Высшая математика

Высшая математика

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

	машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.
	машин с водителями ежедневно уходят в рейс.
	водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
	количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
	дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Ответ: Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P) и найдите координаты точки равновесия, если

, .

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=Q_D(P) и предложения Q=Q_S(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

С осью OP (Q=0):	С осью OQ (P=0):
Для Q=QS(P):	Для Q=QD(P):

Рисунок 1. График функции спроса и предложения.

Т.к. функции Q_S(P) и Q_D(P) - линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

,

из этой системы получаем:

,

тогда

,

значит координаты т.M.

Ответ: Координаты точки равновесия равны ,

Задание №12. Вопрос №9

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

Решение

Ответ: Производная заданной функции равна

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение числа:

Решение:

Ответ: Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Задание №18. Вопрос №9

Исследуйте функцию и постройте ее график:

Решение:

1. Область определения данной функции: .

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY :

Точка пересечения:

С осью OX :

,

дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.

Точки пересечения: ,

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.

4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:

5.

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид:

,

т.е. y= -1 - уравнение горизонтальной асимптоты.

6. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :

,

дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.

,

отсюда , следовательно

,

значит точка - точка экстремума функции.



Рисунок 2. Исследование на экстремум

На участке производная

> 0,

значит, при , заданная функция возрастает.

На участке производная

< 0,

значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).

Следовательно - точка максимума заданной функции

.

7. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:



Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :

,

дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.

,

Значит

,

тогда , отсюда

Отсюда

, .

На участке производная

>0,

значит это участок вогнутости графика функции.

На участке производная

>0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.

На участке производная

<0,

значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Рисунок 3. Исследование на выпуклость

Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции

.

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Рисунок 4. График заданной функции

Часть II

Задание №8. Вопрос №8

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

, ,

Решение:

Пусть - функция прибыли, тогда

Найдем первые частные производные функции :

, .

Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:

Следовательно М(5, 5) - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого

введем обозначения:

, , ,

тогда , , ,

.

Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска x=5 и y=5, достигается максимальная прибыль равная:

Ответ: f_max(x, y)=360 и достигается при объемах выпуска x=5 и y=5.

Задание №12. Вопрос №9

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение:



Ответ:

Задание №14. Вопрос №2

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

.

Решение:

Ответ: Данный несобственный интеграл - расходящийся.

Задание №15. Вопрос №6

Решить уравнение

Решение:

.

Разделив обе части на

Получим

.

Проинтегрируем полученное уравнение

.

Представим

,

как

,

тогда



Ответ: Решением данного уравнения является

.

Задание №18. Вопрос №9

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения:

,

тогда

,

следовательно

, ,

тогда фундаментальную систему решений образуют функции:

,

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем

,

,

тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Представим правую часть уравнения, как

и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

.

Имеем , , тогда т.к.

-

многочлен второй степени, то общий вид правой части:

.

Найдем частные решения:

, ,

Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему:

,

отсюда

.

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:

.

Ответ: .

Дополнительно Часть I

Задание №7. Вопрос №1

Найти предел:

.

Решение:

.

Ответ: Заданный предел равен .

Задание №9. Вопрос №8

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

.

Решение:

1. Область определения данной функции:

.

2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к.

и ,

следовательно, уравнение - уравнение вертикальной асимптоты.

3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид:

,

где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной асимптоты имеет вид:

.

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем точки пересечения наклонной асимптоты

с осями координат:

С осью OX: точка,

с осью OY: точка

Рисунок 5. Графики асимптот функции

Ответ: , уравнения асимптот заданной функции

Задание №11. Вопрос №6

Исходя из определения производной, докажите:

.

Решение:

Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле

,

тогда приращение в точке :

.

Следовательно

.

Ответ:.

Задание №15. Вопрос №1

Найдите пределы, используя правило Лопиталя:

.

Решение:

.

Ответ: Заданный предел равен .

Дополнительно Часть II

Задание №7. Вопрос №1

Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением:

.

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции

в точке имеет вид:

.

Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности:

.

Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:

.

Ответ: Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид

.

Задание №9. Вопрос №8

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в области:

.

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

,

точка О (0,0) не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями

 и .

Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

,

тогда

, ,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Эта система имеет четыре решения:

1) , ,

Точка - точка условного максимума, при этом функция

.

2) , ,

Точка - точка условного максимума, при этом функция

.

3) , ,

Точка - точка условного минимума, при этом функция

.

4) , ,

Точка - точка условного минимума, при этом функция

.

,

Тогда

, ,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

Эта система также имеет четыре решения:

1) , ,

Точка - точка условного максимума, при этом функция

.

2) , ,

Точка - точка условного максимума, при этом функция

.

3) , ,

Точка - точка условного минимума, при этом функция

.

4) , ,

В точке - точка условного минимума, при этом функция

.

Следовательно, заданная функция

в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках А(2,2) и В(-2,-2) и наименьшего в точках С (-2,2) и D (2,-2) при этом графики функций

и

касаются окружности

в точках , и , соответственно (см. рис.6).

Рисунок 6. График наибольших/наименьших значений функции при .

Ответ: Заданная функция

при условии

имеет и .

Задание №11. Вопрос №6

Вычислить неопределенный интеграл:

.

Решение:

Ответ: Заданный неопределенный интеграл равен

Задание №15. Вопрос №1

Решить уравнение:

.

Решение:

.

Разделив обе части на , получим

.

Проинтегрируем полученное уравнение:

.

Ответ: Решением данного уравнения является

.