23

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: Математика

Комплексные числа

Содержание

Введение

Глава I. История возникновения комплексных чисел

Глава II. Характеристика комплексного числа

2.1 Понятие мнимой единицы

2.2 Определение комплексного числа

2.3 Действия над комплексными числами в алгебраической форме

2.3.1 Сложение и вычитание комплексных чисел

2.3.2 Умножение комплексных чисел

2.3.3 Деление комплексных чисел

2.4 Извлечение корня из комплексного числа

2.5 Логарифмирование комплексного числа

2.6 Геометрическая интерпретация комплексного числа

2.7 Тригонометрическая форма комплексного числа

2.8 Показательная форма комплексного числа

2.9 Применение комплексных чисел

Заключение

Библиография

Введение

Известно, что действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень чётной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоятельство приводит к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел.

Известно, что всякое вещественное число графически можно изобразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, или же как точку на этой оси; обратно - всякому отрезку или точке на оси OX соответствует определенное вещественное число. Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесённую к координатным осям OX, OY, то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой её точке сопоставить некоторое число, которое можно назвать комплексным. Если условиться не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности, вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует число единица. Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY, сопоставим символ i, называемый мнимой единицой. Всякий вектор плоскости может быть представлен как сумма двух векторов и, параллельных осям координат. Вектору, параллельному оси OX, соответствует некоторое вещественное число a. Вектору, параллельному оси OY, пусть соответствует символ bi, где b - вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора, и которое будет положительным, если направление совпадает с положительным направлением оси OY, и отрицательным, если направление противоположно положительному направлению OY. Таким образом, естественно вектору сопоставить комплексное число, имеющее вид a + bi.

Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости) соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки). Придавая в выражении a + bi буквам a и b всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел: a называется вещественной и bi - мнимой частью комплексного числа. В данной курсовой работе раскрываются понятие комплексного числа, история возникновения комплексных чисел, даётся характеристика математическим действиям, которые можно производить над комплексным числом, а также рассматриваются области применения комплексных чисел в реальной жизни

Глава I. История возникновения комплексных чисел

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Однако постепенно стали складываться представления о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами широко применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчётах дроби применялись уже за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесён открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Можно смело утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни:

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но итальянский математик Руффини на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий - сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. В 1830 году французский математик Галуа доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 году предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений

,

не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида

, ,

нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввёл в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошёл во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):

С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом ??? который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа). Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости и т.п. После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел - чисел с несколькими «мнимыми» единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например,

, а .

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н. И. Мусхелишвили, который занимался её применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Глава II. Характеристика комплексных чисел

2.1 Понятие мнимой единицы

Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен - 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: i² = - 1. Число i будем называть мнимой единицей (i - начальная буква французского слова imaginaire - «мнимый»), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы. Из этого равенства находим

Введение мнимой единицы позволяет теперь извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Например,

Степени мнимой единицы:

i; i² = - 1; i³ = i²Чi = (- 1)i = - i; i⁴ = i³Чi = - iЧi = - i² = - (- 1) = 1; i⁵ = i⁴Чi = 1Чi = i; i⁶ = i⁵Чi = iЧi = i² = - 1; i⁷ = i⁶Чi = (- 1)Чi = - i; i⁸ = i⁷Чi = - iЧi = 1

Если выписать все значения степеней числа i, то получим следующую последовательность: i, - 1, - i, 1, i, - 1, - i, 1 и т. д. Значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4. Так, i = i, i² = - 1, i³ = - i, i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶ = - 1, i⁷ = - i, i⁸ = 1, i⁹ = i, i¹⁰ = - 1, i¹¹ = - i, i¹² = 1. Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i; если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно - 1; наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно - i. Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Пример: найти: i²⁸; i³³; i¹³⁵.

Решение

Имеем 28 = 4Ч7 (нет остатка); 33 = 4Ч8 + 1; 135 = 4Ч33 + 3.

Соответственно получим i²⁸ = 1; i³³ = i; i¹³⁵ = - i.

2.2 Определение комплексного числа

Числа вида a + bi, где a и b - действительные числа, i - мнимая единица, называются комплексными. Число a будем называется действительной частью комплексного числа, bi - мнимой частью комплексного числа, b - коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Таким образом, действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа. Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа. Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Пример: найти x и y из равенства:

а) 3y + 5xi = 15 - 7i; б) (2x + 3y) + (x - y)i = 7 + 6i.

