Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Міністерство Освіти і Науки України

Донбаський Державний Технічний Університет

Кафедра математичного аналізу

ДИПЛОМНА РОБОТА

Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Науковий керівник

к.ф.-м.н, доцент

Тимофіїв В.Р.

Завідувач кафедрою

доктор ф.-м.н., професор

Прохоров Д.В.

Зміст

Вступ

§1. Деякі допоміжні визначення

§2. Прості властивості модулів нерперывности

§3. Узагальнення теореми Джексона

§4. Узагальнення нерівності С.Н. Бернштейна

§5. Диференціальні властивості тригонометричних поліномів, що апроксимують задану функцію

§6. Узагальнення зворотних теорем С.Н. Бернштейна і Ш. Валлепуссена

§7. Основна теорема

§8. Вирішення завдань

Література

Вступ

Дипломна робота присвячена дослідженню якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами. У ній даються необхідні і достатні умови для того, щоб якнайкращі наближення мали заданий (статечною) порядок убування.

Дипломна робота носить реферативний характер і складається з “Введення” і восьми параграфів.

У справжній роботі ми розглядаємо наступні завдання:

При яких обмеженнях на безперервну функцію F(u) (-1 Ј u Ј +1) її якнайкращі наближення En [F;-1,+1] звичайними многочленами мають заданий порядок j (n-1 )?

При яких обмеженнях на безперервну періодичну функцію f (x) її якнайкраще наближення En[f] тригонометричними поліномами мають заданий порядок j (n-1 )?

Підстановка u=cos(x) зводить завдання 1 до завдання 2. Достатньо, отже, розглядати лише завдання 2.

Ми обмежимося випадком, коли j(d) О N ^а, для деякого а, де j(d) - функція порівняння р-го порядку і для 0< d<h Ј p

С.Н. Бернштейн, Д. Джексон і Ш. Валле-пуссен отримали залежності між оцінками зверху для En[f] і диференціальних властивостей f. Деякі доповнення до їх теорем доведені А.Зігмундом. нас чекає, тому, отримати залежності між диференціальними властивостями f і оцінками En[f] знизу. Вперше завданнями типу 1 займався С.Н. Бернштейн. А саме, їм отримана ассимптотическое рівність:



,

де m - деяке число.

Наша основна теорема формулюється таким чином:

Хай j О N ^а. Для того, щоб

необхідно, щоб для будь-якого натурального k>a, і достатньо, щоб для деякого натурального k>a

де

Викладемо тепер стисло зміст кожного з параграфів роботи.

У §1 дається ряд допоміжних визначень, які знадобляться в подальшій роботі.

У §2 виводяться основні властивості модулів безперервності вищих порядків. Майже всі ці властивості використовуються в подальшому тексті.

§3 присвячений узагальненню теореми Джексона. Як відомо, Джексон довів наступну теорему: якщо f має безперервну r-ую похідну f (r), то

Таким чином, теорема Джексона дає оцінку зверху для якнайкращих наближень, якщо відомі диференціальні властивості функції, що апроксимується.

У 1947 р. з'явилася робота С.Н. Бернштейна [1]. Одна з теорем цієї роботи містить як слідство таку пропозицію: хай

Тоді

У §3 доводимо:

(*)

У §4 формулюється доведене в роботі С.Б. Стечкина [2] узагальнення відомої нерівності С.Н. Бернштейна [3], [4] для похідних від тригонометричного полінома. Ми приводимо потім ряд следствий з нашої нерівності (*). Вони грають істотну роль при доказі теорем §5.

У §5 розглядається наступне завдання. Хай тригонометричний поліном tn, близький в рівномірній метриці до заданої функції f або послідовність поліномів {tn} досить добре апроксимує задану функцію f. Як зв'язані тоді диференціальні властивості f з диференціальними властивостями tn?

Якщо tn, утворюється з f за допомогою регулярного методу підсумовування рядів Фурье, то відповідь тривіальна: для того, щоб необхідно і достатньо, щоб рівномірно відносно n. (fОHk[w], якщо ).

