Федеральное агентство по образованию РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

Кафедра компьютерной алгебры и теории чисел

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Уравнения в радикалах»

студента

2 курса 242 группы

механико-математического факультета

Грачева Мария Александровна

Введение

В данной курсовой работе рассматривается эволюция уравнений и их решений, начиная с Древнего Египта и Древнего Вавилона и заканчивая нашими днями. История уравнений берет своё начало примерно 2000 лет до новой эры, подтверждением этому являются хорошо сохранившиеся вавилонские глиняные таблички, покрытые клинописными текстами. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Уравнения в Древнем Мире нужны были для вычислений простых и сложных процентов, при обмене денег и расчетах за товары. Также важным аспектом использования в повседневной жизни уравнений стали задачи, которые возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка сопровождали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел".

Со временем ученые вывели общие формулы для получения решений уравнений первой и второй степени. Кубические же уравнения появились позже и впервые были исследованы в Древней Греции известным ученым Архимедом, но кроме него в те времена никто не мог достигнуть такого успеха в исследовании уравнений третьей степени. Открытие общего способа решения таких уравнений датируется аж 1545 годом, но появление этого способа весьма загадочно. До сих пор однозначно не установлено кто был его родоначальником. Некоторые утверждают что именно Джероламо Кардано был открыт метод решения кубического уравнения, так как это он в своей книге «Великое искусство», вышедшей в свет в 1545 году, написал об этом способе и о преобразовании общего вида уравнения. Другое мнение заключается в том, что способ решения уравнения был открыт другим итальянским ученым Никколо Тарталья ещё в 1535 года во время математического поединка.

Получение решения уравнения четвёртой степени было опубликовано в 1545 году вместе с решением кубического уравнения в книге «Великое искусство» и приписывается оно Людовико Феррари.

Далее в истории развития уравнений встал вопрос о том, а можно ли найти общую формулу для уравнений в радикалах 5 степени. На этот вопрос пытались ответить многие математики, такие например как: Лагранж, Абель, Руффини и Галуа. Исследования Лагранжа дали для последующих алгебраистов весьма удобный аппарат для изучения уравнений в радикалах и методах их решений. Заслугой Абеля и Руффини стала их теорема о неразрешимости в радикалах, которая звучит так: Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Галуа стал известен своим критерием: Уравнение f=0 тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Gal(f) обладает полициклической матрёшкой.

В основной части курсовой работы углубляются знания и факты, которые приведены были выше.

1. Уравнения в странах Древнего мира

1.1 Уравнения Древнего Египта

Теория уравнений волновала умы математиков как в древние времена, так и волнует по сей день. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте.

Два папируса, датируемые примерно 1700 до н.э., являются главным источником знаний о древнеегипетской математике. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду - примерно 3500 до н.э. Обычно египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес людей или скота, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.

В Древнем Египте при решении уравнений использовалось «фальфивое правило» (метод ложного положения).

Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду

ах + Ь = с,

в котором а, Ь, с -- целые числа. По правилам арифметических действий

ах = с -- b,

.

Если b > с, то с -- b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим, более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые на данный момент называются уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. По тому, как решена первая из них можно понять, как рассуждал автор.

Обычно египтяне использовали особый знак для обозначения неизвестного числа, который раньше читали как «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Теперь читают менее точно: «ага».

Задача № 24 сборника Ахмеса:

«Куча. Ее седьмая часть (подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти кучу».

Запись задачи нашими знаками:

x+x/7=19

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай, как делается», другими словами: «Делай, как люди делают».

Расшифруем решение Ахмеса. Делается предположение, что куча есть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме, очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком (у нас -- звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить - на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19, не хватает еще

19--16=3.

Ахмес находит Ѕ от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на Ѕ предположение умножить нельзя. Но ј от 8 есть 2, 1/8 от восьми 1. Ахмес видит, что ј и 1/8 первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив ј и 1/8 значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на Умножение числа 7 на смешанное число Ахмес заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем столбце выписаны: часть искомой кучи есть , удвоенное это число: и учетверенное: . Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на .

Итак, куча равна .

В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для кучи и его части . В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо».

Способ решения, который применил Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах = b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.

В разных странах применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить. -- И. Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба.

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми».

Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

1.2 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Потребность в решении уравнений не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана необходимостью решать задачи, связанные с измерением и нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э., встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, описанное в вавилонских текстах, примерно совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

В одной из клинописных табличек встречается такая задача: “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870” (нетрудно догадаться, что речь идет о квадратном уравнении x2-x=870).

Решение его в табличке рекомендуется искать следующим образом: “Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1, это. Умножаешь на, это. Ты складываешь это с 870, и это есть, что является квадратом для. Ты складываешь, которую ты умножал, с, получаешь 30, сторона квадрата”.

Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления, а мы приводим их в десятичной записи. В привычных нам обозначениях предложенные действия принимают вид:

.

В этой записи угадывается формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.3 Уравнения арабов

Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е.

ах² + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е.

ах² = с.

3) «Корни равны числу», т.е.

ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е.

ах² + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е.

ах² + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

bx + с = ах².

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Пример:

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские ученые: Омар Хайям, ал-Бируни, ал-Каши и др. Они изучали уравнения третьей и четвертой степени, корни которых находятся при помощи пересечения парабол, гипербол и окружностей.

Прославленный поэт и математик Омар Хайям (XI--XII вв.) внёс вклад в математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы», где изложил оригинальные методы решения кубических уравнений. До Хайяма был уже известен геометрический метод, восходящий к Менехму и развитый Архимедом: неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа положительных корней и их величины. К сожалению, Хайям не заметил возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня. До формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем. В «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида» Хайям рассматривает иррациональные числа как вполне законные.

1.4 Кубические уравнения Греции

Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О шаре и цилиндре» (книга II, предложение 4) свел задачу о рассечении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение т : п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции

(1)

где а -- радиус шара.

Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и а--х так, чтобы

(а -- х) : с = S : х2, (2)

где с и S -- заданные отрезок и площадь.

Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима (имеются в виду только положительные действительные решения), Архимед приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он говорит, что изложит полное решение задачи «в конце», однако соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архимеда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел провести анализ общего случая.

Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:

параболы

(3)

и гиперболы

(4)

(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2). Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к кубическому уравнению

x²(a-x) = Sc (5)

которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что уравнение (5) может иметь положительные корни, если

Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х² (а -- х).

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия существования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:

1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;

2) если Sc = 4aз/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,-- двукратный);

3) если Sc > 4aз/27, то корня нет.

Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а -- х), достигаемый при

х = 2а/3.

В конце письма, предпосланного книге «О коноидах и сфероидах» (греки называли сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными коноидами -- параболоиды вращения, а тупоугольными коноидами -- полости двуполостных гиперболоидов вращения), Архимед пишет, что с помощью доказанных в книге теорем можно решить ряд задач, как, например: от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, проведенной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару. Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид :

x²(a + x)=Sc

Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравнения вида

х³ + ax + b = 0

при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог справиться. Решение отдельных задач, эквивалентных кубическим уравнениям, греческие математики получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку провести полный анализ всех уравнений третьей степени.

2. Формула Тартальи-Кардано

Уравнение вида:

(1)

называется кубическим уравнением. Если мы вынесем за скобки коэффициент и сократим на него выражение (1), то получим уравнение

(2)

Пусть

тогда выражение (2) можно переписать как

(3)

Преобразуем это уравнение, положив

где - новое неизвестное.

Подставив это выражение в наше уравнение, мы получим кубическое уравнение относительно неизвестного , причем более простое, так как коэффициент при окажется равным нулю. Коэффициентом при первой степени и свободным членом будут соответственно числа,

и

Уравнение сокращенно запишется в виде

(4)

Действия, в результате которых уравнение (3) преобразуется в уравнение (4) были впервые осуществлены итальянским математиком Джероламо Кардано (1501-1576), о чем свидетельствует его труд «Великое искусство» вышедший в свет в 1545 году. На этом, собственно и заканчивается вклад данного ученого в способ решения кубичного уравнения, который несправедливо носил долгое время имя «формулы Кардано». Дело в том, что способ решения уравнения (4) был открыт другим итальянским ученым Никколо Тарталья (1499-1557) 12 февраля 1535 года, при подготовке к математическому поединку с неким Фиоре. Вот ход его рассуждений.

Будем искать корень уравнения в виде

,

где и - неизвестные, которые надо определять по данным и .

Далее, новое оригинальное предложение, что

.

Если подставить выражения для и в левую часть данного уравнения, то получим

.

Выполнив действия и приведя подобные получим выражение

.

Теперь получается система

,

решая которую получим решения

и .

Теперь получаем формулу Тартальи:

. (5)

Каждый из кубичных радикалов, входящих в формулу (5) имеет три значения. Произвольным образом их комбинировать нельзя. Оказывается, что для каждого значения первого радикала можно указать одно единственное такое значение второго радикала, что произведение их равно числу .

Пусть

, ,

тогда для каждого нужно взять такое , что

.

Сложение этих двух значений радикалов и нужны для того, чтобы получить корень уравнения. Таким образом, мы получаем три корня нашего уравнения. Любое кубическое уравнение со всякими числовыми коэффициентами имеет три корня, в общем случае комплексных; некоторые из этих корней могут, конечно, совпадать, т. е. превратиться в кратный корень (об этом подробно будет рассказано в третьем пункте данной работы).

Вопрос о том кому принадлежит открытие общего способа решения кубических уравнений остается спорным, существует несколько различных мнений. Согласно одному из них, способ общего решения уравнения

впервые был найден профессором университета в Болонье (Италия) Сципионом дель Ферро. Но эта версия довольно таки сомнительна. Дело в том, что у Ферро был ученик Фиоре, который утверждал, что знает способ решения кубического уравнения от своего учителя. Но Никколо Тарталья ещё раньше, в 1530 году, добился решения для некоторых частных случаев этого уравнения. Решения достались ему с большим трудом, и поэтому он не очень доверял заявлению Фиоре, о том, что ему известно решение, и считал это хвастовством. Оба математика держали в тайне свои способы решения. И вот Тарталья, уверенный в победе, вызывает Фиоре на публичный математический поединок. Поединок назначают на 22 февраля 1535 года. В этот день оба математика должны были явиться к нотариусу. Каждый должен был принести 30 задач и обменяться ими друг с другом в присутствии нотариуса. На решение задач давалось 50 дней. Кто к концу этого срока решит наибольшее число задач из 30, предложенных соперником, тот и будет считаться победителем и, сверх того, получит по 5 сольди за каждую задачу.

Между тем, незадолго до этого дня до Тартальи доходят слухи, что Фиоре действительно знает общий способ решения уравнений вида

.

Тарталья чувствует, что если это так, то Фиоре обязательно предложит ему именно такие уравнения и останется победителем. Тогда Никколо Тарталья, как пишет он в одном из своих сочинений «приложил все свое рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и мне удалось сделать это за 10 дней до срока, т. е. 12 февраля, благодаря счастливой судьбе». На самом деле, благодаря его исключительному таланту.

Предположение Тартальи подтвердилось. В назначенное время Фиоре передал своему сопернику 30 задач, которые все приводились к уравнениям вида

.

Каково же было удивление всех, когда Тарталья все 30 задач решил за 2 часа! Фиоре же не справился ни с одной из задач предложенных Тартальей и за 50 дней. Отсюда можно смело сделать вывод, что Фиоре не владел общим способом решения кубических уравнений. Скорее всего, не владел им и Ферро…

Тарталья собирался опубликовать свое открытие, но сдерживал его неприводимый случай кубического уравнения . Дело в том, что в то время математики не открыли еще комплексные числа, а без них решить кубическое уравнение при невозможно.

Впоследствии Кардано удалось обманом получить у Тартальи способ решения кубических уравнений и вероломно, в нарушение всех клятв опубликовать его в своем труде «Великое искусство». Заслугой Джероламо Кардано было то, что, овладев решением уравнения

,

он пошел дальше и нашел способ решать полное кубическое уравнение:

.

Оказалось, что если заменить через

,

то в полном уравнении уничтожается член со второй степенью неизвестного.

История оказалась несправедливой по отношению к Тарталье - способ решения кубического уравнения долго был известен в математике под названием «формулы Кардано».

3. Уравнение четвертой степени

Уравнение четвёртой степени - это уравнение вида:

где

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Впервые уравнения четвертой степени изучили и рассмотрели древнеиндийские математики между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году приписывается Людовико Феррари, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

3.1 Метод Феррари

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена подстановкой

.

Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть - квадрат выражения

,

а правая часть - квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:

(15)

Правая часть этого уравнения - квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

,

Или

.

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение :

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде:

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

,

или, после упрощения,

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда

.

Корни образовавшихся квадратных уравнений -

и .

Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

4. Уравнения высоких степеней

В 1770-71 гг. знаменитый французский математик Лагранж (1736-1819) публикует в Мемуарах Берлинской Академии свой мемуар «Мысли над решением алгебраических уравнений», в котором делает критический пересмотр всех решений уравнений 3-й и 4-й степеней, данных его предшественниками, и замечает, что все они в сущности основаны на следующем принципе. Пусть x1, x2, …, xn будут корни заданного уравнения, и пусть j (x1, x2, …, xn) будет их рациональная функция, принимающая при всевозможных n! перестановках между корнями v значений. Тогда эта функция удовлетворяет уравнению степени v с рациональными коэффициентами. Согласно точке зрения Лагранжа, задача заключается в том, чтобы подобрать функцию j (x1, x2, …, xn) таким образом, чтобы v было меньше n. И вот оказалось, что при п>4 невозможно.

Эти исследования Лагранжа дали для последующих алгебраистов весьма удобный аппарат. Кроме того, они указали путь, по которому следовало искать доказательства невозможности общего решения уравнений в радикалах.

Дальнейшим этапом в выяснении проблемы решения уравнений в радикалах послужили работы Руффини (P. Ruffini, 1765-1822) и Абеля (N.-H. Abel, 1802 - 1829). Они смогли ответить на вопрос о том существуют ли общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени - так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; опубликован в 1846 г.). Эта теория до сих пор стоит в фокусе математической мысли.

Рассматривая численные уравнения, Э.Галуа установил понятие их группы, т.е. совокупности таких подстановок между их корнями, которые не нарушают рациональных соотношений между ними. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структуру его корней. В частности, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит к числу так называемых разрешимых групп. Таким образом, вопрос о разрешимости каждого данного уравнения в радикалах может быть решен при помощи конечного числа действий.

Рассмотрим теорию Галуа на примере самого уравнения.

a0xn + a1xn - 1 + … + an = 0,

где a0, a1, …, an - заданные числа.

Еще Гаусс в конце XVIII века доказал «основную теорему алгебры», гласящую, что при любых a0, a1, …, an данное уравнение имеет в поле комплексных чисел n корней, точнее, стоящий в его левой части многочлен f(x) может быть разложен на линейные множители

f(x) = a0(x - a1)…(x - an),

где a1 … an - некоторые комплексные числа (называемые корнями уравнения).

Задача состоит в том, чтобы узнать, существуют ли формулы, выражающие корни a1, …, an через коэффициенты a0, a1, …, an с помощью четырех арифметических действий и извлечения радикалов? Прежде всего, сразу можно считать, что все числа a1, …, an различны, иначе можно было бы произвести деление многочлена f на наибольший общий делитель этого f и его производной f', что дало бы новый многочлен с теми же самыми корнями, но уже без повторений.

Основной идеей, поистине ключевым моментом, явилась мысль о том, чтобы связать с каждым алгебраическим уравнением группу всех автоморфизмов его «поля корней» Q(a1, …, an), которые оставляют неподвижным «поле коэффициентов» Q(a0, a1, …, an). Понятно, что это действительно группа, так как если - два таких автоморфизма, то автоморфизмы тоже оставляют числа a0, a1, …, an неподвижными.

Рассмотрим, как действует любой такой автоморфизм на корни исходного уравнения. Если a - корень, т.е.

a0an + a1an - 1 + … + an = 0,

то, применив к обеим частям, получим

a0(aj)n + a1(aj)n - 1 + … + an = 0,

т.е. - корень того же уравнения. Другими словами, автоморфизм просто переставляет корни a1, …, an между собой, определяя тем самым некоторую перестановку:

легко сообразить, что произведению автоморфизмов будет отвечать произведение соответствующих перестановок, так что все получающиеся при этом перестановки сами составляют группу. Она называется группой симметрий или группой Галуа уравнения f=0 и обозначается Gal(f). Понятно, что Gal(f) - подгруппа группы Sn всех перестановок п символов. Оказывается, свойствами группы Галуа и определяется ответ на вопрос о разрешимости данного уравнения в радикалах.

4.1 Критерий Галуа

Уравнение f=0 тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Gal(f) обладает полициклической матрёшкой.

Прежде всего, достижение Галуа заключается в том, что группу Gal(f) действительно можно вычислить, не зная корней уравнения f = 0, а пользуясь лишь, так сказать, соображениями симметрии.

Рассмотрим уравнение

x⁴ - x² + 1 = 0.

Естественно видно и безо всякого критерия Галуа, что оно биквадратное и легко решается в радикалах. Но основная цель сейчас заключается в том, чтобы продемонстрировать на этом простом примере, как, не пользуясь знанием корней уравнения, найти его группу Галуа. Сейчас мы убедимся, что это вполне возможно. Прежде всего стоит заметить, что многочлен

f = x⁴ - x² + 1,

стоящий в левой части, не разлагается на множители меньшей степени с рациональными коэффициентами. Для выяснения этого имеется несложный общей прием, на котором мы не будем останавливаться.

