Геометрический закон распределения

15

Содержание

Введение 3

1. Описание геометрического закона распределения 4

2. Оптимальные оценки параметров закона геометрического распределения и функции этих параметров на основе метода достаточных статистик 9

3. Асимптотически оптимальная оценка для неизвестных параметров закона распределения 10

4. Интервальная оценка математического ожидания геометрического закона распределения 11

5. Алгоритм проверки статистической гипотезы 12

Выводы 14

Литература 15

Введение

Одним из важнейших понятий математической статистики является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее неизвестно).

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайно величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной.

Основными законами распределения дискретных случайных величин являются:

биномиальный закон распределения;

закон распределения Пуассона;

геометрическое распределения;

гипергеометрическое распределение.

В данной работе рассматривается геометрический закон распределения случайной величины.

1. Описание геометрического закона распределения

Дискретная случайная величина Х=m имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

где 0<p<1, q = 1 - p, m = 1, 2, …

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

Нетрудно видеть, что вероятности pi образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда название «геометрическое распределение»). Впервые термин геометрическое распределение был использован в работе Феллера (Feller, 1950).

Определение геометрического ряда распределения корректно, так как сумма ряда:

(так как есть сумма геометрического ряда при ).

Случайная величина Х = m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Так, например, число вызовов радистом корреспондента до тех пор, пока вызов не будет принят, есть случайная величина, имеющая геометрическое распределение,

График функции вероятности представлен на рис.1.

Рис.1. Функция вероятности геометрического распределения случайной величины

Описание геометрического закона распределения с помощью функции вероятности не является единственным, а главное не универсально. Для описания закона распределения случайной величины Х возможен и другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х (как это имеет место в ряде распределения), а вероятности события Х<х, где х - текущая переменная. Вероятности Р(Х<х), очевидно, зависит от х, т.е. является некоторой функцией от х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х.

Функция геометрического распределения имеет вид:

График функции геометрического распределения представлен на рис.2.

Рис.2. Функция геометрического распределения

Основными параметрами геометрического закона распределения являются:

число m - число «неудач» до первого «успеха», m = 1,2,3 …;

вероятность «успеха» ;

вероятность «неудачи» q = 1 - p.

Основными характеристиками закона распределения является математическое ожидание и дисперсия.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию геометрического закона распределения с помощью выше перечисленных параметров.

Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Для геометрического закона распределения получим:

Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для геометрического закона распределения получим:

Следует отметить следующие свойства геометрического закона распределения:

Из всех дискретных распределений с фиксированным средним ? > 1 геометрическое распределение Geom(1 / ?) является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

Если независимы и , то

.

Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Если , то

,

то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение -- это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: .

Если независимы и , то

Пример.

Пусть игральная кость вбрасывается до выпадания первой «шестёрки». Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх вбросов равна:

Ожидаемое число бросков равно:

2. Оптимальные оценки параметров закона геометрического распределения и функции этих параметров на основе метода достаточных статистик

Геометрический закон распределения задается параметром р (вероятность «успеха»). Известно, что математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по геометрическому закону распределения, равно ожидание

Следовательно, оценка параметра р геометрического закона распределения равна

3. Асимптотически оптимальная оценка для неизвестных параметров закона распределения

Сформулируем задачу оценки параметров в общем виде. Пусть распределение признака Х - генеральной совокупности - задается функцией вероятностей , которая содержит неизвестный параметр p.

Для вычисления параметра р исследовать все элементы генеральной совокупности не представляется возможным. Поэтому о параметре - вероятности р - пытаются судить по выборке, состоящей из значений х1, х2, х3, …, хn. Эти значения можно рассматривать как частные значения n независимых случайных величин Х1, Х2, …, Хn, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама случайная величина Х.

Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе статистику), с помощью которой судят о значении параметра.

Оценка является случайной величиной, зависящей от закона распределения случайной величины Х и числа n.

О качестве оценки следует судить не по индивидуальным ее значениям, а лишь по распределению ее значений в большей сети испытаний, т.е. по выборочному распределению оценки.

В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

В случае геометрического закона распределения для нахождения единственного параметра р достаточно приравнять теоретический эмпирический начальные моменты первого порядка - математическое ожидание случайной величины Х. Установлено, что для случайно величины, распределенной по геометрическому закону распределения, математическое ожидание

.

Следовательно, оценка параметра р геометрического закона распределения равна

.

4. Интервальная оценка математического ожидания геометрического закона распределения

Интервальной оценкой параметра р называется числовой интервал, который с заданной вероятностью покрывает неизвестное значение параметра р.

Доверительный интервал для параметра р геометрического закона распределения (вероятность р) имеет вид:

где

,

- выборочная средняя,

, - заданная доверительная вероятность,

n - объем выборки.

5. Алгоритм проверки статистической гипотезы

Сформулируем гипотезу Н0:

Р - параметр исследуемого распределения,

В качестве альтернативной гипотезы принимается одна из гипотез Н0:

Рассчитывается соответствующий критерий проверки гипотезы:

Определяется критическое значение статистики на заданном уровне значимости по соответствующим таблицам, исходя из соотношения:

Критерия отклонения гипотезы Н0 представлен в таблице.

Выводы

Геометрическое распределение описывает время, протекающее до наступления определенного числа неудач.

Частным случаем распределения Паскаля является геометрическое распределение, получаемое при с=1.

Экспоненциальное распределение для непрерывного случайного аналогично геометрическому для дискретного случая. Если в геометрическом распределении случайная величина представляет число испытаний до первого отказа, то в экспоненциальном в непрерывном случае, соответствующим аналогом будет промежуток до первого отказа.

Геометрический закон распределения случайной величины широко используется при решении различных задач.

Литература

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

2. Практикум по статистике: Учеб. пособие для вузов./под ред. В.М. Симчеры. - М.: Финстатинформ, 1999.

3. Статистика: учебник / под ред. В.С. Мхитаряна. - М.: Экономистъ, 2005.