Векторна алгебра і деякі її застосування

Векторна алгебра - розділ векторного числення в якому вивчаються найпростіші операції над (вільними) векторами. До числа операцій відносяться лінійні операції над векторами: операція додавання векторів і множення вектора на число.

Сумою a+b векторів a і b називають вектор , проведений з початку a до кінця b, якщо кінець a і початок b сполучені. Операція додавання векторів має властивості:

a+b=b+a (комутативність)

(а+b)*з=а*(b+с) (асоціативність)

a + 0=a (наявність нульового елементу )

a+(-a)=0 (наявність протилежного елементу),

де 0 - нульовий вектор, -a є вектор, протилежний вектору а. Різницею a-b векторів a і b називають вектор x такий, що x+b=a.

Добутком x вектора а на число у випадку 0, аПро називають вектор, модуль якого дорівнює |||a| і який спрямований у ту ж сторону, що і вектор a, якщо >0, і в протилежну, якщо <0. Якщо =0 чи (і) a =0, то a=0. Операція множення вектора на число має властивості:

(*(a+b)= (*a+(*b (дистрибутивність щодо додавання векторів)

((+u)*a=(*a+u*a (дистрибутивність щодо додавання чисел)

*(u*a)=(*u)*a (ассоциативність)

1*a=a (множення на одиницю)

Безліч усіх векторів простору з введеними в ньому операціями додавання і множення на число утворить векторний простір (лінійний простір).

У векторній алгебрі важливе значення має поняття лінійної залежності векторів. Вектори а, b, … , с називаються лінійно залежними векторами, якщо існують числа , ,…,з який хоча б одне відмінно від нуля, такі, що справедливо рівність:

a+b+…c=0. (1)

Для лінійної залежності двох векторів необхідна і достатня їх коллінеарність, для лінійної залежності трьох векторів необхідна і достатня їх компланарність. Якщо один з векторів а, b, ...,c нульовий, то вони лінійно залежні. Вектори a,b, ..,з називаються лінійно незалежними, якщо з рівності (1) випливає, що числа , ,…,дорівнюють нулю. На площині існує не більш двох, а в тривимірному просторі не більш трьох лінійно незалежних векторів.

Сукупність трьох (двох) лінійно незалежних векторів e₁,e₂,e₃ тривимірні простори (площини), узятих у визначеному порядку, утворить базис. Любою вектор а єдиний образ представляється у виді суми:

a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃.

Числа a₁,a₂,a₃ називають координатами (компонентами) вектора а в даному базисі і пишуть a={a₁,a₂,a₃}.

Два вектори a={a₁,a₂,a₃} і b={b₁,b₂,b₃} рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхній відповідні координати в тому самому базисі. Необхідною і достатньою умовою коллінеарності векторів a={a₁,a₂,a₃} і b={b₁,b₂,b₃} ,b0, є пропорційність їхній відповідних координат: a₁=b₁,a₂=b₂,a₃=b_3. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів a={a₁,a₂,a₃} , b={b₁,b₂,b₃} і c={c₁,c₂,c₃} є рівність :

| a₁ a₂ a₃ |

| b₁ b₂ b₃| = 0

| c₁ c₂ c₃ |

Лінійні операції над векторами зводяться до лінійних операцій над координатами. Координати суми векторів a={a₁,a₂,a₃} і b={b₁,b₂,b₃} дорівнюють сумам відповідних координат: a+b={a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃}. Координати добутку вектора а на число дорівнюють добуткам координат а на :

а= {а₁,a₂, a₃}.

Скалярним добутком (а, b) ненульових векторів а і b називають добуток їхніх модулів на косинус кута між ними:

(а, b) = | а |*| b | cos.

За приймається кут між векторами, не переважаючий . Якщо а=0 чи b=0, то скалярний добуток думають рівним нулю. Скалярний добуток має властивості:

(a, b)= (b, а) (коммутативність),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивність щодо додавання векторів),

(a,b)=( a,b) =(a,6) (сочетательність щодо множення на число),

(a,b)=0, лише якщо а=0 чи (і) b=0 чи ab.

