Применение нетрадиционных (ненормированных) кватернионов для управления ориентацией твердого тела

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

Применение нетрадиционных (ненормированных) кватернионов для управления ориентацией твердого тела

Исполнитель:

Студентка группы М-42

____________ Ключинская А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Зверева Т.Е.

Гомель 2006

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Ненормированные кватернионы

2 Обобщенная функция

3 Пример математического моделирования управления ориентацией твердого тела

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматривается вопрос использования нетрадиционных (ненормированных) кватернионов на примере решения задач пространственной ориентации твердого тела, а также устанавливается их связь с традиционными кватернионами (с параметрами Родрига-Гамильтона), которые в настоящее время широко используются в игровой индустрии, а также для решения различных задач пространственной угловой ориентации твердого тела.

1 НЕНОРМИРОВАННЫЕ КВАТЕРНИОНЫ

Заметим, что в задачах управления пространственной ориентацией твердого тела (ТТ) широкое применение находят классические нормированные кватернионы вращения вида:

L = l₀ + l,, (1.1)

где l₀ - скалярная часть,

l - векторная часть кватерниона L,

причём l₀=cos(f/2),

l=lk - трехмерный вектор вращения с модулем |l|=l=sin(f/2),

k - орт Эйлеровой оси конечного вращения (поворота) ТТ на угол f из диапазона 0<=f<=2p.

Скалярный параметр l₀ и три координаты l_n (n=1,3), вектора l определяют конечное вращение или пространственную ориентацию ортов j_n некоторого подвижного базиса J, связанного с ТТ, относительно некоторого опорного (неподвижного) ортонормированного координатного базиса I с ортами i_n и началом, совпадающим с началом базиса J. Параметры l_m (m=0,3) называют преимущественно в англоязычной литературе параметрами Эйлера, а в русскоязычной литературе - параметрами Родрига-Гамильтона. Эти параметры связаны условием нормировки

||L||=l₀²+l₁²+l₂²+l₃²=1, (1.2)

где ||L|| - норма кватерниона L.

При этом модуль кватерниона L также равен единице, т.е.

|L|=(||L||)^1/2=1.

Кинематические дифференциальные уравнения для используемых в задачах ориентации ТТ собственных параметров Родрига-Гамильтона как функций времени t могут быть представлены в скалярно - векторной записи

(1.3)

где w=w(t) - вектор мгновенной угловой скорости вращения ТТ или базиса J, как векторная функция времени t;

(l•w), lxw - соответственно скалярное и векторное произведения векторов l, w;

l' - локальная производная вектора l по времени t в базисе J.

Уравнения (19.3) могут быть переписаны в виде одного линейного кватернионного дифференциального уравнения

L'=1/2 (L · W), (1.4)

где знак (·) - знак кватернионного умножения,

W=W(t)=(0+w) - кватернион угловой скорости.

При решении проблем управления ориентацией ТТ особый интерес представляет задача управления трехосной ориентацией, в результате решения которой тело должно быть переведено из любого начального пространственного положения в конечное положение устойчивого равновесия, определяемого условиями:

а) f=0; w=0; б) f=2p; w=0; (1.5)

где w=|w| - модуль вектора w угловой скорости.

Следует отметить, что для решения этой задачи может быть применен прямой (второй) метод Ляпунова, использующий определенно положительные функции Ляпунова. В ряде работ рассматриваются соответственно определенно положительные функции вида:

2V₁=c [ (l₀²-1)²+l₁²+l₂²+l₃²]+(J_*w · J_*w), (c>0) (1.6)

V₂=(1-l₀²)+w · J_*w=1/2[ (l₀²-1)²+l₁²+l₂²+l₃²]+w · J_*w, (1.7)

2V₃=4a(1-l₀)+(w · J_*w), (a>0), (1.8)

где J_* - оператор инерции твердого тела.

При этом параметры l_m считаются функциями времени, т.е. l_m=l_m(t), и в качестве дифференциальных уравнений возмущенного движения при условиях равновесия (1.5) используются кинематические уравнения (1.3) или (1.4) и динамические уравнения Эйлера.

Функции (1.6) - (1.8) в этих работах называются функциями Ляпунова при соответствующем выборе управлений, но не оговаривается в пространствах каких переменных эти функции определены. Из теории устойчивости движения известно, что любая определенно положительная функция Ляпунова V(x₁, ..., x_e), заданная в пространстве переменных x₁, ..., x_e, должна обращаться в нуль для любого момента времени t только в том случае, когда x₁=...=x_e=0, т.е. должно выполняться необходимое условие

V(0, ..., 0)=0 (1.9)

При этом дифференциальные уравнения возмущенного движения должны записываться в переменных x₁, ..., x_e.

