Финансовая математика
Виды простых ставок. Формула наращения сложных процентов. Формула наращения по простой процентной ставке. Математическое дисконтирование и сложные проценты. Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке. Определение переменных процентных ставок.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.03.2010 |
| Размер файла | 24,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Содержание
Введение
1. Основные понятия
2. Простая процентная ставка
2.1 Виды простых ставок
2.2 Формула наращения по простой процентной ставке
2.3 Переменные ставки
2.4 Математическое дисконтирование
2.5 Сложные проценты
2.6 Формула наращения сложных процентов
2.7 Переменные процентные ставки
2.8 Математическое дисконтирование
2.9 Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке
2.10 Инфляция
Список литературы
Введение
Финансовые ресурсы, материальную основу которых составляют деньги, имеют временную ценность. Временная ценность финансовых ресурсов может рассматриваться в двух аспектах.
Первый аспект связан с покупательной способностью денег. Денежные средства в данный момент и через определенный промежуток времени при равной номинальной стоимости имеют совершенно разную покупательную способность. Так. 1000 руб. через какое-то время при уровне инфляции 60% будут иметь покупательную способность всего лишь 400 руб. При современном состоянии экономики и уровне инфляции денежные средства, не вложенные в инвестиционную деятельность или на хранение в банк, очень быстро обесцениваются.
Второй аспект связан с обращением денежных средств как капитала и получением доходов от этого оборота. Деньги как можно быстрее должны делать новые деньги.
В любом случае экономист должен уметь определять, сколько будет стоить нынешняя сумма через определенный период, и оценивать будущие доходы сейчас.
1. Основные понятия
Процентными деньгами называют абсолютную величину дохода полученную от предоставления денег в долг.
Процентной ставкой называют относительную величину дохода за определенный период времени.
Периодом наращения называют интервал времени, к которому приурочена процентная ставка.
Наращением называют процесс увеличения денег, предоставляемых в долг.
Наращенной суммой называют первоначальную сумму вместе с процентными деньгами.
Множитель наращения показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.
Простыми процентами называют такой способ наращения, при котором проценты начисляются на первоначальную сумму.
Сложными процентами называют такой способ наращения, при котором проценты начисляют на всю накопленную сумку, а не только на первоначальную, как при начислении простых процентов.
Декурсивными процентами называют проценты начисляемые по принципу наращения на сумму долга, процентную ставку называют при этом ставкой наращения.
Антисипативными процентами называют проценты начисляемые по принципу скидки с конечной суммы задолженности называют учетной ставкой.
Дискретными процентами называют такой способ наращения, при котором время считают величиной дискретной.
Непрерывными процентами называют способ наращения, при котором время рассматривают как непрерывное.
Компаундинг - это процесс перехода от сегодняшней (т.е. текущей) стоимости капитала к его будущей стоимости.
Дисконтирование - это процесс определения сегодняшней (т.е. текущей) стоимости денег, когда известна их будущая стоимость. Применяется для оценки денежных поступлений (пибыль, проценты. Дивиденды) с позиции текущего момента.
2. Простая процентная ставка
2.1 Виды простых ставок
Любые проблемы, связанные с финансами, имеют множество нюансов. И это в полной мере относится к расчетам по формуле (1.1). Причем в практических проблемах, связанных с расчетом процентов, эти нюансы в основном касаются определения длительности займа t. Отметим некоторые из них. Для этого еще раз напомним, что мы договорились считать единицей времени год.
В краткосрочном контракте по предоставлению кредита срок его действия естественно измерять днями. Поэтому при выбранной единице времени длительность займа удобно записывать в виде
t=n/N (1)
где n - длительность контракта в днях, а N - число дней в году. При этом оказывается, что в разных странах мира сложилась своя практика, банковская и коммерческая, в отношении базы времени N . Возможны следующие четыре варианта:
N=360, N=3б5, N=365,25, N = 366.
из которых первый во многих странах называется коммерческим годом.
Но выбор одного из этих вариантов еще не вносит полную ясность в расчет t поскольку не меньше подходов к определению числа n. Так, оно может быть точным числом дней от одной даты до другой, включающим или не включающим в себя границы. Хотя наиболее распространенная практика определения числа дней ссуды по календарю такая: первый день не учитывается, а последний - учитывается В России именно такой подход, хотя он и звучит иначе: первый и последний день считаются за один день,. Но это же число может получаться совсем по-другому. Например, когда рассматриваемый период (ссуды) разбивается на три части, две из которых - первая и третья - выражаются в днях, а средняя - точным числом месяцев, которые берутся равными 30 дням, или семестров, равных 90 дням.
Кстати, в Германии, Дании, Швеции год условно считается коммерческим, а месяц - имеющим 30 дней. Также коммерческий год используется во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии. Но здесь предпочитают рассчитывать точное число дней контракта по календарю. Наконец, обычный год в 365 дней (или 366) и календарный расчет срока распространен в таких странах, как Португалия, США и Великобритания. При этом, скажем, в Англии, при банковских ссудах полгода приравниваются к 182 дням.
В банковской системе используют три способа расчета процентов:
Точеные проценты с точным числом дней ссуды или 365/365.
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды или 365/360.
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды или 360/360.
Вариант 360/365 на практике не применяется.
2.2 Формула наращения по простой процентной ставке
Пусть:
I - проценты за весь срок ссуды;
Р - первоначальная сумма долга;
S - наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i - ставка наращения (десятичная дробь);
n - срок ссуды.
Каждый год процента составляют Рi.
Начисленные за весь срок проценты:
I=Pni (2)
Наращенная сумма:
S = Р + I = Р (1+ni) (3)
Это - формула простых процентов. Множитель - множитель наращения проема процентов.
2.3 Переменные ставки
Если предусмотрены изменяющиеся во времени процентные ставки, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:
S = Р ( 1 +n1i2+ n2i2 + ... +nmim ) (4)
Где ik - процентная ставка в период k,
nk - продолжительность периода к.
В ряде практических приложений финансового анализа встает вопрос об определении первоначальной суммы долга по накопленной сунне, в зависимости от используемой ставки он решается путей использования математического дисконтирования или банковского учета.
2.4 Математическое дисконтирование
Математическое дисконтирование является точным формальным решением обратной задачи.
Р = S/(1+ni) (5)
Множитель:
1
1 + ni
называют дисконтным множителем.
Задача 1
Определить сумму, вложенную в коротко-срочные облигации доходностью 5% годовых на 7 месяцев, которые принесли дивиденды на 19000 рублей.
Решение
i = 0,05/12 = 0,0041 или 0,42 %
по формуле (5):
P= 19000/(1+7*0,0041) = 18464,5 рубля
2.5 Сложные проценты
Идея сложных процентов очень проста. В них, в отличие от простых процентов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим, т.е. на некотором промежутке ось времени разбивается этими периодами, а равные части, как линейка на сантиметры. В то же время так же, как и простые проценты, сложные не могут не существовать!
Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удобства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной зависимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае сложных процентов основную роль играет наличие свободной конкуренции.
2.6 Формула наращения сложных процентов
S = P(1 + i)n (6)
Р - первоначальная сумма долга;
S - наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i - ставка наращения (десятичная дробь);
n - срок ссуды.
Например,
Задача 2
Если положить на срочный вклад 100 000 под 60% годовых и на два года, то в результате на этом вкладе окажется 220 000, если действует формула начисления простых процентов (3) и ставка за все это время не изменится:
S = 100 000(1+2*0,6) = 220 000.
А если через год снять имеющуюся на счету сумму 160000 и положить на такой же срочный вклад, но в другом банке, то через те же два года получится сумма 256 000 = 160 000 + 96 000, очевидно, на 36 000 большая. Но ведь первый банк не захочет потерять своего клиента-вкладчика и потому сразу предложит ему формулу(6): S = 100 000(1+0, 6)2 =256 000.
2.7 Переменные процентные ставки
В некоторых случаях(каких) ставка может изменяться во времени, тогда формула начисления сложных процентов примет вид:
S = P(1 + i)n1 (1 + i)n2 … (1 + i)nk. (7)
2.8 Математическое дисконтирование
P = S/(1+i)n (8)
Р - первоначальная сумма долга;
S - наращенная сумма, или сумма в конце срока;
i - ставка наращения (десятичная дробь);
n - срок ссуды.
Задача 3
Банк предлагает 50% годовых.
Каков должен быть первоначальный вклад, чтобы через три года иметь на счете 100 000?
Решение
По формуле (8):
P = 100 000 / (1+0,5)3 = 29600.
2.9 Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке
Сравним множители наращения по простой и сложным процентным ставкам. При сроке большем нуля и меньше года множитель наращения по простой процентной ставке превосходит множитель наращения по сложной:
(1+ni) > (1+i)n
При сроке больше года множитель наращения по сложной прцентной ставке больше множителя по простой:
(1+ni) < (1+i)n
При сроках, равных нулю и единице, множители наращения по сложным и простым процентам равны.
