Алгебра матриц и линейные пространства

Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kⁿ, столбцов , пространства прямоугольных и квадратных матриц и , пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают введение и рассмотрение понятия линейного пространства _K V над полем K как множества V с операцией сложения

,

и операциями умножения на элементы

,

удовлетворяющими следующим условиям:

I.1) ассоциативность сложения (т. е. (u+v)+w=u+(v+w) для всех );

I.2) коммутативность сложения (т. е. u+v=v+u для всех );

I.3) существование нейтрального элемента 0 для операции сложения (т.е. v+0=v для всех );

I.4) существование противоположного элемента -v для всякого (т. е. v+(-v)=0);

II.1) для всех ;

II.2) (rs)v=r(sv) для всех , ;

III.1) r(v₁+v₂)=rv₁+rv₂ для всех , ;

III.2) (r+s)v=rv+sv для всех , .

Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).

1. Уравнение u+x=v для имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.

2. Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.

3. Если x+x=x для , то x=0.

Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.

4. 0v=0 для любого .

Действительно, если x=0v (здесь ), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому .

5. r0=0 для , .

Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.

6. (-1)v=-v для всех .

Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.

7. rv=0 для , тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.

Действительно, если , то в поле K существует элемент , и поэтому v=1v=r^-1rv=r^-10=0.

8. r(u-v)=ru-rv для всех , .

Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.

9. -(-v)=v для всех .

Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.

Линейная зависимость в линейных пространствах

Пусть _K V - линейное пространство над полем K. Если , , то элемент называется линейной комбинацией элементов v₁,...,v_r с коэффициентами .

Систему элементов назовем линейно зависимой, если найдутся элементы такие, что

а) не все k_i равны нулю (т. е. хотя бы один элемент k_i отличен от нуля);

б) k₁v₁+k₂v₂+...+k_rv_r=0.

Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что "нетривиальная" линейная комбинация элементов v₁,...,v_r равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю, 0v₁+...+0 v_r=0).

Система элементов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, это означает, что из равенства

следует, что

k₁=k₂=...=k_r=0.

Теорема 9.2.1. Система элементов линейно зависима тогда и только тогда, когда для некоторого i, ,

(т. е. элемент v_i является линейной комбинацией остальных элементов системы v₁,...,v_r).

Доказательство.

1. Пусть система v₁,...,v_r линейно зависима, т. е.

Тогда

2. Если

то

т. е. система v₁,...,v_r линейно зависима, поскольку .

Пример 9.2.2. Если в системе элементов есть нулевой элемент, скажем, v_i=0, то система v₁...,v_r линейно зависима.

Действительно, 0 v₁+...+1 v_i+...+0 v_r=0, или, другим способом,

.

Пример 9.2.3. Если v_i=v_j для , то система линейно зависима.

Действительно, 0 v₁+...+1 v_i+...+(-1) v_j+...+0 v_r=0, или, иначе,

.

Пример 9.2.4. Система строк , где

линейно независима. Кроме того, любая строка

является линейной комбинацией элементов , а именно,

.

Действительно,

и поэтому если

то k₁=k₂=...=k_n=0, следовательно, система строк линейно независима.

Пример 9.2.5. Пусть - линейно независимая система в линейном пространстве _R V. Тогда u₁=v₁+v₂, u₂=v₁+v₃, u₃=v₂+v₃ - также линейно независимая система.

Действительно, если k₁ u₁ + k₂ u₂ + k₃ u₃ = 0, то



поэтому

Следовательно, k₁ = 0, k₂ = 0, k₃ = 0, и система элементов u₁,u₂,u₃ линейно независима.

Упражнения 9.2.6.

1. Подсистема линейно независимой системы линейно независима.

2. Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Замечание 9.2.7. Для системы строк в Kⁿ

вопрос о ее линейной зависимости равносилен существованию ненулевого решения (k₁,...,k_r) следующей однородной системы линейных уравнений:

с транспонированной матрицей A^*, где



Таким образом, метод Гаусса дает нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейной зависимости строк.

Теорема 9.2.8. Пусть - квадратная матрица. Тогда следующие условия равносильны:

1. |A|=0 ;

2. система строк A₁, ..., A_n матрицы A линейно зависима (в пространстве строк Kⁿ);

3. система столбцов матрицы A линейно зависима (в пространстве столбцов ).

Доказательство.

