Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации дисперсивных групп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации дисперсивных групп

Исполнитель:

Студентка группы М-32

Моржева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Скиба М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Перечень условных обозначений 3

Введение 8

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации -дисперсивных групп 11

Заключение 29

Литература 30

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

--- пустое множество;

--- множество всех , для которых выполняется условие ;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ; примарное число --- любое число вида ;

--- множество всех целых положительных чисел.

--- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении , .

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы ;

--- порядок элемента группы ;

--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

--- коммутант группы ;

--- --холловская подгруппа группы ;

--- силовская --подгруппа группы ;

--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

--- группа всех автоморфизмов группы ;

--- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

--- является нормальной подгруппой группы ;

--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

--- индекс подгруппы в группе ;

;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- центр группы ;

--- циклическая группа порядка ;

Если и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу называют --нильпотентной, если .

Группу порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех --групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:

--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.

Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации -дисперсивных групп

Пусть --- насыщенная -замкнутая формация разрешимых групп, --- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая формации . Тогда разрешима.

Доказательство. Пусть --- группа минимального порядка, для которой лемма не верна.

Предположим, что . Тогда каждая максимальная подгруппа группы будет -абнормальной в . Пусть некоторая неединичная силовская подгруппа группы . Если предположить, что в существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Отсюда следует, что . Противоречие. Следовательно, --- простое число. Получили, что каждая неединичная силовская подгруппа из имеет простой порядок и, значит, разрешима, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, и . Если , то --- разрешимая группа по условию. Если же , то разрешим по индукции. Из того, что следует, что разрешима. Лемма доказана.

Пусть --- некоторая насыщенная -замкнутая формация -дисперсивных групп, где --- некоторое фиксированное линейное упорядочение множества всех простых чисел, --- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) --- группа Шмидта;

2) , где --- минимальная нормальная подгруппа из , , , --- циклическая группа и выполняется соотношение ;

3) , где --- минимальная нормальная подгруппа группы , и .

Доказательство. Так как --- формация разрешимых групп, то, по лемме, --- разрешимая группа. Ввиду того, что в все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат , теореме , получаем, что --- -группа для некоторого простого числа . Пусть --- некоторая -абнормальная максимальная подгруппа группы . Так как , то содержит некоторую холловскую подгруппу . Если , то --- минимальная нормальная подгруппа группы . Пусть . Покажем, что максимальна в . Предположим противное. Тогда согласно лемме -субнормальна в . Если для любого простого числа , , выполняется условие , то . Применяя теорему, получаем, что . Противоречие. Пусть --- множество всех простых делителей порядка группы таких, что для любого выполняется условие . Ясно, что не пусто. Ввиду разрешимости группы в существует подгруппа . Так как , то . Подгруппа не максимальна в , в противном случае . Поэтому согласно лемме -субнормальна в . Применяя лемму и теорему, получаем . Отсюда следует, что и, значит, . По индукции подгруппа максимальна в , а поэтому максимальна в . Противоречие. Итак, имеем , где . Очевидно, что подгруппа либо совпадает с силовской -подгруппой, либо .

Предположим вначале, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа из имеет вид согласно тождеству Дедекинда. Так как не максимальна в , то, по лемме, -субнормальна в , а значит, и в . Применяя теорему , получаем . Итак, в группе и все -субнормальные максимальные подгруппы принадлежат , поэтому --- группа Шмидта и выполняется утверждение 1).

Пусть теперь . Тогда --- минимальная нормальная подгруппа в и . По доказанному не -субнормальна в . Рассмотрим подгруппу . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Любая подгруппа из не максимальна в , поэтому, по лемме , -субнормальна в , а значит, и в . Если , то, по теореме , --- минимальная не -дисперсивная группа и, значит, . Так как --- максимальная подгруппа в , то --- минимальная нормальная подгруппа и, значит, --- группа Миллера-Морено. Следовательно, --- циклическая. Пусть . Тогда . Так как --- элементарная абелева группа и --- силовская подгруппа группы , то, по теореме Машке , имеем и . Рассмотрим подгруппу . Если не является минимальной нормальной подгруппой в , то в существует минимальная нормальная подгруппа . Так как --- абелева группа, то . Отсюда получаем, что и . Противоречие. Значит, --- минимальная нормальная подгруппа группы . Применяя теорему, получаем, что --- минимальная не -дисперсивная группа. Так как упорядочение фиксированное, то --- группа Миллера-Морено и --- циклическая группа. Предположим теперь, что . Тогда , и . Противоречие. Следовательно, . Так как максимальна в и , то и выполняется утверждение 2).

