки при n?

Через те, що імовірність не може перевищувати 1 з останньої нерівності слідує рівність (3.9.2.1).

З теореми Бернуллі слідує, що середньоарифметичне значення досить великого числа незалежних величин, дисперсії яких рівномірно обмежені втрачає характер випадкової величини.

Теорема Бернуллі

Для схеми Бернуллі з теореми Чебишева слідує теорема Бернуллі згідно якої

(3.9.3.1)

при і яка вже розглядалася раніше (2.4.1).

Доведення. Нехай випадкові величини - кількість успіхів в 1-у, 2-у,…, n-у експериментах. Ці випадкові величини мають однаковий розподіл

і тому

,

Для знаходження максимального значення добутку можна скористатися методами математичного аналізу:



, , , .

Отже pq не перевищує 0.25, а значить дисперсії випадкових величин обмежені і тому можна скористатися теоремою Чебишева (3.9.2.1), яка для цього випадку перепишеться у вигляді

Середньоарифметичне значення випадкових величин

,а сума

і з останньої рівності слідує рівність (3.9.3.1).

З теореми Бернуллі не слідує рівності

В теоремі стверджується лише те, що ймовірність того, що при великих n відносна частота як завгодно мало відрізняється від ймовірності події A. Отже, збіжність відносної частоти до ймовірності відрізняється від збіжності у розумінні математичного аналізу. Для того, щоб підкреслити цю різницю вводять поняття збіжності по ймовірності. Послідовність випадкових величин збігається по ймовірності до випадкової величини X , якщо для будь-якого

Різниця між двома збіжностями така: якщо при у розумінні математичного аналізу, то починаючи з деякого нерівність справджується неодмінно для всіх наступних n, тоді як при збіжності по ймовірності нерівність може і не виконуватися. Коротко теорему Бернуллі записують так: