Интеграл по комплексной переменной

30

Интеграл по комплексной переменной

Определение 1: Кривая Г называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Если при стремлении max t_i t0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек t_i , то этот предел называется интегралом от функции f по кривой С.

Очевидно, что (1) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя к пределу при t и t⁰ и предполагая, что данные пределы существуют, получаем:

Заметим, что для существования криволинейного интеграла, а тем самым и для существования интеграла достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что существует и в случае неаналитичности функции f (t).

Теорема Коши

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения:

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

ТЕОРЕМА: Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство: из формулы следует:

Т.к. f(t) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:



Аналогично:

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши): Если функция f (t) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область)

Пусть f (t) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С₀, а изнутри контурами С₁, С₂, .. ,С_n. Пусть f (t) непрерывна в замкнутой области G, тогда

где С - полная граница области G, состоящая из контуров С₁, С₂, .. , С_n. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл

Следствием формулы Коши является следующее положение: пусть f(Z) аналитическая функция односвязной области G. Зафиксируем в этой области точку Z₀ и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z₀ и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство: Ф t (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенств:

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

Пусть функция f(Z) - аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z₀ и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию t(Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z₀. Проведем контур t с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z₀, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и t. Согласно теореме Коши имеем:

По свойствам интегралов:

Так как левый интеграл не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве окружность с радиусом. Тогда:

Уравнение окружности

Тогда т.к. функция f(t) аналитична в точке Z=Z₀ и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех t>0 существует t>0, что для всех t из t -окрестности точки Z0 выполняется | f(t) - f(Z₀) | < t.

Подставляя и выражая f(Z0) имеем:

Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в правой части выражает значение аналитической функции f(t) в некоторой точке Z₀ через ее значение на произвольном контуре t , лежащем в области аналитичности функции f(t) и содержащем точку Z₀ внутри.

Очевидно, что если бы функция f(t) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы t в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие: Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z₀ на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z₀ принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно, а если т. Z₀ принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю:

При Z₀ t Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных: переменной интегрирования t и Z₀. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z₀.

Пусть задана функция двух комплексных переменных t (Z, t ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. t = t + i t С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция t (Z, t) удовлетворяет условия:

1) Функция для всех значений t С является аналитической в области G.

2) Функция t (Z, t) и ее производная t являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и t при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях:

Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула:

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула:



С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора:

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

(2) - разложение в ряд Тейлора.

Формула записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z₀ |<R, где R - радиус сходимости ряда).

Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.

Причем | Z | < R, R t

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;

Аналогично взяв Z = - ix получим:

Можно выразить формулы Эйлера:

В общем случае:

Известно, что:

Из уравнений вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.

ТЕОРЕМА 1.

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z₀| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z₀.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку ??, тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши

Поскольку

,

то выражение можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е.:

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая на 1/(2 t i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим: слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов:

Обозначая ,

получим :

Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Находим, что

ТЕОРЕМА 2

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z₀ для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z₀ |, то она представляется рядом :

где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить , получим:

ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z₀ |<R, где 0 t Z<R< t , то она раскладывается в сходящийся степенной ряд:

f₁ и f₂ можно представить в виде двух рядов:

Ряд - ряд Лорана, при этом ряд сходится в круге радиуса R, ряд сходится вне круга радиуса R функции f₂(Z). Общая область сходимости ряда - кольцо между r и R.

f₁(Z) - правильная часть.

f₂(Z) - главная часть ряда Лорана.

Ряд Тейлора - частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.

Классификация изолированных особых точек. Вычеты

Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z₀ ? G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z₀ функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|<R называется изолированной, если функция f(Z) в каждой точке этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z₀. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на

Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А - конечное число.

Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом.

Если не существует, то точка Z=Z₀ называется существенной особой точкой.

Если С_-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

Пусть f(Z₀)=C₀ и C_-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n ? m+1 C_-n=0, тогда Z=Z₀ будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

,

если m t , то в этом случае в точке Z=Z₀ имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z₀|<R, ограничивающем изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл : , где L - ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z₀. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z₀ равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана:

Если полюс имеет кратность m t 1, то для определения вычетов используется формула:

при m=1:

Основная теорема о вычетах

Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a₁, a₂, …, a_k. t -произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл равен сумме вычетов относительно a₁, a₂, …, a_k и т.д. умноженный на 2 t i :

Пример:

Найти вычет

Особые точки: Z₁=1, Z₂= - 3.

Определим порядок полюсов - все полюсы первого порядка.

Используем формулу:

Интегральные преобразования.

Операционное исчисление и некоторые его приложения.

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям:

Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0>0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me ^S0t

Рассмотрим функцию f(t)e^-pt , где р - комплексное число р = ( а + i b).

Применим к этому соотношению формулу Эйлера:

Проинтегрировав это равенство получим:

Оценим левую часть равенства:

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me ^S0t

В случае если a>S₀ имеем:

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве.

Таким образом при a>S₀ интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р:

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) t F(p), где F(p) - изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.

Смысл введения интегральных преобразований

Этот смысл состоит в следующем: с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции t? имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций t ₀(t), sin (t), cos (t).

Определение: называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение:

Изображение единичной функции

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t)

интегрируя по частям получим:

т.е.

Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда:

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

где а - константа.

Таким образом:

и

Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Если , то , где

Теорема смещения: если функция F(p) это изображение f(t), то F(?+p) является изображением функции e^-?t f(t)

Доказательство

Применим оператор Лапласа к левой части равенства

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений:

F(p)	f(t)	F(p)	f(p)
	1

Изображение производных.

Теорема. Если , то справедливо выражение:

Доказательство:

Подставляя и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем:

Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение:

Если x(0)=0 и x'(0)=0

Предположим, что x(t) - решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.

Изображающее уравнение

Теорема об интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .

Таким образом, операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений: Пусть - функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда .

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до t в области изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция:

Свертка обозначается следующим образом:

Равенств идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:

Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов .

Доказательство:

Пусть изображение свертки

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t. Изменим порядок интегрирования. Переменные t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F₂(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) - аналитические функции в области изображений, такие, что

, тогда .

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

Соотношение применяется при решении дифференциальных уравнений.

Обратное преобразование Лапласа.

- Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :

где s - некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.

Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дроби может быгут представлены в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения. Пусть F(p) - изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k - постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы: .

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни t ₁, t ₂, …, t _n соответствующий кратности k₁, k₂, …, k_n , при этом k₁+ k₂ +…+ k_n = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле

Например:

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид:

(1)

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо можно рассмотреть следующий интеграл:

Формула - двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть p =a + in, где a и n - действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям:

Должна быть определена на промежутке (-t; t) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

Функция абсолютно интегрируема: , это условие выполняется, если |f(t)|<Me ^S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции: f(t) = C

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций:

т.к.

Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если f(t) t 0, t<0

Обозначим

Очевидно, что

Функция называется спектральной плотностью

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности:

Вычисление интеграла

Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, t (u) - фазовый угол.

В алгебраической форме: F(iu) = a(u) +ib(u)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл, а затем по формулам и определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол t (u).

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :



откуда

,

далее

Отыскание спектральной плотности для не абсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо:

Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для не абсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью F₁(iu) не абсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F₂(iu?) абсолютно интегрируемой функции.