Распределение Бернулли

Оглавление

Введение

1. Распределение Бернулли в Теории Вероятностей

1.1 Функция и ряд распределения

1.2 Числовые характеристики положения о распределении

Бернулли

1.3 Числовые характеристики разброса

1.4 Асимметрия и эксцесс распределения Бернулли

2. Распределение Бернулли в математической статистике

2.1 Точечная оценка параметра распределения Бернулли

2.2 Интервальные оценки распределения Бернулли

2.3 Проверка гипотез относительно параметра распределения Бернулли

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.

История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.

Существует мнение, что решающее влияние на возникновение теории вероятностей оказали азартные игры. Действительно, карты, рулетка, игральные кости, различные лотереи издавна привлекали внимание определенных кругов общества.

Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине XVII столетия, когда усилиями Паскаля, Ферма, Гюйгенса были введены специфические понятия и доказаны простейшие теоремы о вероятностях случайных событий.

Важный этап в развитие теории вероятностей связан с именем Я. Бернулли. Теорема, которая носит ныне его имя, вскрывает следующую важную особенность вероятностных задач: рассмотрению подлежат лишь те опыты со случайными исходами, которые независимо друг от друга могут быть повторены любое число раз в одинаковых условиях. Для определенности будем говорить о подбрасываниях монеты. Каждое отдельное подбрасывание монеты приводит к непредсказуемому исходу: выпадает либо герб, либо решка. Если - число гербов, выпадающих при n бросаниях монеты, то непредсказуемой является и частота выпадений герба. Однако с ростом n эта непредсказуемость ослабевает: наблюдаемые значения величины имеют тенденцию группироваться около числа 0,5. Отмеченный принцип устойчивости частот выражает одну из важнейших закономерностей случайных явлений.

Своей знаменитой теоремой Бернулли дал математическое истолкование принципа устойчивости частот и закрепил за теорией вероятностей право называться наукой о математических методах изучения закономерностей случайных явлений.

1. Распределение Бернулли в Теории Вероятностей

1.1 Функция и ряд распределения

Широкий класс случайных величин, которые приходится изучать в практике статистических исследований, индуцируется последовательностью независимых случайных экспериментов следующего типа: в результате реализации каждого случайного эксперимента (наблюдения) некоторое интересующее нас событие А может произойти (с некоторой вероятностью р) или не произойти (соответственно с вероятностью q=1-p); при многократном (m-кратном) повторении этого эксперимента вероятность р осуществления события А остается одной и той же, а наблюдения, составляющее эту последовательность экспериментов, являются взаимно независимыми. Серию экспериментов подобного типа принято называть последовательностью испытаний Бернулли. Можно описать эту последовательность в терминах случайных величин, сопоставляя с i-м по счету экспериментом данной последовательности случайную величину

{1, если событие А произошло;

{0, если событие А не произошло.

Тогда « бернуллиевость » последовательности означает, что

Причем случайные величины статистически независимы.

При определенных условиях в схему испытаний Бернулли хорошо укладываются такие случайные эксперименты, как бросание монеты или игральной кости, проверка (по альтернативному признаку) изделий массовой продукции, обращение к «обслуживающему устройству» (с исходами «свободен - занят»), попытка выполнения некоторого задания (с исходами «выполнено - не выполнено»), стрельба по цели (с исходами «попадание - промах») и т.п.

«Единичное» испытание Бернулли можно интерпретировать и как извлечение объекта из воображаемой бесконечной совокупности, в которой доля р объектов обладает некоторым интересующим нас свойством. Тогда интересующее нас событие А заключается в том, что при этом излечении мы «вытащим» один из объектов, обладающих упомянутым свойством.

Биномиальный закон описывает распределение случайной величины , т.е. числа появления интересующего нас события в последовательности из m независимых испытаний, когда вероятность появления этого события в одном испытании равна р.

