ВВЕДЕНИЕ

Случай, случайность -- с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики--какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности--они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Азартными называют те игры, в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных--алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564--1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым--Блезу Паскалю (1623--1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.

Пусть - пространство элементарных событий, - алгебра событий (алгебра подмножеств множества). В основании теории вероятностей лежат следующие пять аксиом.

1. Алгебра событий является - алгеброй событий.

Система событий называется - алгеброй, если для всякой последовательности событий,, их объединение, пересечение и дополнения, также принадлежат, т.е.,, являются также событиями. Таким образом, - алгебра - это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, счетного объединения и счетного пересечения.

2. На - алгебре событий для любого определяется функция, называемая вероятностью и принимающая числовые значения из интервала [0,1]:.

Данная аксиома - это аксиома существования вероятности - как функции на со значениями из интервала. Следующие три аксиомы определяют свойства функции.

3. Для любых двух событий, таких, что

(15.1)

- аксиома сложения вероятностей.

Отсюда следует, что для конечного числа несовместных событий

. (15.2)

4. Пусть,, - попарно несовместные события: и пусть. Тогда

. (15.3)

Соотношение (15.3) называется аксиомой счетной аддитивности вероятности или аксиомой непрерывности вероятности. Второе связано со следующей интерпретацией равенства (15.3). Событие следует понимать как предел последовательности

. (15.4)

При этом равенство (15.3) можно понимать как свойство непрерывности функции: или

(15.5)

- которое позволяет операцию предела вынести за функцию. Это обусловлено тем, что из условия (15.5) следует (15.3):

. (15.6)

5. . (15.7)

Пятая аксиома указывает на то, что пространство элементарных событий - есть достоверное событие. Таким образом, содержит в себе все события, которые можно рассматривать в данной задаче.

Пространство элементарных событий, - алгебра событий и вероятность на, удовлетворяющие аксиомам 1-5, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать.

Отметим, что система аксиом 1-5 не противоречива, так как существуют, удовлетворяющие этим аксиомам и не полна, так как вероятность можно определить многими способами в рамках аксиом 2-5. Понятие вероятностного пространства (или система аксиом 1-5) содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Последнее возможно только с учетом дополнительных условий, заданных в постановке рассматриваемой задачи.

Аксиоматика теории вероятности.

Построение вероятностного пространства.

Последовательно строим вероятностное пространство.

Этап 1:

Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A М e, B М e наблюдаемы, то наблюдаемы и события.

Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B М F выполняется:

Дополнения

(A+B) О F, (AЧ B) О F

Таким образом, систему мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.

Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.

Этап 2:

Каждому событию A О F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.

Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.

Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида aі x> b, b№ a.

Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида aі x> b, но и расширением полей вида a> xі b, aі xі b.Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

Вероятностным пространством называется тройка (W, s, P), где

W - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;

s - s -алгебра, заданная на W - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;

P - s - аддитивная мера, т.е. s - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из s - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.

Вероятность достоверного события равна 1 P(W)=1.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

k - возможно бесконечное число.

Следствие: Вероятность невозможного события равна 0.

По определению суммы имеет место неравенство W +V=W. W и V несовместные события.

По третьей аксиоме теории вероятности имеем:

P(W)+P(V)=P(W)

1+P(V)=1

P(V)=1

Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий W ={E1, E2,..., Em} тогда по определению. Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности имеет место.

Пусть некоторое событие AМ W состоит из k элементарных событий, тогда {Ei1, Ei2,..., Eik}

Доказать: Если AМ B, то P(B)і P(A), B=A+C, A и C несовместны.

* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории вероятности P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) т.к. 1і P(C)і 0 - положительное число, то P(B)і P(A).

Классическое определение вероятности.

Тогда достоверное событие m - количество равновероятных событий.

Пусть произвольное событие Тогда, т.е. событие A состоит из k элементарных событий.

Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.

Построение вероятностного пространства

Последовательно строим вероятностное пространство.

Этап 1:

Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий . Все события из системы называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A , B наблюдаемы, то наблюдаемы и события .

Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B F выполняется:

Дополнения