1. Если строки матрицы A линейно зависимы, скажем, i -я строка A_i является линейной комбинацией остальных, , то, как мы показали, |A|=0, т. е. .

2. Пусть |A|=0. Тогда k₁ A₁ + ... + k_n A_n = 0 в том и только в том случае, если (k₁, ..., k_n) является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей A^*. Так как |A^*| = |A| = 0, то существует ненулевое решение (k₁, ..., k_n), т. е. система строк A₁, ..., A_n матрицы A линейно зависима. Итак, .

3. Так как |A^*| = |A|, то .

Задача 9.2.9. Пусть , , где b_ij=A_ji. Покажите, что если |A|=0, то |B|=0.

Теорема 9.2.10. Любая система из m строк в Kⁿ при m > n линейно зависима.

Доказательство. Если

то равенство равносильно тому, что (k₁, ..., k_m) является решением следующей однородной системы линейных уравнений:

Так как число n уравнений меньше числа m переменных, то однородная система обладает ненулевым решением, т. е. система линейно зависима.

Следствие 9.2.11. Если система линейно независима, то .

Лемма 9.2.12. Если система элементов линейного пространства _K V над полем K линейно независима, и система линейно зависима, то является линейной комбинацией элементов .

Доказательство. Пусть

где не все k_i, , равны нулю. Если бы k_r+1=0, то нетривиальная линейная комбинация , равная нулю, означала бы, что система линейно зависима, что противоречит предположению.

Итак, , и поэтому

Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства KV в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов). Пусть - линейно независимая система элементов линейного пространства _K V и

Тогда k₁=k'₁,...,k_r=k'_r.

Доказательство. Действительно,

и поэтому k₁ - k'₁=0,...,k_r - k'_r=0.

Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис линейного пространства

Пусть . Наиболее важные для нас случаи:

а) S - конечное подмножество элементов в _K V ;

б) S = _K V.

Подсистема называется максимальной линейно независимой подсистемой в S, если:

1) v₁,...,v_r - линейно независимая система;

2) v₁,...,v_r,v - линейно зависимая система для всякого , или, что эквивалентно,

2') любой элемент является линейной комбинацией элементов v₁,...,v_r.

Максимальная линейно независимая подсистема v₁,...,v_r в S = _K V (если в _K V существует такая конечная система) называется базисом линейного пространства _K V. Линейное пространство _K V с конечным базисом v₁,...,v_r называется конечномерным линейным пространством (при этом будет показано, что любой другой базис линейного пространства содержит то же самое число элементов).

Пример 9.3.1. Как мы уже видели, система строк

является базисом линейного пространства строк Kⁿ.

Лемма 9.3.2. Любую линейно независимую подсистему v₁,...,v_r в можно дополнить до максимальной линейно независимой подсистемы в .

Доказательство. Если v₁,...,v_r - максимальная линейно независимая подсистема в , то все доказано. Если нет, то найдется элемент такой, что v₁,v₂,...,v_r,v=v_r+1 - линейно независимая подсистема в S. После конечного числа шагов процесс остановится, так как любые системы из n+1 элементов в линейном пространстве Kⁿ оказываются линейно зависимыми.

Следствие 9.3.3. Любой ненулевой элемент дополняем до максимальной линейно независимой подсистемы в S.

Следствие 9.3.4. В S= Rⁿ (или S=Kⁿ для бесконечного поля K) бесконечно много различных базисов. Если поле K конечно, |K|=q (например, K= Z₂), то число элементов в Kⁿ равно qⁿ, и поэтому число базисов в Kⁿ конечно. Найдите их число.

Замечание 9.3.5. Пусть строки линейно независимы, s<n. Тогда существуют такие строки , что {a₁,...,a_n} - базис линейного пространства Kⁿ. Практическое нахождение строк a_s+1,...,a_n можно осуществить следующим образом. Запишем строки a₁,...,a_s по столбцам и приведем полученную матрицу к ступенчатому виду: , где , - последовательность элементарных преобразований строк. Так как строки a₁,...,a_s линейно независимы, то в имеется ровно s ненулевых строк (первые s строк). Пусть - столбцы, на i -м месте которых стоит 1, а остальные элементы равны 0, i=s+1,...,n. Припишем эти столбцы справа к матрице . Пусть - полученная матрица. Применяя к матрице B последовательность элементарных преобразований строк, обратную к , приходим к матрице . При этом - матрица, в которой первые s строк - это a₁,...,a_s, а последующие строки дополняют их до базиса линейного пространства Kⁿ.

Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементов в линейном пространстве

Пусть _K V - линейное пространство, , . Будем говорить, что система S₂ элементов u₁,...,u_s линейно выражается через систему S₁ элементов v₁,...,v_r, если каждый элемент , , является линейной комбинацией элементов v₁,...,v_r системы S₁,

Если к тому же система S₃ элементов w₁,...,w_t линейно выражается через систему S₂,

то



т. е. система S₃ линейно выражается через систему S₁.

Системы S₁ и S₂ называются эквивалентными, если они линейно выражаются друг через друга (обозначение: ).

Следствие 9.4.1. Отношение "быть эквивалентными системами", , является отношением эквивалентности.

Следствие 9.4.2. Если элемент является линейной комбинацией элементов v₁,...,v_r системы S₁, , где S₂ - система элементов u₁,...,u_s, то элемент v является линейной комбинацией элементов u₁,...,u_s системы S₂.

Следствие 9.4.3. Любая (конечная) система элементов эквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.

Следствие 9.4.4. Любые две (конечные) максимально независимые подсистемы любой системы эквивалентны.

Замечание 9.4.5. Если и матрица B получена из матрицы A конечным числом элементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы B является линейной комбинацией строк матрицы A (поскольку от матрицы B мы можем вернуться к матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы A является линейной комбинацией строк матрицы B). Таким образом, в линейном пространстве строк Kⁿ системы строк A₁,...,A_m матрицы A и B₁,...,B_m матрицы B линейно выражаются друг через друга.

Теорема 9.4.6 (основная теорема о линейной зависимости). Пусть в линейном пространстве _K V линейно независимая система элементов v₁,...,v_r линейно выражается через другую систему элементов u₁,...,u_s. Тогда .

Доказательство. Допустим противное: пусть r > s. В силу нашего предположения



Так как r > s, то r строк

в линейном пространстве строк K^s линейно зависимы: найдется их линейная комбинация с коэффициентами k₁, ..., k_r, где для некоторого i, равная нулевой строке . Но тогда и линейная комбинация элементов v₁, ..., v_r с этими же коэффициентами k₁, ..., k_r, равна нулю, k₁v₁+...+k_rv_r=0. Таким образом, система элементов v₁,...,v_r линейно зависима, что приводит нас к противоречию.

Следствие 9.4.7. Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространстве _K V содержат равное число элементов.

Следствие 9.4.8.Для системы , где _KV --конечномерное линейное пространство, любые две (конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число элементов r(S), называемое рангом системы S.

Следствие 9.4.9. Если S = _K V и _K V - конечномерное линейное пространство, то любые два базиса в _K V состоят из одного и того же числа элементов n, это число n называется размерностью линейного пространства _K V, обозначение: .

Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк _K Kⁿ является система строк



и поэтому

.

Следствие 9.4.10. Если в конечномерном линейном пространстве _K V одна система элементов S₁ линейно выражается через другую систему S₂, то .

Следствие 9.4.11. Если в линейном пространстве _K V система M из m элементов имеет ранг r, то любая ее подсистема S из s элементов () имеет ранг не меньше чем r+s-m.

Доказательство. Действительно, если R - максимальная линейно независимая подсистема в M, |R|= r, то , и поэтому . Следовательно, .

Следствие 9.4.12. Для системы строк следующие условия эквивалентны:

1. система строк v₁,...,v_r является базисом линейного пространства строк Kⁿ (т. е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в K^n ; и тогда r=n);

2. каждая строка единственным образом представляется в виде линейной комбинации

(и тогда r=n);

3. r=n и система строк v₁,...,v_n линейно независима;

4. r=n и каждая строка представима в виде линейной комбинации

Доказательство. Мы уже показали, что . Покажем, что . Если v₁,...,v_r - линейно зависимая система строк, с некоторым , то нулевая строка имеет два различных представления

При этом r=n, так как любые базисы в K^n содержат n элементов.

Ясно, что . Покажем, что . Для любой строки система строк v₁,...,v_n,v линейно зависима ( n+1>n). Так как v₁,...,v_n - линейно независимая система, то для некоторых .

Ясно, что . Покажем, что . Допустим, что v₁,...,v_n - линейно зависимая система. Тогда ее максимально линейно независимая подсистема , r<n, является максимальной линейно независимой подсистемой в Kⁿ, что противоречит r=n.