Степеневі ряди та їх застосування

ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра економічної кібернетики

ЗВІТ

з навчальної практики на тему :

«Степеневі ряди та їх застосування»

Вінниця 2009

Зміст

Вступ

1. Ряди Тейлора і Маклорейна

2. Приклади розкладу функцій в ряди

3. Біноміальний ряд

4. Числові ряди

5. Степеневі ряди

6. Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів

7. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

8. Обчислення елементарних функцій за допомогою рядів

Питання для перевірки

Тестові завдання

Задачі

Відповіді на тестові завдання

Розв'язок до задач

Висновки

Література

Вступ

Для успішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв'язання практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності її застосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів. Значні вимоги до володіння математикою у розв'язанні практичних задач ставлять сучасний ринок праці, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах. Тому одним з головних завдань цього тренінгу є забезпечення умов для досягнення кожним студентом практичної компетентності.

Прикладна спрямованість математичної освіти суттєво підвищується завдяки впровадженню комп'ютерів у навчання математики, повноцінному введенню ймовірносно-статистичної змістової лінії .

Мета: придбання знань , вмiнь та навичок , необхiдних для розв'язання та обчислення степеневих рядів.

Завдання:

вивчення класичних і сучасних наближених методів розв'язання степеневих рівнянь та їх систем;

придбання умінь використання методів розв'язання задач з початковими умовами та крайових задач для степеневих рядів.

Студент повинен знати:

класифікацію наближених методів розв'язування степеневих рівнянь та їх систем;

методи розв'язування.

Студент повинен вміти: самостійно вибирати і обґрунтовувати раціональний метод розв'язування поставленої задачі.

1. Ряди Тейлора і Маклорейна

Для функції що має всі похідні до го порядку включно, в околі деякої точки то справедлива формула Тейлора:

де залишковий член у формі Лагранжа обчислюється за формулою

Якщо функція має похідні всіх порядків в околі точки “R” то у формулі Тейлора число “a” можна брати як завгодно великим. Припустимо, що в околі точки “x” залишковий член прямує до нуля при:

Тоді, перейшовши у формулі (1) до границі при одержимо безмежний ряд, який називається рядом Тейлора:

Остання рівність справедлива лише в тому випадку, коли Тоді написаний справа ряд (2) збігається і його сума дорівнює даній функції

Дійсно, де

Але є частинна сума ряду (2), її границя дорівнює сумі ряду, що стоїть в правій частині рівності (2). Отже, рівність (2) справедлива.

Із попереднього випливає, що ряд Тейлора представляє деяку функцію тільки тоді, коли Якщо то ряд не представляє даної функції, хоча й може збігатися (до іншої функції).

2. Приклади розкладу функцій в ряди

Розклад в ряд Маклорена функції

Формула Маклорена для функції має вигляд

де

Доведемо, що при довільному фіксованому . Дійсно,

Але величина постійна, тобто не залежить і прямує до нуля. Тому

Оскільки

то

при всіх значеннях Отже, ряд Маклорена має такий вигляд:

Залишковий член прямує до нуля при довільному , а тому даний ряд збігається і в якості суми.

3. Біноміальний ряд

Розклад в ряд функції



Розкладемо в ряд функцію

Замітимо, що функція задовольняє диференціальному рівнянню

з початковою умовою

Знайдемо такий степеневий ряд, сума якого задовольняє даному рівнянню з початковою умовою :

.

Підставляючи його в диференціальне рівняння, одержимо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях знаходимо:

.

Звідси одержимо коефіцієнти ряду

Ці коефіцієнти називаються біноміальними.

Підставляючи їх в ряд, одержимо

.

Якщо ціле додатне число, то, починаючи з члена, що містить всі коефіцієнти дорівнюють нулю і ряд перетворюється в многочлен (біном Ньютона). При дробовому або цілому від'ємному одержимо безмежний ряд. Визначимо його радіус збіжності:

В інтервалі даний ряд представляє функцію , що задовольняє даному диференціальному рівнянню з початковою умовою Оскільки дане диференціальне рівняння з початковою умовою має єдиний розв'язок, то сума ряду тотожньо дорівнює функції , і ми маємо розклад функції в ряд:

Ряд (4) називається біноміальним рядом.

4. Числові ряди

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність

{a_n}=a₁,a₂,…,a_n,… .

Тоді вираз

a₁+a₂+…+a_n+…=

називають числовим рядом, а доданок a_n - загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S₁=a₁ ;

S₂=a₁+a₂ ;

…………..

S_n=a₁+a₂+…+a_n ;

…………….

