Непостижимая эффективность математики

Непостижимая эффективность математики

Человек стоит перед двойной загадкой. Почему в тех случаях, когда физическое явление понято нами и мы приняли соответствующие аксиомы, сотни следствий, полученных из них, оказываются столь же применимыми к реальному миру, как и сами аксиомы? Согласуется ли природа с человеческой логикой? Не менее важен и другой вопрос: почему математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые не понятны для нас? От этих вопросов невозможно отмахнутся. Слишком многое в современной науке и технике зависит от математики. Очевидно, в ней скрыты какие-то силы и ресурсы.

В Древней Греции, где математика сводилась в основном к геометрии, а приложения ее были весьма ограничены, мыслители пытались ответить на поставленные вопросы, однако по современным стандартам эти ответы чрезмерно упрощены и весьма догматичны. Ученым 16-18 вв. ответ на вопрос, почему математика столь эффективна, также казался простым и ясным. Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, и принимая средневековые представления, гласившие, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как Богом, они видели в математике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, превратив Бога в ревностного и непогрешимого математика, стоящего над всем миром, средневековые мыслители как бы отождествили поиск математических законов природы с религиозными исканиями. Изучение природы стало изучением слова божьего, его деяний и его воли. Гармония мира в их глазах была проявлением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворении. Именно он заложил в мир тот строгий математический порядок, познание которого дается нам с таким трудом. математическое знание почиталось абсолютной истиной, как любая строка Священного писания. Более того, математическое знание становилось чем-то выше Священного писания, ибо по поводу толкования тех или иных мест в Священном писании возникло немало разногласий, тогда как относительно математических истин не могло быть ни малейших споров.

Так, католическое вероучение, считавшее сотворение мира рациональным актом Бога, и учение пифагорцев и Платона, усматривавшее в математике фундаментальную реальность физического мира, слились в программе естественнонаучных поисков, суть которых сводилась к следующему: наука призвана открывать математические соотношения, лежащие в основе всех явлений природы и объясняющие их, и тем способствовать славе и величию божественного творения. Как отмечал в своей книге “Становление человеческого разума” Джон Герман Рэндалл, “наука родилась из веры в математическую сущность природы, утвердившуюся задолго до того, как это удалось проверить экспериментально”.

Из философов, убежденных в том, что математика - верный путь к реальности, наиболее влиятельным был Рене Декарт. И хотя его метод оказался не долговечным, именно Декарт был последним из схоластов и первым из представителей науки нового времени, который провозгласил особое значение математики как инструмента познания мира.

Декарт задумался над тем, почему следует верить, что математические конструкции, созданные человеческим разумом, открывают путь к познанию физического мира. Декарт, как мы уже знаем, опирался при этом на свою веру в Бога. Он считал, что человеческому разуму внутренне присущи идеи пространства, времени, числа и Бога, а также способность распознавать истинность других интуитивно постигаемых понятий. Внутреннее знание незыблемо и неоспоримо. Идею Бога, по мнению Декарта, невозможно почерпнуть в чувственном опыте, ибо вечность, всеведение, всемогущество и совершенство отсутствуют в окружающем нас физическом мире. К числу идей, составляющих достояние разума, принадлежит и идея внешнего мира. Существует ли то, что мы называем внешним миром? Существует, заявлял Декарт, ибо Бог в силу своей добродетели не стал бы вводить нас в заблуждение. С другой стороны, ощущение, по Декарту, это не более, чем заблуждения, рожденные нашими чувствами. К счастью, из математических истин, постигаемых разумом независимо от опыта, мы можем с помощью чисто умозрительных заключений выводить новых истины о физическом мире. Каким образом мы могли бы удостоверится в правильности наших рассуждений? И здесь Декарт опять уповает на Бога, полагая, что именно благодаря помыслу божьему наше мышление согласуется с реальностью.

Убеждение Декарта в том, что природа основана на математических принципах, разделяли и его современники, и на протяжении двух столетий последующие поколения философов и естествоиспытателей. Каплер тоже усматривал реальность мира в описывающих его математических соотношениях. По словам Галилея, математические символы - те письмена, которым Бог начертал великую книгу Природы. Не знающий их не в состоянии понять в ней не единого слова и обречен вечно блуждать по лабиринту в кромешной тьме. Познаваемы лишь те свойства физического мира, которые могут быть выражены с помощью математических понятий и формул. Вселенная математична по своей структуре и поведению, и природа действует согласно незыблемым и неизменным законам. В одном из писем Галилея содержится весьма откровенное признания: “Что касается меня, то пусть хотя бы все споры по поводу Священного писания пребывали в вечной дреме; ни один астроном или естествоиспытатель, если он в здравом рассудке, не станет вдаваться в такие детали”. Разумеется, Галилей был глубоко убежден, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. В приведенном отрывке из письма он имеет в виду лишь то, что для объяснения явлений природы не следует привлекать потусторонние сверхъестественные силы.

