История криптографии

Введение

История криптографии насчитывает около 4 тысяч лет. В качестве основного критерия периодизации криптографии возможно использовать технологические характеристики используемых методов шифрования.

Первый период (приблизительно с 3-го тысячелетия до н.э.) характеризуется господством моноалфавитных шифров (основной принцип - замена алфавита исходного текста другим алфавитом через замену букв другими буквами или символами). Второй период (хронологические рамки - с IX века на Ближнем Востоке (Ал-Кинди) и с XV века в Европе (Леон Баттиста Альберти) - до начала XX века) ознаменовался введением в обиход полиалфавитных шифров. Третий период (с начала и до середины XX века) характеризуется внедрением электромеханических устройств в работу шифровальщиков. При этом продолжалось использование полиалфавитных шифров.

Четвёртый период - с середины до 70-х годов XX века - период перехода к математической криптографии. В работе Шеннона появляются строгие математические определения количества информации, передачи данных, энтропии, функций шифрования. Обязательным этапом создания шифра считается изучение его уязвимости к различным известным атакам - линейному и дифференциальному криптоанализу. Однако до 1975 года криптография оставалась «классической», или же, более корректно, криптографией с секретным ключом.

Современный период развития криптографии (с конца 1970-х годов по настоящее время) отличается зарождением и развитием нового направления - криптография с открытым ключом. Её появление знаменуется не только новыми техническими возможностями, но и сравнительно широким распространением криптографии для использования частными лицами (в предыдущие эпохи использование криптографии было исключительной прерогативой государства). Правовое регулирование использования криптографии частными лицами в разных странах сильно различается - от разрешения до полного запрета.

Современная криптография образует отдельное научное направление на стыке математики и информатики - работы в этой области публикуются в научных журналах, организуются регулярные конференции. Практическое применение криптографии стало неотъемлемой частью жизни современного общества - её используют в таких отраслях как электронная коммерция, электронный документооборот (включая цифровые подписи), телекоммуникации и других.

Криптография в Древнем мире

Имеются свидетельства, что криптография, как техника защиты текста, возникла вместе с письменностью, что способы тайного письма были известны уже древним цивилизациям Индии, Египта и Месопотамии. В древнеиндийских текстах среди 64-х искусств названы способы изменения текста, некоторые из них можно отнести к криптографическим. [1] [2] [3] Автор таблички с рецептом для изготовления глазури для гончарных изделий из Месопотамии использовал редкие обозначения, пропускал буквы, а имена заменял на цифры, чтобы скрыть написанное. [1]

Первым упоминанием об использовании криптографии принято считать использование специальных иероглифов около 3900 лет назад в Древнем Египте. Хотя целью было не затруднить чтение текста - скорее наоборот, с помощью необычности и загадочности привлечь внимание читателя и прославить вельможу Хнумхотепа Второго (англ. Khnumhotep II) [4] [5]. В дальнейшем встречаются различные упоминания об использовании криптографии, большая часть относится к использованию в военном деле.

Бесспорно известно, что скитала использовалась в войне Спарты против Афин в конце V века до н.э. [7] [8] Возможно также, что её упоминают поэты Архилох[9] (VII век до н.э.) и Пиндар[10], хотя вероятнее, что в их стихах слово «скитала» использовано в своём первичном значении «посох».

Принцип её действия изложили Аполлоний Родосский[11] (середина III века до н.э.) и Плутарх (около 45-125 н.э.), но сохранилось лишь описание последнего. [12]

Скитала представляла собой длинный стержень, на который наматывалась лента из пергамента. На ленту наносился текст вдоль оси скиталы, так, что после разматывания текст становился нечитаемым. Для его восстановления требовалась скитала такого же диаметра.

Считается, что автором способа взлома шифра скиталы является Аристотель, который наматывал ленту на конусообразную палку до тех пор, пока не появлялись читаемые куски текста. [2] [13]

Диск Энея, линейка Энея, книжный шифр

Основные статьи: Диск Энея, Линейка Энея, Книжный шифр

С именем Энея Тактика, полководца IV века до н.э., связывают несколько техник шифрования и тайнописи. [14]