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду



Приклади.

Ряд є збіжним. Його сума дорівнює 1, оскільки згідно з формулою суми геометричної прогресії

.

Ряд є розбіжним, оскільки можна довести, що для будь-якого числа A знайдеться такий номер N , що .

Нехай у деякій закритій економіці частка національного продукту, яку витрачають на споживання, становить b, а частка, яку вкладають в інвестування 1-b . Нехай початкові інвестиції дорівнюють I. Тоді згідно з теорією Кейнса споживання спричинить нові інвестиції у розмірі bI . На наступному етапі матимемо інвестиції в розмірі b²I і так далі. В перспективі національний доход становитиме Y=I+bI+b²I+…=. Коефіцієнт називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ().

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m2 збігається ряд і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та . Нехай для всіх значень індексу i виконується a_ib_i . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду .

Теорема 4 (ознака Д'Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя .Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Знаходимо границю

. Ряд збігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо , то ряд є збіжним.

Приклад. Ряд збігається, бо .

Для обчислення цього ряду, наприклад, з точністю до 0.01 потрібно, щоб , тобто , звідки . Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.

Приклади.

Ряд є умовно збіжним, оскільки ряд розбігається.

Ряд є абсолютно збіжним.

5. Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

c₀+c₁x+c₂x²+…+c_nxⁿ+…

Приклади

1. Степеневий ряд 1+x+x²+…+xⁿ+… Тут усі c_n=1.

2. Степеневий ряд 1-2x+3x²-4x³+5x⁴-… Тут c_n = (-1)ⁿ(n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших - розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|<R степеневий ряд є збіжним).

Приклад.

Знайти область збіжності степеневого ряду

Згідно з ознакою Д'Аламбера

.

Очевидно, що при -2<x<2 . Отже, радіус збіжності нашого степеневого ряду R=2. При -2<x<2 степеневий ряд збігається. При x>2 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо.

Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати.

Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди.

Теорема. Нехай у деякому околі точки x₀ функція f(x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f(x) розкладається в такий ряд

,

де точка належить околу точки x₀ .

Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)-^а похідна f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при xx₀. Отже,

.

При x₀=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена

Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди.

Приклади.

Розкласти в степеневий ряд функцію f(x)=e^x.

Маємо

f(x)=f(x) =f(x) =…=f⁽ⁿ⁾(x) =…=e^x . Далі f(0)=f(0)=f(0)=…

…=f⁽ⁿ⁾(0) =…=e⁰=1

Отже,

2.

Згідно з ознакою Лейбніца () ряд збігається при будь-якому значенні x.

Оскільки (sinx)=cosx, (sinx)=-sinx, (sinx)=-cosx, (sinx)^IV=sinx, то

…=

Оскільки

і далі ln1 = 1, ln1 = -1!, ln1 = 2!,

то

Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д'Аламбера:

, звідки умова |x|<1. Отже, R=1.

Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f(x,y) в околі точки (0;0):

Розклад в степеневий ряд функції

Інтегруючи рівність (8), одержимо:

Ця рівність справедлива на інтервалі

Замінюючи в формулі (9) на , одержимо ряд

,

який збігається на інтервалі

За допомогою рядів (9) і (10) можна обчислювати логарифми чисел. що містяться між нулем та одиницею. Виведемо формулу для обчислення натуральних логарифмів довільних цілих чисел.

Оскільки два збіжних ряди можна почленно віднімати, то, віднімаючи від рівності (9) почленно рівність (10), отримаємо:

.

,

Звідки

.

6. Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів

Розглядаючи інтеграли, було відмічено, що існують означені інтеграли, котрі, як функції верхньої границі, не виражаються через елементарні функції в скінченому вигляді. Такі інтеграли інколи буває зручно обчислювати за допомогою рядів.

Розглянемо декілька прикладів.

1. Обчислити

Цей ряд рівномірно збігається на всій числовій осі, тому його можна почленно інтегрувати на довільному проміжку. Інтегруючи даний ряд, одержимо

Це знакочергуючий ряд. Тому, з точністю до, маємо

2. Обчислити інтеграл

Тут первісна не є елементарною функцією.

.

Інтегруючи обидві частини рівності в межах від до , одержимо:



За допомогою цієї рівності можна при довільному обчислити даний інтеграл з довільною точністю.

