История и развитие науки математики

ВВЕДЕНИЕ

Что такое математика? Каково ее происхождение и история? В чем состоит отличие математики от других наук? Что является предметом математики в настоящее время? Как математика влияет на развитие других наук? Для ответа на этот вопрос обратимся к книге «Математика в ее историческом развитии» [1], написанной выдающимся российским математиком академиком А.Н. Колмогоровым. Согласно Колмогорову математика - это «наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира».

Колмогоров отмечает, что «ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до н.э.».

Колмогоров выделяет следующие этапы в развитии математики:

Период зарождения математики, предшествующий греческой математике.

Период элементарной математики. Начало этого периода Колмогоров относит к 6-5 вв. до н.э., а его завершение к 17 в. Запас знаний, которые имела математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

Период математики переменных величин, который можно условно назвать периодом «высшей математики». Этот период начинается с употребления переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления.

Период современной математики. Началом этого периода Колмогоров считает создание Н.И. Лобачевским так называемой «воображаемой геометрии», которая положила начало расширению круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику 19 и 20 веков естественно отнести к особому периоду современной математики.

Обсуждая причины возникновения математики, Колмогоров выделяет две практические проблемы, которые стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения, счет и измерение. Эти «ключевые» проблемы привели к обоснованию двух фундаментальных математических концепций, натурального числа и иррационального числа, и к созданию двух фундаментальных математических теорий, теории чисел и теории измерения, которые лежат в основе «классической математики».

Однако, в античной науке существовала еще одна фундаментальная проблема, которая влияла на развитие античной науки и математики. Речь идет о проблеме гармонии, связанной с золотым сеченинем. К сожалению, эта проблема всячески игнорировалась «материалистической» наукой и «классической математикой». Тем не менее, начиная с «Начал» Евклида, это направление успешно развивалось как в эпоху Возрождения, так и в последующие периоды, в частности, в 19-м и 20-м веках. Это доказывается достаточно впечатлительным перечнем книг по проблеме «золотого сечения», чисел Фибоначчи и смежным вопросам [2-51]. Необходимо напомнить, что это научное направление развивалось в течение более чем двух тысячелетий выдающимися мыслителями и математиками Пифагором, Платоном, Евклидом, Фибоначчи, Леонардо да Винчи, Лукой Пачоли, Иоганном Кеплером, Цейзингом, Люка, Бине, Феликсом Клейном, а в 20-м и 21-м столетии такими выдающимися исследователями как Гримм, Гика, Мартин Гарднер, Николай Воробьев, Коксетер, Вернер Хоггатт, Алан Тьюринг, Джордж Пойа, Алфред Реньи, Стефанг Вайда, Эдуард Сороко, Ян Гржездельский, Олег Боднар, Николай Васютинский, Виктор Коробко, Иосиф Шевелев, Сергей Петухов, Роджер Герц-Фишлер, Джей Капраф, Мидхат Газале, Вера Шпинадель, Дунлап, Скотт Олсен, Мохаммед Ель Нашие и многие другие.

Таким образом, мы должны включить «проблему гармонии» в перечень «ключевых» проблем математики на этапе ее зарождения. Такой подход приводит к новому взгляду на историю математики. Эта идея лежит в основе настоящей статьи. Основная цель статьи - развить историю математики с новой точки зрения, то есть, с точки зрения трех «ключевых» проблем математики, счета, измерения и гармонии. Другая цель состоит в том, чтобы дать краткий обзор основных математических результатов «Математики Гармонии» и ее приложений в современной математике, теоретической физике и компьютерной науке.

1. ПРОБЛЕМА СЧЕТА - ПЕРВАЯ «КЛЮЧЕВАЯ» ПРОБЛЕМА АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ

Как упоминалось, на этапе зарождения математики Колмогоров выделяет несколько «ключевых» проблем, которые стимулировали развитие математики и возникновение ее фундаментальных понятий. Первая из них - это проблема счета. Как подчеркивается в [1], «счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметических действий».

На этапе зарождения математики было сделано одно из крупнейших, то есть, «ключевых» математических открытий. Речь идет о позиционном принципе представления чисел. Как подчеркивается в статье [52], «первой известной нам системой счисления, основанной на поместном или позиционном принципе, является шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до н.э.». Именно это открытие лежит в основе всех ранних систем счисления, которые были созданы на этапе зарождения математики и в период элементарной математики (включая Вавилонскую 60-ричную систему, десятичную и двоичную и другие системы счисления).

