Производная и ее приложения
Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования, производные высших порядков. Изучение функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции, экстремум функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
Рубрика | Математика |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 10.04.2010 |
Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.
f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2.
Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.
Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.
Задача 3.
Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.
Зависимость спроса от цены описывается функцией ,
Данная функция исследуется с помощью производной:
Производная меньше нуля, если P>=0.
Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все быстрее.
Задача 4.
Выручка от реализации товара по цене p составляет:
(Денежных единиц), где . Исследуем эту функцию с помощью производной.
Производная этой функции: положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.
темп положительный темп отрицательный
На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.
Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим график.
p |
(0, 1/2) |
1/2 |
||||
U'(p) |
+ |
0 |
- |
-0,47 |
- |
|
U''(p) |
- |
|
- |
0 |
+ |
|
U (p) |
возрастает выпукла |
0,3 max |
убывает выпукла |
0,2 точка перегиба |
убывает вогнута |
Вывод:
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом, а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке график перегибается (см. на рисунке):
8. Применение производной в физике
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?
Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)= 4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.
Высота y(t) описывается формулой: ,так как движение равноускоренное.
В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого ;
В этот момент по т. Пифагора, т.е.
Скорость его изменения
Ответ:
Задача 2
Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей?
Скорость капли , её кинетическая энергия в момент t равна
Исследуем функцию на наибольшее с помощью поизводной:
=0 t1=0 t2=1 (t>0)
При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.
Задача 3
Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей?
По закону Ома сила тока в цепи есть
выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть
Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: P'(R) = 0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом.
Ответ: 50 Ом
9. Применение производной в алгебре
9.1 Применение производной к доказательству неравенств
Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция на некотором интервале имеет производную всюду на , то на монотонно возрастает; если же всюду на , то на монотонно убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство , функция и непрерывны в точке и , то на выполняется неравенство .
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием этих теорем.
Задача 1. Пусть .Докажите истинность неравенства . (1)
Решение: Рассмотрим на функцию . Найдем ее производную: . Видим, что при . Следовательно, на убывает так, что при . Но Следовательно неравенство (1) верно.
Задача 2. Пусть и положительные числа, Тогда очевидно, что , . Можно ли гарантировать, что неравенство (2)
верно а) при ; б) при ?
Решение: а) Рассмотрим функцию . Имеем:
Отсюда видно, что при функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале Поэтому при неравенство (2) справедливо.
б) на интервале , т.е. убывает. Поэтому при любых и , для которых , неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла:
Задача 3. Доказать неравенство: при (3).
Воспользуемся теоремой 2. и , верно неравенство : на промежутке и выполнимо условие где , в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача 4. Доказать неравенство: (4).
Решение: , ;
Неравенство при любых верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5. Доказать, что если , то (5).
Решение: Пусть Тогда
Чтобы найти, при каких значениях функция положительная, исследуем ее производную . Так как при то
Следовательно, функция возрастает при . Учитывая, что и непрерывна, получаем , при .
Поэтому возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку непрерывна и то при . Неравенство (5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при : или .
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь .
Рассмотрим на вспомогательную функцию .
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):
при .
В силу теоремы 1 функция вырастает на отрезке . Поэтому, при т.е.
при .
При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква ) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а значение остальных букв (в данном случае значение буквы ) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных неравенство: (6).
Решение: Пусть Рассмотрим функцию
.
При имеем .
Отсюда видно (теорема 1), что убывает на Поэтому при имеем т.е. мы получили неравенство:
(7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При имеем:
Следовательно, убывает на , т.е. при значит, (8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка с из , что на и на . Тогда при любом х из справедливо неравенство причем равенство имеет место лишь при .
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:
.
Видно, что на и на . Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при .
9.2 Применение производной в доказательстве тождеств
Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним очевидным замечанием:
Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю:
на на .
Задача 1. Проверить тождество:
(1)
Доказательство: Рассмотрим функцию
Вычислим ее производную (по х):
Поэтому (замечание) . Следовательно, что равносильно тождеству (1).
Задача 2. Проверить тождество:
(2)
Доказательство: Рассмотрим функцию
Докажем, что
Найдем ее производную:
Значит. При х=0 ,следовательно,тождество (2) верно.
В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить возможно более простые выкладки.
9.3 Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений
Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:
Задача 1 Упростить выражение:
Решение: Обозначив данное выражение будем иметь:
Таким образом, заданное выражение (1) равно .
Задача 2. Упростить выражение:
Решение: Обозначив это выражение через , будем иметь:
отсюда .
и при получаем:
Так что
Задача 3. Упростить запись функции:
(2)
Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:
Отсюда
Найдём :
Таким образом функция (2) равна
Задача 4. Упростить запись многочлена:
(3)
Решение: Обозначим многочлен (3) через и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:
Ясно, что Поэтому , где , найдём : при , .
9.4 Разложение выражения на множители с помощью производной
Задача 1. Разложить на множители выражение:
(1)
Решение: Считая переменной, а и постоянными фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через , будем иметь:
Поэтому (2)
где - постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от параметров и . Для нахождения в равенстве положим тогда .
Получим
Задача 2. Разложить на множители выражение:
(3)
Решение: Поскольку переменная входит в данное выражение в наименьшей степени, рассмотрим его, как функцию и будем иметь:
получим:
Таким образом, исходное выражение (3) равно
Задача 3. Разложить на множители выражение:
Решение: Обозначив данное выражение через и считая и постоянными, получим:
откуда , где зависит только от и . Положив в этом тождестве , получим и
Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но в качестве переменной рассмотрим , поскольку эта переменная входит в меньшей степени, чем . Обозначая его через и считая и постоянными, будем иметь:
отсюда:
Таким образом исходное выражение (4) равно
9.5 Применение производной в вопросах существования корней уравнений
С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:
Задача 1. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.
(1)
Решение: Область определения данного уравнения - промежуток определение на этом промежутке функцию , положив
Тогда, на
,
и таким образом функция - возрастающая, так что данное уравнение (1) не может иметь более одного решения.
Задача 2. При каких значениях имеет решения уравнение
(2)
Решение: область определения уравнения - отрезок , рассмотрим функцию , положив
Тогда на открытом промежутке
, так что - единственная критическая точка функции , являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку то примет наибольшее значение при , а наименьшее значение - при .
Так как функция непрерывна, то её область значений представляет собой отрезок , между её наименьшим и наибольшим значением. Другими словами, исходное уравнение (2) имеет решения при .
Заключение
Настоящая работа даёт новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера покажутся новыми и необыкновенными, что расширит кругозор и повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.
Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.
Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.
Подобные документы
Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.
презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Геометрический и механический смысл приращения функции. Правило дифференцирования, критические точки, экстремум; интегрирование.
презентация [575,4 K], добавлен 11.09.2011