Логарифми

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛУБЕНСЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ

РЕФЕРАТ

на тему:

ЛОГАРИФМИ

Виконала: студентка групи 14

Миргородська Леся

Лубни 2007

Відомості з історії

Англійський математик Дж. Непер (1550-1617) швейцарський математик І. Бюргі (1552-1632) незалежно один від одного ввели логарифми. Теорію логарифмів розвинув Непер. Він розробив способи обчислення арифметичних виразів за допомогою логарифмів і склав детальні таблиці логарифмів. Таблиці Непера мало відрізнялись від сучасних таблиць натуральних логарифмів. Десяткові логарифми ввів англійський математик І. Брігс (1561-1630). Лейбніц ще в кінці XVII ст. за допомогою правил логарифмування розв'язував показникові рівняння. Використання таблиць логарифмів, а пізніше - логарифмічної лінійки значно спростило обчислення, і вони довго були одним з основних засобів обчислень. Французький математик Лаплас говорив навіть, що винайдення логарифмів подовжило життя обчислювачів.

Визначення логарифма, десяткові та натуральні логарифми

Розглянемо рівність 4? = 64. У цій рівності число 3 є показником степеня, до якого необхідно піднести число 4, щоб дістати 64. Аналогічно, в рівності число (-2) є показником степеня, до якого треба піднести 5, щоб дістати . Звідси визначення: логарифмом числа N за основою а (а > 0, а ? 1) називається показник степеня х, до якого треба піднести основу а, щоб дістати число N.

Саме слово „логарифм” замінюють символом log, праворуч біля якого (у нижньому регістрі) записують число, яке називають основою, наприклад log₃81.

У багатьох випадках зручно використовувати десяткові логарифми, тобто логарифми за основою 10, для запису яких застосовують символ lg (без нижнього регістру), наприклад lg10 = 1, lg100 = 2, тощо.

Перш ніж ввести поняття натурального логарифма, слід ознайомити читача з унікальним числом, яке називають числом Ейлера і позначають е. Число е виникло при вивченні виразів типу . У курсах вищої математики доведено, що даний вираз монотонно зростає. За ознакою Веєрштраса вираз має границю, яка дорівнює … Дане ірраціональне число (доведення його ірраціональності виходить за межі не лише цього реферату, а й шкільного курсу) називають числом Ейлера і позначають, як я вже зазначала, літерою е. Унікальність, або, як нині модно говорити, „магію” цього числа можна помітити, досліджуючи показникову функцію y = а^x, Факт, що лише при а = е кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y = а^x у точці x = 0 рівний одиниці (дотична утворює кут 45° з віссю абсцис). Крім того, швидкість зміни функції y = е^x в кожній точці дорівнює значенню цієї функції в цій точці. Всі інші похідні цієї функції (їх безліч) також рівні е^x. Первісна від функції y = е^x рівна самій цій функції. Згадана функція єдина, що має вказані властивості.

По експоненціальному закону проходять дуже багато природних і штучних процесів, насамперед ріст деревини, охолодження рідин, майже всі процеси в термодинаміці, радіоактивний розпад.

Натуральним логарифмом називають логарифм за основою е (позначають ln x). Цікаво, що саме через натуральні логарифми виражені переважна більшість інтегралів від елементарних і неелементарних функцій.

Основна логарифмічна тотожність

Розглянемо показникову рівність а^х = N. (1)

За означенням логарифма x = lоg_аN (2)

Замінюючи в рівності (1) x його значенням з рівності (2), дістанемо (3)

Рівність (3) називають основною логарифмічною тотожністю.

Логарифмічна функція та її властивості

Варто дати означення логарифмічній функції за основою а (а > 0, а ? 1). При а > 1 показникова функція зростає на всій числовій прямій, а при 0 < а < 1 спадає на всій числовій прямій, при цьому в обох випадках Е (а^x) = R₊. За теоремою про обернену функцію показникова функція y = а^x має обернену функцію з областю визначення R₊ і множиною значень R, яка неперервна в кожній точці області визначення. Цю обернену функцію називають логарифмічною функцією за основою а і позначають у = lоg_а. З тої ж теореми випливає, що при а > 1 функція lоg_а зростає, а при 0 < а < 1 спадає на множині R₊.

На рис. 1 зображено графіки логарифмічної функції у = lоg_а при різних значеннях а.

Логарифмічні тотожності

Крім основної логарифмічної тотожності можна довести інші тотожності, наприклад:

Похідна логарифмічної функції

Можна довести формули для похідної логарифмічної функції:

Література

1. А. М. Колмогоров - Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу середньої школи. К.: ”Радянська школа”, 1977.

2. М. І. Шкіль, З. І. Слепкань, О. С. Дубинчук - Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу середньої школи. К.: „Зодіак-Еко”, 2001.