3. Обчислити з точністю до 0.0001 , де

Інтегруючи почленно в межах від до будемо мати

Тоді

Це знакозмінний ряд і , оскільки,

,

то з точністю до обчислимо

7. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

Якщо інтегрування диференціальних рівнянь не зводиться до квадратур, то застосовують наближені методи інтегрування рівняння. Одним із таких методів є представлення розв'язку рівняння у вигляді ряду Тейлора. Сума скінченого числа членів цього ряду буде наближено представляти шуканий частинний розв'язок.

Нехай, наприклад, потрібно знайти розв'язок диференціального рівняння другого порядку

що задовольняє початковій умові

Припустимо, що розв'язок існує і представляється у вигляді ряду Тейлора (2):

Виходячи із рівняння (12) та умов (13), можна знайти

тобто значення похідних від частинного розв'язку при

Дійсно, з умов (13) випливає, що

Із рівняння (12) одержимо:

Диференціюючи обидві частини рівняння (12) по

і підставляючи значення в праву частину . одержимо

Диференціюючи співвідношення ще раз, знайдемо:

Приклад 1. Знайти перших 5 членів розкладу в степеневий ряд розв'язку диференціального рівняння

з початковими умовами

Р о з в ' я з о к. Запишемо розв'язок рівняння у вигляді степеневого ряду

Продиференціюємо його почленно два рази

В силу початкових умов Підставляємо і в

Тоді

8. Обчислення елементарних функцій за допомогою рядів

Степеневі ряди є вельми важливим апаратом для табулювання функцій, бо їхнє застосування дозволяє звести задачу обчислення значень функцій до задачі обчислення полінома, тобто до виконання арифметичних операцій.

Підґрунтям степеневого розкладання функції є так званий ряд Тейлора:

,

де позначено

.

Зазвичай у формулі (14) вважають , завдяки чому одержується звичайний степеневий ряд за степенями , обриваючи який у потрібному місці, ми одержуємо поліном, який наближає функцію.

Наведемо приклади рядів для деяких функцій:

Для логарифмічної функції безпосередньо з формули (14) Тейлора можна одержати ряд:

,

який, однак, малопридатний для обчислення логарифмів, через те, що годиться лише для значень , що задовільняють умові . Практично для обчислення значень натурального логарифма використовують ряд, який випливає з наведеної формули:

,

Цей ряд збігається лише за , але дроб може при цьому приймати будь-які додатні значення. Наприклад, для відшукання величини , достатньо покласти , звідки . Таким чином

.

Часто використовується також і біноміальний ряд, частинним випадком якого є відома формула бінома Ньютона:

Дійсно, за натуральних коефіцієнти ряда, починаючи з деякого місця, дорівнюватимуть нулю, тобто ряд обірветься.

Біноміальний ряд є зручним при піднесення до дробового степеня та добування коренів.

Просто виглядає і легко одержується також ряд для функции :

,

який, як і ряд для логарифмічної функції, збігається лише в зоні . Для обчислення ряда (20) цілком достатньо, через те, що для можна скористатися тотожністю

.

При обчисленні функцій за допомогою степеневих рядів часто зручно користуватися рекурентними співвідношеннями, які дозволяють обчислювати черговий член ряда не безпосередньо, а через обчислення попередніх членів.

Рекурентними (або зворотними) співвідношеннями називають рівність, яке зв'язує між собою два або кілька сусідніх членів послідовності або ряда. За допомогою такої рівності можна визначити наступний член ряда через попередні. У деяких випадках послідовність задається не виразом загального члена, а заданням перших її членів і рекурентного співвідношення, яке визначає решту членів. У такий спосіб, наприклад, задається відома послідовність чисел Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...), в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:

.

Це співвідношення набагато простіше за вираз для загального члена

.

Для наведених вище рядів рекурентні співвідношення можуть бути виведені безпосередньо. Простіше за все взяти відношення двох сусідніх членів. Розглянемо, для прикладу, степеневий ряд (5) для функції . Його загальний член має вигляд . Узявши відношення наступного члена до попереднього, одержимо

.

Таким чином, для двох сусідніх членів ряда одержуємо рекурентне співвідношення

,

яке є дуже зручним для послідовного обчислення членів ряда.

При обчисленнях з рядами ми замінювали суму ряда його частковою сумою, тобто обмежувалися певною кількістю членів. Природно, цим ми привносимо похибку (похибку метода або похибку усікання), і виникає питання про оцінку величини цієї похибки. При цьому виникає і головне практичне питання: скільки членів ряда потрібно зберігти, щоб похибка, яка одержується, не перевищувала задану.