Диск Энея представлял собой диск диаметром 10-15 см с отверстиями по числу букв алфавита. Для записи сообщения нитка протягивалась через отверстия в диске, соответствующим буквам сообщения. При чтении получатель вытягивал нитку, и получал буквы, правда, в обратном порядке. Хотя недоброжелатель мог прочитать сообщение, если перехватит диск, Эней предусмотрел способ быстрого уничтожения сообщения - для этого было достаточно выдернуть нить, закреплённую на катушке в центре диска. [15] [14]

Первым действительно криптографическим инструментом можно назвать линейку Энея, реализующей шифр замены. Вместо диска использовалась линейка с отверстиями по числу букв алфавита, катушкой и прорезью. Для шифрования нить протягивалась через прорезь и отверстие, после чего на нити завязывался очередной узел. Для дешифрования необходимо было иметь саму нить и линейку с аналогичным расположением отверстий. Таким образом, даже зная алгоритм шифрования, но не имея ключа (линейки), прочитать сообщение было невозможно. [14]

В своём сочинении «О перенесении осады» Эней описывает ещё одну технику тайнописи, позже названную «книжный шифр». Он предложил делать малозаметные дырки рядом с буквами в книге или другом документе[16]. Много позже, аналогичный шифр использовали германские шпионы в Первой мировой войне. [14]

Во II веке до н.э. в Древней Греции был изобретён Квадрат Полибия (англ.). [8] В нём буквы алфавита записывались в квадрат 5 на 5 (при использовании греческого алфавита одна ячейка оставалась пустой), после чего с помощью оптического телеграфа передавались номер строки и столбца, соответствующие символу исходного текста (на каждую букву приходилось два сигнала: число факелов обозначало разряд буквы по горизонтали и вертикали) [17].

Некоторые исследователи полагают, что это можно рассматривать как первую систему, уменьшавшую (сжимавшую) исходный алфавит, и, в некотором смысле, как прообраз современной системы двоичной передачи данных[18].

Согласно свидетельству Светония, Цезарь использовал в переписке моноалфавитный шифр, вошедший в историю как Шифр Цезаря[8] [19]. Книгу о шифре написал грамматик Проб[20]. В шифре Цезаря каждая буква алфавита циклически сдвигается на определённое число позиций. Величину сдвига можно рассматривать как ключ шифрования. Сам Цезарь использовал сдвиг на три позиции. [14] [21]

Тайнописи

Кроме примитивных шифров в истории использовался и другой подход - полная замена одного алфавита (например, кириллицы) на другой (например, греческий). Не имея ключа, сопоставляющего исходный и используемый алфавиты, прочитать надпись было невозможно. [22] Кроме этого использовались специальные техники записи символов алфавита таким образом, чтобы затруднить его чтение. Примером такой техники являются «вязанные руны», когда руны записываются таким образом, что отдельные их элементы (например, вертикальные черты) совпадают. Подобные системы часто использовались жрецами Северо-Западной Европы вплоть до позднего Средневековья. [23]

Основная статья: Древнерусские тайнописи

Множество вариантов тайнописи использовалось и на Руси. Среди них и простые моноалфавитные шифры (простая литорея, письмо в квадратах), замена алфавита - тайнопись глаголицей, тайнопись греческой азбукой, а также особые приёмы письма, например, монокондил. Наиболее ранние тексты с использованием тайнописи относятся к XII веку. [24]

Существует мнение[25] [26], что в более поздний период тайнопись использовалась для иконографии, например, при написания иконы XIV века «Донская Богоматерь». Согласно другой точке зрения, буквенный ряд является лишь шрифтовым декором, который был широко распространён как в древнерусской, так и, например, в византийской иконописи[27] [28].

Криптография от Средних веков до Нового времени

В Средние века криптография - в основном, моноалфавитные шифры - начинают широко использоваться дипломатами, купцами и даже простыми гражданами. Постепенно, по мере распространения техники частотного криптоанализа, шифры усложняются, что приводит к появлению шифров омофонической замены, а затем и полиалфавитных шифров.

