Высшая математика

1. Векторы. Действия над векторами

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) >0, то АВ, <0, то АВ. в)>1, то А<В, )<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

2. Декартова прямоугольная система координат. Базис

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

3. Действия над векторами

а=х₁i+y₁j+z₁k; b=х₂i+y₂j+z₂k

*a=(х₁i+y₁j+z₁k)= (х₁)i+ (y₁)j+(z1)k

ab=(x₁x₂)i+(y₁y₂)j+(z₁z₂)k

ab=x₁x₂ii+y₁x₂ij+x₂z₁ki+x₁y₂ij+y₁y₂jj+ z₁y₂kj+x₁z₁ik+y₁z₂jk+z₁z₂kk=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii=1; ij=0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа=x²+y²+z²=|a|² a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cos

ав=0,<=>ав, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

а||в - x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

4. Скалярное произведение векторов и его свойства

(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cos, =/2, cos/2=0, ab=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

5. Векторное произведение 2х векторов

левая ----- правая

Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin. 2. ca и cb. 3. тройка а,в,с-правая.

6. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва: 1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая



7. Уравнение линии и поверхности

1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.

O(a,b,c)

|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- уравнение сферы.

x²+y²+z²=r²- ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0- ур-е поверхности

2. Уравнение окружности

|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- ур-е окружности

а=b=0, то x²+y²=r²

F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.

8. Плоскость в пространстве

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Для того, чтобы точка MP, необходимо и достаточно чтобы вектора NM₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку вектору.

9. Общее уравнение плоскости

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

10. Взаимное расположение плоскостей

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

PQ{A₁,B₁,C₁}

QN₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть PQ<=>N₁N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности PQ.

2) Пусть PQ<=> N₁N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.

11. Каноническое уравнение прямой в пространстве

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Чтобы точка Мпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M₀M||S.

12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

13. Прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M₀(x₀,y₀,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

PN₁{A₁,B₁,C₁}

QN₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂

15. Взаимное расположение прямой на плоскости

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0N₂{A₂,B₂}



pq<=> N₁||N₂, то A₁/A₂=B₁/B₂

p||q<=> N₁N₂, то A₁A₂+B₁B₂=0

16. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку заданному вектору. M₀(x₀,y₀)



M₀M{x-x₀,y-y₀}

n*M₀M=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.

17. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом

y-y₁=k₁(x-x₁)

y=k₁x-k₁x₁+y₁

y₁-k₁x₁=b

y=k₁x+b - ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂) и x₁x₂, y₁y₂. Для составления уравнения прямой М₁М₂ запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М₁: y-y₁=k(x-x₁). Т.к. М₂лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М₂ в уравнение пучка М₁: y-y₁=k(x-x₁) и найдем k:

Теперь вид искомой прямой имеет вид:

18. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и

S₁{l₁,m₁} S₂{l₂,m₂},

p:y=k₁x+b₁, k₁=tg₁

q:y=k₂x+b₂, k₂=tg₂ =>tg=tg(₂-₁)=(tg₂-tg₁)/(1+ tg₁tg₂)=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

p||q, tg=0, k₁=k₂

pq,

19. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве

1. Ax+By+C=0, M₀(x₀,y₀)

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

20. Кривые линии 2-го порядка

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0,



а) Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

21. Парабола и ее свойства

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид y²=2px-симметрично отн. оси ОХ. х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2. Св-ва:

1. парабола предст. собой точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

22.Эллипс и его св-ва

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение =с/а наз. его эксцентриситетом (0<=<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

23. Гипербола и ее св-ва

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если >0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, >0, =c/a - эксцентриситет.

Св-во: для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если =0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/ау/b=0

в) если <0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

24. Понятие о поверхностях 2го порядка

Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax²+Bxy+Cy²+Dx+y+F=0, где A,B,C,D,,F - действительные числа

Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.

25. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.

26. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<

limx_n=a

n

-<X_n-a<

a-<X_n<a+

б) Предел ф-ции: y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|0, |x-a|<

Число А называется пределом ф-ции f(x) при ха, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа . ->0, найдется такое как угодно малое на период заданного >0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<, то |f(x)-A|<

Основные св-ва: 1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если -б.м.в., то lim=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+, где -б.м.в.

27. Основные теоремы о пределах

1. Предел суммы = суммы пределов: limx=a, limy=b, тогда x=a+, y=b+, где и - б.м.в. x+y=(a+)+(b+)=(a+b)+(+), где +=- б.м.в.

xy=(ab)+, то lim(xy)=ab=limx+limy.

2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.

limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва

x=a+, y=b+, где и - б.м.в.

x*y=(a+)*(b+)=a*b+(b+a+), то

xy=ab+

xyab,

limxy=ab=limx*limy

3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.

limCx=limC*limx=C*limx

4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0

limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b

x=a+, y=b+

x/y=(a+)/(b+)

28. 1й, 2й замечательный пределы

1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x0

j

lim((Sin)/)=1

x0

S_OAC<S_{сектораOAC}<S_OCB

S_OAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

S_OAC=1/2*OC*OA*Sin=1/2*Sin

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*=1/2*(т.к. OA=OC)

S_OCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tg=1/2*tg

1/2*Sin<1/2*<1/2tg //*2

sin<<tg//:sin

1</sin<1/cos, =>cos<sin/<1,

limCos<lim((Sin)/)<lim1, по признаку

lim((Sin)/)=1

0

lim(1+1/n)ⁿ=e2.7183

n

1/n= - б.м.в., то n=1/ и

x 0

lim(1+1/n)^1/=e

0

29. Основные приемы нахождения пределов

1. Подстановка: при хх₀ и х₀области определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀)

xx₀

2. Сокращение: при х и хх₀ f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую степень х: при х и хх₀ f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1

lim(1+1/n)^x=e

x

30. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале

x=x₀+x, x=x-x₀

y=f(x₀+x)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

xx₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

31. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности

а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции (x) и g(x), которые имеют 1 предел при ха, то и limf(x)=A

(x)<=f(x)<=g(x), где lim(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. ха

б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (x_n+1>x_n)

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x_n<=M.