Для обчислення скалярних добутків векторів часто користаються декартовими прямокутними координатами, тобто координатами векторів у базисі, що складається з одиничних взаємно перпендикулярних векторів (ортів) i, j, k ( ортонормированний базис). Скалярний добуток векторів :

a={a₁,a₂,a₃} і b={b₁,b₂,b₃}

заданих в ортонормированому базисі, обчислюється по формулі:

(a,b)=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

Косинус кута між ненульовими векторами a={a₁,a₂,a₃} і b={b₁,b₂,b₃}

може бути обчислений по формулі:

де

і

Косинуси кутів вектора a={a₁,a₂,a₃} з векторами базису i, j, k називають. направляючими косинусами вектора а:

, , .

Направляючі косинуси мають наступну властивість:

cos²+cos²+cos²=1

Віссю називається пряма з лежачим на ній одиничним вектором е-ортом, що задає позитивний напрямок на прямій. Проекцією Ін. _е а вектора a на вісь називають спрямований відрізок на осі, алгебраїчне значення якого дорівнює скалярному добутку вектора а на вектор е. Проекції мають властивості:

Ін._е (a+b)= Ін. _е a+ Ін. _е b (адитивність),

Ін. a = Ін. _е a (однорідність).

Кожна координата вектора в ортонормированому базисі дорівнює проекції цього вектора на вісь, обумовлену відповідним вектором базису.

У просторі розрізняють праві і ліві трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів а, b, з називається правої, якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, з у зазначеному порядку здається що відбувається по годинній стрілці. У противному випадку a,b,c - ліва трійка. Права (ліва) трійка векторів розташовується так, як можуть бути розташовані відповідно великий, незігнутий вказівний і середній пальці правої (лівої) руки(див. рис). Усі праві (чи ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Нижче трійку векторів i, j, k варто вважати правої .

Нехай на площині заданий напрямок позитивного обертання (від i до j). Псевдоскалярним добутком aVb ненульових векторів a і b називають добуток їхніх модулів на синус кута позитивного обертання від a до k:

aVb=| a || b |*sin

Псевдоскалярний добуток нульових векторів думають рівним нулю. Псевдоскалярний добуток має властивості:

aVb=-bVa (антикоммутативність),

a (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивність щодо додавання векторів),

(aVb)=aVb (сочетательність щодо множення на число),

aVb=0, лише якщо а=0 чи (і) b=0 чи а і b коллинеарни.

Якщо в ортонормированном базисі вектори а й і мають координати {a₁,a₂} {b₁,b₂}, то :

aVb=a₁b₁-a₂b_2.

Означення 1. Вектором називають величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком.

Вектори позначають або або а, b, c.

При позначенні вектора двома літерами (наприклад, ) перша літера вказує крапку початку вектора, а друга - крапку його кінця. В економіці вектори часто позначають однією великою літерою.

Довжину (модуль) вектора позначають , .

Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (дивуйся рис.1)

рис.1

Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:

Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого співпадають.

Такий вектор позначають , його довжина дорівнює нулю, а напрям - довільний.

Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки:

.

Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих (дивуйся малий.2)

Рис. 2

Усі зображені на малюнку 2 вектори - колінеарні.

Протилежними називають колінеарні протилежно спрямовані вектори однакової довжини.

Вектор, протилежний вектору позначають .

Ортом вектора називають вектор ₀ довжина якого дорівнює одиниці, а напрям співпадає з , тобто = ₀.

Компланарними називають вектори, що лежати в одній площині. В економічних дослідженнях n упорядкованих параметрів розглядають як вектор n вимірного простору Е_n.

Матриця-рядок та матриця-стовпець містять упорядковані елементи, тому їх можна розглядати як вектори простору відповідного виміру.

Наприклад,

є Е₅ є Е₄

Елементи вектора-рядка та вектора-стовпця називають координатами вектора. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визначення проекцій вектора на координатній осі.

Деякі економічні приклади

У розділі 4 частини 5 наведені приклади застосування векторів до задач мікроекономіки.

Так, використовувались вектор-рядок вартості V = (v₁, v₂, v₃, v₄), компоненти якого - вартості різної сировини, палива, робочої людино-години, та вектор-стовпець потреб інших галузей до продукції цехів 1, 2, 3.

Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів.

Продуктивна функція. При аналізі закономірностей виробництва використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідношенням між використаними у виробництві ресурсами і випущеною продукцією.

Нехай у деякому виробничому процесі є n виробничих ресурсів. Кількість і-го ресурсу, використованого за проміжок години t, позначимо х_і. Тоді виробничі ресурси - це вектор Х = (х₁, х₂, … х_n).

Нехай підприємство випускає m різних виробів. Кількість j виробу позначемо у_і. Тоді випуск усіх виробів буде вектор Y = ( y₁, y₂, … y_m)... Нехай - вектор параметрів виробництва (наприклад, різні види транспортних чи інших витрат). Продуктивна функція пов'язує вектори ресурсів Х, випуска Y та параметрів , тобто

Продуктивна функція задається аналітично або таблично.

Продуктивну функцію, розв'язану відносно Y, тобто вигляду

називають функцією випуску, а розв'язану відносно вектора Х, тобто вигляду

називають функцією виробничих витрат.

Зрозуміло, що ці функції в конкретних випадках (коли вказано законі та ) використовують правила дій з векторами.

Математичні моделі економічних задач

Навіть найпростіші лінійні статистичні економічні моделі описуються з використанням векторів.

Для дослідження динамічних моделей різних процесів стан вивчаємої економічної системи в момент години t описується за допомогою вектора Х із n вимірного простору, а керування процесом у тієї самий момент години описується за допомогою вектора із m вимірного простору.

Таким чином, у динамічних моделях використовуються вектори n та m вимірних просторів, координати яких залежати від години t.

Координати векторів

Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:

напрям (();

початок відліку (крапка 0);

відрізок, який приймають за одиницю масштабу.

Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (крапка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е₂).

Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (крапки 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі ( у тривимірному просторі Е₃).

На малюнку 3 зображені:

а) прямокутна декартова система координат на площині;

b) прямокутна декартова система координат у просторі.

a) b)

Рис.3.

Вісь 0_х називають віссю абсцис; 0_у - вісь ординат; 0_z - вісь аплікат. Орт осі 0_х позначають , орт осі 0_у - вектор , орт осі 0_z - вектор .

Упорядкована пари чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у, називається декартовими прямокутними координатами крапки М, це позначають М(х,у).

Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух, називається координатами крапки М декартової прямокутної системи координат у просторі, це позначають М(х,у,z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та в просторі.

Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай завдань вектор та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо крапки А₁ та В₁ - проекції точок А та В.

Означення 2. Проекцією вектора на вісь називається довжина вектора , яка узята із знаком “+”, якщо напрям співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні (дів. Малий.4).

Позначають: ін₁ .

Означення 3. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку (дів. рис.4).

а) b)

Рис.4.

Знайдемо ін₁ :

У випадку а) маємо: ін₁ =

У випадку b) маємо:

пр₁

=

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між вектором і віссю.

Означення 4. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.

Нехай вектор має координати ах, а_у, а_z тобто = (ах, а_у, а_z) і утворює з осями координат гуляй тоді

ах = | | , а_y = | | , а_z = | | ,

, називають напрямними косінусами вектора . З попередніх формул маємо:

Розглянемо вектор , де М₁(х₁,y₁) - початок вектора, М₂(х₂,y₂) - кінець вектори (дів.Малий.5). у цьому випадку

тобто координати вектора - це впорядкована пари чисел (х₂ - х₁; y₂ - y₁). Аналогічно одержуємо, що координатами вектора в просторі буде впорядкована трійка чисел (х₂ - х₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁).

Рис.5

Отже, можна сформулювати правило:

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.

Наприклад, вектор , початок якого знаходиться в точці М₁(2,-3,0), кінець - у точці М₂(1,1,2), має координати

= (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)

Зауваження. Вектор ( де крапка 0 - початок координат) називають радіусом-вектором крапки А і позначають . Координати вектора співпадають з координатами крапки А.

По аналогії з векторами = (ах, а_у) із Е₂ та вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять n елементів, розглядають як вектори їз n вимірного простору Е_n, а їх елементи називають координатами вектора.

Наприклад,

.