Пусть . Покажем, что . Если в все подгруппы -субнормальны в , то по теореме --- минимальная не -дисперсивная группа и . Рассмотрим теперь случай, когда в существует максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Тогда, ввиду леммы , любая подгруппа из -субнормальна в . Рассмотрим подгруппу . Так же, как и в случае, когда , можно показать, что . Из разрешимости группы и того, что максимальна в , следует , и утверждение 3) доказано. Лемма доказана.

Пусть --- некоторая насыщенная -замкнутая формация -дисперсивных групп, где --- некоторое фиксированное линейное упорядочение множества всех простых чисел, --- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа группы либо -дисперсивна, либо является минимальной не -дисперсивной группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.

Доказательство. Пусть --- группа минимального порядка, для которой лемма не верна. Тогда в существует -абнормальная подгруппа , не являющаяся -дисперсивной или минимальной не -дисперсивной группой. Применяя леммы и, получаем, что --- группа вида 1) --- 3) из леммы.

1. Пусть --- группа вида 1) из леммы. Тогда не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому . Отсюда следует, что -субнормальна в , а значит, и в . Ввиду теоремы, . Противоречие.

2. Пусть --- группа вида 2) из леммы. Тогда не -субнормальна в , а значит, и в . Если не максимальна в , то по условию в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как и разрешима, то -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие.

Предположим, что . Так как подгруппа не максимальна в , то по условию в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Отсюда получаем, что . Учитывая, что , имеем . Противоречие. Значит, . Так как и , то подгруппа является -нормальной максимальной в и . Из леммы получаем, что -субнормальна в . Из последнего следует, что . Подгруппа самонормализуема в , в противном случае не максимальна в .

Предположим, что . Тогда и . Учитывая, что --- циклическая группа, самонормализуемая в , получаем . Так как и , то . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то либо и , либо, ввиду , и не самонормализуема в . Следовательно, и по индукции --- группа Миллера-Морено. Тогда и . Противоречие.

Итак, и . Если , то не максимальна в . Ввиду теоремы , и, значит, . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда либо , либо . Если , то --- -группа. Значит, . Рассмотрим подгруппу . Тогда . Так как и, по доказанному, , то . Так как , то и существует -абнормальная максимальная подгруппа группы , содержащая . По индукции, либо бипримарная группа Миллера-Морено, либо . Если , то и, значит, . Так как не максимальна в , то по лемме 4 -субнормальна в . Противоречие. Значит, . Если , то учитывая, что самонормализуема в , имеем и выполняется соотношение . Рассмотрим группу . Здесь , и выполняется соотношение . Значит, . Так как не максимальна в , то, по лемме , -субнормальна в . Тогда --- группа Миллера-Морено. Отсюда следует, что и . Противоречие.

3. Пусть --- группа вида 3) из леммы 5.1.2. Тогда --- минимальная нормальная подгруппа в . Если каждая максимальная подгруппа из -субнормальна в , то --- минимальная не -группа. Значит, в найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Очевидно, что . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Так как не максимальна в , то, по условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как и , то . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . По индукции либо принадлежит , либо является минимальной не -группой. Ясно, что --- максимальная в подгруппа. В противном случае, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что , и, следовательно, -субнормальна в .

3.1. . Тогда . По доказанному выше -субнормальна в и . Тогда . Покажем, что . Действительно, если , то из того, что , следует, что не максимальна в . Противоречие. Так как , и , то . Покажем, что дополняема в . Если , то из того, что максимальна в , следует, что . С другой стороны, так как максимальна в , то либо , либо . Из того, что , следует . Получили, что . Тогда --- -абнормальная максимальная в подгруппа. Это противоречит тому, что -субнормальна в . Следовательно, и . Так как --- абелева, то по теореме имеет дополнение в . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Из того, что и , следует, что . Так как --- -абнормальная максимальная подгруппа в , то . Это значит, что и -субнормальна в . Противоречие.