Пусть a какой-нибудь корень нашего уравнения. Понятно, что тогда -a, 1/a, -1/a - тоже корни, причем все они попарно различны. Занумеруем их, пусть

Очевидно,

Какие перестановки войдут в группу Gal(f)? Разумеется, далеко не все 24 перестановки четырех символов. В самом деле, если при каком-то автоморфизме поля Q (a) число a переходит в a1, т.е. остается на месте, то легко понять, числа a2, a3, a4 тоже останутся на месте. Другими словами, получится единичная перестановка е. Далее, если a перейдет в a2, то по той же причине получится перестановка

Наконец, при получатся перестановки

Так как все возможности для образа корня a мы перебрали, никакие другие перестановки появиться не могут.

С другой стороны, можно убедиться, что все четыре перестановки е, а, b, с действительно возникают из автоморфизмов поля Q (a), так что они и составляют группу Gal(f) нашего уравнения. В самом деле, рассмотрим, например, подстановку а (для подстановок b, c рассуждение абсолютно аналогично). Если, как мы собираемся доказать, автоморфизм поля Q (a), соответствующий подстановке a, существует, то он обязан действовать так:

,

где g, h произвольные многочлены с рациональными коэффициентами, причем h(a)= 0.

Ясно, что это формулу и следует взять за определение искомого автоморфизма. Тонкость состоит в том, что число может быть записано многими разными способами:

и нужно убедиться, что при замене a на a2 все эти равенства сохранятся. Иначе говоря, если

p = gh1 - g1h и p(a) = 0, то и p(a2) = 0.

Чтобы доказать это, поделим р на исходный многочлен f с остатком:

p(x) = f(x)q(x) + r(x);

остаток r(x) - это многочлен степени не выше третьей.

Так как

p(a) = f(a) = 0,

то и r(a) = 0. Предположим на время, что r(x) =0. По школьной теореме Безу многочлены f(x), r(x) имеют общий делитель x - a; пусть d(x) - их наибольший общий делитель. Очевидно, d(x) имеет степень не ниже первой и не выше третьей и делит многочлен f(x), а это противоречит неразложимости на множители. Полученное противоречие означает, что r(x)=0, т.е.

p(x) = f(x)q(x)

Положив здесь x = a2, получаем требуемое равенство p(a2) = 0 (а вместе с ним и два других равенства p(a3) = p(a4) = 0). Точно так же из следует и т.д. Итак,

Gal(f) = {e, a, b, c}.

Как видно, группа Галуа найдена, и значения корней при этом не понадобились.

Теория Галуа отнюдь не принадлежит одной только истории, она живет и развивается.

Главная ценность трудов Галуа заключается даже не в конкретных полученных им результатах, а в разработанном для их получения математическом аппарате, центральное место в котором занимает понятие группы. Непреходящее значение работ Галуа состоит в осознании того, что идея симметрии, связывавшаяся ранее исключительно с геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль во всей математике и вообще в естествознании. Строго говоря, теория разрешимости уравнений в радикалах важна не столько сама по себе и уж во всяком случае не для практического решения алгебраических уравнений - тут гораздо уместнее и надежнее приближенные методы, - она важна главным образом как конкретное воплощение общей идеи симметрии. По-видимому, сам Галуа достаточно хорошо понимал это и, выдвигая на первый план критерий разрешимости уравнений в радикалах, просто надеялся, что современникам будет легче оценить силу его общих идей на примере конкретной задачи, в течение многих веков не поддававшейся решению.

Список использованной литературы

1. В. Чеботарев «Основы теории Галуа», Москва, 1934

2. Ван-дер-Варден Б.Л. «Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции» М., 2000

3. Э. Кольман «История математики в древности».

4. В.А.Никифоровский «В мире уравнений». М.: Наука, 1987

5. Стройк Д.Я «Краткий очерк истории математики» М.: 1990.

6. Юшкевич А.П.. «Математика в ее истории». М.: Наука, 1996.

7. Рыбников К.А.. «История математики». М.: Наука, 1994.

8. Кушнир И.А. «Уравнения», Киев 1996.

9. Гутер Р.С., Полунов Ю.Л. «Джироламо Кардано». - М., 1980

10. Цыпкин А.Г. Под ред. С.А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». - М.: Наука, 1980.

11. Глейзер Г.И. «История математики в школе». М., 1964.