Виявляється, що цей результат зберігається і для поліномів якнайкращого наближення: для того, щоб рівномірно відносно n.Відзначимо ще один результат параграфа: для того, щоб необхідно і достатньо щоб

.

§6 присвячений “зворотним теоремам” теорії наближення.

Відома пропозиція: хай

.

Тоді, якщо а не ціле, r=[a], b=a-r, то f має нерперывную похідну .

Випадок цілого а розглянутий Зігмундом. В цьому випадку

.

Неважко показати, що ці дві пропозиції еквівалентні наступному: хай 0<a<k і

.

Тоді

.

У роботі [3] С.Н. Бернштейн довів також еквівалентність умов

і .

Ми переносимо ці теореми на умови вигляду

,

де j О N ^а.

Крім того, в цьому параграфі доведена, наприклад, така пропозиція: хай до - натуральне число і

;

для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

.

В кінці параграфа даються уточнення теорем Валле-Пуссена.

У §7 доводиться основна теорема. Ми даємо тут же оцінку En[f] знизу, якщо

.

Саме, тоді

Випадок a=0 встановлений С.Н. Бернштейном [3].

У §8 ми розглядаємо декілька вирішень завдань з використанням різних модулів безперервності.

§1. Деякі допоміжні визначення

У роботі розглядаються безперервні функції f з періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через tn(x) позначається тригонометричний поліном порядку не вище n, а через tn*(x)=t_n^*(x,f)-тригонометрический поліном, що найменш ухиляється від f серед всіх tn(x). Ми вважаємо і пишемо

Введемо ряд визначень.

Визначення 1. При кожному фіксованому класом Ліпшиця порядку а називається множина всіх безперервних функція f, модуль безперервності кожною з яких задовольняє умові

де С8-какая-нібудь позитивна постійна, яка не залежить від d і яка, взагалі кажучи, є різною для різних функцій. Цей клас позначається Ha або Lip а.

Визначення 2. Позначимо при фіксованому натуральному r через W(r)L клас функцій f, яка має абсолютно безперервні похідні до (r-1) порядку і у якої r-я похідна належить класу L.

Визначення 3. Для безперервної на [а,b] функції f (x) назвемо модулем безперервності першого порядку або ж просто модулем безперервності функцію w(d)=w(f;d), визначену на [0, b-a] за допомогою наступної рівності:



(1.1)

або, що те ж саме

(1.1')

Властивості модуля безперервності:

w(0)=0;

w(d) є функція, що монотонно зростає;

w(d) є функція безперервна;

w(d) є функція напіваддитивна в тому сенсі, що для будь-яких і

(1.2)

Доказ. Властивість 1) витікає з визначення модуля безперервності.

Властивість 2) витікає з того, що при великих d нам доводиться розглядати sup на ширшій безлічі значень h. Властивість 4) виходить з того, що якщо ми число представимо у вигляді h=h1+h2 і то отримаємо



З нерівності (1.2) витікає, що якщо то

тобто

(1.3)

Тепер доведемо властивість 3). Оскільки функція f (x) рівномірно безперервна на [а,b], то при і, отже, для будь-яких d

при

а це і означає, що функція w(d) безперервна.

Визначення 4. Хай функція f (x) визначена на сегменті [а,b]. Тоді для будь-якого натурального до і будь-яких і h>0 таких, що к-й різницею функції f в точці x з кроком h називається величина

(1.4)

а при і h>0 таких, що к-й симетричною різницею - величина



(1.4')

Лема 1. При будь-яких натуральних j і до справедливо рівність

(1.5)

Доказ. Дійсно, оскільки при будь-якому натуральному до

то

Лема доведена.

Лема 2. При будь-яких натуральних до і n вірна формула:

(1.6)

Доказ. Скористаємося індукцією по до. При k=1 тотожність (1.6) перевіряється безпосередньо:

.

Припускаючи його справедливість при k-1 (kі2), отримаємо

Лема доведена.

Визначення 5. Якщо вимірна періоду (b-a) функція f(x)Оlq (Lq-класс всіх речових вимірних на [а,b] функції f(x)), то під її інтегральним модулем гладкості порядку kі1 розуміють функцію

Лема 3. Якщо то справедливо

(1.7)

Доказ. Насправді



і так далі. Лема доведена.