С VIII века н.э. развитие криптографии происходит в основном в арабских странах. Считается, что арабский филолог Халиль аль-Фарахиди первым обратил внимание на возможность использования стандартных фраз открытого текста для дешифрования. Он предположил, что первыми словами в письме на греческом языке византийскому императору будут «Во имя Аллаха», что позволило ему прочитать оставшуюся часть сообщения. Позже он написал книгу с описанием данного метода - «Китаб аль-Маумма» («Книга тайного языка»). [29] [30]

В 855 году выходит «Книга о большом стремлении человека разгадать загадки древней письменности» арабского учёного Абу Бакр Ахмед бен-Али бен-Вахшия ан-Набати, одна из первых книг о криптографии с описаниями нескольких шифров, в том числе с применением нескольких алфавитов. Также к IX веку относится первое известное упоминание о частотном криптоанализе - в книге Ал-Кинди «Манускрипт о дешифровке криптографических сообщений». [31]

В книге X века «Адаб аль-Куттаб» («Руководство для секретарей») ал-Сули есть инструкции по шифрованию записей о налогах, что подтверждает распространение криптографии в обычной, гражданской жизни. [31]

В 1412 году выходит 14-томная энциклопедия Шехаба ал-Кашканди «Шауба ал-Аша», один из разделов которой «Относительно сокрытия в буквах тайных сообщений» содержал описание семи шифров замены и перестановки, частотного метода криптоанализа, а также таблицы частотности букв в арабском языке на основе текста К

Криптография эпохи Возрождения

Роджер Бэкон

Первой европейской книгой, описывающей использование криптографии, считается труд Роджера Бэкона XIII века «Послание брата Рогериса Бакониса о тайных действиях искусства и природы и ничтожестве магии» (лат. «Epistola Fratris Rog. Baconis, de secretis operibus artis et naturae et nullitate magiae») [32], описывающий, в числе прочего, применение 7 методов скрытия текста. [33]

В XIV веке сотрудник тайной канцелярии папской курии Чикко Симонети пишет книгу о системах тайнописи, а в XV веке секретарь папы Климентия XII Габриэль де Левинда заканчивает работу над «Трактатом о шифрах». [1]

Первая организация, посвятившая себя целиком криптографии, была создана в Венеции (Италия) в 1452 году. Три секретаря этой организации занимались взломом и созданием шифров по заданиям правительства. [18] В 1469 году появляется шифр пропорциональной замены «Миланский ключ». [1]

Отцом западной криптографии называют учёного эпохи Возрождения Леона Баттисты Альберти. Изучив методы вскрытия использовавшихся в Европе моноалфавитных шифров, он попытался создать шифр, который был бы устойчив к частотному криптоанализу. Трактат о новом шифре был представлен им в папскую канцелярию в 1466 году. Альберти предложил вместо единственного секретного алфавита, как в моноалфавитных шифрах, использовать два или более, переключаясь между ними по какому-либо правилу. Однако флорентийский учёный так и не смог оформить своё открытие в полную работающую систему, что было сделано уже его последователями. [34] Также Альберти предложил устройство из двух скреплённых в центре дисков, каждый из которых имел алфавит, написанный по краю, и мог поворачиваться относительного другого диска. Пока диски не двигаются, они позволяют шифровать с использованием шифра Цезаря, однако через несколько слов диски поворачиваются, и меняется ключ сдвига. [18]

Очередной известный результат принадлежит перу германского аббата Иоганна Тритемия, которого многие историки считают вторым отцом современной криптологии. [18] [35] В пятой книге серии «Polygraphia», изданной в 1518 году, он описал шифр, в которой каждая следующая буква шифруется своим собственным шифром сдвига. Его подход был улучшен Джованом Баттистой Белласо (итал. Giovan Battista Bellaso), который предложил выбирать некоторое ключевое слово и записывать его над каждым словом открытого текста. Каждая буква ключевого слова используется для выбора конкретного шифра сдвига из полного набора шифров для шифрования конкретной буквы, тогда как в работе Тритемия шифры выбираются просто по циклу. Для следующего слова открытого текста ключ начинал использоваться снова, так, что одинаковые слова оказывались зашифрованы одинаково. [18] Данный шифр в настоящий момент известен как шифра Виженера (см. ниже). Кроме этого, Тритемий первым заметил, что шифровать можно и по две буквы за раз - биграммами (хотя первый биграммный шифр - Playfair - был предложен лишь в XIX веке). [35] Позже, в XVII веке, член ордена иезуитов Атанасиус Кирхер провёл исследования лингвистических аспектов работ Тритемия, результаты которых опубликовал в своей Polygraphia nova в 1663 году. Одним из результатов стало создание «полиглотического кода на пяти языках», который мог использоваться для шифрования и передачи сообщений на латинском, итальянском, французском, испанском и немецком языках, при этом декодирование могло производиться на любом из указанных языков. [36