Якщо члени ряда убувають досить швидко і притому з самого початку, то вигідно мати справу зі знакоперемінним рядом, похибка якого легко оцінюється. Дійсно, з властивостей рядів є відомим, що сума знакоперемінного ряда менша за його перший член (за абсолютною величиною). Звідси випливає, що, замінюючи суму ряда його часткової сумою, ми припускаємо похибку, не перевищуючу за модулем першого з відкинутих членів.

Проте потрібно пам'ятати, що ця оцінка є корисною лише за вказаних умов. Якщо ж члени ряда убувають повільно або убувають хоча й швидко, але не з початку, а перші члени ряда досить великі, то хоча загальна теорема про суму ряда залишається слушною, але фактична похибка буде помітно більшою внаслідок похибки віднімання перших великих членів. У таких випадках набагато вигідніше мати справу з рядами, усі члени яких додатні.

Наприклад, члени рядів (5) убувають досить швидко і ряди збігаються за будь-якого . Проте за великих значень аргумента (наприклад, >10) перші члени цих рядів досить швидко зростають, і тому обчислення і за допомогою цих рядів є надзвичайно утрудненим через те, що при вирахуванні великих перших членів відбувається така втрата точності, яку неможливо відшкодувати обчисленням великої кількості доданків.

Для рядів з додатними членами оцінка похибки є більш складною, і ніяких загальних методів, придатних для усіх рядів, запропонувати неможна.

Приклад. Обчислимо значення за допомогою ряда (18), узявши п'ять членів ряда, і оцінимо одержану похибку.

Як зазначалося, у цьому випадку слід покласти . Тоді

.

Абсолютна похибка цієї рівності дорівнює сумі ряда

.

Оцінку величини можна одержати у такий спосіб. Якщо всередині квадратних дужок усі множники перед степенями 2/3 замінити на 1/11, то величина суми зможе тільки збільшитися. Отже

.

Але сума праворуч тепер становить суму геометричної прогресії з першим членом і знаменником . Тому

.

Наведений метод дозволяє розв'язати і зворотну задачу - визначити кількість членів ряда, які потрібно врахувати при обчисленні, щоб одержати значення з наперед заданою точністю.

Швидкості збіжності наведених вище рядів, тобто, у кінцевому рахунку, кількість членів, які потрібно утримувати, щоб одержати суму з потрібною точністю, є вельми різними. Більш того, навіть для того самого ряду потрібна кількість членів змінюється у залежності від значення . Внаслідок цього швидкодія програм, які обчислюють значення елементарних функцій за допомогою рядів, виявляється різною для різних .

Розглянуті степеневі ряди є зручним засобом для програмування обчислення елементарних функцій. Кожний з цих рядів легко програмується як звичайний цикл, який можна оформлювати і як арифметичний, і як ітераційний.

Для прикладу розглянемо показникову (експоненційну) функцію . Помітимо, що члени ряду

зв'язані співвідношенням . Якщо не обмежувати зону змінювання аргументу, то цикл потрібно писати як ітераційний. Для обчислень з машинною точністю можна перевіряти загальний член ряда на збіг з нулем, тобто обчисляти доти, поки члени ряда не стануть машинним нулем.

Втім, у цьому немає ніякої потреби. Набагато простіше і швидше порівнювати дві сусідні суми і припиняти обчислення тоді, коли вони збіжуться, тобто коли додавання чергового доданку не буде змінювати суму. Звичайно цей момент настає раніше, ніж члени ряда обертаються на машинний нуль.

Такий підхід є незручним для від'ємних аргументів, великих за абсолютним значенням, бо у цьому випадку ряд одержується знакоперемінним, і його перші члени є великими за абсолютним значенням, тоді як значення функції є малим. У цьому випадку може вийти велика втрата точності. Зручніше у цьому випадку обчисляти , тобто обчислювати значення функції всеж для додатного показника степеня (тобто працюючи зі знакосталим рядом), а потім користуватися тотожністю

.

Оформимо обчислення експоненти у вигляді процедури на Паскалі.

function Ex(x:extended):extended;

Var i: word;

u,ex,s: extended;

Begin

u:=1; ex:=1; i:=1;

if x<>0 do

begin

repeat

s:=ex;

u:=u*abs(x)/i;

ex:=s+u;

i:=i+1;

until (ex.ne.s);

if x<0 do ex:=1/ex;

end

End;

Питання для перевірки

1. Що називається рядом Тейлора ?

2. Формула біноміального ряду ?

3. Ознаки збіжності рядів ?

Тестові завдання

1. Нехай задано нескінчену послідовність

{a_n}=a₁,a₂,…,a_n,… .

Тоді вираз

a₁+a₂+…+a_n+…=називають:

1)Біномінальним рядом;

2)Числовим рядом;

3)Степеневим рядом.