Визначення 6. Якщо функція f(x) обмежена на [а,b], то під її модулем гладкості порядку kі1 розуміють функцію

задану для ненегативних значень і у разі, коли k=1, що є модулем безперервності.

Властивості модулів гладкості:

є функція, що монотонно зростає;

є функція безперервна;

При будь-якому натуральному n має місце ( точне) нерівність

(1.8)

а при будь-якому -неравенство

(1.8)

5) Якщо функція f(x) має усюди на [а,b] безперервні похідні до (r-1) -го порядку, і при цьому (r-1) -а похідна то

(1.9)

Доказ. 1) Властивість 1) негайно витікає з того, що

2) Властивість 2) доводиться точно так, як і для випадку звичайного модуля безперервності.

3) Припускаючи для визначеності, що d>d', отримаємо

Цим безперервність функції wk(d) доведена.

Використовуючи рівність лему 2 §1, маємо



Цим нерівність (1.8) доведена. Нерівність (1.8') виходить з монотонності функції wk(t) і нерівності (1.8).

Використовуючи рівність лему 1 і лему 3 §1, отримаємо

Визначення 7. Хай к-натуральное число. Говоритимемо, що функція є модуль безперервності к-го порядку функції f, якщо

де -кінцева різниця функції f к-го порядку з кроком h:



Серед модулів безперервності всіх порядків особливо важливе значення мають випадки k=1 і k=2. Випадок k=1 є класичним; замість ми писатимемо просто і називати цю функцію модулем безперервності; функцію ми називатимемо модулем гладкості.

Визначення 8. Задамо натуральне число до. Говоритимемо, що функція -є функція порівняння к-го порядку, якщо вона задовольняє наступним умовам:

визначена для _

не убуває

,

Неважко показати, що якщо f є 0, то є функція порівняння к-го порядку (див. Лему 5 §2).

Визначення 9. Зафіксуємо натуральне число до і функцію порівняння к-го порядку . Говоритимемо, що функція f належить до класу якщо знайдеться константа С10>0 така, що

Замість писатимемо просто Hka.

Якщо для послідовності функцій {fn} (n=1,2...)



де С10 не залежить від n, то писатимемо: рівномірно відносно n.

Поняття класів є природним узагальненням класів Ліпшиця і класів функцій, що мають обмежену к-ю похідну.

Визначення 10. Зафіксуємо число a>0 і позначимо через p найменше натуральне число, не менше ніж а (p=-[- а]). Говоритимемо, що функція належить до класу якщо вона

1) є функція порівняння p-го порядку і

2) задовольняє умові: існує константа С11>0 така, що для

Умова 2) є невеликим ослабленням умови « не убуває». Функції класу Na гратимуть основну роль у всьому подальшому викладі.

Визначення 11. Говоритимемо, що функція має порядок якщо знайдуться дві позитивні константи С12 і С13 такі, що для всіх t, для яких визначені функції і _

.

При виконанні цих умов писатимемо

.

Визначення 12. Ядром Дирихле n-го порядку називається функція

(1.10)

Це ядро є тригонометричним поліномом порядку n і при цьому

(1.10')

Визначення 13. Ядром фейєра n-го порядку називається функція

(1.11)

Ядро фейєра Fn(t) є середнім арифметичним перших n ядер Дирихле, і означає, є тригонометричним поліномом порядку (n-1). Отже має місце рівність

(1.11')

(1.11')

де Dk(t) -ядра Дирихле.

Визначення 14. Ядром Джексона n-го порядку називається функція

(1.12)

Властивості ядер Джексона.

а) При кожному n ядро Jn(t) є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядка 2n-2 види



,

де jk=jk(n) - деякі числа

б)

в)

г)

Доказ.

а) Враховуючи, що для ядер Fn(t) фейєра має місце рівність

отримаємо

де jk(k=1,2...,2n-2) -некоторые числа, і зокрема, через ортогональности тригонометричної системи функцій знайдемо



Цим властивість а) доведено.