Ньютон также считал, что Бог сотворил мир на основе математических принципов. В его письме к Ричарду Бентли от 10 декабря 1692 г. есть такие строки: “Когда я писал свой тракт о нашей системе [“математические начала натуральной философии”], мне хотелось найти такие начала, которые были бы совместимы с верой людей в Бога; ничто не может доставить мне большее удовлетворение, чем сознание того, что мой труд оказался не напрасным”.

Главную ценность своих научных трудов Ньютон видел в поддержке религиозного вероучения. Он был ученым-теологом, хотя не имел духовного сана, занятие наукой Ньютон считал делом тяжелым и скучным, но продолжал отдаваться ему, ибо наука позволяла находить все новые подтверждения божественного сотворения мира. Как и его предшественник по кафедре в Кембриджском университете Исаак Барроу, Ньютон в более зрелые годы обратился к богословию. Свято веря, что мироздание построено по божественному плану, Ньютон в отличие от своих предшественников считал, что Бог также призван следить за тем, чтобы все в мире функционировало в соответствии с этим планом. Ньютон сравнивал Вседержителя с часовщиком, следящего за точностью хода часов и устраняющим любые неисправности.

Хотя Готтфрид Вильгельм Лейбниц был человеком разносторонне одаренным и достиг блестящих успехов в математике, главным образом в дифференциальном и интегральном исчислениях, он отнюдь не распространял господство математики на сколько-нибудь широкую область естествознания. Философия науки, развитая Лейбницем (как и философия Декарта), стала его наиболее значительным вкладом в учение о математических принципах, заложенных в основе мироздания.

В “Теодицее” Лейбница мы встречаем уже знакомую нам идею: Бог есть тот высший разум, который сотворил наш тщательно спланированный мир. Согласие между реальным миром и миром математическим, а в конечном счете применимость к реальному миру дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц объяснял единством мира и Бога: Cut Deus calculat? fit mundus (Как Бог считает, так мир и делает). Наш мир - самый совершенный из всех миров, какие только можно себе представить, и рациональное мышление открывает его законы - таков был главный тезис Лейбница.

Суть того, во что непоколебимо верил Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших муках в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы. Даже в далеком прошлом такая предпосылка неизменно получала подтверждения, превосходившие самые смелые ожидания.

Математический план природы открывается человеку лишь в неустанном поиске. Пути господни, как говорится, неисповедимы, но, несомненно, они математически совершенны, и человеческий разум со временем открывает все больше подробностей того рационального плана, которым Бог руководился при сотворении мира. То, что человек рассуждает так же, как, видимо, рассуждал Бог, обдумывая свой план мироздания, казалось ученым прошлого довольно понятным: ведь правильным, по их мнению, могли быть рассуждения только одного типа.

В своей работе “Прагматизм” (1907) Уильям Джеймс так описывает умонастроение математиков того времени:

“Когда были открыты первые математические, логические и физические закономерности, первые законы, проистекавшие из этих открытий, ясность, красота и упрощение настолько захватили людей, что они уверовали в то, будто им удалось доподлинно расшифровать непреходящие мысли Всемогущего. Его разум громыхал громовыми раскатами и эхом отдавался в силлогизмах. Бог мыслил коническими сечениями, квадратами, корнями и отношениями и геометризовал, как Евклид. Бог предначертал законы Кеплера движению планет, заставил скорость падающих тел возрастать пропорционально времени, создал закон синусов, которому свет должен следовать при преломлении... Бог измыслил архетипы всех вещей и придумал их вариации, и когда мы открываем одно из его чудесных творений, то постигаем его замысел в самом точном предназначении”.

С исторической точки зрения можно усмотреть определенную иронию в том, что роль Бога становилось все менее значительной по мере того, как начинали доминировать универсальные законы, охватывающие движение небесных и земных тел, и неизменное согласие между математическими предсказаниями и результатами наблюдений свидетельствовало о совершенстве законов. Бог оказался оттесненным на задний план, и все внимание сосредоточилось на математических законах, царящих во Вселенной. Лейбниц отлично сознавал, какие следствия можно извлечь из ньютоновских “Математических начал”, в частности из представления о мире, функционирующем по определенному плану, неважно, с Богом или без оного, и обрушился на сочинение Ньютона, назвав его антихристианским.

Почтительное восхищение божественным планом творения постепенно уступило место стремлению получить чисто математические результаты. Хотя многие математики продолжали вверить в божественное сотворение мира по единому плану и видели основную функцию математической науки в поисках способов расшифровки божественного замысла, вера в Творца во второй половине 18 в. изрядно потускнела. Чем успешнее развивалась математика того времени, чем многочисленнее становилась ее достижения, тем в меньшей степени занятие математикой нуждалось в религиозном вдохновении.

