Производная и ее приложения

Павлодарский экономический колледж Казпотребсоюза

Учебно-практическое пособие

Производная и ее приложения

Составил преподаватель цикла ЕМиИД

Нургалиев А.З.

Павлодар 2009

Содержание

Введение

Теоретические основы

1. Понятие производной

2. Геометрический смысл производной

3. Физический смысл производной

4. Правила дифференцирования

4.1 Таблица производных

4.2 Правила дифференцирования

5. Производные высших порядков

6. Приложение производной при исследование функции

6.1 Возрастание и убывание функции

6.2 Экстремум функции

6.3 Пример применения производной к исследованию функции

Практические задания

№1 Вычисление производных

№2 Нахождение производной от сложной функции

№3 Вычисление производных второго порядка

№4 Определение промежутков монотонности

№5 Нахождение экстремумов функции с помощью производных

№6 Применение производной к исследованию и построению графиков функций

Итоговый тест

Литература

Введение

В данном учебном пособии рассматривается понятие производной и необходимость ее применения при введении понятий специальных дисциплин, необходимых для становления специалиста.

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

Данное учебное пособие предназначено для учащихся 1 курса обучающихся по следующим специальностям: «Финансы», «Экономика, бухгалтерский учет и аудит», «Маркетинг», «Правоведение»

Целью данного учебного пособия является:

-формирование у учащихся практических навыков решения задач на нахождение производной;

-освоение учащимися приложения производной функции;

-обучение правилам дифференцирования функции.

Перед решением задач необходимо проработать теоретический материал, рекомендованный по теме. Решение задач необходимо записывать подробно, со всеми необходимыми пояснениями.

Выбор задания.

Порядок и перечень практических заданий который должен выполнить учащийся на практических занятиях, номер выполняемого варианта, сроки выполнения и оценку проделанной работы определяет преподаватель.

Теоретические основы

1. Понятие производной

Процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f'(x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

даем аргументу x приращение Дx и определяем соответствующее приращение функции

Д?y=f(x+Д?x)-f(x);

составляем отношение

3) считая x постоянным, а Дx0, находим

.

Определение: Производной y'=f'(x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.Таким образом,

2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у=f(х), дифференцируемой в окрестностях точки x0.

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0,f(х0)) и пересекающую рафик в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая АВ называется секущей. Из ?АВС: АС=?x; ВС=?у;

tgв=?y/?x=k

- угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х>0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ?х>0 будет прямая a, называемая касательной к графику функции у=f(х) в точке А.

Если перейти к пределу при ?х>0, получим

или tg=f '(x0), так как

,

-угол наклона касательной к положительному направлению оси, значит

k=tg=f '(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

3. Физический смысл производной

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно, что средняя скорость за промежуток времени [t0;t0+?t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t>0.

- мгновенная скорость в момент времени t0.

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y=f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f(х) в точке x0.

(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = '(t) = x"(t)- ускорение.

4. Правила дифференцирования и таблица производных

C' = 0	(xn) = nxn-1	(sin x)' = cos x
x' = 1	(1 / x)' = -1 / x2	(cos x)' = -sin x
(Cu)'=Cu'		(tg x)' = 1 / cos2 x
	(ax)' = ax ln x	(ctg x)' = 1 / sin2 x
	(ex)' = ex
	(logax)' = (logae) / x
	(ln x)' = 1 / x	(arctg x)' = 1 / (1+ x2)
		(arcctg x)' = -1 / (1+ x2)

Пример 1. Найдите значение производной в точке х0:

y = (x2 - 2)(x7 + 4), x0 = 0

Решение:

uv	(x2 - 2)(x7 + 4)
u	(x2 - 2)
v	(x7 + 4)
u'	2x
v'	7x6
(uv)'	2x(x7 + 4)+ (x2 - 2) 7x6

Пример 2. Найти производную функции:

Решение:

f(g(x))
f'(g(x))
g(x)
g'(x)	2x

5. Производные высших порядков

Если функция f'(x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y''=f''(x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

.

