Основные свойства треугольников

В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 є .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 є.

4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b - c; b < a + c, b > a - c; c < a + b, c > a - b).

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a) две стороны и угол между ними;

b) два угла и прилегающая к ним сторона;

c) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) - снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана - это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса - это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N - середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном - снаружи; в прямоугольном ? в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a, b и гипотенузой c.

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) ². С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть

c ² + 4 ( ab / 2 ) = c ² + 2 ab ,

отсюда,

c ² + 2 ab = ( a + b ) ² ,

и окончательно имеем:

c ² = a ² + b ² .

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:

c ² = a ² + b ² - 2ab · cos C,

где C - угол между сторонами a и b .

Общие понятия

Предмет стереометрии. Основная аксиома стереометрии. Плоскость.

Пучок плоскостей. Ось пучка плоскостей. Скрещивающиеся прямые.

Параллельные плоскости. Параллельные прямая и плоскость.

Стереометрия изучает геометрические свойства пространственных тел и фигур. Подобно тому, как в планиметрии основными понятиями являются точка и прямая, в стереометрии основными понятиями являются прямая и плоскость.

Основная аксиома стереометрии: Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую проходят все плоскости пучка, называется осью пучка. Через любую прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Через две прямые не всегда можно провести плоскость. Если это невозможно, то эти прямые называются скрещивающимися.

Пример. Горизонтальная прямая, проведенная на одной стене комнаты, и вертикальная линия на противоположной стене являются скрещивающимися прямыми.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но они не являются параллельными прямыми, так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми состоит в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся - нет. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть длина отрезка AB, соединяющего ближайшие точки A и B ( рис.69 ), расположенные на скрещивающихся прямых. Прямая AB перпендикулярна к обеим скрещивающимся прямым. Расстояние между двумя параллельными прямыми определяется, как и в планиметрии. Расстояние между пересекающимися прямыми считается равным нулю. Две плоскости либо пересекаются (по прямой), либо нет. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются (в одной точке), либо нет. В последнем случае мы говорим, что прямая и плоскость параллельны друг другу.

Углы. Проекции. Многогранные углы

Углы между прямыми. Проекции точки и отрезка. Двугранный угол.

Линейный угол. Углы между плоскостями. Многогранный угол.

Углы. Угол между двумя пересекающимися прямыми измеряется так же, как и в планиметрии ( так как через эти прямые можно провести плоскость ). Угол между двумя параллельными прямыми принимается равным 0 или 180???Угол между двумя скрещивающимися прямыми AB и CD ( рис.70 ) определяется следующим образом: через любую точку O проводят лучи OM и ON так, что OM || AB и ON || CD. Тогда угол между AB и CD принимается равным углу NOM. Другими словами, прямые AB и CD переносятся в новое положение параллельно самим себе до пересечения. В частности, точка O может быть взята на одной из прямых AB или CD, которая в этом случае будет неподвижной.

Прямая AB, пересекающая плоскость P в точке O ( рис.71 ), образует ряд углов ( BOC, BOD, BOE ) с различными прямыми OC, OD, OE, проведенными в плоскости P через точку O. Если прямая AB перпендикулярна двум из этих прямых ( например, OC и OE ), то она перпендикулярна ко всем прямым, проведенным в этой плоскости через точку O. В этом случае прямая AB называется перпендикулярной к плоскости Р, а плоскость P - перпендикулярной к прямой AB.

Проекции. Проекцией точки A на плоскость P называется основание C перпендикуляра AC, опущенного из точки A на плоскость P. Проекцией отрезка AB на плоскость P является отрезок CD, концы которого являются проекциями точек A и B ( рис.72 ). Можно спроектировать на плоскость не только прямую, но и любую кривую ABCDE ( рис.73 ).

Длины l проекции CD и а отрезка АВ ( рис.72 ) связаны соотношением:

Двугранный угол. Фигура, образованная двумя полуплоскостями Q и R, проходящими через одну и ту же прямую MN ( рис.74 ), называется двугранным углом. Прямая MN называется ребром двугранного угла; полуплоскости Q и R - его гранями. Плоскость P, перпендикулярная к ребру MN, даёт в её пересечении с полуплоскостями Q и R угол AOB. Угол AOB называется линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Углы между плоскостями. Две плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол. Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю. В общем случае угол между двумя плоскостями P и Q ( рис.75 ) измеряется углом, образованным прямыми AB и CD, которые перпендикулярны к плоскостям P и Q соответственно.

