Визначення математичного сподівання. Побудова графіку функції розподілу

Контрольна робота з теорії ймовірності

Варіант №12



Завдання 1. Обчислити ймовірність події

У коробці 9 однакових виробів, із яких 6 - пофарбовані. Яка ймовірність того, що 4 узятих навмання вироби пофарбовані?

Рішення. Загальне число n можливих наслідків дорівнює кількості способів витягнути з 9 виробів саме 4, тобто . Число сприятливих результатів дорівнює числу способів взяти з 6 пофарбованих виробів 4, тобто . Тоді, виходячи з , шукана ймовірність:

Відповідь: Р(А)=0,119

Завдання 2. Розв'язати задачу

У місті щоденно народжується 400 немовлят. Знайти ймовірність того, що серед них 210 дівчаток, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51.

Рішення. Згідно з локальною теоремою Лапласа ймовірність заданої події складає:

; ;



де п - загальна кількість подій (400);

q - ймовірність народження хлопчика (0,51);

р - ймовірність народження дівчинки (р=1-q=1-0,51=0,49);

k - кількість очікуваних подій (210).

Тоді при підстановці вихідних даних до формул отримаємо:

х= 1,40; ц(х)=0,14967; Рп(k)=0,015

Відповідь: Рп(k)?0,015

Завдання 3. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

1. Знайти функцію розподілу F(х) і побудувати її графік.

2. Обчислити математичне сподівання М[X].

3.Обчислити дисперсію D[X] та середньоквадратичне відхилення у[X].

Закон розподілу
х	-2	-0,5	1	2,5
р	0,10	0,28	0,35	0,27

Рішення.

1. За визначенням F(х)=Р(Х<х). Тому:

при х<-2 F(х)=Р(Х<-2)=0;

при -2<х<-0,5 F(х)=Р(Х<-0,5)=0,10;

при -0,5<х<1 F(х)=Р(Х<1)=0,10+0,28=0,38;

при 1<х<2,5 F(х)=Р(Х<2,5)=0,10+0,28+0,35=0,73;

при х>2,5 F(х)=Р(Х>2,5)=0,10+0,28+0,35+0,27=1.

Таким чином:



Графік функції розподілу F(х)

		1,0
		0,73
		0,38
		0,10
		0

2. Математичне сподівання:

3. Дисперсія D[X]:

Закон розподілу ХІ

хІ	4	0,25	1	6,25
р	0,10	0,28	0,35	0,27

Звідси математичне сподівання квадрата випадкової величини:



М[XІ]=4·0,10+0,25·0,28+1·0,35+6,25·0,27=2,5075

Таким чином дисперсія:

D[X]=2,5075-(0,685)І=2,5075-0,4692=2,0383

Звідси середньоквадратичне відхилення:

Відповідь: M[X]=0,685; D[X]=2,0383; у[X]=1,4277

Завдання Знайти функцію розподілу F(х) і побудувати її графік.

2. Обчислити математичне сподівання М[X].

3.Обчислити дисперсію D[X] та середньоквадратичне відхилення

4. Дана інтегральна функція розподілу неперервної випадкової величини F(x).

Знайти:

а) щільність розподілу f(x) випадкової величини;

б) ймовірність попадання випадкової величини Х у заданий інтервал Р(а<x<b);

в) математичне сподівання М[X].

№ варіанта	Інтегральна функція F(x)	Заданий інтервал [а, b]
11	при 0 <x< 2	[0;2]

Рішення

а) щільність розподілу випадкової величини f(x)=F'(x)

при 0 <x< 2

б) ймовірність попадання випадкової величини Х у інтервал [0;2] дорівнює приросту функції F(x) на цьому інтервалі:

Р(а < Х < b ) = F(b) - F(a)=(2)І/4 - (0)І/4 =4/4 - 0/4=(1 - 0)=1

в) математичне сподівання

Відповідь: ; Р(а < Х < b ) =1; М(Х)=1,33

Завдання 5

1. За даним математичним сподіванням а та дисперсією D[X] записати щільність нормального розподілу випадкової величини Х.

2. знайти ймовірність попадання цієї випадкової величини у заданий інтервал , тобто .

а	D[X]
50	13	(55;68)

Рішення.

1) при нормальному розподілі випадкової величини Х щільність:



, де а=М(Х),

Тоді, підставивши відповідні значення, отримаємо

2) ймовірність попадання випадкової величини у заданий інтервал (32;40)

,

де Ф(х) ? табульована функція Лапласа

Таким чином і враховуючи, що Ф(-х)=-Ф(х), отримаємо:

Відповідь: Р(32 < x < 40 ) ?0,0823

Завдання 6

У результаті вибірки отримано інтервальний статистичний ряд.