Решение

а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем

3y = 15, 5x = - 7

Отсюда

б) Из условия равенства комплексных чисел следует

Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x = 25, т. е. x = 5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 - y = 6, откуда y = - 1. Итак, получаем ответ: x = 5, y = - 1.

2.3 Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

2.3.1 Сложение и вычитание комплексных чисел

Сумма векторов представляет собой замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:

( a₁+b₁i ) + ( a₂+b₂i ) + ... + ( a_n+b_ni ) = ( a₁+a₂+ ... +a_n ) + ( b₁+b₂+ ... +b_n )i.

Из формулы видно, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон), ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел a_k и сумма вещественных чисел b_k Пользуясь определением сложения можно утверждать, что комплексное число a + bi, есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi, т.е.

a + bi = (a + 0i ) + (0 + bi ).

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т.е. разность

x + yi = (a₁ + b₁i ) - (a₂ + b₂i ) определяется из условия

(x + yi ) + (a₂ + b₂i ) = a₁ + b₁i

или, x + a₂ = a₁; y + b₂ = b₁, т.е. x = a₁ - a₂; y = b₁ - b₂,

и окончательно получаем: (a₁ + b₁i ) - (a₂ + b₂i ) = (a₁ - a₂ ) + (b₁ - b₂ )i.

Вычитание комплексного числа (a₂ + b₂i ) равносильно сложению уменьшаемого (a₁ + b₁i ) и комплексного числа (-a₂ - b₂i ). Это соответствует следующему: вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, а по направлению ему противоположным. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим:

| a₁ + a₂ | Ј | a₁ | + | a₂ | ,

причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы, соответствующие комлексным числам a₁ и a₂, имеют одинаковое направление, т.е. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2p. Доказанное свойство имеет, очевидно, место и в случае любого числа слагаемых:

| a₁ + a₂ + ... + a_n | Ј | a₁ | + | a₂ | + ... + | a_n | ,

т.е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых, причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным 2p. Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того, написать:

| a₁ + a₂ | і | a₁ | - | a₂ | ,

т.е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противоположны.

Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели выше, к сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел, как и для модуля суммы, к:

| a₁ | - | a₂ | Ј | a₁ - a₂ | Ј | a₁ | + | a₂ |

2.3.2 Умножение комплексных чисел

Произведение двух комплексных чисел аналогично произведению двух вещественных чисел, а именно: произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы. Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем r и аргументом j, может быть получен из единичного вектора, длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, путем удлинения его в r раз и поворота в положительном направлении на угол j. Произведением некоторого вектора a₁ на вектор a₂ назовём вектор, который получится, если к вектору a₁ применить удлинение и поворот, при помощи которых вектор a₂ получается из единичного вектора, причем последнему соответствует, очевидно, вещественная единица. Если ( r₁ , ?₁ ), ( r₂ , ?₂ ) суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторам a₁ и a₂, то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем r₁r₂ и аргументом ( j₁ + j₂ ). Таким образом, произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент - сумме аргументов сомножителей.

В том случае, когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь

r₁(cos?₁ + i sin?₁) * r₂(cos?₂ + i sin?₂) = r₁r₂[cos(?₁ + ?₂) + i sin(?₁ + ?₂)].

В случае (a₁ + b₁i )(a₂ + b₂i ) = x + yi, пользуясь обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать:

a₁ = r₁cos?₁; b₁ = r₁sin?₁; a₂ = r₂cos?₂; b₂ = r₂sin?₂;

согласно определению умножения:

x = r₁r₂cos(?₁ + ?₂); y = r₁r₂sin(?₁ + ?₂),

откуда:

x = r₁r₂(cos?₁cos?₂ - sin?₁sin?₂) = = r₁cos?₁r₂cos?₂ - r₁sin?₁r₂sin?₂ = a₁a₂ - b₁b₂

y = r₁r₂(sin?₁cos?₂ + cos?₁sin?₂) = = r₁sin?₁r₂cos?₂ + r₁cos?₁r₂sin?₂ = b₁a₂ + a₁b₂ ,

и окончательно получим:

(a₁ + b₁i )(a₂ + b₂i ) = (a₁a₂ - b₁b₂) + (b₁a₂ + a₁b₂)i.