Вытеснение Бога из математического исследования природы происходило постепенно, принимая различные формы - от ортодоксальной религиозности через различные промежуточные стадии до рационалистического супернатурализма: деизма, агностицизма и воинствующего атеизма. Все эти течения оказали свое влияние на математиков 18 в. Дени Дидро (1713 - 1784), бесспорно, одному из ведущих мыслителей своего века, принадлежит высказывание, хорошо выражающее умонастроение той эпохи: “Если вы хотите, чтобы я верил в Бога, сделайте так, чтобы я мог дотронутся до него”. Ревностный католик Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) заявил во всеуслышание, что “без всяких колебаний отвергает любую гипотезу, противоречащую истинам божественного откровения”. Тем не менее вера в Бога как творца мироздания практически умерла. По словам математика Жана Лерона Д'Аламбера, основного соратника Дени Дидро по работе над изданием знаменитой французской “Энциклопедии”, ”истинная система мира была познана, развита и усовершенствована”. Закон природы, очевидно, есть закон математический.

Лагранж и Лаплас, хотя оба выросли в католических семьях, не были верующими людьми. Лаплас полностью отвергал все метафизические принципы, основанные на вере в Бога. Известна такая история. Когда Лаплас преподнес Наполеону экземпляр своей “Небесной механики”, император заметил: “Месье Лаплас, говорят, вы написали эту большую книгу о системе мира, ни разу не упомянув Создателя”. На что Лаплас якобы ответил: “Мне не понадобилась эта гипотеза”. Природа изменила Бога. Математики с головой ушли в поиски математических законов природы, не сомневаясь, что именно им выпало на долю открывать те самые основополагающие принципы, которые ранее приписывали Богу.

В конце 18 в. математика представляла собой как бы величественное двухтысячелетнее дерево, прочно стоящее на почве реальности с могучими корнями и мощными ветвями, возвышавшееся над всеми остальными областями знания. Мог ли кто-нибудь усомнится в том, что такому дереву жить вечно! Убеждение в том, что природа основана ан математических принципах, было прочно, как никогда. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, и сама математика считалась инструментом, как нельзя лучше приспособленным для решения этой задачи. Трудясь не покладая рук, настойчиво и прилежно, можно было рассчитывать на открытие все новых истин.

Развитие неевклидовой геометрии показало, что созданная человеком математика ничто не говорит о природе и имеет мало общего с доказательством существования Бога. Выяснилось также, что именно человек фиксирует порядок в природе, предполагаемую простоту и математическую регулярность. Вполне возможно, что в природе не заложено никаких математических принципов. По-видимому, вернее будет сказать, что математика предлагает нам не более чем некий ограниченный, вполне осуществимый, рациональный план.

В нашем столетие перед математикой были поставлены еще более скромные цели. Эварист Гаула (1811-1832) так отзывался о ней: “Эта наука - всего лишь одно из множества творений человеческого разума, более приспособленного к тому, чтобы изучать и искать истину, чек к тому, чтобы ее находить и познавать” ([28], с. 61). Видимо, истине свойственно быть неуловимой; Как сказал римский философ Луций Сенека (ок. 4 г. до н. э. - 65 г. н. э.,) “природа не сразу открывает все свои тайны”.

Но даже если математика утратила свое место в цитадели истины, в физическом мире она прочно удерживала свои позиции. Нельзя было обойти или недооценивать главного: математика была и остается превосходным методом исследования открытия и описание физических явлений. В некоторых областях физики математика, как мы узнали, составляет самую суть нашего понимания физического мира. Даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их тем не менее можно считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не уменьшила ценность математики в этом отношении и не подорвала доверия к ее результатам, но, напротив, как это не парадоксально, способствовала расширению ее приложений, ибо математики, почувствовав большую свободу в исследовании радикально новых идей, обнаружили, что некоторые из них вполне применимы во многих областях человеческой деятельности. Роль математички в “упорядочении” окружающего мира и овладении природой начиная с 30-х годов 19 в. возрастала невероятно быстрыми темпами. Кроме того, со времен Ньютона существенно увеличилась также точность, с которой математики могли описывать и предсказывать явления природы.

Мы сталкиваемся здесь с явно парадоксальной ситуацией. Область знания, не претендующая более на роль носителя истины, подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидову геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа, физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна с ее тонкими и необычными выводами и позволила многое понять в строении атома. Все эти блестящие достижения опираются на математические идеи и математические рассуждения. Быть может, в отрасли знания, о которой идет речь, все-таки заключена некоторая магическая сила, позволившая ей одержать столько побед, хотя сражалась она под непобедимым знаменем истины?

Эта проблема неоднократно привлекала к себе большое внимание, в частности, Альберта Эйнштейна, который не раз касался ее в своих статьях, посвященных общефилософским вопросам естествознания:

“В этой связи возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного только размышления понять свойства реальных вещей? “

Эйнштейн понимал, что аксиомы математики и принципы логики введены из опыта, но его интересовало, почему следствия, вытекающие из созданных человеком аксиом и принципов, так хорошо согласуется с опытом.

На вопрос “почему математика “работает”?” было предложено несколько различных ответов. Некоторые полагают, будто математики подбирают “аксиомы” так, чтобы выводимые из них следствия согласовались с опытом. Эту идею впервые высказал Дидро в своей работе “Мысли об интерпретации природы” (1753). Великий мыслитель сравнил математика с игроком. И тот и другой играют, придерживаясь ими же придуманных абстрактных правил. И тот и другой сосредотачивают свои помыслы на исследовании некого условного предмета, рожденного принятыми соглашениями и не имеющего основы в реальности. Столь же критическую позицию занимал и Бернар Ле Бовье де Фонтенель (1657-1757). Оспаривая убеждение в незыблемости законов движения небесных тел, он довольно язвительно заметил, Что “на памяти” роз ни один садовник никогда не умирал.

