Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції
Розгляд методів наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції: формули прямокутника і трапеції, параболічне інтерполювання, формула Сімпсона. Програма на мові QBasic для автоматичного обрахування інтегралів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 11.10.2009 |
| Размер файла | 247,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
КУРСОВА РОБОТА
Тема: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції
Зміст
- Вступ
- Формули прямокутників і трапеції
- Параболічне інтерполювання
- Дроблення проміжку
- Залишковий член формули прямокутників
- Залишковий член формули трапеції
- Залишковий член формули Сімпсона
- Додаток 1
- Додаток 2
- Висновки
- Література
Вступ
Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі розглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.
Формули прямокутників і трапеції
Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу , де є деяка задана на проміжку неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первісної, якщо вона виражається в скінченому вигляді, або ж - минуючи первісну - за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас інтегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення. В даній роботі можна ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної. Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл як площу деякої фігури, яка обмежена кривою , ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.
Перш за все, вдруге використовуючи ту думку, яка привела нас до самого поняття про визначений інтеграл, можна розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини , а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули
,
де . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступінчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можна сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.
Мал. 1
На практиці зазвичай беруть якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться у вигляді
. (1)
Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.
Геометричні міркування природно приводять і до другої, наближеної формули, що часто використовується. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках , де . Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що проміжок розбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть
.
Мал. 2
Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули
. (2)
Це так звана формула трапецій.
Можна показати, що при зростанні до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменшується. Таким чином, при достатньо великому обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.
Параболічне інтерполювання
Для наближеного обчислення інтеграла можна спробувати замінити функцію близьким до неї многочленом
(3)
і покласти
Можна сказати, що тут - при обрахуванні площі - дана крива замінюється на параболу -го порядку (3), в зв'язку з чим цей процес отримав назву параболічного інтерполювання.
Сам вибір інтерполюючого многочлена частіше всього виконують наступним чином. У проміжку беруть значень незалежної змінної і підбирають многочлен так, щоб при усіх взятих значеннях його значення співпадало зі значенням функції . Цією умовою, як ми знаємо, многочлен визначається однозначно, і його вираз дається інтерполяційною формулою Лагранжа:
При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіцієнти раз і назавжди, можна їх використовувати для будь-якої функції в даному проміжку .
В найпростішому випадку, при , функція просто замінюється сталою , де - будь-яка точка у проміжку , скажемо, середня: . Тоді наближено
(4)
Геометрично - площа криволінійної фігури замінюється тут площею прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.
При функція замінюється лінійною функцією , яка має однакові з нею значення при и . Якщо взяти , , то
(5)
Таким чином, тут ми наближено вважаємо
На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка сполучає її кінці.
Менш тривіальний результат отримаємо взявши . Якщо покласти , , , то інтерполяційний многочлен буде мати вигляд
(7)
За допомогою легкого обчислення вираховуємо
і, аналогічно
,
.
Таким чином, приходимо до наближеної формули
.
Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.
Збільшуючи степінь інтерполяційного многочлена, тобто проводячи параболу (3) через все більше число даної кривої, можна розраховувати отримати більшу точність. Але більш практичним виявляється інший шлях, якій ґрунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.
Дроблення проміжку
При обчисленні інтегралу можна зробити так. Розіб'ємо спочатку проміжок на деяке число, , рівних проміжків
,
в зв'язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми
(9)
Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул - (4), (6), (8).
Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) і (2).
Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище,
, , .
Ми отримаємо
,
,
.
Зрештою, додаючи почленно ці рівності, прийдемо до формули
(10)
Вона носить назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближеного обчислення інтегралів частіш, аніж формулами прямокутників і трапецій, бо вона - при тих же затратах - дає зазвичай більш точний результат.
Залишковий член формули прямокутників
Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тоді, розкладаючи (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в
,
де міститься між та і залежить від .
Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від до , то другий член з права зникне, бо
(11)
Таким чином, отримаємо
,
так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд
.
Позначивши через і , відповідно найменше та найбільше значення неперервної функції у проміжку і користуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу не змінює знака, за узагальненою теоремою про середнє можемо написати
,
де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно
. (12)
Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точну формулу
.
Додавши ці рівності (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях
,
де вираз
і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз
також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції .
Тому остаточно маємо
(13).
При зростанні цей додатковий член спадає приблизно як .
Залишковий член формули трапеції
Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогадках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати
.
Інтегруючи цю формули від до , знайдемо
,
так що залишковий член формули (6) буде
.
Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо
.
Нарешті, для випадку ділення проміжку на рівних частин
(14).
Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменшується приблизно як . Ми бачимо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.
Залишковий член формули Сімпсона
Звернемося, нарешті до формули (8). Можна було б, аналогічно тому, як це було зроблено тільки що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти
(15).
Але ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середнє, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше.
Вираз
,
яким би не було число , в точках , , приймає одні і ті ж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многочлен Ерміта, який відповідає простим вузлам , і двократному вузлу . Скориставшись формулою Ерміта з залишковим членом - в припущенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно - отримаємо:
.
Тепер проінтегрувавши цю рівність від до ; ми знайдемо, що
так як
.
Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)
,
користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можна підставити в такому вигляді:
.
Якщо проміжок розділити на рівних частин, то - для формули Сімпсона (10) - отримаємо залишковий член у вигляді
(16).
При зростанні цей вираз зменшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.