В случае b₁ = b₂ = 0 сомножители являются вещественными числами a₁ и a₂ и произведение приводится к произведению a₁a₂ этих чисел. В случае

a₁ = a₂ = 0 и b₁ = b₂ = 1,

равенство (a₁ + b₁i )(a₂ + b₂i ) = (a₁a₂ - b₁b₂) + (b₁a₂ + a₁b₂)I даёт: i???i = i ² = -1, т.е. квадрат мнимой единицы равен -1. Вычисляя последовательно целые положительные степени i, получим:

i ² = -1; i ³ = -i; i ⁴ = 1; i ⁵ = i; i ⁶ = -1; ...

и, вообще, при всяком положительном k:

i ^4k = 1; i ^4k+1 = i; i ^4k+2 = -1; i ^4k+3 = -i

Правило умножения, выражаемое равенством (a₁ + b₁i )(a₂ + b₂i ) = (a₁a₂ - b₁b₂) + (b₁a₂ + a₁b₂)I можно формулировать так: комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i ² = -1.

Из вышеприведённых формул непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону, т.е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение - от порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами:

(?₁ + ?₂) + ?₃ = ?₁ + (?₂ + ?₃); (?₁?₂)?₃ = ?₁(?₂?₃); (?₁ + ?₂)? = ?₁? + ?₂? .

Произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю.

Пример: даны комплексные числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = 5 - 7i. Найти:

а) z₁ + z₂; б) z₁ - z₂; в) z₁z₂.

Решение

а) z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; б) z₁ - z₂ = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; в) z₁z₂ = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i² = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (здесь учтено, что i² = - 1).

Пример: выполнить действия:

а) (2 + 3i)²; б) (3 - 5i)²; в) (5 + 3i)³.

Решение

а) (2 + 3i)² = 4 + 2Ч2Ч3i + 9i² = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; б) (3 - 5i)² = 9 - 2Ч3Ч5i + 25i² = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; в) (5 + 3i)³ = 125 + 3Ч25Ч3i + 3Ч5Ч9i² + 27i³; так как i² = - 1, а i³ = - i, то получим (5 + 3i)³ = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.

Пример: выполнить действия

а) (5 + 3i)(5 - 3i); б) (2 + 5i)(2 - 5i); в) (1 + i)(1 - i).

Решение

а) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5² - (3i)² = 25 - 9i² = 25 + 9 = 34; б) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2² - (5i)² = 4 + 25 = 29; в) (1 + i)(1 - i) = 1² - i² = 1 + 1 = 2.

2.3.3 Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, если ( r₁ , ?₁ ) - модуль и аргумент делимого, а ( r₂ , ?₂ ) - модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеет один определенный результат, если делитель отличен от нуля, и что модуль частного будет r₁ / r₂, а аргумент его ( ?₁ - ?₂ ). Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и при сложении, и при умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливыми все те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам. Сюда относятся, например: правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона в случае целого положительного показателя, формулы, относящиеся к прогрессиям, и т.д. Можно отметить ещё одно важное свойство выражений, содержащих комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий: если в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными. Указанное свойство будет, очевидно, справедливым и для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий. Два комплексных числа будут называться сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Пример: выполнить деление:

Решение. а) Имеем

Произведём умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i² = - 11 + 29i; (5 - 7i)(5 + 7i) = 25 - 49i² = 25 + 49 = 74.

Итак,

а)

2.4 Извлечение корня из комплексного числа

Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.

Для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.

Пример: решить уравнение:

а) x² - 6x + 13 = 0; б) 9x² + 12x + 29 = 0.

Решение.

а) Найдём дискриминант по формуле D = b² - 4ac.

Так как a = 1, b = - 6, c = 13, то D = (- 6)2 - 4Ч1Ч13 = 36 - 52 = - 16;

Корни уравнения находим по формулам:

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,

D = b² - 4ac =12² - 4Ч9Ч29 = 144 - 1044 = - 900,

Находим корни уравнения:



Видно, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

2.5 Логарифмирование комплексного числа

Натуральным логарифмом комплексного числа r (cos? + i sin?) называется показатель степени, в которую надо возвысить e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм символом Log, можно сказать, что равенство Log [ r (cos? + i sin?)] = x + yi равносильно следующему:

e^x+yi = r (cos? + i sin?). Последнее равенство можно написать так:

e^x(cos y + i sin y) = r (cos? + i sin?),

откуда, сравнивая модули и аргументы, получим:

e^x = r, y = ? + 2k? (k = 0, ±1, ±2, ...),

т.е. x = log r и x + yi = log r + (? + 2k?) i и окончательно Log[ r (cos? + i sin?)] = log r + (? + 2k?) i, т.е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента. Таким образом, натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует.