Производная второй производной, т.е. функцииy''=f''(x), называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

.

Например:

1) ; ; ; ...;

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие - переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

6. Приложение производной при исследование функции

6.1 Возрастание и убывание функции

Определение. Функция f(х) возрастает на промежутке (a,b), если из того, что х2>x1?f(х2)>f(х1), при x1,x2?(a,b). И f(х) убывает на промежутке (a,b), если х2>x1?f(х2)<f(х1), при x1,x2?(a,b).

Теорема. (достаточный признак возрастания и убывания функции).

1. Если f/(x)?0, для всех x?(a,b), тогда f(x) возрастает на этом промежутке.

2. Если f/(x)?0, для всех x?(a,b), тогда f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Если функция f(x) возрастает или f(x) убывает, то она называется монотонной. Промежутки возрастания или убывания функции называются промежутками монотонности.

6.2 Экстремум функции

Определение. Функция f(x) имеет максимум в некоторой точке х=х1, если в некоторой окрестности х1 выполнено неравенство f(x1)>f(x), (x?x1).

Аналогично определяется минимум функции f(x). Если при х=х2 f(x2)?f(x) (х?х2) в некоторой окрестности точки х2, то в точке х2 f(x) имеет минимум.

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.

Теорема 1: В точке экстремума дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

Теорема 2. Если f(x) дифференцируема и для некоторого х=х0 f/(x0)=0, а также f/(x) меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(x0) является экстремумом функции f(x), причем:

1. f(x) имеет max при х=х0 , если f/(x) меняет знак с “+” на “-”.

2. f(x) имеет min при х=х0 , если f/(x) меняет знак с “-” на “+”.

Пример. Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x2+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.

y=x2+2x, D(y)=R

y'=(x2+2x)'=2x+2

y'=0, т.е. 2х+2=0

2х=-2

х=-1

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

y'(-2)=-4+2<0

y'(0)=0+2>0

Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х=-1, это точка минимума функции.

Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+?] и убывает на [-?;-1].

Точки экстремума: xmin= -1

Экстремумы функции: ymin=y(-1)=1-2= -1

6.3.Пример применения производной к исследованию функции.

Исследовать функцию y=x3+6x2+9x и построить график.

1) D(y)=R

2) Найдем точки пересечения с осями:

Oy: если x=0, то y=0 (0;0) - точка пересечения с осью y.

Ox: если y=0, то x3+6x2+9x=0

x(x2+6x+9)=0

x=0 или x2+6x+9=0

D=b2-4ac

D=36-36=0

D=0, уравнение имеет один корень.

x=(-b+D)/2a

x=-6+0/2

x=-3

(0;0) и (-3;0) - точки пересечения с осью х.

3) Найдем производную функции:

y'=(x3+6x2+9x)'=3x2+12x+9

4) Определим критические точки:

y'=0, т.е. 3x2+12x+9=0

x2+4x+3=0

D=b2-4ac

D=16-12=4

D>0, уравнение имеет 2 корня.

x1,2=(-b±vD)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2

x1=-1 x2=-3

5) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак производной функции:

x=-4, y'=3*16-48+9=9>0

x=-2, y'=12-24+9=-3<0

x=0, y'=0+0+9=9>0

Найдем xmin и xmax:

xmin=-1

xmax=-3

Найдем экстремумы функции:

ymin=y(-1)=-1+6-9=-4

ymax=y(-3)=-27+54-27=0

Построим график функции:

Контрольные вопросы

1) Как определяется средняя и мгновенная скорость материальной точки?

2) Дать определение производной.

3) В чем заключается физический смысл производной функции?

4) Сформулировать общий метод нахождения производной.

5) В чем заключается геометрический смысл производной?

6) Какие данные нужно иметь, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в данной его точке?

7) Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.

8) Что такое критические точки функции?