S
p
0 1 n время
Для наглядности рассмотрим таблицу «Простые и сложные проценты для капитала P =100 000»
|
года |
3% |
9% |
15% |
20% |
|||||
|
Прост. |
Слож. |
Прост. |
Слож. |
Прост. |
Слож. |
Прост. |
Слож. |
||
|
1 |
3 |
3 |
9 |
9 |
15 |
15 |
20 |
20 |
|
|
5 |
15 |
16 |
45 |
54 |
75 |
101 |
100 |
149 |
|
|
10 |
30 |
34 |
90 |
137 |
150 |
305 |
200 |
519 |
|
|
15 |
45 |
56 |
135 |
264 |
225 |
714 |
300 |
1441 |
|
|
20 |
60 |
81 |
180 |
460 |
300 |
1537 |
400 |
3734 |
Насколько прогрессивна сложная процентная ставка, очевидно, ее более интенсивный рост при увеличении срока капитализации и доходности налицо.
2.10 Инфляция
Изменение стоимости за счет инфляции:
С= S*J (9)
C - номинальная стоимость,
S - реальная стоимость (та, которая бы была, если бы не было инфляции),
J - индекс инфляции, равный 1+ j,
j - процент инфляции.
Инфляция является цепным процессом и всегда учитывается по формуле сложного процента.
Таким образом инфляция порождает такие понятия, как реальная и номинальная процентные ставки. Под реальной процентной ставкой понимают ставку процента i , который бы капитализировался не будь инфляции j. Под номинальной процентной ставкой h понимают ставку, применяемую инфляционным деньгам. Эти ставки (для сложных процентов) соотносятся:
1+h = (1+i) (1+j), (10)
откуда получаем
h = i + j + ij. (11)
Часто последним членом пренебрегают, т.е. :
h=i +j, (12)
рассчитанная таким образом номинальная ставка не сильно отличается от рассчитанной по формуле (12), но только в случае если инфляция не существенна. Если темпы инфляции высоки, то пренебрегать последним членом нельзя.
Список литературы
1. Балабанов И.Т. «Основы финансового менеджмента», М: «Финансы и статистика» 2001;
2. Жуленев С.В. «Финансовая математика» изд. МГУ 2001;
3. Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. «Финансово-математические модели» изд. «РГУНГ им .И.М. Губкина» 1997.
Подобные документы
Непрерывное начисление сложных процентов. Общий метод приближённого вычисления эффективной процентной ставки, его применение для ссуды, платежи по которой совершаются через одинаковые промежутки времени. Сравнение методов простых и сложных процентов.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 19.02.2014Расчет итоговой суммы вклада по схеме сложных процентов. Порядок составления плана погашения займа. Определение суммы, возвращаемой кредитору и процентных денег. Порядок расчета годовой учетной ставки с применением схемы простых и сложных процентов.
контрольная работа [41,1 K], добавлен 05.01.2013История возникновения процентов, способы их записи. Основные типы задач с применением процентных вычислений. Нахождение процентов в школе, их использование в сфере торговли. Функции и формы кредитов, анализ процентных ставок по ним в банках г. Завитинска.
контрольная работа [524,2 K], добавлен 25.03.2014Обзор истории происхождения процентов, применение процентных вычислений в задачах. Решение задач по формуле сложных процентов разными способами, нахождение процентов от числа. Применение процентов в жизни: исследование бюджета семьи и посещения кружков.
курсовая работа [126,9 K], добавлен 09.09.2010Задача на определение вероятности попадания при одном выстреле первым орудием, при условии, что для второго орудия эта вероятность равна 0,75. Интегральная формула Лапласа. Решение задачи на определение математического ожидания случайной величины.
контрольная работа [34,2 K], добавлен 12.01.2010Коротка біографія видатного математика Б. Тейлора. Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано та у Лагранжовій формі. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора. Формула Тейлора для многочлена та для функції однієї змінної.
курсовая работа [547,0 K], добавлен 20.05.2015Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Проблема универсального генератора простых чисел. Попытки создания формул для нахождения простых чисел. Сущность теоремы сравнений. Доказательство "Малой теоремы Ферма". "Золотая теорема" о квадратичном законе взаимности. Генераторы простых чисел Эйлера.
реферат [22,8 K], добавлен 22.03.2016Суть понятия "критерии согласия". Критерии согласия Колмогорова и омега-квадрат в случае простой гипотезы. Критерии согласия Пирсона для простой гипотезы, Фишера для сложной гипотезы. Теоретическое обоснование и практическое применение критерия согласия.
курсовая работа [3,6 M], добавлен 18.11.2010Теория математического программирования. Методы поиска глобального экстремума функции нескольких переменных. Угловые точки допустимых множеств. Постановка общей задачи нелинейного программирования. Решения уравнения f(x)=0 методом простой итерации.
контрольная работа [775,4 K], добавлен 05.01.2013