В 1550 году итальянский математик Джероламо Кардано, состоящий на службе у папы римского[35] [37], предложил новую технику шифрования - решётку Кардано. Этот способ сочетал в себе как стеганографию (искусство скрытого письма), так и криптографию. Затруднение составляло даже понять, что сообщение содержит зашифрованный текст, а расшифровать его, не имея ключа (решётки) в то время было практически невозможно. Решётку Кардано считают первым транспозиционным шифром, или, как ещё называют, геометрическим шифром, основанным на положении букв в шифротексте. [38] Другой транспозиционный шифр, намного более лёгкий, использовался в XVII веке при побеге Джона Треваньона от сил Кромвеля, а также во время Второй мировой войны для попыток передачи сведений офицерами захваченной немецкой подводной лодки в письмах домой. [39]

Фрэнсис Бэкон в своей первой работе 1580 года предложил двоичный способ кодирования латинского алфавита, по принципу аналогичный тому, что сейчас используется в компьютерах. [6] Используя этот принцип, а также имея два разных способа начертания для каждой из букв, отправитель мог «спрятать» в тексте одного длинного сообщения короткое секретное. [40] Данный способ получил название «шифр Бэкона», хотя относится больше к стеганографии.

Самым известным криптографом XVI века можно назвать Блеза де Виженера (фр. Blaise de Vigenиre). В своём трактате 1585 года он описал шифр, подобный шифру Тритемия, однако изменил систему выбора конкретного шифра замены для каждой буквы. Одной из предложенных техник было использование букв другого открытого текста для выбора ключа каждой буквы исходного текста. Описанный шифр известен как шифр Виженера и, при длине случайного ключа равной длине открытого текста, является абсолютно стойким шифром, что было математически доказано много позже (в XX веке в работах Шеннона). Другая техника использовала результат шифрования для выбора следующего ключа-то, что впоследствии использует Фейстель и компания IBM при разработке шифра DES в 1970-х годах. [18]

Уникальный слоговой шифр иезуитов использован в Тетради Бласа Валера (Куско, 1616); одновременно в документе содержится дешифровка инкских кипу, юпаны, знаков токапу и секес, во многом и послуживших основой для создания шифра[41]; поскольку ключевое значение в шифре имел цвет, то он послужил поводом изобретения в 1749 году итальянцем Раймондо де Сангро метода цветного книгопечатания. К 1639 году относится первое упоминание[42] о рукописи Войнича - книге, написанной неизвестным автором на неизвестном языке. Расшифровать её пытались многие известные криптографы, но, не исключено, что рукопись является всего лишь мистификацией.

Чёрный кабинет

В 1626 году, при осаде города Реальмон, а позже и в 1628 году при осаде Ла-Рошели, французский подданный Антуан Россиньоль (фр. Antoine Rossignol, 1600-1682) расшифровал перехваченные сообщения, и тем самым помог победить армию гугенотов. После победы правительство Франции несколько раз привлекали его к расшифровке шифров. После его смерти его сын (фр. Bonaventure Rossignol), а позже и внук (фр. Antoine-Bonaventure Rossignol), продолжили дело отца. В то время правительство Франции привлекало к работе множество криптографов, которые вместе образовывали так называемый «Чёрный кабинет» (фр. Cabinet Noir). [18]

Антуану Россиньолю принадлежит доктрина, согласно которой стойкость шифра должна определяться видом зашифрованной информации. Для военного времени достаточной будет являться стойкость, если сообщение с приказом армейскому подразделению не будет расшифровано противником хотя бы до момента исполнения получателем, а для дипломатической почты шифр должен обеспечивать сохранность на десятки лет. [1]

В России датой учреждения первой государственной шифровальной службы можно считать 1549 год - образование «посольского приказа» с «циферным отделением». А как минимум с 1702 года Петра сопровождала походная посольская канцелярия под руководством первого министра Ф.А. Головина, которая с 1710 года приобрела статус постоянного учреждения. В нём сосредоточилась криптографическая работа с перепиской между Петром, его приближёнными и различными получателями, а также по созданию новых шифров. [19] [43]

Впоследствии над дешифрованием сообщений в России трудились в том числе такие математики как Кристиан Гольдбах, Леонард Эйлер и Франц Эпинус. При этом во время Семилетней войны (1756-1763) Эйлер, находясь в Пруссии, хотя и продолжал переписываться с высшими лицами Российской империи, также занимался дешифровкой перехваченных писем русских офицеров. [19] [35] [44]