В связи с необходимостью выполнения условия (9.9) приведенные примеры (1.6) - (1.8) не могут рассматриваться, строго говоря, как «кватернионные» функции Ляпунова, определенные в пространстве кватернионных параметров l_m (как компонент кватерниона L или соответственно параметров l_m, w_n. В положениях равновесия (1.5) при l₁=l₂=l₃=0 параметр l₀ не может быть равен нулю (1.2) и, следовательно, не будет выполнено условие (1.9).

Рассмотрим далее использование новых (нетрадиционных) ненормированных кватернионов вращения, на основе компонент которых можно было бы строить кватернионные функции Ляпунова, удовлетворяющие условию (1.9) в положениях равновесия (1.5). Для этого введем в рассмотрение обобщенный ненормированный кватернион вращения следующего вида

X=x₀+x=X_f L, (1.10)

где L - нормированный кватернион (1.1),

X_f=|X| - модуль кватерниона

X(|X|!=1) как произвольная скалярная функция угла вращения, т.е.

X_f = X(f) = (x₀²+x₁²+x₂²+x₃²)^1/2. (1.11)

Здесь x_n (n=1,3) - координаты произвольного вектора вращения x в базисе J.

Скаляр x₀ и вектор x кватерниона (1.11) определяются соотношениями

x₀(f)=x₀=X_f l₀, x=X_f l=x_f k, (1.12)

где x_f=|x| - модуль вектора x, причем x_f=X_f l.

Из этих соотношений находим модуль X_f:

(1.13)

Тогда скалярный параметр x₀ и модуль x_f вектора x оказываются взаимосвязанными следующими аналитическими соотношениями:

(1.14)

(1.15)

Норма ||X|| кватерниона X определяется как квадрат модуля X_f:

(1.16)

Из (9.10) следует обратное соотношение

(1.17)

Другими словами, нормированный кватернион (9.1) может быть получен из любого ненормированного кватерниона X (при X_f != 0) в результате его нормировки (деления на модуль ненормированного кватерниона).

Из выражений (1.13) - (1.15) следует, что любая из функций X_f, x₀, x_f может быть выбрана произвольно, а остальные две функции определяются через выбранную функцию однозначно. Следовательно, однозначно может быть определен из (1.10) конкретный ненормированный кватернион вращения.

Соотношение (1.10) совместно c (1.13) - (1.15) определяют множество новых ненормированных кватернионов вращения, принципиальное отличие которых от классических нормированных кватернионов вида (9.1) в том, что их нормы не постоянны и являются некоторыми функциями угла вращения, который, в свою очередь, может быть функцией времени t, т.е. f=f(t).

Параметр x₀ и три координаты x_n вектора x в базисе J будут определять множества новых кватернионных параметров x_m (m=0,3) ориентации ТТ, существенно отличающихся от параметров l_mЭйлера или Родрига - Гамильтона в зависимости от выбора конкретных функций X_f, x₀ или x_f.

С точки зрения построения определенно положительных функций Ляпунова для задач управления ориентацией ТТ будут представлять особый интерес ненормированные кватернионы, получаемые из (1.10), с модулями, обращающимися в нуль при f=0 или f=2p (т.е. в положениях равновесия (1.5)).

Примерами таких кватернионов могут служить два ненормированных кватерниона Q и P следующего вида:

Q=q₀+q=Q_f L, (1.18)

Отметим, что модуль Q_f кватерниона Q, модуль q_f вектора q и параметр q₀ обращаются в нуль при f=0, а модуль P_{[symbol f}] кватерниона P, модуль p_{[symbol f}] вектора p и параметр p₀ обращаются в нуль приf=2p.

Кинематические дифференциальные уравнения для обобщенного собственного кватерниона X могут быть легко получены в скалярно - векторном виде (аналогичном виду уравнений (1.3) на основе обобщенного векторного кинематического уравнения

(1.22)

это локальная производная вектора x=x(t) в базисе J,

Вводя в уравнении (1.22) замену (1.14), получаем обобщенное дифференциальное уравнение для векторной части собственного кватерниона (1.10)

(1.23)

(1.24)

Обобщенное дифференциальное кинематическое уравнение для скалярного параметра x₀ получаем в результате дифференцирования по времени функции (1.14)

(1.25)

Совокупность нелинейных уравнений (1.23), (1.25) может быть представлена в виде одного обобщенного нелинейного кватернионного уравнения следующего вида

 (1.26)

где W_*=w₀+w, w₀=2d_x(x · w),

W - кватернион угловой скорости в (9.4).

