Многогранник. Изучение многогранника в начальной школе

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»

Факультет начального образования

Реферат

Многогранник. Изучение многогранника в начальной школе

Выполнила:

студентка

51группы ФНО

Петрушина О.В.

Самара 2009

Содержание

Введение

Основные понятия

Исторические сведения о правильных многогранниках

Формула Эйлера

Правильные многогранники вокруг нас

Заключение

Список литературы

Введение

Тема «Многогранники» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии. Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат,- все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов - главным образом тел и поверхностей.

Центральная роль многогранников определяется, прежде всего, тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников; Достаточно вспомнить определение объемов тел и площадей поверхностей путем предельного перехода от многогранников.

Кроме того, многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами. Можно, например, вспомнить теорему Эйлера о числе граней, ребер и вершин, симметрию правильных многогранников, вопрос о заполнении пространства многогранниками и др.

Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом. Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве. Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету.

Также одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления. Этой цели в значительной мере способствует применение наглядных пособий, причем не только в младших классах, но и в старших. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема «Многогранники», в частности, самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий. В процессе изготовления моделей многогранников, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задач на построение. При самостоятельном изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся.

Основные понятия

· Многогранник - это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.

Стороны граней - рёбра многогранника, а концы рёбер - вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.

· Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней.

· Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы.

На рисунке изображены тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их форма - образец совершенства! А почему правильные многогранники получили именно такое название? Какими особенностями они обладают? Как изготовить модель какого-либо правильного многогранника? Где можно встретить эти удивительные тела?

Ответить на эти и другие вопросы: цель данной работы.

Все правильные многогранники имеют разное число граней и названия получили по этому числу.

· Тетраэдр (от ,,тетра”- четыре и греческого ,,hedra” - грань) составлен из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.

· Гексаэдр (от греческого ,,гекса” - шесть и ,,hedra” - грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.

Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,,cubus”; от греческого ,,kubos”.

· Октаэдр (от греческого okto - восемь и hedra - грань) имеет 8 граней (треугольных), в каждой вершине сходятся 4 ребра.

· Додекаэдр (от греческого dodeka - двенадцать и hedra - грань) имеет 12 граней (пятиугольных), в каждой вершине сходятся 3 ребра.

· Икосаэдр (от греческого eikosi - двадцать и hedra - грань) имеет 20 граней (треугольных), в каждой вершине сходится 5 рёбер. (5, с.267-269)

Оказывается, что правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше. Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360^о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360 (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника). доказывается, что правильных многогранников ровно пять.

Исторические сведения о правильных многогранниках

Древнегреческий философ Платон, (428 или 427 до н. э. -- 348 или 347), проводивший беседы со своими учениками в роще Академа (Академ - древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин, откуда и пошло название ,,академия”), одним из девизов своей школы провозгласил: ,,Не знающие геометрии не допускаются!”

Правильные многогранники называют также Платоновыми телами. Хотя их знаки пифагорейцы за несколько веков до Платона.

В диалоге ,,Тимей'' он связал правильные многогранники с четырьмя основными стихиями. Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Хотя правильные многогранники были известны пифагорейцам за несколько веков до Платона, их называют платоновыми телами. (4, с.340)

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера.

Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение.

Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие -- в виде вирусов, простейших микроорганизмов.

Кристаллы -- тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) -- природная модель додекаэдра. Пирит (от греч. “пир” -- огонь) -- сернистое железо или серный колчедан, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размеры кристаллов пирита часто достигают нескольких сантиметров и являются хорошим коллекционным материалом. От других подобных ему минералов отличается твердостью: царапает стекло.

Замечено, что наша матушка-Земля последовательно проходит эволюцию правильных объемных фигур. Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с вышеуказанными фигурами. Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозою - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово - додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро - додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов.

В. Макаров и В. Морозов утверждают, что в настоящее время процессы жизнедеятельности Земли имеют структуру додекаэдра-икосаэдра. Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро - икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.).

С позиций изучения симметрии, учитывая представление о додекаэдро-икосаэдрическом силовом каркасе Земли как планеты, следует признать, что в этом смысле Земля является живым существом. С душою, которую П.А. Флоренский назвал “пневматосфера”, со свободой воли и разумом.

Додекаэдрическая структура, по мнению Д. Винтера (американского математика), присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное - структура ДНК генетического кода жизни - представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная - от Метагалактики и до живой клетки - построена по одному принципу - бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!

Существует семейство тел, родственных платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники, или Архимедовы тела. У них все многогранные углы равны, все грани - правильные многоугольники, но нескольких различных типов. Называют 13 или 14 архимедовых тел(число неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр иногда не причисляют к этому семейству).

Кроме того, имеют равные многогранные углы и правильные грани нескольких типов тела из двух бесконечных семейств - призмы и антипризмы.

Кеплер Иоганн (Kepler I, 1571-1630г) - немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. ( «Гармония мира», 1619г.) И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов хорошо согласовались с действительными расстояниями между планетными орбитами.

Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой небесных сфер, по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.

Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет - именно шесть планет гармонировали с пятью Платоновыми телами.

Формула Эйлера

Подсчитаем число вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) запишем результаты в таблицу.

В последней колонке для всех многогранников один и тот же результат: В+Г- Р=2. Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 - 1783), поэтому формула названа его именем: формула Эйлера. Этот гениальный учёный, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником.

Самое удивительное в этой формуле, что она верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников!

Ради интереса можно проверить это для нескольких наугад взятых многогранников. (3, с.42)

Правильные многогранники вокруг нас

В книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Так, например, одноклеточные организмы феодарии, имеют форму икосаэдра.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра.

Интересная научная гипотеза, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. (2, с.2)

Заключение

Исследовательская работа была интересной и разнообразной и заставила понять, что мир, окружающий нас, подчиняется законам геометрии.

В рамках работы над рефератом была изучена литература по теме, выявлены особенности правильных многогранников, изготовлены чертежи, развёртки, модели правильных многогранников.

Многогранник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих Многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, -- к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны -- рёбрами, а их вершины -- вершинами Многогранника.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Форма первоэлемента Земли - куб, Воздуха - октаэдр, Огня - тетраэдр, Воды - икосаэдр, а всему миру творец придал форму пятиугольного додекаэдра. О том, что Земля имеет форму шара, учили Пифагорейцы. По Пифагору, существует 5 телесных фигур: высшее божество само построило Вселенную на основании геометрической формы додекаэдра. Земля подобна Вселенной, и у Платона Земля - тоже додекаэдр.

Греческая математика, в которой впервые появилась теория многогранников, развивалась под большим влиянием знаменитого мыслителя Платона.

Платон (427-347 до н.э.) - великий древнегреческий философ, основатель Академии и родоначальник традиции платонизма. Одним из существенных черт его учения является рассмотрение идеальных объектов - абстракций. Математика, взяв на вооружение идеи Платона, со времен Евклида изучает именно абстрактные, идеальные объекты. Однако и сам Платон, и многие древние математики вкладывали в термин идеальный не только смысл абстрактный, но и смысл наилучший. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.

Теория многогранников - один из увлекательных и ярких разделов математики. В представленном реферате была рассмотрена только одна часть этой теории. Из правильных многогранников - платоновых тел - можно получить так называемые полуправильные многогранники, или архимедовы тела, гранями которых являются также правильные, но разноимённые многоугольники, а также звёздные правильные тела.

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 - М: Баласс, 1988.

2. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V - VI классов. - М: Мирос 1992.

3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. - М: Аванта плюс, 2002.

4. Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. - М: Издательство АСТ, 1999.

5. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М., Просвещение, 1992.