Додаток 1
Текст програми для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC:
'Тут описуються сталі
e = 2.718281828459045#
pi = 3.141592653589793#
'Тут задається від під інтегральної функції
DEF fny# (x#) = ex# 2
DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2
DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h#
DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2
DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2
DEF fnxir# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2
CLS
'Тут вводяться межі інтегрування та кількість проміжків
INPUT "Введіть нижню межу інтегрування " a#
INPUT "Введіть верхню межу інтегрування " b#
INPUT "Введіть кількість проміжків " n#
'Тут обчислюється крок
h# = (b# - a#) / n#
'Тут обчислюється наближене значення інтеграла за методом Сімпсона
integ# = 0
FOR i# = 1 TO ((2 * n#) - 1)
integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#))
NEXT
integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#)
integ# = integ# * (h# / 6)
PRINT "Simpson = "; integ#
'Тут обчислюється наближене значення інтеграла за методом трапецій
integ# = 0
FOR i# = 1 TO (n# - 1)
integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))
NEXT
integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2
integ# = integ# * h#
PRINT Trapeze = ; integ#
'Тут обчислюється наближене значення інтеграла за методом лівих прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 0 TO (n# - 1)
integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT "L Rectangle = "; integ#
'Тут обчислюється наближене значення інтеграла за методом центральних прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 0 TO n#
integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT "C Rectangle = "; integ#
'Тут обчислюється наближене значення інтеграла за методом правих прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 1 TO n#
integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT "R Rectangle = "; integ#
Додаток 2
Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1.
1) в межах від 0 до
n=1000
Метод Сімпсона -8.742278155181581D-08
Метод трапецій -8.742270585611512D-08
Метод лівих прямокутників 3.141505318306509D-03
Метод центральних прямокутників -3.14167628761223D-03
Метод правих прямокутників -6.283265152840917D-03
2) в межах від 0 до
n=1000
Метод Сімпсона 2.000000000000067
Метод трапецій 1.999998355065565
Метод лівих прямокутників 1.999998355202888
Метод центральних прямокутників 1.999995887392223
Метод правих прямокутників 1.999990952591778
3) в межах від 0 до 1
|
n=1 |
n=10 |
n=100 |
n=1000 |
n=10000 |
||
|
М-д Сімпсона |
,33333333333 |
,3333333333333 |
,3333333333333 |
,3333333333 |
,3333333333333 |
|
|
М-д трапецій |
,5 |
,335 |
,33335 |
,3333334999999 |
,3333333349999 |
|
|
М-д лів. прямокутників |
0 |
,2850000000000001 |
,32835 |
,3328334999999 |
,3332833349999 |
|
|
М-д центр. прямокутників |
2,5 |
,44275 |
,34342525 |
,33433425025 |
,3334333425002 |
|
|
М-д правих прсмокутників |
2,25 |
,4425000000000001 |
,3434249999999 |
,33433425 |
,3334333424999 |
4) в межах від 0 до 1
n=1000
Метод Сімпсона .7468241385662959
Метод трапецій .7468240772530558
Метод лівих прямокутників .7471401375268841
Метод центральних прямокутників .7471916808878213
Метод правих прямокутників .7461916811378212
5) в межах від 0 до
n=1000
Метод Сімпсона .8323745796964475
Метод трапецій .8323723082182791
Метод лівих прямокутників .8325874590746988
Метод центральних прямокутників .8319367429487694
Метод правих прямокутників .8319318081462942
Висновки
У даній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведені формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона.
Література
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.
Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979.
Математический практикум. М.: 1960.
Подобные документы
Визначення понять "первісна функція", "невизначений інтеграл" та "інтегральна сума". Особливості застосування формул прямокутників, трапецій та парабол (Сімпсона). Розрахунок абсолютних похибок методів наближеного обчислення визначених інтегралів.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 26.08.2014Історія розвитку обчислювальної техніки. Особливості застосування швидкодіючих комп'ютерів для розв’язання складних математичних задач. Методика написання програми для обчислення визначених інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 07.10.2010Характерні особливості застосування визначених і подвійних інтегралів, криволінійних і поверхневих інтегралів першого роду для обчислення статичних моментів, моментів сили та моментів матеріальної поверхні. Приклади знаходження вказаних фізичних величин.
реферат [694,9 K], добавлен 29.06.2011Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.
реферат [1,1 M], добавлен 18.07.2010Будування сіткової функції. Методи прямокутників і трапецій, підвищення їх точності. Інтерполяційний многочлен Лагранжа другого степеня. Формула Сімпсона для чисельного інтегрування. Похибка формули Сімпсона. Обчислення наближеного значення інтеграла.
презентация [99,6 K], добавлен 06.02.2014Обчислення довжини дуги для просторової кривої, що задана параметрично. Варіант розрахунку у випадку задання кривої в полярній системі координат. Формули для обчислення площі поверхні обертання. Вираз площі циліндричної поверхні через елементарні функції.
научная работа [103,7 K], добавлен 12.05.2010Поняття подвійного та потрійного інтегралів. Кратні інтеграли в криволінійних координатах. Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів. Криволінійні й поверхневі інтеграли. Спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого та другого роду.
курсовая работа [278,9 K], добавлен 14.01.2011Загальні формули прямокутників. Похибка методу прямокутників. Площа криволінійної трапеції. Формула парабол (Сімпсона). Інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Формула трьох восьмих. Абсолютна похибка обчислення. Наближення підінтегральної функції.
лабораторная работа [298,1 K], добавлен 26.03.2011Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.
контрольная работа [45,7 K], добавлен 04.10.2009Методика розрахунку невизначених інтегралів. Обчислення площі фігури, обмеженої вказаними лініями, та формування відповідного рисунку. Загальний та частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку. Дослідження на збіжність числових рядів.
контрольная работа [490,5 K], добавлен 19.01.2015