Многогранный угол. Если через точку O ( рис.76 ) провести множество плоскостей AOB, BOC, COD и т.д., которые последовательно пересекаются друг с другом по прямым OB, OC, OD и т.д. ( последняя из них EOA пересекается с первой AOB по прямой OA ), то мы получим фигуру, называемую многогранным углом. Точка O называется вершиной многогранного угла. Плоскости, образующие многогранный угол (AOB, BOC, COD, …, EOA), называются его гранями; прямые, по которым последовательно пересекаются грани ( OA, OB, OC, … , OE ) называются рёбрами многогранного угла. Углы AOB, BOC, COD, … , EOA называются его плоскими углами. Минимальное количество граней многогранного угла равно 3 ( трёхгранный угол, рис.77 ).

Параллельные плоскости вырезают на рёбрах многогранного угла ( рис.78 ) пропорциональные отрезки ( OA:Oa = OB:Ob = OC:Oc = … ) и образуют подобные многоугольники ( ABCD и abcd ).

Функциональная зависимость между двумя переменными. Функциональная зависимость.

Аргумент (независимая переменная).

Функция. Однозначная и многозначная функция

Две переменные x и y связаны функциональной зависимостью, если для каждого значения одной из них можно получить по определёному правилу одно или несколько значений другой.

Переменная, значения которой заданы, называется аргументом или независимой переменной; другая переменная, значения которой находятся по определённому правилу - называется функцией. Аргумент обычно обозначается через x, а функция - через y. Если каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, то эта функция называется однозначной; в противном случае, если функция имеет много значений, соответствующих данному значению аргумента, то она называется многозначной ( двузначной, трёхзначной и т.д.).

Пример. Тело бросают вверх; h - его высота над землёй, t ? время, прошедшее с момента бросания. h - однозначная функция t, но t - двузначная функция h, потому что тело попадает на одну и ту же высоту дважды: один раз при подъёме, другой раз при падении. Формула

связывающая переменные h и t ( начальная скорость v₀ и ускорение свободного падения g здесь постоянны ), показывает, что мы имеем только одно значение h при заданном t , и два значения t при заданном h ( они определяются решением квадратного уравнения ).

Представление функции формулой и таблицей

Многие из функций могут быть представлены (точно или приближённо) с помощью простых формул. Например, зависимость между площадью круга S и его радиусом r задаётся формулой

S = r ²

предыдущий пример показывает зависимость между высотой h брошенного тела и временем полёта t . Но эта формула практически приближённая, так как не учитывает ни сопротивления воздуха, ни уменьшения притяжения Земли с высотой. Очень часто невозможно представить функциональную зависимость с помощью формулы, или эта формула неудобна для вычислений. В этих случаях функцию представляют с помощью таблицы или графика.

Пример. Функциональную зависимость между давлением p и температурой

T кипения воды невозможно представить одной формулой, номожно задать таблицей:

Очевидно, что любая таблица не может содержать все значения аргумента, но пригодная для практических целей таблица должна содержать столько значений, чтобы их было достаточно для работы или для получения дополнительных значений путём интерполяции уже содержащихся в ней.

Обозначение функций

Пусть y - некоторая функция переменной x; причём, неважно, каким образом эта функция задана: формулой, таблицей или как-то иначе. Важен только сам факт существования этой функциональной зависимости, что записывается следующим образом: y = f ( x ). Буква f ( начальная буква латинского слова “functio”- функция ) не обозначает какой-либо величины, так же как буквы log, sin, tan в записях функций y = log x, y = sin x, y = tan x. Они говорят лишь об определённых функциональных зависимостях y от x. Запись

y = f ( x )

представляет любую функциональную зависимость. Если две функциональные зависимости: y от x и z от t отличаются одна от другой, то они записываются с помощью различных букв:

y = f ( x ) и z = F ( t ).

Если же некоторые зависимости одни и те же, то они записываются одной и той же буквой f :

y = f ( x ) и z = f ( t ).