К началу XVIII века подобные кабинеты были по всей Европе, в том числе «Die Geheime Kabinettskanzlei» в Вене, первое дешифровальное отделение в Германии под начальством графа Гронсфельда[1], группа Джона Валлиса в Англии. До, во время и после войны за независимость США они оказались способны вскрыть большую часть колониальных шифров. Большинство из них было закрыто к середине XIX века, в том числе, по одной из версий - из-за отсутствия вооружённого противостояния с США. [18]

Криптография в британских колониях и США

Однако в британских колониях, чаще всего, централизованных организаций не было - перехват и дешифрования выполнялись обычными служащими, при возможности. Известен случай дешифровки письма 1775 года главного хирурга армии США (англ. Surgeon General of the United States Army) Бенджамина Чёрча (англ. Benjamin Church), адресованное британцам, в котором он ставил командование врага в известность об армии США около Бостона. Хотя в письме не содержалось действительно секретных данных, его попросили приостановить подобную переписку. Бенедикт Арнольд, генерал армии США, известен в том числе из-за использования «кодовой книги», копия которой должна быть у каждого отправителя и получателя сообщений. Шифр состоял в указании позиции слова в книге, в том числе страницы, строки и номера в строке. [18]

Отцом криптографии США называют учителя и государственного деятеля Джеймса Ловелля (англ. James Lovell). Во время войны за независимость США он дешифровал множество британских сообщений, одно из которых заложило основу для окончательной победы в войне. [45] В будущем Ловелль стал членом комитета по секретной корреспонденции, четвёртым, после Бенджамина Франклина (Пенсильвания), Бенджамина Харрисона (Виргиния) и Томаса Джонсона (англ. Thomas Johnson) (Мэриленд). Именно там Джеймс заслужил своё признание эксперта конгресса по криптографии и стал называться отцом американской криптографии. [46]

В 1790-х годах[47] будущий президент США Томас Джефферсон построил одну из первых механических роторных машин, упрощавшей использование полиалфавитных шифров[48]. Среди других авторов-изобретателей стоит отметить полковника Десиуса Вадсворта (англ. Decius Wadsworth), изобретателя машины с вращательными шифровальными дисками с различным количеством букв. Хотя он изобрёл её в 1817 году, вся слава досталась Чарлзу Уитстону за аналогичную машину, представленную на Всемирной выставке 1867 года в Париже. [18] [49] Однако распространение роторные машины получили лишь в начале XX века. [48]

Значительный толчок криптографии дало изобретение телеграфа. Сама передача данных перестала быть секретной, и сообщение, в теории, мог перехватить кто угодно. Интерес к криптографии возрос в том числе и среди простого населения, в результате чего многие попытались создать индивидуальные системы шифрования. Преимущество телеграфа было явным и на поле боя, где командующий должен был отдавать немедленные приказания по всей линии фронта или хотя бы на всём поле сражения, а также получать информацию с мест событий. Это послужило толчком к развитию полевых шифров. Сначала армия США использовала шифр Виженера с коротким ключевым словом, однако, после открытия метода Касиски в 1863 году, он был заменён. [18]

Дальнейший прогресс был связан как с индивидуальными, так и с государственными исследованиями. В 1854 году Чарлз Уитстон описал, а Лион Плейфер (англ. Lyon Playfair) добился применения британскими вооружёнными силами нового шифра, как его позже назовут - шифра Плейфера. Его особенностью была относительная простота использования, хотя этот шифр являлся одним из первых, в котором применялась замена биграмм вместо отдельных букв. Поэтому его использовали для шифрования важной, но не очень секретной информации во время боя - через то время, которое противник потратит на взлом шифра, информация станет уже неактуальной. [50] Шифр использовался вплоть до Второй мировой войны. [18]

Во время Гражданской войны в США (1861-1865) шифры были не очень сложными. В то время как Союзные силы имели централизованные правила шифрования, командование Конфедерации оставляло эти вопросы на усмотрение полевых командиров. В результате на местах использовались настолько простые схемы, что иногда противник расшифровывал сообщения быстрее, чем его номинальный получатель. Одной из проблем было использование стандартных ключевых фраз для довольно хорошего шифра Виженера. Три самых известных были фразы «Manchester Bluff», «Complete Victory», и «Come Retribution». Их довольно быстро «открыли» криптоаналитики союзных сил. [18] Проблема выбора сильных паролей и ключевых фраз является довольно острой и до сих пор (среди современных - «123456», «password» и «12345678»). [51]