б) Ця рівність виходить з рівності, отриманої для j0.

в) Оскільки при будь-якому і при (**)то

г) Абсолютно аналогічно злучаю в) отримаємо

Що і потрібно було довести.

Визначення 15. Ядром типу Джексона порядку n називається функція

, (1.13)

n=1,2,3...,k-натуральное, де



(1.13')

Ядра типу Джексона володіють наступними властивостями:

а)

б) При фіксованому натуральному до і довільному n ядро Jn,k(t)

є парним ненегативним тригонометричним поліномом порядку до(n-1)

в) n2k-1, тобто існують постійні С14>0 і С15>0, такі, що при всіх n=1,2,3... буде

г) При будь-якому s>0 має місце нерівність

д) При будь-якому натуральному

Доказ властивостей ядер типу Джексона.

а) Ця властивість витікає з рівності визначення

б) Ця властивість виходить з 1-ої нерівності визначення і з того, що через рівність (1.11) і (1.11`) буде

(1.14)

де - деякі цілі числа.

в) Враховуючи нерівності (**), матимемо

(1.15)

З іншого боку

(1.15`)

г) Ця нерівність витікає з першої рівності визначення і нерівності (1.15`)



д) Дійсно, з одного боку, через нерівності (1.15`) і (**)

(1.16)

де A-const, а з іншого боку, враховуючи співвідношення (1.15), нерівностей (**) і з нерівності sintЈt, при всіх tі0 (***), маємо

(1.16`)

A1-const. Нерівності (1.16) і (1.16`) рівносильні умові, що і потрібно було довести.



§2. Прості властивості модулів неперевності

Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції f1, що розглядаються тут, f2 ... - безперервні.

ЛЕМА 1. Для будь-якого натурального до і будь-якого dі0

(2.1)

Доказ: за визначенням

Лема доведена.

ЛЕМА 2. Хай f і l -натуральные числа, l<k. Тоді для будь-якого dі0

(2.2)

І (2.3)

Доказ: Покладемо

Тоді для 0Јl<k маємо

звідки

Звідси при l=0 витікає, що

,

а при 0<l<k

Вважаючи в (2.3) l=1, знаходимо, що

З цієї нерівності видно, що для будь-якого натурального до

. (2.4)

ЛЕМА 3. Для будь-якого натурального до модуль безперервності к-го порядку є безперервною функцією від d.

Доказ: Хай Маємо

Звідси

і

Таким чином

і так як при то звідси витікає безперервність функції і лема доведена.

ЛЕМА 4. Хай до і p-натуральные числа. Тоді для будь-якого dі0

(2.5)

Доказ: Індукція по до дає формулу



Звідси

і

Лема доведена.

ЛЕМА 5. Хай к-натуральное число, d>0, h>0. Тоді

(2.6)

Якщо крім того 0<d<h, то

(2.7)

Доказ: Доведемо спершу нерівність (2.6). Розглянемо випадок для hЈd. Знайдемо натуральне число p з умов

(2.8)

Тоді h<pd-1, і так як -є неубутною функцією від h, то беручи до уваги (2.5) і (2.8), отримаємо

Розглянемо випадок для h<d. Знайдемо натуральне число p з умов

(2.9)

Тоді h<pd, і так як -є неубутною функцією від h, то беручи до уваги (2.5) і (2.9), отримаємо

,

і нерівність (2.6) доведена. Нерівність (2.7) витікає з (2.6), оскільки d+hЈ2h для 0<d<h.

Нерівність (2.7) показує, що для будь-якої fє0 і будь-якого натурального до

(2.10)

Лема доведена.

ЛЕМА 6. Хай f має r-ю похідну f(r). Тоді

(2.11)

і для будь-якого натурального до

(2.12)

Доказ: Обидві нерівності безпосередньо витікають з формули

Якщо k=0, то ми отримуємо формулу (2.11). Лема доведена.