	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9
	9	18	33	40	52	29	14

1. Обчислити вибіркову середню, вибіркову дисперсію, виправлену вибіркову дисперсію.

2. Знайти надійні інтервали для математичного сподівання і дисперсії з надійністю .

3. Перевірити за критерієм Пірсона гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х при рівні значущості .

Рішення

1) використаємо наступні формули:

, де

;

Використовуючи дані таблиці

і
1	2,00	3,00	2,50	9	22,50	6,2500	56,2500
2	3,00	4,00	3,50	18	63,00	12,2500	220,5000
3	4,00	5,00	4,50	33	148,50	20,2500	668,2500
4	5,00	6,00	5,50	40	220,00	30,2500	1210,0000
5	6,00	7,00	6,50	52	338,00	42,2500	2197,0000
6	7,00	8,00	7,50	29	217,50	56,2500	1631,2500
7	8,00	9,00	8,50	14	119,00	72,2500	1011,5000
Сума				195	1128,50		6994,7500

отримаємо:

2) надійний інтервал для математичного сподівання обчислимо за формулою:

, де

? критична точка розподілу Стьюдента для заданої надійності

або 5,5688<M[X]<6,0056

Надійний інтервал для дисперсії обчислимо за формулою:

, де

знаходимо за наближеною формулою:

,

де - квантиль нормального розподілу, котрий визначається з рівності:

Звідси

і, відповідно,

З таблиці значень знаходимо

Звідси

Аналогічно знаходимо

З таблиці значень знаходимо

Звідси

Таким чином надійний інтервал для дисперсії D[X]:

або 2,0418<D[X]<2,8550

3)гіпотеза про нормальний розподіл випадкової величини Х підтверджена, коли

З таблиці критичних значень знайдемо

,

де к ? це різниця кількості інтервалів та кількості параметрів розподілу (для нормального розподілу їх 2 ? та ) та мінус 1. Тобто у нашому випадку:

к=7-2-1=4

Таким чином за умови рівня значущості отримаємо

,

де ,

де, у свою чергу,:

при

при

та

Побудуємо таблицю

і
1	2,00	3,00	2,50	9	-1,80	-2,45	0,0357	0,0000	7,0	0,59
2	3,00	4,00	3,50	18	-1,16	-1,80	0,1239	0,0357	17,2	0,04
3	4,00	5,00	4,50	33	-0,51	-1,16	0,3054	0,1239	35,4	0,16
4	5,00	6,00	5,50	40	0,14	-0,51	0,5547	0,3054	48,6	1,53
5	6,00	7,00	6,50	52	0,78	0,14	0,7836	0,5547	44,6	1,22
6	7,00	8,00	7,50	29	1,43	0,78	0,9238	0,7836	27,3	0,10
7	8,00	9,00	8,50	14	2,08	1,43	1,0000	0,9238	14,9	0,05
Сума				195					195,0	3,69

Звідси

Таким чином отримаємо

(3,6911<9,4877), а отже немає підстав відкидати гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х.



Завдання 7

За кореляційною таблицею

	6	8	10	12	14
3,0	2	17	9	3
3,5		10	17	9
4,0		3	24	16	3
4,5			6	24	12
5,0			2	11	22

а) обчислити коефіцієнт кореляції;

б) написати рівняння прямої лінії регресії Y на Х;

в) оцінити тісноту зв'язку Y з Х.

Рішення

а) обчислимо коефіцієнт кореляції за формулою

, де

та , де

та

та

Таким чином можемо побудувати таблицю з деякими проміжними результатами:

	6	8	10	12	14
1	2	17	9	3		31	93	279
2		10	17	9		36	126	441
3		3	24	16	3	46	184	736
4			6	24	12	42	189	850,5
5			2	11	22	35	175	875
	2	30	58	63	37	190
	12	240	580	756	518
	36	784	2195	3210	2464
	72	1920	5800	9072	7252
	3,00	3,27	3,78	4,25	4,76

де ; ;

Підставивши отримані значення до відповідних формул отримаємо:

або та

Таким чином, підставивши отримані вихідні дані до формули для обчислення коефіцієнта кореляції, отримаємо:



Відповідь: r?0,73. Крім того, враховуючи, що коефіцієнт кореляції наближається до 1, то ми можемо зробити висновок про існування між у та х майже лінійної кореляційної залежності.

б) Рівняння прямої лінії регресії у на х має вигляд:

, де

Таким чином отримаємо

або

Відповідь:

в) Тісноту зв'язку Y з Х визначається кореляційним відношенням:

, де

Таким чином тісноту зв'язку Y з Х буде

Виконання рівності , котре, у даному випадку, практично має місце, є умовою того щоб регресія Y на X була наближеною до лінійної.