2.6 Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа - точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).

Пример: изобразить на плоскости числа z₁ = 5; z₂ = - 3i; z₃ = 3 + 2i; z₄ = 5 - 2i; z₅ = - 3 + 2i; z₆ = - 1 - 5i.

Решение. Заданные числа изображены на рисунке (Приложение 1).

29

2.7 Тригонометрическая форма комплексного числа

Вместо того, чтобы определить вектор его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиною r и углом j. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами ( a, b ), то r и j будут, очевидно, полярными координатами этой точки. Положительное число r называется модулем, j - аргументом комплексного числа a + bi. Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого 2?, так как всякий вектор совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки M. В случае r = 0, комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно не определен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемыми, кратными 2?. Вещественное число имеет аргумент 2Вp, если оно положительное, и (2В + 1)p, если оно отрицательное, где В - любое целое число. Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым. Можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде: r (cos ? + i sin ?). В таком случае говорят, что комплексное число задано в тригонометрической форме

2.8 Показательная форма комплексного числа

Если комплексному числу z = (cos j + i sin j), модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение e^ij, то получим соотношение cos j + i sin j = e^ij, которое называется формулой Эйлера. Любое комплексное число z можно записать в виде z = re^ij. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой. Существуют три формы записи комплексного числа:

ь z = a + bi - алгебраическая форма;

ь z = r (cos j + i sin j) - тригонометрическая форма;

ь z = re^ij - показательная форма.

Пример: записать число в показательной форме.

Решение

Здесь

.

Следовательно, показательная форма числа имеет вид

2.9 Применение комплексных чисел

Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей в виде комплексных чисел. Бурное развитие экономики, и огромное её значение для нас, позволило взять в качестве интересного примера применения комплексных чисел характеристику понятия «товар». Товар является носителем двух составляющих: потребительских свойств, объективно присущих товару, и цены - денежной оценки потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учётом того, что и потребительские свойства товара и его цена являются необходимыми показателями свойств товара, возникает потребность разработки и использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число, состоящее из действительной и мнимой частей. Представив какую-либо оценку потребительских свойств товара П как действительную часть комплексного числа, а его цену Ц - как мнимую часть, получим: Т = П + iЦ,, где i - мнимая единица, которая определяется условием i? (0,1) и удовлетворяет соотношению: i² = -1. Потребитель товара, приобретая его, удовлетворяет свои потребности не в товаре, а в тех свойствах, которыми этот товар обладает. Не всякий товар полностью удовлетворяет возникшие потребности; чаще всего приходится сталкиваться с тем, что товар лишь в некоторой степени удовлетворяет потребности потребителя. Товар, который полностью их удовлетворяет можно назвать идеальным. Обозначим потребительские свойства идеального товара через П_и. Тогда для каждого товара можно определить, насколько он далёк от идеала: П_и - П. Легко убедиться в том, что чем ближе разность П_и - П к нулю, тем ближе товар к идеальному, а значит, тем большую цену потребитель готов заплатить за него. Очевидно также, что чем дальше товар от идеала, чем меньшими потребительскими свойствами он обладает, чем выше значение разности, тем ниже цена, за которую потребитель готов приобрести данный товар. Аналогично и производитель несет большие издержки, чем выше потребительские свойства товара, которые он производит. Поэтому указанная взаимосвязь является универсальной для товара, выступающего на рынке. Рынок предоставляет покупателю возможность приобрести из множества товаров с различными уровнями потребительских свойств (и соответственно с различными ценами) или дорогой товар с высокими потребительскими свойствами, или дешевый товар с низкими потребительскими свойствами. Воспользовавшись вышеперечисленными условиями можно описать группу товаров, реализуемых на рынке. Понятно, что это - не вся совокупность товаров, а только та, которая удовлетворяет в той или иной степени одну или несколько заданных потребностей. В маркетинге выделяют понятие товарной линии предприятия. Обычно под товарной линией понимают совокупность товаров, объединённых производителем по какому-либо признаку - одинаковый уровень цен, одно назначение и т.п. С учётом того, что рассматриваемая группа товаров охватывает все множество товаров, выдвинутых на рынок всеми производителями и удовлетворяет одинаковую совокупность потребностей, напрямую понятие товарная линия в данном случае применять нельзя.