Подобным образом действуют и создатели современных математических моделей. Берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то в нее вносят надлежащие изменения. Тем не менее возможно вывести из одной модели сотни теорем, хорошо согласующихся с опытом, т.е. применимых к реальности, так или иначе поднимает вопрос, ответить на который не так легко.

Ныне предлагается и совершенно другое объяснение “эффективности” математики. Оно восходит к Канту, который, правда, изложил его в несколько другой форме. Кант утверждал, что мы не знаем и не можем знать природу. Мы ограничены чувственными восприятиями, но наш разум, наделенный предустановленными структурами (по терминологии Канта “интуитивными суждениями”) пространства и времени, организует эти чувственные восприятия в соответствии с тем, что диктуют присущие ему врожденные структуры. Например, наши пространственные восприятия мы организуем в соответствии с законами евклидовой геометрии потому, что этого требует наш разум. Будучи организованными таким образом, пространственные восприятия и в дальнейшем подчиняются законам евклидовой геометрии. (Отстаивая евклидову геометрию как единственно возможную геометрию реального мира, Кант, как мы теперь знаем, заблуждался.) Иначе говоря, мы видим только то, что позволяет наша математическая “оптика”. По мнению Канта, “всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу”.

Физик Адольф Зоммерфельд (1868-1951), как и многие его коллеги, считал идею предписывания законов природы человеческим разумом вопиющим примером человеческого высокомерия, но Артур Стенли Эддингтон (1882-1944) вполне разделял идею Канта:

“...Там, где наука ушла особенно далеко в своем развитии, разум лишь получил от природы то, что им было заложено в природу. На берегах неизвестного мы обнаружили странный отпечаток. Чтобы объяснить его происхождение, мы выдвигали одну за другой остроумнейшие теории. Наконец, нам все же удалось восстановить происхождение отпечатка. Увы! Оказалось, что это наш собственный след”.

Эддингтон пришел к выводу, что мир человеческого опыта есть по существу творение нашего разума и что, если бы мы только могли понять, как “работает” разум, нам удалось бы вывести всю физику (а быть может, и все естествознание) - за исключением некоторых констант, зависящих от того, в какой части Вселенной нам случилось оказаться, - чисто теоретическими методами.

Жуль Анри Пуанкаре (1854-1912) предложил еще одно объяснение, в значительной мере выдержанной в духе Канта, хотя теперь взгляды Пуанкаре получили название “конвенционализмом”. В “науке и гипотезе” Пуанкаре говорит следующее [29]:

“Можно ли утверждать, что некоторые явления, возможны в евклидовом пространстве, были невозможны в неевклидовом, так как опыт, констатируя эти явления, прямо противоречил бы гипотезе о неевклидовом пространстве?

По моему мнению, подобный вопрос не может возникнуть...

Опыт играет необходимую роль в происхождении геометрии; но было бы ошибкой заключить, что геометрия - хотя бы отчасти - является экспериментальной наукой.

Если бы она была экспериментальной наукой, она имела бы только временно, приближенное - и весьма грубо приближенное! - значение. Она была бы только наукой о движении твердых тел. Но на самом деле она не занимается реальными твердыми телами; она имеет своим предметом некие идеальные дела, абсолютно неизменные, которые являются только упрощенным и очень отдаленным отображением реальных тел.

Понятие об этих идеальных телах целиком извлечено нами из недр нашего духа, и опыт представляет только повод, побуждающий нас его использовать...

Опыт направляет нас при этом выборе [среди всех возможных групп перемещений той, которая служила бы эталоном для соотнесения с ней реальных явлений], но не делает его для нас обязательным; он показывает нам не то, какая геометрия наиболее правильна, а то, какая наиболее удобна...

Поскольку невозможно указать конкретный опыт, который мог бы быть истолкован в евклидовой геометрии и не мог бы быть истолкован в системе Лобачевского, то я могу заключить: никогда никакой опыт не окажется в противоречии с постулатом Евклида, но зато и никакой опыт не будет никогда в противоречии с постулатом Лобачевского”.

Пуанкаре считал, что существует бесконечно много теорий, которые в состоянии адекватно объяснить и описать любую область опыта. Выбор теории произволен, хотя обычно после простой теории отдают предпочтение более сложной. Мы изобретаем и используем идеи, которые соответствуют реальности, но и другие теории, если приложить к ним достаточно усилий, также могут оказаться вполне действенными. Хотя Пуанкаре более точно объяснял, каким образом математика достигла согласия с реальностью, он в известной мере соглашается с объяснением Канта, а именно считает, что соответствие между природой и математикой обусловлено человеческим разумом. В своей работе “Ценность науки” Пуанкаре утверждал:

“Но та гармония, которую человеческий разум полагает открыть в природе, существует ли она вне человеческого разума? Без сомнения - нет; невозможна реальность, которая была бы полностью независима от ума, постигающего ее. Такой внешний мир, если бы он даже и существовал, никогда не был нам доступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что обще нескольким мыслящим существам и могло бы быть обще всем. Этой общей стороной, как мы увидим, может быть только гармония, выражаемая математическими законами”.

