Ньютон и современная математика

Учреждение образования

«Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина»

Реферат

на тему

Ньютон и современная математика

Подготовила

Студентка физического ф-та

Группы ФМ-41

Поливко Светлана

Проверила

Дуванова В.С.

Брест, 2010

Введение

Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом надежные выводы не должно оставаться привилегией Шерлока Холмса - каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science), сила математики не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам.

"No star wars - no mathematics", - говорят американцы. Тот прискорбный факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния математика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации, признающей только "прикладные" науки, ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом.

На самом деле никаких прикладных наук не существует, и никогда не существовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не нужных человечеству). Согласно Пастеру, существуют лишь приложения науки Гильде В. Зеркальный мир. - М., Мир, 2007. - 255 с..

Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачальникам XVIII века. Но именно они изменили наш мир после того, как Фарадей и Максвелл написали уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ современных правителей платить по этому счету - удивительно недальновидная политика, за которую соответствующие страны, несомненно, будут наказаны технологической и следовательно экономической (а также и военной) отсталостью. Человечество в целом (перед которым ведь стоит тяжелейшая задача выживания в условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тяжелую цену за близоруко-эгоистическую политику составляющих его стран.

Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение математического образования.

Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе возможности какого-либо другого преподавания математики.

1. Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007. - 190 с.:

зарождение математики,

элементарная математика,

математика переменных величин,

современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. К этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции. В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика - наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге Начала (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытием XVII века является введенное Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа). На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта о методе координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005. - 177 с..

Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н.И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005. - 177 с..

Индукция - метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция - способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

2. И. Ньютон(1643-1727гг.)

О гении Ньютона написано столько, что одно лишь перечисление всех эпитетов, метафор, гипербол и т.д. могло бы занять весь объем этой работы. Тут и знаменитый стих Александра Попа ("сказал Господь: "Явись, Ньютон!" и всюду свет разлился"), и известное сожаление Лагранжа (Систему мира можно создать лишь единожды, и это уже сделал Ньютон), и восхищенное удивление Лопиталя (Неужели Ньютон ел, как простые смертные?), и многое другое. Говоря о роли Ньютона в создании науки, на мой взгляд, следует четко выделять два аспекта. Во-первых, это вклад Ньютона, выразившийся в создании фундаментальных теорий физико-математического естествознания: ньютоновской механики, ньютоновской теории тяготения и ньютоновской оптики. Ньютоном разработаны фундаментальные понятия, в течение столетия сохранявшиеся в основе понятия чрезвычайно общего характера - абсолютное пространство, абсолютное время, абсолютная (однозначная) причинность, так и фундаментальные физические понятия - сила, масса, количество движения. Система понятий ньютоновской физики почти 200 лет была, по существу, единственной и лишь во второй половине девятнадцатого века была дополнена системами фарадее-максвеловской электродинамики и статистической физики (именно дополнена, а не пересмотрена). Пересмотр ньютоновской системы - дело двадцатого века. Физика двадцатого века сокрушает ньютоновские абсолюты пространства, времени и причинности, совершенно необходимые во времена Ньютона, но обнаружившие свой приблизительный и относительный характер в новой, неклассической физике.

Во избежание недоразумений стоит повторить, что конкретные результаты ньютоновской физики были не отброшены, а вошли по принципу соответствия в качестве предельных случаев в новые концептуальные системы релятивистской и квантовой физики. Уже одного этого было бы достаточно, чтобы любая оценка вклада Ньютона в науку не казалась завышенной.

Второй аспект носит более общий характер и связан с той печатью, которую наложила деятельность Ньютона на сам облик науки. Если первый аспект назвать конкретно научным, то второй я бы предложила именовать методологическим.

В методологическом аспекте можно выделить, на мой взгляд, четыре момента, которые определяют лицо естествознания (во всяком случае, в его наиболее развитых формах) до настоящего времени. Более того, при отсутствии этих четырех моментов естествознание вообще невозможно. Эти моменты: 1) математический язык, 2) закон и начальные условия, 3) метод принципов, 4) гипотетико-дедуктивная структура научной теории - с равной степенью подробности будут рассмотрен ниже.

Законы Кеплера получили своё объяснение в механике Ньютона, в частности, в законе всемирного тяготения, Ньютон является основателем классической физики. В его главном труде «Математические начала натуральной философии» сформулированы три основных закона классической механики:

1) инерции;

2) пропорциональности, приложенной к ней силы и вызванного действием силы ускорения тела;

3) равенства действия и противодействия.