Если выражение для функциональной зависимости y = f ( x ) известно, то она может быть записана с использованием обоих обозначений функции. Например,

y = sin x или f ( x ) = sin x.

Обе формы полностью равносильны. Иногда используется и другая форма записи: y ( x ). Это означает то же самое, что и y = f ( x ).

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f ( x ) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции. Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

- задана область определения функции X ;

- задана область значений функции Y ;

- известно правило ( закон ) соответствия, причём такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f ( x₂ ) > f ( x₁ ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x₁ и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f ( x₂ ) < f ( x₁ ), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Примеры.

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. ( Объясните это, пожалуйста ! ).

Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x = a, если :

1) функция определена при x = a, т.e. f ( a ) существует;

2) существует конечный предел lim f ( x ) ;

3) f ( a ) = lim f ( x ) .

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a.??

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.



Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( ? x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( ? x ) = ? f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

Периодическая функция. Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место:

f ( x + T ) = f ( x ).

Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Пример 1. Доказать, что sin x имеет период 2 ?

Решение. Мы знаем, что

sin ( x+ 2n ) = sin x, где n = 0, ? 1, ? 2, …

Следовательно, добавление 2n к аргументу синуса не меняет его значениe. Существует ли другое число с таким же свойством ?

Предположим, что P - такое число, т.e. равенство:

sin ( x+ P ) = sin x,

справедливо для любого значения x.

Но тогда оно имеет место и при x = / 2 , т.e.

sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P. Тогда из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы знаем, что это верно лишь при P = 2n. Так как наименьшимотличным от нуля числом из 2n является 2, то это число и есть период sin x. Аналогично доказывается, что 2? является периодом и для cos x . Докажите, что функции tan x и cot x имеют период .

Пример 2. Какое число является периодом функции sin 2x ?

Решение. Рассмотрим

sin 2x = sin ( 2x + 2n ) = sin [ 2 ( x + n ?????

Мы видим, что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции. Наименьшее отличное от нуля число из n есть ??таким образом, это период sin 2x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем ) функции. Функция может иметь несколько нулей. Например, функция

y = x ( x + 1 ) ( x?3 )

имеет три нуля: x = 0, x = ?1, x = 3. Геометрически нуль функции - это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями:

x = a, x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.

Обратная функция

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию:

v = u ² ,

где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v :

Если обозначить аргумент в обеих функциях через x , а функцию - через y, то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

Примеры. Эти функции являются обратными друг к другу:

1) sin x и Arcsin x, так как, если y = sin x, то x = Arcsin y;

2) cos x и Arccos x, так как, если y = cos x, то x = Arccos y;

3) tan x и Arctan x, так как, если y = tan x, то x = Arctan y;

4) e^x и ln x, так как, если y = e^x , то x = ln y.

Сложная функция

Рассмотрим функцию:

y = sin ² ( 2x ) .

Фактически эта запись означает следующую цепочку функциональных преобразований:

u = 2x ???v = sin u ????y = v?²??

что может быть записано в общем виде с помощью символов функциональных зависимостей:

u = f ₁ ( x ) ??v = f ₂ ( u ) ??y = f ₃ ( v ) ,

или короче:

y = f { v [ u ( x ) ] }.

Мы имеем здесь не одно правило соответствия для преобразования x в y, а три последовательных правила соответствия ( т.е. функции ), используя которые мы получаем y как функцию от x. В этом случае мы говорим, что y - сложная функция от x.

Элементарные функции и их графики

Прямая пропорциональность. Линейная функция.

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция. Квадратная парабола.

Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция. Тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x ,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности - прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k: tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = ?3 .

1. Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.



2. Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x ,

где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности - гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.



Основные характеристики и свойства гиперболы:

- область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;

- функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? );

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Квадратичная функция. Это функция: y = ax ² + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax ². График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.



График функции

y = ax ² + bx + c

тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax ², но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

3. Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x² и дискриминанта D: D = b² - 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.



Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции: ??< x??+ ( т.e. x R ), а область значений: (ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0, и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при D 0 ? ) .

5. Степенная функция. Это функция: y = axⁿ, где a , n - постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = ?1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи (при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:



Если n - целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x ³ называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция

.

Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x ², её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла??Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак ? перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

6. Показательная функция. Функция y = a^x, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81^x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = ?3, y = 3 i и y = ?3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 0 показательная функция возрастает, a при a < 0 - убывает.



Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции: ??< x???+ ( т.e. x R );

- область значений: y > 0 ;

- функция монотонна: возрастает при a > 0 и убывает при a < 0;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

7. Логарифмическая функция. Функция y = log _a x, где a - постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.



Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0, а область значений: ??< y??+ (т.e. y R);

- это монотонная функция: она возрастает при a > 0 и убывает при a < 0;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- у функции есть один ноль: x = 1.

8. Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на ?2?

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: ??< x ?+ область значений: ?1 y +1;

- эти функции периодические: их период 2?;

- функции ограниченные ( | y | ???, всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 );

- функции имеют бесчисленное множество нулей ( подробнее см. раздел «Тригонометрические уравнения» ).

Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22

Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период ?, неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности ( какие? ), разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область определения и область значений этих функций:

9. Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Функции y = Arcsin x ( рис.23 ) и y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: ?

1 x +1 и ??< y + .

Поскольку эти функции многозначные, не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: ?1 x +1 ; их области значений: ?/2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные ( y = arcsin x - возрастающая функция; y = arccos x - убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и x = 1 у функции y = arccos x).

Функции y = Arctan x ( рис.25 ) и y = Arccot x ( рис.26 ) - многозначные, неограниченные функции; их область определения: ??x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: ??x + ; их области значений: ?/2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y <? для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные ( y = arctan x - возрастающая функция; y = arccot x - убывающая );

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 ); функция y = arccot x нулей не имеет.

Графическое решение уравнений

Приближённое решение уравнений.

Графическое решение уравнений с одним неизвестным.

Графическое решение систем уравнений с двумя неизвестными.

Графическое представление функций позволяет приближённо решить любое уравнение с одним неизвестным и систему двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y, мы рассматриваем каждое из уравнений как функциональную зависимость между переменными x и y и строим графики этих двух функций. Координаты точек пересечения этих графиков дают нам искомые значения неизвестных x и y ( т.e. решение этой системы уравнений ).



В соответствии с графиками координаты точки пересечения

K приближённо равны: x = 1.25, y = 2.5. Точное решение этой системы уравнений:



После построения графиков находим абсциссы точек пересечения A и B: x₁ ??2.25???x₂ ??????. Точные значения корней этого уравнения:

Относительная погрешность графического решения в этом примере ~3.5 %. Чтобы решить графически уравнение с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:

f ( x ) = 0 ,

и построить график функции y = f ( x ). Абсциссы точек пересечения графика с осью Х будут корнями этого уравнения ( нулями этой функции ).



По этому графику находим нули функции: x₁ ?2.25?? x₂ ?????.

Графическое решение неравенств

Приближённое решение неравенств.

Графическое решение неравенств с одним неизвестным.

Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.

Пересечение решений.

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:

f ( x ) > 0 ,

и построить график функции y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. выше), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x, внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f ( x ) > 0: x < a и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , ... , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть.

Пример. Решить графически систему неравенств:

Решение. Сначала построим графики функций

y = ??2 / 3 x + 2 и y = x² ?1 ( рис.31 ):

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < ?1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно: f ( x, y ) = 0 и g ( x, y ) = 0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части: в одной из них неравенство справедливо, в другой - нет; чтобы решить графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит эта часть координатной плоскости является его решением, если нет - то решением является противоположная часть плоскости;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение (общая область) частей координатной плоскости.

Пример. Решить систему неравенств:

Решение. Сначала строим графики линейных функций: 5x - 7y = ?11 и 2x + 3y = 10 ( рис.32 ). Для каждой из них находим полуплоскость, внутри которой соответствующее заданное неравенство справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость неравенства в одной произвольной точке области; в данном случае легче всего использовать для этого начало координат O ( 0, 0 ).

Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y, получим: 5 · 0 - 7 · 0 = 0 > ?11, следовательно, нижняя полуплоскость ( жёлтого цвета ) является решением первого неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство имеет своим решением также нижнюю полуплоскость ( голубого цвета ). Пересечение этих полуплоскостей ( область цвета бирюзы ) является решением нашей системы неравенств.