Из определения биномиальной случайной величины следует, что её возможными значениями являются все целые неотрицательные числа от 0 до m. Для вывода вероятностей рассмотрим внимательнее пространство элементарных событий, порожденное последовательностью испытаний Бернулли. Очевидно, каждому элементарному событию соответствует последовательность из нулей и единиц длины m

Разобьём эти последовательности на классы, включая в один (х-й) класс все последовательности типа , содержащие одинаковое число х единиц. Имея в виду, что число N(х) элементарных событий в классе с номером х равно числу сочетаний из m элементов по х , а также тот фак, что вероятность осуществления любого элементарного исхода, входящего в класс с номером х, равна, как нетрудно подсчитать, величине , получаем

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0,1,2,…, m , …, n с вероятностями

Где 0<p<1, q=1-p.

Как видим, вероятности Р(Х=m) находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

Xi	0	1	2	…	m	…	n
pi	qn			…		…	pn

Очевидно, что определение биномиального закона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

 (отсюда и название закона - биномиальный).

Отрицательный биномиальный закон описывает распределение случайной величины определяемой испытаниями Бернулли следующим образом:

Другими словами - это число испытаний в схеме Бернулли (с вероятностью появления интересующего нас события в результате проведения одного испытания) до - го появления интересующего нас события (включая последнее испытание). Нетрудно вывести аналитический вид распределения случайной величины . Зафиксируем любое её возможное значение х. Из того, что при числе испытаний впервые осуществилось заданное число появлений интересующего нас события, следует, что на предыдущем шаге, т.е. при числе испытаний, равном , мы имели -1 появлений того же события. Следовательно, опираясь на теорему умножения вероятностей, мы можем выразить вероятность в терминах вероятностей, связанных с поведением биномиальных случайных величин и , а именно:

Название данного закона объясняется тем, что правые части являются последовательными членами разложения некоторого бинома с отрицательным показателем.

Модель отрицательного биномиального распределения применяется в статистике несчастных случаев и заболеваний, в задачах, связанных с анализом количеств индивидуумов данного вида в выборках из биологических совокупностей, в задачах оптимального резервирования элементов, в теории стрельбы.

1.2 Числовые характеристики положения о распределении Бернулли

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Найдем математическое ожидание числа успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р.

Случайная величина , равная числу успехов в n испытаниях Бернулли, имеет биномиальное распределение:

Математическое ожидание случайной величины Х можно вычислить непосредственно по формуле:

Однако в данном случае удобнее воспользоваться тем фактом, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Обозначим через Х_i случайную величину, равную числу успехов в i-м испытании Бернулли; тогда Р{X_i=0}=q, P{X_i=1}=p, MX_i=p. Случайная величина и, следовательно,

Для отрицательного биномиального распределения

.

Кроме математического ожидания, положение случайной величины характеризуется модой и медианой.

Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение.

Для непрерывной величины модой называется точкой локального максимума функции плотности распределения вероятностей. Если многоугольник или кривая распределения имеют один максимум (рис. 2 а), то распределение называется унимодальным, при наличии более одного максимума - мультимодальным (в частности, распределение, имеющее две моды, называется бимодальным). Распределение, имеющее минимум, называется антимодальным (рис. 2 б)

 F(x) P_i

x_mod x 0 x₁ x₂ x₃ x₄ x

a б

Наивероятнейшим значением случайной величины называется мода, доставляющая глобальный максимум вероятности для дискретной случайной величины или плотности распределения для непрерывной случайной величины.

Медиана - это такое значение х_l, которое делит площадь под графиком плотности вероятности пополам, т.е. медиана является любым корнем уравнения. Математическое ожидание может не существовать, а медиана существует всегда и может быть неоднозначно определенной.

Медианой случайной величины называется такое её значение

= x _med, что P (< x _med) = Р (> x _med) =.

1.3 Числовые характеристики разброса

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:



Однако удобнее ее вычислять по формуле:

Пусть - число успехов в n испытаниях Бернулли. Представим, в виде суммы: где - число успехов в i-м испытании. Случайные величины независимы, поэтому дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Имеем

Для отрицательного биномиального распределения

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии:

.