Каждый человек на земном шаре, окончивший хотя бы четыре класса начальной или «церковно-приходской» школы, знает, по меньшей мере, две полезные вещи: он умеет писать и читать и использовать десятичную систему счисления для выполнения простейших арифметических операций. И эта система кажется нам настолько простой и элементарной, что многие из нас с большим недоверием отнесутся к утверждению, что десятичная система является одним из крупнейших математических открытий за всю историю математики. И чтобы убедить читателя в этом, обратимся к мнению «авторитетов».

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский математик, член Парижской академии наук, почетный иностранный член Петербургской академии наук:

«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

М.В. Остроградский (1801-1862), русский математик, член Петербургской академии наук и многих иностранных академий:

«Нам кажется, что после изобретения письменности самым большим открытием было использование так называемой десятичной системы счисления. Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения …»

Жюль Таннери (1848-1910), французский математик, член Парижской академии наук:

«Что касается до нынешней системы письменной нумерации, в которой употребляется девять значащих цифр и ноль, и относительное значение цифр определяется особым правилом, то эта система была введена в Индии в эпоху, которая не определена точно, но, по-видимому, после христианской эры. Изобретение этой системы есть одно из самых важных событий в истории науки, и несмотря на привычку пользоваться десятичной нумерацией, мы не можем не изумляться чудной простоте ее механизма».

Следует отметить, что позиционный принцип представления чисел и вытекающие из них позиционные системы счисления (в частности, двоичная система), созданные на этапе зарождения математики, стали одной из «ключевых» идей современных компьютеров. В этой связи стоит также напомнить, что алгоритмы умножения и деления чисел, лежащие в основе современных компьютеров, созданы древними египтянами («метод удвоения») [14]. Однако, главным итогом развития арифметики на этапе зарождения математики является формирование понятия натурального числа, которое является одним из важнейших и фундаментальных понятий математики, без которого немыслимо существование самой математики. Для изучения свойств натуральных чисел еще в античный период возникает теория чисел, одна из фундаментальных теорий математической науки.

2. ПРОБЛЕМА ИЗМЕРЕНИЯ - ВТОРАЯ «КЛЮЧЕВАЯ» ПРОБЛЕМА АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ

Вторая «ключевая» проблема, стимулировавшая развитие математики на стадии ее зарождения - это проблема измерения. Как подчеркивает Колмогоров, «потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т.д.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметических действий над дробями ... Измерение площадей и объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее - астрономии, вызывают развитие начатков геометрии».

«Ключевым» математическим открытием в этой области по праву считается открытие «несоизмеримых отрезков». Считается, что это открытие было сделано в 5-м веке до н.э. в научной школе Пифагора при исследовании отношения диагонали к стороне квадрата. Методом от противного пифагорейцам удалось доказать, что рассматриваемое отношение, равное v2, не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, и такие отрезки были названы несоизмеримыми, а числа, выражающие подобные отношения, были названы иррациональными.

Открытие «несоизмеримых отрезков» стало поворотным пунктом в развитии математики. Благодаря этому открытию в математику вошло понятие иррационального числа, второго (после натуральных чисел) фундаментального понятия математики. Для преодоления первого кризиса в основаниях математики, вызванного открытием «несоизмеримых отрезков», выдающийся геометр Евдокс разработал теорию величин, которая позже трансформировалась в математическую теорию измерения [53, 54], еще одну фундаментальную теорию математической науки. К этой теории, основным результатом которой является формирование понятие иррационального числа, в конечном итоге, восходит вся непрерывная математика, включая дифференциальное и интегральное исчисление.

Влияние «проблемы измерения» на развитие математики настолько велико, что это дало право болгарскому математику академику Илиеву заявить, что «на протяжении первой эпохи своего развития - от античности и вплоть до открытия дифференциального и интегрального исчисления - математика, исследуя в первую очередь проблемы измерения величин, создала геометрию Евклида и учение о числах» [55].

Таким образом, две «ключевые» идеи античной математики - проблема счета и проблема измерения - привели к формированию двух фундаментальных понятий математики - понятия натурального числа и понятия иррационального числа, которые вместе с теорией чисел, позиционными системами счисления и теорией измерения и стали тем фундаментом, на котором позже была построена вся «классическая математика», а затем «классическая теоретическая физика» и «классическая информатика».

3. МАТЕМАТИКА. ПОТЕРЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Книга «Математика. Утрата определенности”, написанная выдающимся американским математиком Морисом Клайном [56] произвела огромное впечатление на автора и стала источником размышлений о природе и роли математики в современной науке. И автору доставляет удовольствие пересказать тезисно основные идеи книги Мориса Клайна.