§3. Узагальнення теореми Джексона

Тут буде отримано невелике посилення теореми Джексона про якнайкращі наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Лема 7. Хай дано натуральне число до. Існує послідовність ядер{Kn(t)}(n=0,1...), де Kn(t) є тригонометричний поліном порядку не вище n, що задовольняє умовам:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Цю лему можна вважати відомою. Як показує простій підрахунок, абсолютно аналогічний Джексоном, що проводився, як ядра Kn(t) можна узяти ядра Джексона достатньо високого ступеня, тобто покласти



де k0-целое, не залежить від n натуральне p визначається з нерівності

,

а bp вибираються так, щоб було виконано нормування (3.1).

Лема 8. Якщо послідовність ядер {Kn(t)} задовольняє всім умовам попередньої леми, то

(3.4)

Доказ. Маємо, користуючись (3.2) і (3.3)

Лема доведена.

Теорема 1. Хай к-натуральное число. Тоді



(3.5)

Доказ. Хай послідовність ядер {Kn(t)} (n=1,1,2...) задовольняє всім умовам леми 7. Покладемо

Очевидно є тригонометричний поліном порядку не вище n-1. Оцінимо Маємо

Тому

(3.6)

Оцінимо останній інтеграл. Вважаючи в нерівності (2.6) отримаємо, що

Звідси і з (3.4) слідує:



Підставляючи цю оцінку в (3.6), отримуємо затвердження теореми. Теорема доведена.

Слідство 1.1. Хай к-натуральное число, r-целое ненегативне. Тоді

(3.7)

Насправді, згідно (2.12)

і застосування теореми 1 дає (3.7).

§4. Узагальнення нерівності С.Н. Бернштейна

У цьому параграфі формулюється одне узагальнення нерівності С.Н. Бернштейна для похідних від тригонометричного полінома.

Теорема 2. Хай . Тоді для будь-якого натурального до

(4.1)

і нерівність звертається в нерівність в тому і лише в тому випадку, якщо

Доказ цієї нерівності опублікований в роботі С.Б. Стечкина [2].

Відзначимо декілька следствий з цієї нерівності.

Слідство 2.1. (нерівність С.Н. Бернштейна):

(4.2)

Вважаючи в (4.1) отримуємо

(ця нерівність доведена С.М. Никольським [5]) але по лемі 2 §2,

звідки і слідує (4.2).

Дві останні нерівності одночасно звертаються в рівність тільки у випадку, якщо

Слідство 2.2. Хай . Тоді

(4.3)

Перша нерівність співпадає із затвердженням теореми 2, а друге витікає з оцінки

(4.4)

Таким чином, для середній член в (4.3) поміщений між двома межами, залежними тільки від q.

Слідство 2.3. Хай . Тоді

(4.5)

Зокрема

(4.6)



Слідство 2.4. Хай Тоді

(4.7)

Зокрема, для маємо

(4.8)

Насправді, з (4.4) або (2.12) слідує:

і залишається скористатися нерівністю (4.5).

Слідство 2.5. Хай Тоді

. (4.9)

Друга половина нерівності співпадає із слідством 2.4, а перша безпосередньо витікає з (2.7).



§5. Диференціальні властивості тригонометричних поліномів, що апроксимують задану функцію

У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном tn(x) близький до заданої функції f, то його модулі безперервності можна оцінити через модулі безперервності f.

Теорема 3. Зафіксуємо натуральні числа до і n і хай

(5.1)

Тоді для будь-якого

(5.2)

(5.3)

(5.4)

і

(5.5)

Попередні зауваження. Нерівності (5.2) і (5.4) переважно для великих d, а (5.3) -для малих. Якщо то (5.2) сильніше, ніж (5.4); проте (5.4) має більш симетричну форму і часто зручніше в додатках.

Доказ. Доведемо (5.2). Користуючись (2.1), (2.2) і (5.1), маємо



Доведемо (5.5). Покладемо в (5.2) . Тоді отримаємо :

після чого (4.5) дає (5.5).

(5.3) виходить з (5.5) в силу (2.11).

Залишається довести (5.4). Хай спершу . Тоді з (5.4) слідує:

Розглянемо, нарешті, випадок . З нерівності (2.7) виводиться

Підставляючи цю оцінку в (5.3), отримуємо (5.4) для .

