Иррациональные уравнения и их решения

Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это - важнейшие виды прекрасного.

(Аристотель)

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека, так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо уметь решать.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") - со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений и неравенств - линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами и другие. Но в школьном курсе на изучение и решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени. А иррациональные неравенства в школьном курсе вообще не рассматривают, а на вступительных экзаменах в ВУЗы и разные институты эти задания часто дают. Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств и хочу рассказать вам что у меня вышло.

В моей научной работе рассматриваются решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, а также при поступлении в ВУЗ. Кроме того, рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

“Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи;

ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие

одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…;

они же разве только в частных случаях могут быть

сведены к рациональностям”.

(Лейбниц Г.)

Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio - отношение, которое является переводом греческого слова “логос” в отличие от рациональных чисел. Числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”). Правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми. Теодор Киренский же называл их симметричными и асимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis (рациональный) и irrationalis (иррациональный).

Древнегреческие математики классической эпохи пользовались только рациональными числами (вернее, целыми и дробными, и обязательно положительными (иные числа они называли числами дьявола, и за малейшее упоминание о них могли сжечь на костре)). В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» - невыразимое словами. А позже, европейские переводчики с арабского на латынь заменили это слово латинским словом surdus - глухой. В Европе термин surdus "глухой" впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических произведений с арабского на латынь. Затем у итальянского математика Леонардо Фибоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII века. Правда уже в XVI в. отдельные ученые (в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин) считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью».

Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже вначале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.

Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби, которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Появление «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.

Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам.

Вслед за иррациональностью числа были открыты многие другие иррациональности. Так, Архит (около 428-365 до н.э.) доказал иррациональность чисел вида . Теодор из Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6,…,17, которые не являются полным квадратом. Теэтет (410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей.

С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. Вот примеры иррационального уравнения:

1.

2.

3.

В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать "лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Возведение обоих частей уравнений в соответствующую натуральную степень

Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения f(x)=g(x) в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение [f(x)]²ⁿ=[g(x)]²ⁿ множество решений, которого представляет собой объединение множеств решений:

f(x)=g(x) и f(x)=-g(x).

Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

Допустим, мы решаем уравнение , где P(x), Q(x) и R(x) - некоторые неотрицательные многочлены. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

.

После повторного возведения в квадрат это уравнение превращается в алгебраическое уравнение

.

Так как обе части уравнения возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни уравнения этого будут являться решениями исходного уравнения. Необходима проверка корней.

Приведу несколько примеров.

Пример 1. Решим уравнение .

Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что . Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:

и

Следовательно, полученные значения являются решениями данного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решим уравнение .

Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению , корни которого x = 1, и x = 4.

Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство, значит, 4 - решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения. Говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения.

Ответ: .

Пример 3. Решим уравнение .

Возведём обе части этого уравнения в квадрат: , откуда получаем уравнение , корни которого и . Сразу ясно, что это посторонний корень. При подстановке же в уравнение числа 2 получаем верное равенство , следовательно, решением данного уравнения является, только число 2.

Ответ: .

Пример 4. Решим уравнение .

Сразу видно, что ОДЗ левой и правой частей этого уравнения не пересекаются. В левой части неизвестное может принимать значения, которые больше или равны 6. А в правой, - меньше или равны четырём. Поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 5. Решим уравнение .

По определению - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, уравнение равносильно системе:

Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению , получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для . Поэтому данное уравнение имеет один корень .

Ответ: .

Пример 6. Решим уравнение .

В отличие от других примеров, здесь неизвестное содержится под радикалом третьей степени. Следовательно, возводить уравнение надо не в квадрат, а в куб.

При подстановке в уравнение первого корня, мы получаем верное равенство . При подстановке же второго, неверное - . Значит, x =-3 - посторонний корень.

Ответ: x = 0.

Пример 7. Решим уравнение .

По определению квадратного корня, .

Корень x = -5 - посторонний. Значит, уравнение имеет только один корень.

Ответ: x = -1.

Пример 8. Решим уравнение .

Ответ: .

При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения, уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой - остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) - в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.

Введение новых переменных

Другим способом решения иррациональных уравнений является способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

Пример 1. Решим уравнение .

Пусть , тогда , где t > 0.

Но t > 0, значит - посторонний корень. Сделаем обратную замену: и возведем обе части в квадрат.

Ответ: x = 2,5.

Пример 2. Решим уравнение .

Пусть , значит , где t > 0.

Но t > 0, значит, t = -3 - посторонний корень. Сделаем обратную замену , и возведём обе части уравнения в квадрат.

Ответ: .

Пример 3. Решим уравнение .

Пусть , где t > 0.

Сделаем обратную замену: , и возведем обе части уравнения в квадрат.

Ответ:

Пример 4. Решим уравнение .

Возведём обе части уравнения сначала в куб, потом в квадрат.

Произведём замену .

Сделаем обратную замену.

, или

не является корнем исходного уравнениё, в отличие от .

Ответ: .

В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнения с возведения обеих его частей в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

Пример 5.

Решим уравнение

.

Произведём замену .

Произведём обратную замену.

Ответ: .

Решение систем иррациональных уравнений

Иногда попадаются системы уравнений с неизвестными под знаком корня. Очень важно уметь решать и такие системы уравнений.

Пример 1. Решим систему

.

Подставляем полученное значение x в первое уравнение системы.

Ответ: .

Пример 2. Решим систему

.

Подставляем полученное значение x в первое уравнение системы.

Ответ: .

Пример 3. Решим систему

.

Ответ: .