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания (греческий период) и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое количество теорем о числах и геометрических фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.

Для получения своих удивительных мощных результатов математика использовала особый метод - метод дедукции, позволяющий из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами, получать новые математические результаты (теоремы). Природа дедуктивного метода такова, что он гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные аксиомы. «Начала» Евклида стали первым великим математическим сочинением, которое является примером торжества дедуктивного метода

Евклидова геометрия была наиболее почитаемым разделом математики не только потому, что именно с нее началось дедуктивное построение математических дисциплин, но и по той причине, что ее теоремы полностью соответствовали результатам физических исследований. Однако, созданные в начале 19-го века необычные геометрии, названные не-Евклидовыми, стали первым ударом по стройному зданию математической науки. Эти необычные геометрии вынудили математиков осознать, что математические теории и теоремы не есть абсолютные истины в применении к Природе. Было доказано, что все эти геометрии являются математически корректными, то есть, они вполне могли быть геометрическими моделями реального мира подобно Евклидовой геометрии. Но тогда сразу же возник вопрос: какая геометрия является истинной моделью реального мира?

Обнаружение противоречий в Кнторовской теории бесконечных множеств стало еще одним ударом по математике. Осознание того, что сверкающая своим великолепием «царица наук» далеко не совершенна по своей структуре, страдает множеством недостатков и подвержена чудовищным противоречиям, могущим вскрыться в любой момент, шокировало математиков.

Реакция математиков на все эти события была неоднозначной. Большинство математиков как бы отгородились от внешнего мира, сосредоточив усилия на проблемах, возникавших внутри самой математики, то есть, математики по существу порвали связи с естествознанием.

Что представляла собой математика в течение нескольких тысячелетий? Для предыдущих поколений она была прежде всего и главным образом тончайшим творением человеческого разума, предназначенным для исследования природы. Естествознание было кровью и плотью математики и питало ее живительными соками. Математики охотно сотрудничали с физиками, астрономами, химиками и инженерами в решении различных научно-технических проблем. Более того, многие великие математики прошлого часто являлись выдающимися физиками, механиками и астрономами. Математика была «Царицей» и одновременно «Служанкой» естественных наук.

«Чистая» математика, полностью оторванная от запросов естествознания, никогда не находилась в центре забот и интересов математиков. Ей отводилась роль своего рода «забавы», отдохновения от гораздо более важных и увлекательных проблем, выдвигаемых естественными науками. В 18-м веке столь абстрактная наука, как теория чисел, привлекала лишь очень немногих математиков. Например, Эйлер, научные интересы которого были связаны с теорией чисел, считался признанным авторитетом в математической физике. Великий Гаусс не считал теорию чисел важнейшим разделом математики. Ему нередко предлагали заняться доказательством Великой теоремы Ферма. В одном из писем он отметил, что гипотеза Ферма - это изолированная, ни с чем не связанная теорема и поэтому не представляет особого интереса.

Морис Клайн указывает различные причины, которые побудили математиков отойти от изучения реального мира. Широкий размах математических и естественнонаучных исследований не позволял ученым чувствовать себя одинаково свободно и в математике, и в естественных науках. Стоящие перед естествознанием проблемы, в решении которых активное участие принимали великие математики прошлого, ныне становились все более сложными. И математики решили ограничить свою деятельность рамками чистой математики. Абстракция, обобщения и специализация и аксимоматизация - вот основные направления деятельности, выбранные «чистыми» математиками. Это привело к тому, что ныне математика и естественные науки идут разными путями. Новые математические понятия вводятся без всякой попытки найти им приложения. Более того, математики и представители естественных наук перестали понимать друг друга, а вследствие чрезмерной специализации и сами математики перестали понимать друг друга.

Какой же выход из создавшейся ситуации? Как подчеркивает Морис Клайн, выход состоит в том, чтобы вновь обратиться к Природе и естественным наукам, которые на всех этапах развития математики были ее подлинным предметом исследования и источником ее развития. В конечном итоге, должен победить здравый смысл. Математический мир должен проводить различие не между чистой и прикладной математикой, а между математикой, ставящей своей целью решение разумных проблем, и математикой, потакающей чьим-то личным вкусам и прихотям, математикой целенаправленной и математикой бесцельной, математикой содержательной и бессодержательной, живой и бескровной.

Как известно, возвращение к прошлому - плодотворный источник познания настоящего. Возвращение к истокам математики, к ее истории является одним важных направлений преодоления того кризиса, в котором находится современная математика.