32. Бесконечно малые величины и их св-ва

величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(=m/V, если V, то 0)

Св-ва б.м.в.:

-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. ( и -б.м.в., то =б.м.в.)

-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то *U=б.м.в.)

-произведение б.м.величин=б.м.в.

-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в

33. Бесконечно большие величины и их св-ва

б.б.в - величина для которой |X_n| (при x_n=1/n, n0, то x_n)

Св-ва:

-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/=0; 1/0=)

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

34. Св-ва непрерывных ф-ций:в в отрезке

1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.

3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса).

в точке:

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х₀, то их сумма, произведение, частное (при (х₀)0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х₀

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х₀, и f(x₀)>0, то существует окрестность х₀, в которой f(x)>0

3. если y=f(U) непрерывна в U₀, а U=(x) непрерывна в U₀=(x₀), то сложная ф-ция y=f[(x)] непрерывна в х₀.

35. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл

1. _cp.=S/t, =lim(S/t), где t0

2. p_cp.=m/l, p_T=lim(m/l), где l0

y=f(x+x)-f(x), y=f(x)

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+x)-f(x), y=f(x).

производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)=dy/dx

x0 x0

Вычисление производной: lim(y/x)=y` x0

1) если y=x, y=x, y`=x=lim(y/x)=1.

2) если y=x², y=(x+x)²-x²=x²+2xx+x²-x²=x(2x-x),

(x²)`=lim((x(2x+x))/x)=lim(2x+x)=2x

x0 x0

Геометрический смысл производной.

KN=y, MK=x

MNK/tg2=y/x

вычислим предел левой и правой части:

limtg=lim(y/x) x0

tg₀=y`

₀

При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg₀=y`, ₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

36. Основные правила дифференцирования

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f'(u) и u'(x), то существует y'(x)=f(u(x))u'(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

37. Дифференцирование сложных ф-ций

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

38. Дифференцирование обратной ф-ции

y=f(x), то x=(y) - обратная ф-ция.

Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. x_y`=1/y<sub>x</sub>`. y/x=1/(y/x) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:

lim(y/x)=1/(lim(y/x), т.е. y_x`=1/x<sub>y</sub> или f`(x)=1/`(x)

Например:

39. Производные степенных и тригонометрических функций

40. Производные обратных тригонометрических функций

Для сложных функций:

41. Производные показательных и логарифмических функций

Если z=z(x) - дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

42. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

43. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+x)-f`(x))/x)

x0

y```=(y``)`= lim((f``(x+x)-f``(x))/x), f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]`

44. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x²-1 - явные

F(x,y)=0, a²=x²+y² - неявные ф-ции.

a²=x²+y²

Найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-й х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x³-3xy+y³=0

3x³-3(xy)`+3y<sup>2</sup>*y`=0 //:3

x²-(x`y+y`x)+y²*y`=0

y`y<sup>2</sup>-xy`=y-x²

y`=(y-x²)/(y²-x)

45. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала

limy=A, y=A+

limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x

x0

y=y`x+,

где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.

dy=y`x

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.

Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x

Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину x

1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

46.Теорема Ролля

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f'(c)=0.

47. Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест. т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g'(x)=10.



48. Теорема Коши

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g'(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) - непрерывна на [a,b]

2). F(x) - деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. с(a,b); F'(с)=0

49. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.x₁<a<x₂, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)<f(x₁)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

50. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tg>0, то f`(x)>0

если tg<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить касательных).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

51. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

52. Асимптота графика ф-ции

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает. 1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при хх₀ |f(x)|+ (вида x=b) 2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+(б.м.в.)

по св-ву x пределов. разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х

f(x)/x=k+b/x+/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(/x)

x

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y 3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

53. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А при М₀М, если каждому значению как угодно малого числа (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число >0, если |M₀M|=, то |f(M)-A|<

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰ x₁

x₂⁰ x₂

x_n⁰ x_n

54. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

z=f(x₀+x, y₀+y)-f(x₀,y₀) - полное приращение. Частное приращение по х (по у):

xZ=f(x₀+x, y)-f(x₀, y₀)

yZ=f(y₀+y, x)-f(x₀, y₀)

Частная производная ф-ция:

dxZ=Z_x`*x=Z/x*dx; dxZ=Z<sub>y</sub>`*y=Z/y*dy

dZ=d_xZ+d_yZ=Z`<sub>x</sub>dx +Z`_ydy, dZ=Z/x*dx+=Z/y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

55. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``<sub>XX</sub>=(Z`<sub>x</sub>)`<sub>x</sub> ; Z``_yy=(Z`<sub>y</sub>)`_y

Z``_Xy=(Z`<sub>x</sub>)`_y=(Z`<sub>y</sub>)`_x

56. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных

Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀ Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:



Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то Z/x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

где A= Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀),

1) если >0, то М₀ - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М₀ - точка max;

если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если <0, то экстремума нет

3) если =0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

57. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика

Найти: -обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.