Высшая математика

Задание 1

Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение

В трехмерном пространстве любые три линейно-независимых (т.е. не компланарных) вектора образуют базис. Чтобы показать, что векторы не компланарны, достаточно показать, что определитель, составленный из их координат, не равен нулю.

.

Обозначим координаты вектора в новом базисе Тогда вектор

,

а его координаты равны:

Подставим в эту систему заданные координаты четырех векторов.

.

Решим систему методом Гаусса.

.

Заменим 2-ю строку её суммой с 1-й, умноженной на -2, и 3-ю строку - её суммой с 1-й, умноженной на -3.

Заменим 3-ю строку её разностью со 2-й.

.

Из последней матрицы получаем:

Ответ: .

Задание 2

Даны координаты вершин пирамиды .

Найти

а) Длину ребра .

б) Угол между ребрами и .

в) Угол между ребром и гранью .

г) Площадь грани .

д) Объем пирамиды.

е) Уравнение прямой .

ж) Уравнение плоскости .

з) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Данные: А(4; 2; 5), (0; 7; 2), (0; 2; 7), (1; 5; 0).

Решение

а) Длину ребра находим по формуле длины вектора:

.

.

б) Угол между ребрами находим, используя скалярное произведение векторов.

.

.

.

.

arccos 0,9057 = 25⁰ 5ґ.

в). Угол ц между прямой и плоскостью является дополнительным до или для угла между прямой и вектором нормали к плоскости . Поэтому в обоих случаях:

.

Вектором нормали к плоскости может служить векторное произведение векторов и . Координаты векторного произведения двух векторов (х₁; у₁; z₁) и (x₂; y₂; z₂) находятся по формулам

.

.

.

Или .

arcsin 0,3558 = 20⁰ 50ґ.

г). Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, на которых построен этот треугольник.

.

д). Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение можно вычислить как определитель, составленный из координат этих векторов.

.

.

.

.

е). Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Уравнения прямой :

или

.

ж). Общий вид уравнения плоскости

,

где А, В, С - координаты вектора нормали к плоскости.

Подставим в это уравнение координаты, например, точки А(4;2;5) и вектора .

.

Отсюда .

Искомое уравнение

.

з). Направляющим вектором высоты может служить вектор нормали .

Подставляем в уравнения прямой, проходящей через данную точку с данным направляющим вектором координаты точки и вектора . Получаем искомое уравнение высоты:

.

Задание 3

Систему линейных уравнений решить тремя способами: а - методом Гаусса, б - по правилу Крамера, с - через обратную матрицу.

Решение

3.1 Метод Гаусса

Метод заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы путем элементарных преобразований её матрицы.

~~~~

~~.

Последовательность преобразований:

1. Заменили 2-ю строку её разностью с 1-й.

2. Умножили 1-ю строку на (-3).

3. Заменили 3-ю строку её суммой с 1- й, а первую строку написали в первоначальном виде.

4. Умножили 2-ю строку на (-5).

5. Заменили 3-ю строку её суммой со 2-й, а 2-ю строку написали в предыдущем виде.

Из последней матрицы получаем:

.

Ответ: .

3.2 Формулы Крамера

,

где, Д _i - определитель, полученный из основного определителя заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

.

.

.

.

.

3.3 Обратная матрица

Обозначим матрицы:

.

Тогда система в матричном виде запишется: . Умножим обе части этого равенства на матрицу , обратную матрице А.

.

Т.к.

,

где - единичная матрица,

то получаем

Обратная матрица находится по формуле:

А^-1 = ,

где А _{i j} - взятый со знаком (-1) ^{i + j} определитель 2-го порядка, полученный из определителя матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

,

.

.

.

.

.

Задание 4

Даны два линейных преобразования

.

Средствами матричного исчисления найти линейное преобразование, выражающее через .

Решение

Обозначим матрицы

.

Тогда в матричном виде два данных преобразования запишутся:

(1),

(2)

Подставим из (1) в (2).

Получим

.

Отсюда видно, что для того, чтобы выразить через , надо умножить матрицу на матрицу .

Каждый элемент произведения матриц находится как сумма произведений элементов й строки 1 - й матрицы и соответствующих элементов го столбца 2 - й матрицы.

.

Ответ: .

Задание 5

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

А. .

Решение

Неопределенность . Разделим числитель и знаменатель на .

.

В. .

Неопределенность . Умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, и сокращаем дробь.

С. .

Неопределенность . Преобразуем выражение.

.

Применили 1-й замечательный предел

.

D. .

Неопределенность . Преобразуем выражение и применим 2-й замечательный предел

.

.

Задание 6

Найти производные данных функций.

6.1 .

.

6.2 .

.

6.3

.

6.4

Переменная х содержится и в основании и в показателе степени. Прологарифмируем обе части равенства.

.

Еще раз прологарифмируем обе части равенства.

.

.

.

Дифференцируем обе части последнего равенства.

.

.

.

.

.

6.5

Функция задана неявно. Продифференцируем обе части равенства

.

.

Отсюда выражаем .

.

Задание 7

Найти производные первого и второго порядка для следующих функций

7.1 Заданной явно

.

=

.

7.2 Заданной параметрически

.

.

.

.

.

.

.

.

Задание 8

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке .

Решение

Своё наибольшее (наименьшее) значение на отрезке функция может принимать либо в критической точке, принадлежащей этому отрезку, либо на конце отрезка.

.

при . .

.

.

.

Ответ:

Задание 9

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

и, используя результаты исследования, построить её график.

Решение

9.1 Область определения функции

.

Функция нечетная, Значит, график симметричен относительно начала координат.

9.2 Асимптоты

Точек разрыва нет, следовательно, нет и вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты

.

.

.

- горизонтальная асимптота.

9.3 Промежутки монотонности и экстремумы

.

при и .

- точка минимума.

.

- точка максимума.

.

9.4 Выпуклости, перегибы

.

при , , .

Там, где 2-я производная положительна, график функции обращен выпуклостью вниз, где отрицательна - выпуклостью вверх.

- точки перегиба.

.

.

Задание 10

Вычислить неопределенные интегралы. В пунктах А и В результаты проверить дифференцированием

10.1 .

Проверка

.

10.2 .

Применим формулу интегрирования по частям:

.

Пусть

.

Тогда

.

= .

Для вычисления последнего интеграла обозначим

.

Тогда

.

.

.

Проверка

10.3

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов.



.

10.4 .

Обозначим

.

Тогда

.

Задание 11

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

.

Задание 12

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

и прямой

.

Находим точки пересечения графиков

.

Площадь равна определенному интегралу

.