Философ Уильям Джеймс в своем “Прагматизме” выразил ту же идею: “Все грандиозные достижения и естественных наук... проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта”

В ”Аспектах науки” (вторая серия) Дж. У. Н. Салливен сформулировал эту мысль еще сильнее: “Мы законодатели Вселенной; возможно даже, что опыт не дает нам ничего, кроме осознанного нами, и что сам материальный мир есть величайшее из наших математических творений”.

Все эти автора утверждают, что научную истину создают, а не находят. Даже если следствия (математических законов) экспериментально подтверждаются, они являются не более чем симптомами физической науки.

Эйнштейн в “Эволюции физики” (написанной им вместе с Инфельдом) также по существу принял точку зрения Канта:

“Физические понятия суть свободные творения человеческого разума, а не определены однозначно внешним миром, как это иногда может показаться. В нашем стремлении понять реальность мы отчасти подобны человеку, который хочет понять механизм закрытых часов. Он видит циферблат и движущиеся стрелки, даже слышит тиканье, но он не имеет средств открыть их корпус. Если он остроумен, он может нарисовать себе некую картину механизма, которая отвечала бы всему, что он наблюдает, но он никогда не может быть уверен в том, что эта картина единственная, которая могла бы объяснить его наблюдения. Он никогда не будет в состоянии сравнить свою картину с реальным механизмом, и он не может даже представить себе возможность или смысл такого сравнения”.

Эйнштейн был убежден в том, что созданная человеком математика хотя бы частично определяется реальностью. В его книге “Сущность теории относительности” (1945) говорится:

“Если бы даже оказалось, что мир идей нельзя вывести из опыта логическим путем, а что в определенных пределах этот мир есть порождение человеческого разума, без которого никакая наука невозможна, все же он столь же мало был бы независим от природы наших ощущений, как одежда - от формы человеческого тела”.

Еще одно объяснение “эффективности” математики по существу возвращает нас в 17 - 18 вв., Когда люди свято верили, что мир основан на математических принципах, хотя в современном варианте этого убеждения религиозные мотивы отсутствуют. Эту мысль выразил один из выдающихся физиков нашего века Джеймс Джинс (1877-1946), в книге “Загадочная Вселенная” он, в частности, писал:

Самый важный факт состоит в том, что все рисуемые наукой картины природы, которые только могут находится в согласии с данными наблюдений, - картины математические... Природа, по-видимому, очень “хорошо осведомлена” о правилах чистой математики... Во всяком случае, вряд ли можно усомнится в том, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам.

Один из крупнейших историков и философов науки Пьер Дюгем в своей книге “Цель и структура физической теории”, подобно Джинсу, постепенно переходит от сомнений к положительным суждениям. Сначала Дюгем описывает физическую теорию как “абстрактную систему, предназначенную для суммирования и логической классификации определенной группы экспериментальных законов и не претендующую на их объяснение”. По Дюгему, теории носят приближенный, временный характер и “лишены ссылок на объективную реальность”. Физика имеет дело лишь с данными чувственного опыта, и нам необходимо избавится от иллюзии, будто теоретизируя, мы “срываем покров с данных чувственного опыта”. Когда гениальный математик привносит математический порядок и ясность в хаос чувственных восприятии, он достигает своей цели лишь ценой замены сравнительно доступных разуму понятий символическими абстракциями, не открывающими, однако, истиной природы окружающего нас мира. Тем не менее Дюгем заканчивает утверждением: “Невозможно поверить, что этот порядок и организация [вносимые математической теорией] не являются отражением реальной организации”.

Верил в существование объективного реального мира и один из искуснейших аналитиков 19 в. Шарль Эрмит (1822-1901). В письме математику Стильтьесу Эрмит утверждал:

“Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективное реальности, а мы обнаруживаем или открываем и исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи”.

По другому поводу Эрмит сказал: “В математике мы больше слуги, чем господа”.

В своей книге “Философия математики и естественных наук” (1949) Герман Вейль высказывает следующее мнение:

“В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа, Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики”.

Вейль не исключает, что именно мечта о гармонии Вселенной вдохнула жизнь в научное мышление, ибо “наука погибла бы без поддержки трансцендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фактами и построениями, с одной стороны, и образным мышлением - с другой”.

Более удивительно, что интуиционист Вейль согласился с тезисом, провозглашающим, что о “правильности” математики можно судить по степени ее применимости к физическому миру. Вейль внес огромный вклад в математическую физику, и ему не хотелось жертвовать полезными результатами. В своей книге “Философия математики и естественных наук” Вейль признается:

Несколько убедительнее и ближе к фактам эвристические аргументы и последующие систематические построения в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга-Шредингера. Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика.