Период с 1700 года и до открытия плана Эйнштейна определяется как период классического естествознания. Эйнштейн написал свою работу «Теория относительности» в 1905 году, а «Общую теорию относительности» в 1914 году. До этого периода была ноонаука, т.е. были лишь отдельные открытия выдающихся личностей.

Ньютон разработал динамику солнечной системы, чем заложил основы небесной механики. Математические начала Ньютона являются краеугольным камнем (отправной пункт) всех работ по механике и классическому естествознанию в течение двух веков. Ньютон открыл дисперсию света, исследовал дифракцию и интерференцию.

Заключение

Если говорить о современном историческом этапе развития математического познания, то он идет в русле дальнейшего освоения философских категорий: теория вероятностей “осваивает” категории возможного и случайного; топология - категории отношения и непрерывности; теория катастроф - категорию скачка; теория групп - категории симметрии и гармонии и т.д.

В математическом мышлении выражены основные закономерности построения сходных по форме логических связей. С его помощью осуществляется переход от единичного (скажем, от определенных математических методов - аксиоматического, алгоритмического, конструктивного, теоретико-множественного и других) к особенному и общему, к обобщенным дедуктивным построениям. Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается действительность, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. Могущество и красота математической мысли - в предельной четкости её логики, изяществе конструкций, искусном построении абстракций Стили в математике: социокультурная философия математики.//Под ред. А.Г. Барабашева. - СПб., РХГИ. 2008. - 244 с..

Принципиально новые возможности мыслительной деятельности открылись с изобретением ЭВМ, с созданием машинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых, прежде всего, в механике, астрономии, физике, то современный её язык - это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая.

Язык современной вычислительной математики становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы. Вместе с тем хочется подчеркнуть, что каким бы совершенным ни был математический язык, усиленный электронно-вычислительной техникой, он не порывает связей с многообразным “живым”, естественным языком. Мало того, разговорный язык является базой языка искусственного. В этом отношении представляет интерес недавнее открытие ученых. Речь идет о том, что древний язык индейцев аймара, на котором говорят примерно 2,5 миллиона человек в Боливии и Перу, оказался в высшей степени удобным для компьютерной техники. Еще в 1610 г. итальянский миссионер-иезуит Людовико Бертони, составивший первый словарь аймара, отмечал гениальность его создателей, добившихся высокой логической чистоты. В аймара, например, не существует неправильных глаголов и никаких исключений из немногих четких грамматических правил. Эти особенности языка аймара позволили боливийскому математику Айвану Гусману де Рохас создать систему синхронного компьютерного перевода с любого из пяти заложенных в программу европейских языков, “мостиком” между которыми служит язык аймара. ЭВМ “Аймара”, созданная боливийским ученым, получила высокую оценку специалистов. Резюмируя эту часть вопроса о сущности математического стиля мышления, следует отметить, что его основным содержанием является понимание природы.

Ньютон как никто другой оставил след в науке. Можно сказать, что последующее развитие естествознания во многом шло, либо, опираясь на Ньютона, либо в споре с Ньютоном: до двадцатого века - больше опираюсь, в двадцатом веке - больше споря. В двадцатом были сокрушены три линии возведенных Ньютоном укреплении: абсолютное пространство и время (теория относительности), абсолютная (однозначная) причинность (квантовая механика) и абсолютная обратимость (термодинамика вообще, неравновесная - в особенности). В наши дни идет наступление на четвертый рубеж - общеметодологический идеал безличностного, объективного знания. Эта позиция четко сформулирована, например, И. Пригожиным и И. Стенгерс: "старое априорное различие между научными и этическими ценностями более неприемлемо".

Список литературы

1. Гильде В. Зеркальный мир. - М., Мир, 2007. - 255 с.

2. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2005. - 177 с.

3. Информационная безопасность. Под ред. М.А. Вуса. - С-Пб.: Изд-во СПбГУ, 2006. - 201 с.

4. История математики. Под ред. А.П. Юшкевича. Т. 1-3. - М., Наука, 2007. - 512 с.

5. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. - М., Наука, 2005. - 325 с.

6. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007. - 190 с.

7. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М., Наука, 2005. - 178 с.

8. Пойа Д. Математическое открытие. - М., Наука, 2007. - 213 с.

9. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М., Физматлит, 2007. - 346 с.

10. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. - М., Мир, 2006. - 311 с.

11. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. - М., АГАР, 2007. - 170 с.

12. Стили в математике: социокультурная философия математики.//Под ред. А.Г. Барабашева. - СПб., РХГИ. 2008. - 244 с.