9) Сформулировать правило нахождения интервалов монотонности функции.

Практические занятия

Практические задания №1.

Тема: Вычисление производных.

Цель: Выработать у учащихся навыки нахождения производной и приложения ее в динамики.

Уровень А

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите значение производной функции в точке , если
1) , 2) ,	1) , 2) ,
2. Найдите производную функции:
1) ; 2) ; 3) .	1) ; 2) ; 3) .

Уровень В

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите скорость изменения функции
1) ; 2)	1) ; 2)
2. Найдите производную функции:
1); 2); 3).	1); 2); 3).

Практические задания №2

Тема: Нахождение производной от сложной функции

Цель: Расширить умения и навыки по вычислению производной сложной функции.

Уровень А

1) Найдите значение производной функции в точке :

а) б) в)

2) Из определения мы знаем, что сложная функция записывается как:

.

Вычислите производную следующих функций и заполните таблицу.

f(g(x))
f'(g(x))
g(x)		x+1
g'(x)	2x

Уровень В

Вариант 1	Вариант 2
3) Найдите производную функции.
4) Найдите значение производной функции в точке :
5) Выяснить, при каких значениях значение производной функции равно 0:

Практические задания №3

Тема: Вычисление производных второго порядка.

Цель: Отработать навыки нахождения производной второго порядка.

Уровень А

Заполнить таблицу.

f(x)

Уровень В

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите значение производной функции в точке , если
1) , 2) ,	1) , 2) ,
2. Найдите производную 2-го порядка функции:
1) ; 2) . 3); 4). 5) ;	1) ; 2) . 3); 4). 5) ;

Практические задания №4

Тема: Определение промежутков монотонности.

Цель: Овладеть умениями и навыками нахождения промежутков монотонности.

Вариант 1	Вариант 2
1. Найти промежутки монотонности функции.
а) б) в) г) д)	а) б) в) г) д)
2. Найти , если .	2. Найти , если .

Практические задания №5

Тема: Нахождение экстремумов функции с помощью производных.

Цель: Научить находить критические точки и экстремумы функции с помощью ее производной.

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите точки минимума и максимума функции.
А) у=х3-6х2-15х+7 Б) у=2х4-4х2+1 В) Г) у=х3(х+2)2	А) у=2х3-4х2+х+1 Б) у=х4-2х3+3х2 В) Г) у=х2(х-3)2
2. Найдите критические точки функции y=2sinx+cos2x, определите точки максимума, минимума.
3. Найдите критические точки функции.
А) y=x-2sinx Б) y=2cosx-x В) y=0,5cos2x-cosx	А) y=x+3cosx Б) y=4cosx-x В) y=2cos2x-sinx

Практические задания №6

Тема: Применение производной к исследованию и построению графиков функций.

Цель: Закрепить умения и навыки по построению графика функции на основе исследований.

1)Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [-1; 2]

2)Исследуйте функцию и постройте ее график



Вариант 1	Вариант 2
3. Изобразите график , если известно, что
на , и на , .	на , и на , .
4. Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале
имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения.	имеющей на этом интервале две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего значения, ни наибольшего значений
5. Может ли иметь только одну точку экстремума:
1) четная функция; 2) периодическая функция?	1) нечетная функция; 2) монотонная функция?