Таким чином, теорема повністю доведена.

Слідство 3.1. Хай для деякого натурального до і будь-якого натурального n

(5.6)

Тоді для будь-якого d>0

(5.7)

рівномірно відносно n.

Слідство 3.2. Хай для деякого натурального до і будь-якого натурального n

Тоді

(5.8)

Теорема 4. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб

(5.9)

рівномірно відносно n.

Це витікає з теореми 1, следствия 3.1 і того зауваження що якщо виконана умова (5.9), то .

Теорема 5. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб

(5.10)

Це доводиться аналогічно теоремі 4, тільки замість слідства 3.1 потрібно скористатися слідством 3.2.

Нерівності теореми 3 мають той недолік, що їх праві частини явно залежать від константи С20. Таким чином, якщо замість фіксованого номера n і одного полінома tn розглядати послідовність поліномів {tn} (n=1,2...), то С20 опиниться, взагалі кажучи, незалежною від n і теореми 3 дає оцінки, не рівномірні відносно n. Покажемо як позбавитися від цієї незручності.

Теорема 6. Хай для деякого натурального до

(5.11)

і

(5.12)

Тоді для будь-якого d>0

(5.13)

рівномірно відносно n.

Доказ. Хай спершу . З нерівності (5.2) виходить, що

і на підставі (5.11)

(5.14)

Розглянемо випадок . Покладемо в (5.14) . Тоді отримаємо

З цієї нерівності, в силу, витікає, що

Але оскільки, по умові то

Звідси

Остаточно

і теорема доведена.

У наступному параграфі буде показано, як можна видозмінити обмеження (5.11) теореми 6.

§6. Узагальнення зворотних теорем С.Н. Бернштейна і Ш. Валле-Пуссена.

У цьому параграфі узагальнюються і уточнюються так звані “зворотні теореми” теорії наближення. Мова йде про оцінці диференціальних властивостей функції f, якщо відомі властивості послідовності її якнайкращих наближень {En_}.

Лема 9. Задамо натуральне число до, і хай

(6.1)

і

. (6.2)

Тоді

(6.3)

Доказ. Маємо, згідно (2.1)

Але з (2.10) і (6.2) отримуємо

а з (2.2) і (6.1)

Тому

ліва частина цієї нерівності не залежить від n, а тому

і лема доведена.

Для отримання гарних оцінок зазвичай досить узяти . Проте на виключена можливість, що в деяких випадках інший вибір може опинитися переважно.

Теорема 7. Хай к-натуральное число, функція не убуває і

(6.4)

Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.5)

Доказ. Необхідність умови (6.5) витікає із слідства 3.2. Встановимо його достатність, для чого скористаємося лемою 9. Отримуємо:

Покладемо тут ; тоді для матимемо

і тому

і теорема доведена.

Відзначимо два слідства з цієї теореми.

Слідство 7.1. Хай к-натуральное число, функція не убуває і

(6.6)

Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.7)

Слідство 7.2. Хай к-натуральное число і Якщо

і

(6.8)

то

рівномірно відносно n.

Це витікає з теорем 7 і 6.

Теорема 7 показує, що потрібно додати до умови (6.4), щоб отримати . Тепер ми отримаємо оцінки для виходячи тільки з умов вигляду (6.4). Попутно з'ясовується, що при деяких додаткових обмеженнях на функцію умова (6.5) стає зайвою. Суть справи в тому, що при цих обмеженнях (6.4) вабить (6.5).

Лема 10. Хай

(6.9)

де . Тоді для будь-якого натурального до

(6.10)

Доказ. Зафіксуємо натуральне число n, визначимо натуральне p з умов

і побудуємо послідовність номерів поклавши

Для оцінки представимо у такому вигляді:



Оскільки то звідси

(6.11)

Оцінимо Ul(k). Маємо для l=1,2...,p

звідки

Але є тригонометричний поліном порядку не вище nl. Тому по нерівності С.Н. Бернштейна

(6.12)

Відмітимо тепер, що, через визначення послідовності {nl}

і для

Тому, користуючись ще монотонністю послідовності {Fn}₂ знаходимо, що для

(6.13)

При допомозі (6.11), (6.12) і (6.13) знаходимо остаточно:

і лема доведена.