На пути к математической криптографии

В 1824 году выходит книга Жана-Франсуа Шампольона «Prйcis du systиme hiйrogl. d. anciens Egyptiens ou recherches sur les йlиments de cette йcriture» («Краткий очерк иероглифической системы древних египтян или исследования элементов этого письма»), содержавшая расшифровку египетских иероглифов, скрывавших свои тайны более трёх тысяч лет. [52]

Огюст Керкгоффс

В 1863 году Фридрих Касиски (англ. Friedrich Kasiski) опубликовал метод, впоследствии названный его именем, позволявшим быстро и эффективно вскрывать практически любые шифры того времени. Метод состоял из двух частей - определение периода шифра и дешифровка текста с использованием частотного криптоанализа. [18]

В 1883 году Огюст Керкгоффс опубликовал труд под названием «Военная криптография» (фр. La Cryptographie Militaire). В нём он описал шесть требований, которым должна удовлетворять защищённая система. Хотя к некоторым из них стоит относиться с подозрением[18], стоит отметить труд за саму попытку:

1. шифр должен быть физически, если не математически, невскрываемым;

2. система не должна требовать секретности, на случай, если она попадёт в руки врага;

3. ключ должен быть простым, храниться в памяти без записи на бумаге, а также легко изменяемым по желанию корреспондентов;

4. зашифрованный текст должен [без проблем] передаваться по телеграфу;

5. аппарат для шифрования должен быть легко переносимым, работа с ним не должна требовать помощи нескольких лиц;

6. аппарат для шифрования должен быть относительно прост в использовании, не требовать значительных умственных усилий или соблюдения большого

В настоящее время второе из этих правил известно как принцип Керкгоффса.

В конце XIX - начале XX века правительства стран вновь бросили значительные силы на шифрование и криптоанализ. В 1914 году Британия открыла «Комнату 40» (англ. Room 40), в 1917 году США - MI-8 (англ.), ставшую предшественницей современного АНБ. [18]

В 1918 году вышла монография американского криптографа российского происхождения[53] Уильяма Ф. Фридмана «Индекс совпадения и его применение в криптографии» (англ. «Index of Coincedence and Its Applications in Cryptography»). Работа вышла в открытой печати, несмотря на то, что была выполнена в рамках военного заказа. [54] Двумя годами позже Фридман ввёл в научный обиход термины криптология и криптоанализ. [55]

В начале 1920-х годов практически одновременно в разных странах появляются патенты и электромеханические машины, использующие принципы криптографического диска (ротора) и автоматизирующие процесс шифрования. В США это был Эдвард Геберн (англ. Edward Hebern) [56], после него - Хьюго Кох (англ. Hugo Koch) из Нидерландов и его «Энигма» (позже патент был куплен Артуром Шербиусом (англ. Arthur Scherbius)), Арвид Герхард Дамм (англ. Arvid Gerhard Damm) из Швеции и его машина «B-1» - разработки последнего были продолжены Борисом Хагелиным[56].

В 1928-1929 годах польское «Biuro Szyfrуw» организовало курсы для 20 математиков со знанием немецкого языка - будущих криптоаналитиков, трое из которых известны работой по взлому «Энигмы». До этого на работу принимали в основном лингвистов. [57]

В 1929 году Лестер Хилл (англ. Lester S. Hill) опубликовал в журнале «The American Mathematical Monthly» статью «Cryptography in an Algebraic Alphabet». В ней он описал подход к конструированию криптографических систем, для которых математически была доказана их неуязвимость к частотным атакам, в том числе к методу Касиски. Для представления текста он перевёл его в цифровой вид, а для описания шифрования использовал полиномиальные уравнения. С целью упрощения вычисления были представлены в виде операций над матрицами, отдельные элементы которых складывались и умножались по модулю 26 (по числу букв в латинском алфавите). Так как система оказалась слишком сложна в использовании, он собрал механическую шифровальную машину, которая упрощала эти операции. К сожалению, машина могла использовать лишь ограниченное множество ключей, и даже с машиной шифр использовался очень редко - лишь для шифрования некоторых государственных радиопередач. Тем не менее, основной его основной вклад - математический подход к конструированию надёжных криптосистем. [18]