2. Для функції що має всі похідні до го порядку включно, в околі деякої точки то справедлива формула Тейлора:

1)

2)

3)

2. Біноміальним рядом називається рівняння виду:

1)_;

2)_;

3)_.

3. Степеневим рядом називається ряд вигляду:

1)c₀+c₁x+c₂x²+…+c_nxⁿ+…;

2)a₁+a₂+…+a_n+…=;

3)c₁x+a₁+c₂x²+a₂+…+c_nxⁿ+…+ a_n+…

5. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну (вписати відповідь).

6. Степеневий ряд в області його збіжності можна (вписати відповідь) диференціювати та інтегрувати.

7. Ряд називається (вписати відповідь), якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю.

8. При степеневому ряді

1-2x+3x²-4x³+5x⁴-…;c_n = ?

1)(-1)^n;

2)(-1)ⁿ(n+1);

3)(-1)ⁿ(n-1)(n+1).

Задачі

Задача 1. Знайти суму ряду

Задача 2.Визначити радіус та інтервал збіжності степеневих рядів, дослідити збіжність в граничних точках інтервалу-.

Задача 3.Знайти .

Задача 4.Знайти з точністю до 0,001.

Задача 5.Визначити радіус та інтервал збіжності степеневих рядів, дослідити збіжність в граничних точках інтервалу

-.

Відповіді на тестові завдання

1. Числовим рядом;

2. c₀+c₁x+c₂x²+…+c_nxⁿ+…;

3. границю;

4. почленно;

5. збіжним;

6. (-1)ⁿ(n+1).

Розв'язок до задач

Розв'язання до задачі 1. Позначимо суму цього степеневого ряду через Продиференціюємо почленно його два рази:

Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії _, а тому сума

Зауважимо, що

Розв'язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:

Оскільки то сума заданого ряду

Розв'язання до задачі 2. В розвиненні

замінимо на отримаємо:

.

Розв'язання до задачі 3. Скористаємося розвиненням функції при

.

Оскільки і , то

,

звідки

.

Розв'язання до задачі 4. Замінивши в підінтегральному виразі його розвиненням в степеневий ряд

отримаємо



Розв'язання до задачі 5. Для визначення радіусу збіжності зручно скористатися формулою

.

Маємо: , тоді

і R=4.

Отже, інтервал збіжності ряду.

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу:

1) Якщо , то отримаємо ряд:

, а

ряд розбіжний, оскільки

Отже, при ряд розбіжний.

2) Якщо , то отримаємо ряд:

і

,

отже маємо: з чого і випливає, що даний ряд при також розбіжний. Отже, інтервал збіжності степеневого ряду.

Висновки

Предметом вивчення курсу є математичні моделі актуальних задач сучасної економіки підприємств та банківської справи.

Розглянутий матеріал буде корисний всім, хто планує професійно займатися фінансовою математикою та її практичними аспектами.

Ми оволоділи основними поняттями і методами, що необхідні для вивчення послідуючих дисциплін спеціальності, вивчення найважливіших понять сучасної математики, навчилися знаходити многочлен Тейлора для функцій однієї і багатьох змінних і використовувати його до наближених обчислень з оцінкою похибки , а також досліджувати на збіжність числові та функціональні ряди, знаходити круг та радіус збіжності степеневих рядів.

Література

1. Панков О.А., Панкова Т.Е. Вища математика .ВІРЕУ. 1998.

2. Чубатюк В.М. Вища математика. Навчальний посібник для студентів

економічних спеціальностей навчальних закладів III та IV рівнів акредитації.

К.: ВД «Професіонал», 2006.

3. Барковський В.В., Барковська Н. В. Математика для економістів. Вища математика. - К.: Вид-во НАУ, 1999.

4. Васичъченко І.П., Данилов В.Я., Лобанов А.І., Таран Є.Ю. Вища математика: основні означення, приклади і задачі. Навч. посіб.Либідь, 1992.

5. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000.

6. Жильцов О.Б., Торбін Г.М. Вища математика з елементами ін формаційних технологій: Навч. посіб.МАУП, 2002.

7. Кулініч Г.Л, Макасименко Л.О., Плахотнік В.В., Призва Г.Й. Вища математика: основні означення, приклади і задачі: Навч. посібЛибідь, 1992.

8. Лубенська Т. В., ЧупахаЛ. Д. Вища математика в таблицях.МАУП, 1999.

9. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. - К.:Либідь

10. Васильченко І.П., Васильченко З.М. Фінансова математика. - К.: Кондор, 2007.