Всю совокупность товаров, предложенных на рынок разными производителями, удовлетворяющих одну и ту же потребность (или совокупность одинаковых потребностей) в различной степени и по разной цене, называют потребительской товарной линией. Для потребительской товарной линии между разностью и ценой существует обратная зависимость. Эту зависимость можно описать моделями различной сложности. Наибольший интерес представляют модель в виде комплексного числа. Очевидно, что для определения вида данной зависимости необходимо провести многочисленные полевые исследования, обработать полученные статистические данные и подобрать модель, наилучшим образом описывающую зависимость. В настоящее время подобных данных в нашем распоряжении нет, поэтому следует воспользоваться общепринятым в научных исследованиях методом - постепенным переходом от простых моделей к моделям повышенной сложности. Для комплексного числа указанная зависимость наиболее простым способом будет описана так:

(П_и - П)² + Ц²= К² = const.

Действительно, легко убедиться в соответствии с равенством, что с уменьшением потребительских свойств товара П (увеличением разности П_и - П) его цена будет уменьшаться, а при повышении потребительских свойств (уменьшением разности П_и - П) и их приближению к свойствам идеального товара цена увеличивается. Так что модель в целом правильно описывает главную особенность потребительской товарной линии. Воспользовавшись полученной моделью, легко описать модель поведения потребителя по отношению к товару как комплексное число: К = (П_и - П) + iЦ. Очевидным преимуществом данной модели является то, что она весьма информативна. Действительно, для того, чтобы описать потребительскую товарную линию, состоящую из нескольких сотен различных товаров, следует лишь вычислить К - модуль комплексного числа. Преимущества и удобства практического использования такой формы модели очевидны. Для того, чтобы определить, например, цену товара данной линии, который предприятие предполагает вывести на рынок, необходимо выяснить у потребителей оценку П_и - П и по равенству , зная, что К=100, легко определяется цена. Или, предполагая выйти на рынок данной линии с товаром, ориентированным на состоятельных покупателей, предприятие по ориентировочной цене может определить совокупность потребительских свойств, которую потребители будут готовы увидеть в данном товаре. Выше предложенная модель является простейшей из класса возможных моделей. На практике при попытке её использования придётся столкнуться с целым рядом проблем. Реальная потребительская товарная линия будет плохо описываться данной моделью. Действительно, экономическая практика показывает, что она никогда не вписывается в красивые и изящные математические модели, которые ученые в таком изобилии предлагают практикам. Не сомневаясь в том, что и с моделью будет то же самое, можно предложить простой способ решения этой проблемы. Модель легко усложняется, например, можно воспользоваться следующей её модификацией: К = а (П_и - П) + iЦ. Очевидно, что эта модификация является не единственно возможной. На практике можно будет использовать модели самой различной сложности, причем как действительная, так и мнимая части данного комплексного числа могут представлять собой сложные функции. Вид каждого комплексного числа и коэффициенты моделей следует находить с помощью методов регрессионно-корреляционного анализа. После того, как будет построена модель потребительской товарной линии в форме комплексного числа, можно использовать её в самых разных случаях экономической практики, в том числе и при прогнозировании экономической конъюнктуры.

Заключение

Таким образом:

§ Числа вида a + bi, где a и b - действительные числа, i - мнимая единица, называют комплексными.

§ Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

§ Сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых; слагаемые можно объединять в группы, так как такими свойствами обладают сумма вещественных чисел a_k и сумма вещественных чисел b_k Исходя из определения сложения можно утверждать, что комплексное число a + bi есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi, т.е. a + bi = (a + 0i ) + (0 + bi ).

§ Вычитание комплексного числа (a₂ + b₂i ) равносильно сложению уменьшаемого (a₁ + b₁i ) и комплексного числа (-a₂ - b₂i ).

§ Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент - сумме аргументов сомножителей.

§ При делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

§ При делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

§ Натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента.

§ Комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).

§ Существуют три формы записи комплексного числа: z = a + bi - алгебраическая форма; z = r (cos j + i sin j) - тригонометрическая форма; z = re^ij - показательная форма.

§ Комплексные числа имеют широкий спектр применения в различных научных отраслях, а особенно - в экономике.

Библиография

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремер и др. - М., 2002.

2. Кремер Н.Ш. Эконометрика. - М., 2005.

3. Михайлушкин А.И., Шимко П.Д. Экономика. - М., 2005.

4. Математика в экономике. - М., 2001.

5. Солодовников А.С. Математика в экономике. - М., 2001.

6. Шипачев В.С. Высшая математика. - М., 2005.