3.2 . Тогда --- силовская -подгруппа группы . Рассмотрим -холлову подгруппу группы , содержащую . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то входит в и не максимальна в . Тогда будет -субнормальна в . Значит, максимальна в . Ввиду теоремы, --- -группа. Если , то, согласно доказанному выше, лемма верна. Значит, --- минимальная нормальная подгруппа в . Подгруппа максимальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Так как , то . Тогда и подгруппа будет содержаться в подгруппе группы . Если , то -субнормальна в . Если же , то получаем противоречие с тем, что --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная формация -дисперсивных групп, где --- некоторое фиксированное линейное упорядочение множества всех простых чисел, --- не -дисперсивная -группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда либо --- -максимальный простой делитель порядка группы , и группа типа из определения для некоторого , либо --- группа со следующими свойствами: , --- -нильпотентна, , , , в существуют точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются --- либо группа Шмидта, либо группа типа из определения , , , где --- максимальная подгруппа из .

Доказательство. Пусть не -дисперсивна. По лемме, группа разрешима. Применяя леммы, получаем, что . Доказательство разобьем на два случая: и .

1. . Ясно, что группа в этом случае будет -дисперсивна тогда и только тогда, когда она будет -нильпотентна, где является -максимальным простым делителем порядка группы .

1.1. Допустим, что обладает не -дисперсивной -абнормальной максимальной подгруппой . По лемме, --- бипримарная группа Миллера-Морено. Заметим еще, что , где --- минимальная нормальная подгруппа в . Тогда есть степень либо простого , либо . Пусть . Пусть --- силовская -подгруппа из , содержащая . Если не максимальна в , то , где --- некоторая -субнормальная в подгруппа. Тогда -субнормальна в , а значит, и в (напомним, что из следует, что ). Но тогда, по теореме , , противоречие. Значит, и . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как -абнормальна, то, по лемме , либо -дисперсивна, либо является группой Миллера-Морено. Но --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому ясно, что не может быть -замкнутой группой. Таким образом, -нильпотентна. Если , то из и из условия вытекает, что существует -субнормальная в подгруппа такая, что . Так как , то , что противоречит равенству . Итак, мы должны рассмотреть только случай . Подгруппа является циклической и максимальна в . Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа из нормальна в . Пусть ---минимальная нормальная подгруппа в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа в , то --- -группа, не входящая в , а значит, . Так как максимальна и не нормальна в , то . Ясно теперь, что , а значит, нормальна в . Таким образом, получается, что , что противоречит равенству . Итак, теперь надо рассмотреть случай , т.е. --- силовская -подгруппа в , а --- минимальная нормальная подгруппа в . Допустим, что силовская -подгруппа из не равна 1. Так как , то . Тогда -нильпотентна, а значит, силовская -подгруппа из содержится в . Но это противоречит равенству . Итак, . По теореме Бернсайда, -нильпотентна и, значит, --- силовская -подгруппа в . Максимальная подгруппа из не максимальна в , поэтому для некоторой -субнормальной в подгруппы . Так как --- абелева -группа, то . Значит, оказывается -субнормальной в . По теореме , . Мы получаем, что --- группа типа .

1.2. Теперь будем полагать, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа группы -дисперсивна. Тогда --- группа одного из типов 1)-3) леммы . Если --- группа типа 1), то доказывать нечего. Пусть --- группа типа 2), т.е. , , где , , , циклическая, а --- минимальная нормальная подгруппа в . Заметим, что -сверхразрешима. Пусть --- максимальная подгруппа группы . Если содержит и не содержит , то . Если содержит и , то . А если содержит , то и . Таким образом, имеет точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются , и . Значит, в этом случае группа --- группа типа . Пусть --- группа типа 3) леммы и --- минимальная нормальная подгруппа в . Пусть . Очевидно, . Предположим, что имеет максимальную подгруппу , являющуюся -субнормальной в . По теореме , . Очевидно, . Ясно, что любая максимальная подгруппа из , отличная от , не является -субнормальной в . Если циклическая, то --- группа типа . Поэтому считаем, что нециклическая. Пусть --- максимальная подгруппа из , отличная от . Рассмотрим подгруппу , являющуюся -субнормальной в . Так как не -субнормальна, то . Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа из . Так как , то --- степень , т.е. содержится в подгруппе, сопряженной с в . Будем считать, что . Силовская -подгруппа из нормальна в и в , т.е. нормальна в . Но --- минимальная нормальная подгруппа. Поэтому --- -группа, т.е. максимальна в . По лемме , каждая собственная подгруппа из будет -субнормальной в (мы применяем утверждение 2) леммы для случая ). Теперь по лемме , является минимальной не -группой, откуда следует, что --- группа Миллера-Морено, т.е. --- группа типа . Предположим теперь, что любая максимальная подгруппа из не является -субнормальной в . Пусть --- максимальная подгруппа из , причем . Подгруппа не принадлежит , иначе была бы -субнормальной. Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Если не максимальна в , то строго содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Подгруппа не -нильпотентна, так как в противном случае , а это противоречит тому, что не -субнормальна. Итак, , в существует не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа, . Но этот случай уже рассмотрен, т.е. --- группа типа . Таким образом, максимальная подгруппа из нормальна в . Рассмотрим группу , ее порядок равен . Понятно, что если и --- две различные подгруппы из , то , и значит, , так как каждая максимальная подгруппа из не нормальна в . Следовательно, --- группа Фробениуса с циклической подгруппой порядка . Так как , то получается, что циклическая. Так как --- единственная максимальная подгруппа, содержащая , то . Итак, --- группа типа .

2. . Доказательство данного случая разобьем на два случая: -нильпотентна и не -нильпотентна.

2.1. Предположим, что не -нильпотентна.

Допустим, что обладает не -дисперсивной -абнормальной максимальной подгруппой . По лемме, --- бипримарная группа Миллера-Морено. Тогда ясно, что --- холлова подгруппа в ; будем полагать, что делится на и . Пусть , и --- попарно перестановочные силовские подгруппы из такие, что . Так как и , то . Рассмотрим максимальную подгруппу из , содержащую . Если не максимальна в , то ввиду условия , где --- -субнормальная собственная подгруппа группы , а значит, , что противоречит равенству . Значит, максимальна в , и поэтому , где , так как . Понятно, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает либо с , либо с . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как --- группа Миллера-Морено, то холлова -подгруппа из нильпотентна. Таким образом, если , то -нильпотентна и . Если не максимальна в , то существует -субнормальная подгруппа такая, что . Тогда -субнормальна в , где --- формация всех -нильпотентных групп, а -нильпотентна по теореме , т.е. . Следовательно, если не нормальна в , то , максимальна в и . В любом случае силовская -группа из нормальна в . Пусть --- еще одна максимальная подгруппа индекса . Тогда , так как циклическая. Понятно теперь, что и сопряжены. Итак, --- группа типа .

Теперь будем полагать, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа группы -дисперсивна. По лемме, --- минимальная нормальная подгруппа группы . Если собственная подгруппа из не является максимальной в , то, по условию, существует -субнормальная в -группа , содержащая . По теореме , , а значит, . Итак, каждая собственная не максимальная подгруппа из поэлементно перестановочна с . Так как не -нильпотентна, то ясно, что силовская -подгруппа и силовская -подгруппа из не могут одновременно быть не максимальными в , т.е. либо обе они максимальны в , либо только одна из них максимальна в . Эти два случая мы рассмотрим.

2.1.1. Пусть максимальна в . Тогда, как отмечалось, нильпотентна, а ненильпотентна. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в и по условию содержится в некоторой -субнормальной -подгруппе, которая по теореме будет поэлементно перестановочна с . Отсюда следует, что --- группа Миллера-Морено. Если нормальна в , то . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Каждая собственная подгруппа из , как отмечалось, поэлементно перестановочна с . Значит, каждая собственная подгруппа из будет -нильпотентна. Но . Поэтому не может быть группой Шмидта. Значит, -нильпотентна и . Значит, . Получается, что каждая максимальная подгруппа из нормальна в , т.е. нильпотентна. Итак, если нормальна в , то --- группа типа .

Пусть теперь не нормальна в . По теореме Бернсайда, -нильпотентна, т.е. . Учитывая, что нильпотентна, получаем, что нормальна в , т.е. оказывается группой типа .

2.1.2. Пусть теперь подгруппы и являются максимальными в . Тогда одна из них нормальна в . Пусть . Тогда . В этом случае , и --- максимальные подгруппы в . Если одна из подгрупп , нильпотентна, то --- группа типа . Предположим, что и ненильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из поэлементно перестановочна с , а подгруппа ненильпотентна, то является циклической. Но тогда , так как максимальна в сверхразрешимой подгруппе . Рассмотрим подгруппу . Так как , то . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть немаксимальна в . Так как и , то -корадикал подгруппы является неединичной -группой. Ясно, что содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Мы видим, что --- группа типа .