Здесь Вейль открыто выступает за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук. Математические теоремы, подобно физическим утверждениям, могут быть формально не обоснованными, но экспериментально проверяемыми гипотезами. Иногда они подлежат пересмотру, но надежными критериями их правильности служит их соответствие реальности.

Другое философское течение, которое можно было бы назвать эмпирическим, отстаивает версию, согласно которой математика выводит только приближенные законы для описания нашего знания природы. Среди тех, признавал наличие у математики эмпирических оснований и критериев, видное место занимал Джон Стюарт Милль. Он допускал, что математика обладает большой общностью, чем некоторые физические науки, но видел “оправдание” математики лишь в том, что ее утверждения проверены и подтверждены шире и основательней, чем утверждения физических наук. Следовательно, заключал Милль, глубоко заблуждаются те, кто считает, что математические теоремы качественно отличаются от подтвержденных гипотез и теорий других наук. Причина подобного заблуждения кроется в том, что эти люди считают математические теоремы вполне достоверными, а физические теории - весьма вероятными или всего лишь подкрепляемыми опытом. Миль обосновал свои взгляды философскими доводами. Тем больше оснований быть прагматиками у тех, кто работал и работает в так называемых “основаниях математики”.

В частности, мнение Милля разделяет один из выдающихся специалистов по основаниям математики Анджей Мостовски. На конгрессе, состоявшемся в Польше в 1953 г., он заявил:

“Единственная непротиворечивая точка зрения, согласующаяся не только со здравым смыслом, но и с математической традицией, сводится по существу к допущению того, что источник и высший смысл понятия числа (не только натурального, но и вещественного) лежит в опыте и практической применимости. То же относится и к понятиям теории множеств в том объеме, в каком они необходимы для классических областей математики”.

Мостовски идет дальше. Он говорит, что математика является естественной наукой. Ее концепции и методы коренятся в опыте, и всякая попытка обосновать математику, не учитывая ее “родословную” в естествознании, обречена на провал.

Выдающийся специалист по математической логике Уиллард Ван Орман Куайн также склоняется к тому, чтобы считать за критерии правильности математических результатов физическую истинность следующих из них выводов. В статье, опубликованной в 1958 г. в серии “Философское значение современной логики” Куайн утверждал:

“Теорию множеств и всю математику разумнее представлять себе так, как мы представляем теоретические разделы естественных наук - состоящим из истин, или гипотез, правильность которых подтверждается не столько слиянием безупречной логики, сколько косвенным систематическим вкладом, который они вносят в организацию эмпирических данных в естественных науках”.

Даже Бертран Рассел, провозгласивший в 1901 г., что здание математической истины - логической и одновременно физической - остается незыблемым навеки, в 1914 г. был вынужден признать, что ”наше знание геометрии физического мира носит синтетический, а не априорный характер”. Иначе говоря, геометрия не следует из одной лишь логики. Во втором издании “Оснований математики” (1926) Рассел пошел на еще большие “уступки”. По его словам, в правильность логики и математики так же, как и в правильность уравнений Максвелла, мы “верим потому, что из наблюдений убеждаемся в надежности некоторых логических следствий, к которым они приводят”.

Все эти ведущие ученые, работающие в основах математики, сходятся на том, что математика - одна из разновидностей человеческой деятельности и потому, как и все творения человека, не лишена слабостей и недостатков. Все чисто формальное, чисто логическое объяснение - не более чем псевдоматематика, фикция, даже легенда, хотя и не лишенная оснований.

Физики также считают, что математика - это абстрактная (и к тому же приближенная) формулировка опыта. Лауреат Нобелевской премии физик П.У.Бриджмен в книге “Природа физической теории” (1936) утверждал: “Математика в конечном счете представляется не более истинной, чем физика, или химия”.

Один из наиболее глубоких философов, занимавшихся проблемами основания математики, Людвиг Виттгенштейн заявил, что математика - не просто создание человеческого разума, она испытывает на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых развивается. Математические “истины” зависят от людей ничуть не меньше, чем восприятие цвета или английский язык.

Итак, физики (и некоторые философы) полагают, что математика своими корнями глубоко уходит в физическую реальность, и рассматривают ее как инструмент познания. По мнению Планка, Маха, Больцмана и Гельмгольца, математика дает не более чем логическую структуру законов физики.

Весьма реалистическая оценка успехов математики на фоне физической реальности дана Гильбертом Льюисом в его “Анатомии науки” (1926):

“Ученый - человек практический и преследует практические цели. Он не ищет истину в последней инстанции, а довольствуется приближением к ней. Он говорит не об окончательном результате, а об очередном приближении. Не в его вкусе те изящные структуры, которые столь эфемерны, что один-единственный изъян приводит к гибели всего целого. Ученый строит медленно и возводит постройки, быть может, несколько грубоватые, но зато прочные. Если какая-нибудь часть возведенного им сооружения ему не нравится, он с готовностью заменяет ее, не причиняя ущерба остальному зданию даже в том случае, когда неудачная часть расположена вблизи самого основания. В целом он доволен своей работой, ибо, хотя наука никогда не была полностью права, она заведомо никогда целиком не заблуждалась и совершенствовалась от десятилетия к десятилетию”.