Для отрицательного биномиального распределения

Стремление получить безразмерную характеристику степени рассеивания случайной величины, не зависящую от масштаба измерения исходных параметров случайных явлений, привело также к понятию коэффициента вариации случайной величины.

Коэффициент вариации - это отношение (в %) среднеквадратического отклонения к соответственному математическому ожиданию:

(предполагается, что )

1.4 Асимметрия и эксцесс распределения Бернулли

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, её делят на , где - среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

.

Обозначим отклонение случайной величины Х_i от своего среднего через Y_i: Y_i=X_i-p, тогда MY=0, i = 1,2,…,n. Случайная величина принимает значения (0-р)³=-р³ с вероятностью р. Найдем третий центральный момент случайной величины :

Последняя сумма содержит n слагаемых вида и слагаемые вида и ;

Так как случайные величины Y_i, i=1,2,…,n, независимы, то

В результате получаем

Коэффициент асимметрии равен

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

,

С ростом n коэффициент асимметрии стремится к нулю и, следовательно, распределение вероятностей становится все более симметричным относительно математического ожидания np. Если p=q=0,5, то если р<0,5, то

Можно доказать, что эксцесс случайной величины равен

С ростом n величины и стремятся к нулю, т.е. к соответствующим характеристикам нормального закона распределения.

Для отрицательного биномиального распределения:

коэффициент асимметрии равен:

эксцесс случайной величины равен:

2. Распределение Бернулли в математической статистике

2.1 Точечная оценка параметра распределения Бернулли

Построим методом функционального преобразования доверительный интервал для вероятности «успеха» в n независимых испытаниях Бернулли, соответствующий надёжности .

Пусть n_x - число «успехов» и n независимых испытаниях Бернулли. Тогда точечная оценка максимального правдоподобия неизвестной величины равна частоте «успеха» Было доказано, что эта оценка несмещенная и эффективная, и её дисперсия равна

Отсюда получаем, что из чего следует

2.2 Интервальная оценка распределения Бернулли

При n таком, что получаем приближенный доверительный интервал

или после преобразования

Обозначив, приводим выражение к виду

2.3 Проверка гипотез относительно параметра распределения Бернулли

Основная гипотеза альтернативная гипотеза может быть трёх видов: а); б) ; в) . Во всех трёх случаях для проверки используется статистика критерия

где - относительная частота «успехов» в n наблюдениях.

Далее критические точки и области для проверки выбираются так же, как при проверке гипотезы о неизвестном среднем при известной дисперсии.

Этим методом можно пользоваться только при больших объемах выборки (порядка сотен).

Пример. Точность работы станка - автомата проверяется по дисперсии размеров изделий, которая не должна превышать = 0,01(мм²). По выборке из 25 изделий получена исправленная выборочная дисперсия S²=0,02(мм²). На уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок необходимую точность.

Решение. Найдем значение статистики критерия:

По таблице распределения хи-квадрат находим критическую точку:

Поскольку 48 > 36,4, основная гипотеза отвергается. Следовательно, станок не обеспечивает необходимой точности.

Заключение

В заключение хочется отметить то, что распределение Бернулли является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Биномиальное распределение широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях практической деятельности.

«Единое» испытание Бернулли можно интерпретировать и как извлечение объекта из воображаемой бесконечности совокупности, в которой доля p объектов обладает некоторыми интересующими нас свойством.

Список использованной литературы

1. Н.Ш.Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. пособие. М., 2004.

2. C.А. Айвазян, В.С. Мхитарян «Теория вероятностей и прикладная статистика»: Учеб. пособие. М., 2001.

3. Е.С. Кочетков «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. пособие. М., 2001.

4. В.А. Фигурин «Теория вероятности и математическая статистика»: Учеб. пособие. - Мн. ООО «Новое знание», 2000.

5. Л.П. Трошин «Теория вероятностей», МЭСИ. М.:2004.

6. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика». Учеб. пособие. М.: высшее образование, 2006.