Теорема 8. Для будь-якого натурального до і будь-якого

(6.14)

Доказ. Маємо

Звідси, по лемі 10



Скористаємося тепер лемою 9. Отримуємо:

Якщо то . Крім того

Тому для

і теорема доведена.

Ми звертаємося тепер до розгляду питання про те, при яких обмеженнях на {En} умову (6.4) вабить

Теорема 9. Задамо натуральне число до; хай і . Для того, щоб необхідно і достатнє виконання умови

(6.15)



Доказ. Необхідність умови (6.15) витікає з теореми 1. Доведемо його достатність. Згідно теоремі 8, для

Покладемо тут і відмітимо, що тоді для і, через умову _

Тому для

і теорема доведена.

Слідство 9.1. Хай і . Тоді для всіх натуральних класи еквівалентні.

Слідство 9.2. Хай і . Якщо

то для будь-якого фіксованого натурального

рівномірно відносно n.

Розглянемо тепер наступне питання. як зв'язані наближення функції f з наближеннями і диференціальними властивостями її похідних f (r)?

Теорема 10. Задамо натуральне число r, і хай

(6.16)

де

(6.17)

Тоді f має безперервну похідну f(r) і

(6.18)

С.Н. Бернштейн [3] довів таку теорему: якщо ряд сходиться, то функція f має безперервну похідну f (r). Розгляд цього доказу С.Н. Бернштейна показує, що насправді їм встановлене наступне, більш загальна пропозиція: хай виконані умови (6.16) і (6.17). Тоді функція f має безперервну похідну f(r) і рівномірно відносно x. В ході доведення теореми 10 ми знов встановимо цю пропозицію.

Доказ. при . Тому рівномірно відносно x. Звідси витікає, що якщо {nk} (k=0,1,2...) є зростаюча послідовність номерів, то

Зафіксуємо натуральне число n і покладемо

Тоді матимемо

(6.19)

де

Доведемо, що формулу (6.19) можна продиференціювати почленно r разів, тобто

(6.20)

Для цього досить встановити, що ряд справа рівномірно сходиться. Перш за все, оцінимо . Маємо



звідки

Оцінимо тепер . По нерівності С.Н. Бернштейна

Користуючись цією оцінкою, отримуємо:

Але

Тому



(6.21)

Отже, доведена збіжність ряду а разом з цим встановлена і формула (6.20). З (6.20) і (6.21) витікає, що

і теорема доведена.

В деяких випадках оцінка (6.18) може бути спрощена. Хай, наприклад

(6.22)

Тоді

Тому при виконанні умови (6.22) замість (6.18) можна написати

Слідство 10.1. Хай r-натуральное число і сходиться ряд



Тоді

(6.23)

Теорема 11. Хай r-натуральное число і для функції f сходиться ряд

Тоді для будь-якого натурального до і будь-якого

(6.24)

Доказ. Маємо

Звідси, по лемі 10

Далі, згідно теоремі 10

Скористаємося тепер лемою 9. Отримуємо

Відмітимо, що

Таким чином, якщо то

і теорема доведена.



§7. Основна теорема

Звернемося тепер до розгляду наступного питання: які необхідні і достатні умови того, щоб

де -задана незростаюча функція?

Наскільки нам відомо, це завдання не було до цих пір вирішене навіть для випадку . Ми вирішимо її для функцій порівняння .

Лема 11. Хай і для деякого натурального

(7.1)

Тоді існує така константа с>0, що

(7.2)

Доказ. Згідно (7.1), знайдуться дві такі константи С60>0 і C61>0, що

(7.3)

Останнє з цих нерівностей, теорема 1 і теорема 3 ваблять нерівність



(7.4)

В силу і (2.2), маємо

Звідси

Користуючись (7.3) і (7.4), знаходимо, далі

(7.5)

Пригадаємо тепер, що . Це дає нам для

Підставляючи цю оцінку в (7.5), отримуємо

(7.6)



Ми можемо без обмеження спільності вважати, що тут . Покладемо в (7.6)

Тоді отримаємо остаточно

і лема доведена.