Полагать, что существует истина в последней инстанции, хотя такая точка зрения распространена необычайно широко, не очень полезно для науки; она годится разве как указатель горизонта, к которому можно стремиться, но не пункт, которого можно достичь.

Позиция, занятая физиками, должна напоминать нам о том, сколь значительная часть современной математики развивалась из нашего непосредственного взаимодействие с окружающим физическим миром. Как отмечает Вильям Барретт в книге “Иллюзия техники” (1978), вся история математики свидетельствует о существовании взаимосвязи между математическим разумом и природой. Например, геометрия и математический анализ возникли в силу необходимости иметь дело с объектами и явлениями реального мира. Некоторые современные математики стремились ослабить связь своей науки с природой. Чрезмерное пристрастие к формализму привело их к убеждению, что математика - свободный экскурс в пустоту. Некоторые философы не без одобрения отнеслись к подобной тенденции. Вполне понятно, заявили они, что вряд ли могли бы строить самолеты или запускать ракеты без помощи математики. Однако не стоит, вырывая из контекста то или иное математическое утверждение, спрашивать, какому именно фактов реальном мире оно соответствует. Ясно, что такого рода вопросы невозможно дать сколько-нибудь вразумительный ответ. Мы не должны выносить то или иное математическое утверждение за рамки математической языковой практики и в свою очередь рассматриваем последнюю как неотъемлемую часть нашего общего языка. Математика, как его функционирующая часть, служит для того, чтобы многое сообщать об объектах окружающего нас мира.

По утверждению Барретта, именно здесь лежит ключ к ответу на вопрос о конвенционализме. Принимаемые нами соглашения должны как-то “работать”, т.е. помогать нам каким-то образом следовать природе, “подражать” ей. Можно было бы, например, принять решения изменить наши математические соглашения, исключив, скажем, понятие иррационального числа. Но оно необходимо в наших соотношениях с природой, а именно природа в конечном счете служит мерилом нежности принимаемых нами соглашений, как математических, так и всех прочих.

Нам необходимо также понятие разума как продукта природы, связанного с ней в самых основах своего проявления. Математическим сущностям нет места во вневременном мире Платона, все они - творения человеческого разума, но творения, обретающие бытие лишь в своем взаимоотношении с природой, которая их окружает. Все человеческое мышление протекает на фоне природы. Эту мысль столь точно выразил Александр Поуп:

Природе следуй: лишь ее закон

В суждениях прими за эталон.

Во всей Природе заблуждений нет,

Она неугасимый яркий свет.

Всему она начало и конец:

Науке, жизни, силы мера и венец.

Те правила, наследье старины,

Открыты лишь, а не измышлены.

А что они, как не сама Природа,

Стесненная тенетами методы?

То глас Природы, ей послушны мы.

Многие математики с готовностью соглашаются, что их наука находит необычайно широкое применение, но признают свою несостоятельность в объяснении этого феномена. Замечательная группа французских математиков, работающих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, утверждала, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует близкая взаимосвязь. Однако абсолютно неизвестно, какими причинами обусловлена эта взаимосвязь, и вряд ли мы когда-нибудь узнаем. В далеком прошлом математические закономерности выводили из твердо установленных экспериментальных истин, в частности непосредственно из интуитивного восприятия пространства. Однако квантовая физика показала, что это макроскопическая интуиция реальности охватывает микроскопические явления совершенно иной природы, связывая их с математикой, которая заведомо была создана не как приложение к экспериментальной науке. Следовательно, перед нами не что иное, как контакт двух дисциплин, реальные связи между которыми скрыты глубже, чем можно предполагать априори. Математику можно представить как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпирической реальности удивительно точно соответствуют этим структурам, словно последние “подогнаны” под них.

Ту же неспособность объяснить взаимосвязь между математикой и реальностью мы встречаем в письме Шарля Эрмита к Лео Кенигсбергу (1837-1921):

“Эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств”.

Другие мыслители также вынуждены были признать, что необычайная эффективность математики необъяснима. Так, философ Чарльз Сандрес Пирс (1839-1914) заметил: “По-видимому, в этом есть какая-то тайна, которую еще предстоит раскрыть”. Впоследствии Эрвин Шредингер в книге “Что такое жизнь с точки зрения физики?” признавал, что суть открытия человеком законов природы вполне может лежать за границами человеческого разума. Другой выдающийся физик Фримен Дайсон также считает, что “мы по-видимому, еще не приблизились к пониманию взаимосвязи между физическими и математическими мирами”. К словам названых ученых остается только добавить высказывание Эйнштейна: “Самое непостижимое в этом мире то, что он постижим”. Однако Джеймс Джинс утверждает, что физические понятия и механизмы - не более чем гипотезы, выдвигаемые при построении математического описания реального мира. Но это означает, что все понятия, которыми оперирует физика, вряд ли представляют собой нечто большее, нежели фантазии. По мнению Джинса, математические уравнения - единственное, что нам достоверно известно о явлениях физического мира. Урожай, венчающий все усилия в физике, - лишь набор математических формул; реальная сущность материальной субстанции навсегда останется непознаваемой.