В частном случае, например, когда x_f=l=sin(f/2), из (2.15) получаем d_x=0 и из уравнений (9.23) - (9.26) следуют классические линейные уравнения (9.3) или (9.4).

Для приведенных примеров (9.18), (9.20) новых ненормированных кватернионов кинематические дифференциальные уравнения получаем, исходя из обобщенных уравнений (9.23), (9.25), соответственно в виде

a) (1.27)

(1.28)

б) (1.29)

(1.30)

(1.31)

Система уравнений (1.27) - (1.30) допускает, очевидно, первый интеграл с учетом (1.19) и (1.21)

Q_f+P_f=Ѕ. (1.32)

Далее, используя обобщенный ненормированный кватернион (1.10), введем в рассмотрение кватернионную определенно положительную функцию общего вида

V(X, w)=V=V_x+V_w, (1.33)

(1.34)

||X|| -- норма (1.16) кватерниона (1.10), а слагаемое V_w определяется, например, как скалярное произведение векторов в функции (1.8).

(1.35)

Заметим, что функция V(X,w) должна допускать так же бесконечно малый высший предел. Будем полагать, что удовлетворяется условие (1.9) для функции

V_x=V(x₀, x₁, x₂, x₃). (1.36)

Производную по времени находим в виде:

(1.37)

Далее для производной

используем выражение

и в результате из (1.37), получим

(1.38)

Производную находим из (1.35) в результате дифференцирования и последующего использования известных динамических уравнений Эйлера

(1.39)

где вектор u будем рассматривать как некоторый произвольный вектор управляющего момента.

Суммируя (1.38), (1.39), получаем

(1.40)

(1.41)

Далее выберем в (1.41) обобщенное представление вектора u в следующей форме:

u=Dw -a X_f X'_f k (1.42)

или, учитывая (1.12), в виде

(1.43)

где D - симметрический оператор.

Тогда из (1.40) получаем

2 ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Для того, чтобы функция (1.33) была функцией Ляпунова, необходимо (в соответствии с теоремой Ляпунова об асимптотической устойчивости) обеспечить выполнение условия при ??0, ??0 или ??2?(1.5) т.е. необходимо, чтобы эта производная была определенно отрицательной функцией. Это условие выполняется при выборе в (1.44) определенно отрицательного симметрического оператора D, Тогда(?*D?)<0 для любого вектора ??0.

В матричной форме производная (1.44) может быть записана с использованием столбцевой ?_J и строчной ?^T_J матриц с координатами ?_n вектора ?, а также с использованием некоторой диагональной определенно отрицательной матрицы D_J

(2.45)

Функцию (1.33) назовем обобщенной кватернионной функцией Ляпунова. Учитывая, что из нее могут быть легко получены конкретные кватернионные функции Ляпунова, содержащие компоненты конкретных заданных или выбранных ненормированных кватернионов.

Обобщенная функция Ляпунова (1.33) и обобщенный управляющий вектор (1.43) могут быть записаны также в несколько иных формах, если подставить любое из соотношений (1.16) в (1.34), затем продифференцировать полученную функцию и использовать соответствующие дифференциальные уравнения (1.23), (1.25) или уравнение для модуля x_? вектора x.

Например, производная может быть представлена следующим выражением

(2.46)

либо, после преобразований, выражением

(2.47)

Тогда обобщенный вектор u управляющего момента, обеспечивающий приведение этой производной (1.44), будет иметь вид, содержащий «кинематическую» часть V_x исходной функции Ляпунова (1.33):

u=D? - 2V_x?_x x (2.48)

Следует также заметить, что наряду с обобщенной функцией (1.33) можно также использовать обобщенную кватернионную функцию вида V(X, g) = V_x+V_g, в которой V_g=(g*g) (см. функцию (1.6)), гдеg=J_*? -- вектор кинетического момента твердого тела. Тогда выражения для производной и вектора u управления будут уже иметь вид, несколько отличающийся соответственно от вида выражений (1.44), (2.48).
Для получения конкретных кватернионных функций Ляпунова из обобщенной функции (1.34) необходимо задать конкретный вид любой из функций x_?(?), x₀(?), X_?(?).

Для конкретных кватернионов (1.18), (1.20) можно представить определенно положительные функции Ляпунова, исходя из обобщенной функции (9.33), соответственно в виде

V(Q,?)=Ѕ(?_q(q₀²+(q*q)) + (? * J_*?)), ?_q>0, (2.49)

V(P,?)=Ѕ(?_p(p₀²+(p*p)) + (? * J_*?)), ?_p>0, (2.50)

При этом векторы u_q, u_p управляющих моментов получаем, например, используя выражение (1.43), в форме

(2.51)

(2.52)

учитывая, что Q_?Q'_?=1/8 q_?, q_?=|q_?|, P_?P'_?=1/8 p_?, p_?=|p_?|.