Основна теорема. Хай . Для того, щоб

(7.7)

необхідно, щоб для всіх натуральних і достатньо, щоб для деякого натурального

. (7.8)

Доказ. Хай має місце (7.7), тобто знайдуться дві позитивні константи С67 і С68, для яких

(7.9)



Тоді, по теоремі 1 і через першу половину нерівності (7.9), для будь-якого до маємо

тобто

Звідси, в силу _

і якщо то, зважаючи на монотонність і _

Далі, з другої половини нерівності (7.9) і теореми 9 витікає існування константи С72 такий, що для будь-якого

Цим закінчується доказ необхідності умови (7.8).

Хай має місце (7.8):



(7.10)

з С73>0. Тоді по теоремі 1 і через другу половину нерівності (6.10)

а по лемі 11

де С77>0.

Таким чином, встановлена достатність умови (7.8), і основна теорема повністю доведена.

Приведемо на закінчення узагальнення леми 11 на той випадок, коли оцінки зверху і знизу мають різні порядки.

Теорема 12. Хай і

(7.11)

Тоді

(7.12)

Доказ. Маємо, як при доказі леми 11



Покладемо тут

Тоді отримаємо, що

Теорема доведена.

§8. Вирішення завдань

Приклад 1. Хай Тоді при кожному

Приклад 2. Хай графік функції f(x) має вигляд, зображений на рис.8.1. Тоді графік функції показаний на рис.8.2.



Мал. 8.1. Мал. 8.2.

Приклад 3. Хай при

і хай - періодичне продовження функції на всю вісь.

Мал. 8.3.

Мал. 8.4.

Тоді якщо функцію розглядати на сегменті довжини так, що (мал. 8.3)

то (мал. 8.4)



тобто модуль безперервності функції у крапці не досягає свого найбільшого значення і, отже, відрізняється від модуля безперервності цієї функції на всій осі.

Приклад 4. При функція

є модулем безперервності.

Приклад 5. При функція

є модулем безперервності.

Приклад 6. При маємо отже при всіх буде

.



Література

Бернштейн С.Н. Про властивості однорідних функціональних класів // Доповіді Ак. Наук СРСР-1947.-№57.-с.111-114.

Стечкин С.Б. Про порядок якнайкращих наближень безперервних функцій // Доповіді Ак. Наук СРСР-1949.-№65.-с.135-137.

Бернштейн С.Н. Про якнайкраще наближення безперервних функцій за допомогою многочленів даного ступеня // Сообщ. Харьк. Матем. о-ва (2) -1912.-№13.-с.49-144.

Бернштейн С.Н. Екстремальні властивості поліномів і якнайкраще наближення безперервних функцій однієї речової змінної. Частина I, -М.-Л.,-1937.

Никольський С. Обобщеніє однієї нерівності С.Н. Бернштейна // Доповіді Ак. Наук СРСР-1948.-№65.-с.135-137.

Гончаров В.Л. Теорія інтерполяції і наближення функцій.-М.-Л.,-1934.

Дзядик В.К. Введення в теорію рівномірного наближення функцій поліномами. -М.: Наука.-1977.-с.512.

Стечкин С.Б. Про порядок якнайкращих наближень безперервних функцій // Доповіді Ак. Наук СРСР-1949.-№65.-с.135-137.

Тіман А.Ф. Теорія наближення функцій функцій дійсного змінного. -М.:ГИФМЛ,-1960.-с. 624.

Ахиезер Н.І. Лекції з теорії апроксимацій.-М.:ГИТТЛ,-1947.-324.

Арестов В.В. Про рівномірну регуляризации завдання обчислення значень оператора // Математичні замітки, -т.22.-1977.-№2.-с.231-243.

Стечкин С.Б. Про порядок якнайкращих наближень безперервних функцій // Ізв. АН СРСР-Математика-1931.-№15.-с.219-242.