И все же роль математики в современной физике несравненно шире, чем просто удобного инструмента исследования. Под этой ролью часто понимают обобщение и систематизацию (в символах и формулах) явлений, наблюдаемых и устанавливаемых с помощью физического эксперимента, и последующие извлечение из формул дополнительной информации, не обнаруживаемой ни наблюдением, ни экспериментом и не вытекающей из непосредственно полученных данных. Но такое толкование роли математики далеко не исчерпывает всех достижений. Математика составляет сущность естественнонаучных теорий, и ее приложения в 19-20 вв. на основе чисто математических конструкций представляются нам еще более удивительными, чем все ее прежние успехи, достигнутые в эпоху, когда математики оперировали понятиями, навеянными непосредственно физическими явлениями. Хотя было бы неверно приписывать одной лишь математике такие достижения современной науки, как радио, телевидение, самолет, телефон, телеграф, высококачественная звукозаписывающая аппаратура, рентгеновские лучи, транзисторы, атомная энергия (и, увы, атомная бомба), вклад математики более фундаментален и существенен, чем вклад экспериментальной науки.

Независимо от того, сколь приемлемы приведенные выше объяснения эффективности математики, есть основания утверждать, что новая физика - наука не столько механическая, сколько математическая. Хотя Максвелл при создании теории электромагнитного поля пытался изобрести механическую модель эфира, в своем окончательном виде его теория была по существу математической; “физическая реальность”, которую описывают уравнения Максвелла, представляет собой смутное, “бесплотное” понятие электромагнитного поля. Даже Ньютон построил свои законы движения как чисто математическую структуру.

Возможно, Эддингтон прав, и знанием математических соотношений и структур исчерпывается все, чем может нас порадовать физическая наука. Джинс добавляет, что математическое описание Вселенной и есть окончательная реальность. Используемые нами для большей наглядности картины и модели (очень модное ныне слово) - шаг в сторону от реальности. За пределы математических формул мы выходим на собственный страх и риск.

Поскольку математика - творение человека и с ее помощью мы открываем совершенно новые физические явления, люди создают отдельные части окружающего их мира: тяготения, электромагнитные волны, кванты энергии и т.д. Разумеется, математик работает не в пустоте, а руководствуется данными чувственного опыта и эксперимента. Существует некий субстрат физического факта, но даже там, где налицо какая-то физическая реальность, совершенная организация, полнота, уточнение и понимание достаются только с помощью математики.

Наше знание зависит от человеческого разума ничуть не меньше (если не больше), чем от реальностей окружающего мира. Разум влияет даже на чувственное восприятие. Восприятие дерева без сознания его “древесности” лишено смысла. Набор чувственных восприятий сам по себе лишен смысла. Люди с их разумом составляют часть реальности. Наука более не противопоставляет природу как объект исследования и человека как субъекта, занимающегося ее описанием. Объект и наблюдатель неразделимы.

Граница между математическим и эмпирическим знанием не абсолютна. Мы непрестанно вносим коррективы в наши наблюдения и в тоже время видоизменяем наши теории так, чтобы они соответствовали новым наблюдениям и экспериментальным результатам. Цель усилий, предпринимаемых как в развитии теории, так и в совершенствовании эксперимента - всестороннее и непротиворечивое описание физического мира. Математика служит своего рода посредником между человеком и природой, между внутренним миром человека и окружающим его внешним миром.

Так мы приходим к бесспорному и неопровержимому выводу: математика и физическая реальность нераздельны. Математика - поскольку она говорит нам о составляющих физического мира и поскольку наше знание этого мира может быть выражено только в математических понятиях - столь же реальна, как столы и стулья. Граница нашего знания реальности существует, но они постепенно расширяются.

Вполне возможно, что человек, введя некоторые ограниченные и даже искусственные понятия, только таким способом сумел “навести порядок” в природе. Созданная нами математика может оказаться не более чем рабочей схемой. Не исключено, что природа в действительности устроена гораздо сложнее и в основе ее нет никакого “плана”. Но и тогда математика как метод исследования, описания и познания природы не знает себе равных. В некоторых областях ею исчерпываются все, что мы знаем. Если она и не есть сама реальность, то по крайней мере подходит к таковой ближе, чем любая другая область человеческой деятельности.

Хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла нам доступ к некоторым тайнам природы, чем позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания. Как это ни парадоксально, но именно столь далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность достичь немалого. Сколь ни искусственно, порой поистине сказочно математическое описание, в нем есть своя “мораль”. Для мыслящего ученого математическое описание всегда было неиссякаемым источником удивления, рожденного тем, что природа проявляет столь высокую степень соответствия математическим формулам. Заложены ли регулярные зависимости, выражаемые физическими законами, в самой природе и мы лишь открываем их, или их изобретает и применяет к природе разум ученого, в любом случае ученые должны надеяться, что их неустанный труд способствует более глубокому проникновению в тайны природы.