Возможны два случая: нормальна в и ненормальна в .

Пусть не нормальна в . Если , то --- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой , что противоречит нашему допущению. Пусть , где , . Так как элементарная абелева, то существует такая -подгруппа , что . Мы видим, что --- группа типа , а сама --- группа типа .

Предположим теперь, что нормальна в , т.е. нильпотентна и имеет порядок . Очевидно, что в этом случае является группой Фробениуса с ядром , а --- группа типа , либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Получается, что --- группа типа . В этом случае оказывается группой типа .

2.2. Будем полагать далее, что является --максимальным простым делителем порядка группы . Пусть теперь -нильпотентна. Из того, что не -дисперсивная группа, следует, что в ней существует нормальная холлова -подгруппа примарного индекса, не являющаяся -дисперсивной. По доказанному --- группа типа для некоторого .

2.2.1. Пусть --- группа Шмидта, . В этом случае . Рассмотрим -холлову подгруппу группы . Из того, что и , следует, что . Если немаксимальна в , то, по лемме , -субнормальна в . Тогда, по теореме , . Следовательно, максимальна в и . Из следует равенство . Отсюда следует, что максимальна в . Так как , , то . Покажем, что максимальна в . Предположим противное. Тогда найдется максимальная подгруппа группы , содержащая . Значит, , где --- некоторая неединичная подгруппа из . Тогда -холлова подгруппа группы нормальна в и является собственной в . Поэтому -дисперсивна. Так как не максимальна в , то, по лемме , -субнормальна в . Отсюда, по теореме , . Следовательно, максимальна в . Если максимальна в , то --- группа из данной теоремы. Предположим, что не максимальна в . Тогда в существует -нормальная максимальная подгруппа , где --- максимальная подгруппа из . Так как , то . Значит, и --- группа из данной теоремы.

2.2.2. Предположим, что --- группа вида , либо вида . В этом случае --- минимальная нормальная подгруппа в . Так как -нильпотентна для -максимального простого делителя порядка группы , то -холлова подгруппа группы -дисперсивна. Тогда каждая собственная подгруппа из будет не максимальна в и, по лемме , -субнормальна в . Но в этом случае, по лемме , --- группа Шмидта. Противоречие.

2.2.3. Предположим, что --- группа типа . В этом случае --- циклическая и , где --- максимальная подгруппа из . Холлова -подгруппа -дисперсивна. Если не максимальна в , то, применяя лемму и теорему, получаем . Значит, максимальна в и . Следовательно, максимальна в . Так как и , то . Предположим, что не максимальна в . Тогда в найдется -абнормальная максимальная подгруппа , где --- некоторая неединичная подгруппа из . По лемме , в все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . По теореме , --- -группа. Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то не максимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме , . Значит, максимальна в и --- минимальная нормальная подгруппа в . Получили, что . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Тогда . Так как максимальна в , то . Это значит, что и -субнормальна в . Но тогда . Противоречие. Значит, максимальна в . Если максимальна в , то --- группа из данной теоремы. Предположим, что не максимальна в . Тогда в существует максимальная подгруппа , где --- максимальная подгруппа из . Так как, по условию, , то -дисперсивна. Итак, --- группа из данной теоремы.

2.2.4. Предположим, что --- группа типа . В этом случае . Так как , то . По условию, абелева и дополняема в силовской подгруппе . По теореме, дополняема в . Тогда в существует - абнормальная максимальная подгруппа . Там как немаксимальна в , то, по лемме , -субнормальна в . По теореме, . Но тогда . Противоречие. Теорема доказана.

Пусть , --- различные простые числа из такие, что . Пусть --- неабелева группа порядка . Рассмотрим группу , где и . Ясно, что в этом случае --- группа из теоремы.

Заключение

В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случаях, когда --- либо произвольная -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация -дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы и такие, что , не максимальна в , и из всегда следует, что не -субнормальна в .

Литература

1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.

2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск: Наука и техника, 1984. --- 71--88.

3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.: Наука и техника, 1986. --- 59--69.

4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск: Бел. навука, 2003. --- 254 с.

5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.

6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.

7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.

8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.

9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.

10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.

11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.

12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.

13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.