Так как выражения для обобщенной функции (1.33) и обобщенных векторов (2.43), (2.48) справедливы при любых ненормированных кватернионах, получаемых из (1.10), то количество примеров конкретных новых нетрадиционных кватернионов можно существенно расширить и получить в компонентах этих кватернионов соответствующие конкретные кватернионные функции Ляпунова и векторы управляющих моментов. Например, могут представлять интерес два кватерниона: A=a₀+a, B=b₀+b с нормами

, ,

определяющими первый интеграл ||A||+||B||=4 для соответствующих систем кинематических дифференциальных уравнений, получаемых из уравнений (1.23), (1.25).

На основе кватерниона А уже может быть определено, например, первое слагаемое функции (1.8) в пространстве четырех компонент ?_m кватерниона A.

Могут быть получены также обобщенные кватернионные функции Ляпунова, формально отличающиеся от функции (1.33), если подставить, например, в скалярное произведение (1.35) обобщенное выражение для вектора ? в следующем виде

(1.53)

где коэффициенты определяются соотношениями

, , ,

||X|| -- норма (1.16).

Можно показать, что выражение (9.53) может быть преобразовано к виду

(2.54)

Тогда получаемые из (1.33) с использованием подстановки (2.54) функции Ляпунова будут определены уже в пространстве фазовых кватернионных переменных x_m и производной x_m.

3 ПРИМЕР МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для проверки возможности использования функций Ляпунова вида (1.33) в задачах управления ориентации ТТ было проведено численное моделирование процессов управления трехосной ориентацией ТТ с следующими числовыми значениями главных моментов инерции:

I₁ = 140 кг. м², I₂ = 1420 кг. м², I₃ = 1430 кг. м² при использовании новых ненормированных кватернионов (9.18), (9.20). Результаты моделирования представлены на рис. 1-4.

Рисунок 1 - Графики изменения координат ?_n=?(n) угловой скорости при управлении по компонентам кватерниона

Рисунок 2 - Графики изменения компонент q_m=q(m) кватерниона Q и его модуля |Q|



Рисунок 3 - Графики изменения координат ?_n=?(n) угловой скорости при управлении по компонентам кватерниона P

Рисунок 4 - Графики изменения компонент p_m=p(m) кватерниона P и его модуля |P|

При численном интегрировании систем дифференциальных динамических уравнений Эйлера с управляющими моментами (2.51), (2.52) и кинематических уравнений (1.27) - (1.30) использовался метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности. Начальные значения (при t=t₀=0) условий вращения ТТ задавались равными следующими числовыми значениями:

1) ?₀=?(t₀)=179,9°;

2) направляющие косинусы k_n, (n=1,3) орта k:

k₁(t₀)=0,3; k₂(t₀)=0,6; k₃(t₀)=0,741620.

При этом также полагалось, что ?(t₀)=0. Коэффициенты ?_q, ?_p в выражениях управляющих моментов (2.51), (2.52) были равны: ?_q=?_p=10³, а элементы диагональной матрицы D в (2.51), (2.52) выбирались постоянными и равными: d₁=-196,2 н.м.с., d₂=-981 н.м.с., d₃=-981 н.м.с..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из приведенных на рисунках 1-4 зависимостей видно, что все компоненты кватернионов P и Q стремятся со временем к нулю и к нулю стремятся со временем также координаты соответствующих векторов угловой скорости, что свидетельствует об асимптотической устойчивости по Ляпунову процессов управления ориентацией ТТ.

Заметим, что с точки зрения определения направления кратчайшего поворота ТТ и выбора при этом соответствующего вектора управления ориентацией ТТ целесообразно при ?₀<=? выбирать управляющий вектор (2.51), приводящий ТТ в положение равновесия ?=0, ?=0, а при ?₀>? -- вектор (2.52), приводящий ТТ в положение равновесия ?=2?, ?=0 (см. условия (2.5)).

Приведенные в данном примере результаты численного моделирования показывают возможность использования функций (2.49), (2.50) в качестве новых кватернионных функций Ляпунова при решении задач управления ориентацией ТТ.

В то же время подтверждается также возможность использования обобщенной кватернионной функции Ляпунова (2.34) для построения на ее основе конкретных функций Ляпунова в терминах различных новых ненормированных кватернионов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Б.Ф. Былов и др. «Теория показателей Ляпунова» - М.: Наука, 1966 г., 564 с.

2. Б.П. Демидович «Лекции по математической теории устойчивости» М.: Наука,1967 г.,465 c.

3. Н.М. Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений» - М.: Высшая школа, 1967 г., 564 с.