Контрольный срез

1 вариант

1. Найдите производную функции: y = - sin(7x - 5) A) -cos(7x - 5) B) -7cos(7x - 5) C) cos(7x - 5) D) -cos(7x - 5) E) -7cos7x
2. Найдите, если A) B) - C) 4 D) 2 E) -
3. Найти , если . A) B) 1 C) D) E)
4. Найдите все интервалы убывания функции: . A) (2; 3) B) (-; 0] и [2; 3] C) (-; 3) D) (-; 0) и (3;) E) (-; 0) и (2; )
5. Найти длину отрезка, на котором функция f(x) = -2x3 + 15x2 + 12 возрастает. A) 5 B) 4 C) 6 D) 4,5 E) определить нельзя
6. Найти наибольшее значение функции f(x) = 3x2 - 4x - 4 на отрезке [0; 3]. A) 10 B) 20 C) 11 D) 16 E) 18
7. Найдите наибольшее значение функции y = -2x2 + 5x - 3. A) B) C) 5 D) -3 E)
8. Найти производную функции A) B) C) D) (х+1) E) (х+7)
9. Найти производную функции A) B) C) D) (3х+4) E) (4х+3)
10. Найти производную функции A) B) C) D) (7х-5х-3) E) (7х-5х)
11. Найти производную функции A) B) C) D) (5х+6) E) 5(х+6)
12. В чем сущность физического смысла производной y'? A) скорость B) ускорение C) угловой коэффициент D) расстояние E) длину
13. Точка движется по закону S(t)=t3 -3t. Чему равна скорость в момент t0=1c? A) 15 B) 12 C) 9 D) 0 E) 1
14. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=(gt2 )/ 2 . Назовите формулу ускорения. A) B) a = g C) a=2gt D) a=t E) a=2
15. Тело движется прямолинейно по закону S(t)= (t3 / 3 ) - 2t2 +3t+1. В какие моменты времени t ее скорость будет равна нулю? A) 1 и 3 B) 1 и 4 C) 2 D) 2 и 0 E) 0

2 вариант

1 y = 2 - cos2x. y ' = ? A) 2sin2x B) sin2x C) 4cos2x D) -sin2x E) -2sin2x
2 Найдите , если A) -2 B) C) 4 D) - E) -4
3 Найдите , если (x)= A) 0 B) 1 C) D) E) -1
4 Найдите промежутки возрастания функции . A) (-; -1] и [3; ) B) [-1; 3] C) [-3; 1] D) [1; 3] E) (-; -3] и [1; )
5 Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции y = f(x), если ее производная равна f (x) = x(1 - x)(x2 - 7x + 10) A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
6 Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-1; 3]. A) 6 B) 6 C) 6 D) 6,5 E) 6
7 Найдите наименьшее значение функции y = 2x3+3x2-12x на отрезке [0; 2]. A) 0 B) -2 C) -5 D) -7 E) -8
8. Найти производную функции A) B) C) D) (х+6) E) 30х
9. Найти производную функции A) B) C) D) (2х+3) E) 6х
10. Найти производную функции A) B) C) D) (5х+3х+6) E) (5х+3х)
11. Найти производную функции A) B) C) D) cos(x-4) E) sin(x+4)
12. В чем сущность физического смысла производной y'? A) скорость B) ускорение C) угловой коэффициент D) расстояние
13. Точка движется по закону S(t)=2t3 -3t. Чему равна скорость в момент t0=1c? A) 15 B) 12 C) 9 D)3 D) 6 E) 0
14. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=(gt2 )/ 2 . Назовите формулу скорости. A) B) a = gt C) a=2gt D) a=t E) 2
15. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле V(t)=15t2+2t. Чему равно ускорение тела в момент времени t0=1c? A) 30 B) 32 C) 17 D) 16 E) 0

Литература

1) А.Е. Абылкасымова, К.Д. Шойынбеков и др. «Алгебра и начала анализа» Учебник для 10 классов общеобразовательных учреждений, Алматы, Мектеп, 2006

2) А.Е. Абылкасымова, К.Д. Шойынбеков и др. «Алгебра и начала анализа» Учебник для 11 классов общеобразовательных учреждений, Алматы, Мектеп, 2007

3) А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др. «Алгебра и начала анализа» Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2001

4) Ш.А. Алимов , Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра и начала анализа» Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2000

5) В.А. Малугин «Математика для экономистов. Линейная алгебра», М., «Эксмо», 2006

6) В.И. Ермаков «Справочник по математике для экономистов», М., «Высшая школа», 1997