Свойства элементарных функций

Средне Общеобразовательное учреждение

Лицей № 57

Свойства элементарных функций

Разработал: Кадесников Даниил

ученик 9 «Б» класса

Проверила: Попова Г.Л

учитель математики

г. Прокопьевск 2008 год.

Содержание

Введение

1. Виды функций

2. Свойства элементарных функций

2.1 Ограничение снизу и сверху на множестве

2.2 Возрастающие и убывающие функции

2.3 Точка максимума и точка минимума

2.4 Наименьшее и наибольшее значение функции

Введение

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический - с помощью формул.

Табличный - с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

1. Виды функций

Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

2) Свойства функции y=kx:

Область определения функции - множество всех действительных чисел

y=kx - нечетная функция

При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3) Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

Область определения - множество всех действительных чисел

Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4) Обратная пропорциональность - функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля

y=k/x- нечетная функция

Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5) Функция y=x²

Свойства функции y=x²:

Область определения - вся числовая прямая

y=x² - четная функция

На промежутке [0;+) функция возрастает

На промежутке (-;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6) Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

Область определения - вся числовая прямая

y=x³ -нечетная функция

Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7) Функция y=

Свойства функции y=:

Область определения - луч [0;+).

Функция y= - общего вида

Функция возрастает на луче [0;+).

2. Свойства элементарных функций

2.1 Ограничение снизу и сверху на множестве

Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу на множестве XD(f), если все значения этой функции на множестве X больше некоторого числа; иными словами, если существует число т такое, что для любого значения € X выполняется неравенство f(x) > т.

Функцию у=f(x) называют ограниченной сверху на множестве XD(f), если все значения этой функции меньше некоторого числа; иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х X выполняется неравенство f(x) < М.

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху на всей области ее определения.

Если функция ограничена и снизу, и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной.

Ограниченность функции легко читается по ее графику: если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m ;если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у -- М.

Пример 1. Исследовать на ограниченность функцию

у =.

Решение. С одной стороны, вполне очевидно неравенство

> О,

это означает, что функция ограничена снизу.

С другой стороны, 9 -- х² < 9, а потому

< 3.

Это означает, что функция ограничена сверху.

Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику.

2.2 Возрастающие и убывающие функции

Возрастающие и убывающие функции. Функция y = f(x) называется возрастающей на промежутке X, если для любых x₁ и х₂ из X, таких, что x₁<x₂, выполняется неравенство f (x₁)<.f (х₂). Функция y = f{x) называется убывающей на промежутке X, если для любых Х₁ и X₂ из X, таких, что х₁<х₂, выполняется неравенство f {x₁)>f (x₂). Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке X, если какие бы два значения аргумента ни взять, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пример. Исследовать на возрастание или убывание функцию

y = 2х + 3.

Решение. Пусть Х₁ и Х₂ -- две произвольные точки числовой прямой, такие, что x₁ < х₂. Тогда по свойствам числовых неравенств им

2х₁ < 2х₂,

откуда

2х₁ + 3 < 2х₂+ 3, т. е. f(x₁)<f(x₂).

Это значит, что функция y = 2х + 3 возрастает на всей числовой прямой.

2.3 Точка максимума и точка минимума

Точку х₀ называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х₀) выполняется неравенство f(x) < f(x₀). Точку х₀ называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х₀) выполняется неравенство f(x) > f(x₀).

Точки максимума и минимума объединяют общим названием -- точки экстремума (от латинского extremum -- крайний). Для значений функции в этих точках используют символы:

У max У тin

На графике функции D(f) = (--00; +00) несколько точек экстремума: х₁ и х₃ -- точки максимума, а х₂ и х₄ -- точки минимума.

У функции у_наиб и y _max, а также y_наим, и y_min могут быть равны, но могут и отличаться. Так, для функции у =, рассмотренной в примере 3, y_наиб = 3, у_max = 3 (х = 0 -- точка максимума); в то же время у_наим. = 0, a y_min не существует (у функции нет точек минимума).

Напомним еще два свойства функций. Первое -- свойство выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке XD(f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка. Функция выпукла вверх на промежутке XD(f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Второе свойство -- непрерывность функции на промежутке X -- означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва (т. е. представляет собой сплошную линию).

Замечание. На самом деле о непрерывности функции можно говорить только тогда, когда доказано, что функция является непрерывной. Но соответствующее определение сложное и нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Поэтому, обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.

2.4 Наименьшее и наибольшее значение функции

Число т называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве X(f), если:

во множестве X существует точка х₀, такая, что f(x₀) = m;

для всех значений х из множества X выполняется неравенство

f(x) > f(x₀).

Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X (f), если:

1) во множестве X существует точка х₀, такая, что

f(x₀) = M;

для всех значений х из множества X выполняется неравенство

f(x) < f{x₀).

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет о поиске наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения. Наименьшее значение функции обозначают символом y_наим., а наибольшее -- символом y_{наиб .}

Достаточно очевидны следующие полезные утверждения.

Если у функции существует y_наим, то она ограничена снизу.

Если у функции существует y_наиб, то она ограничена сверху.

Если функция не ограничена снизу, то у нее не существует у_наим.

Если функция не ограничена сверху, то у нее не существует у_наи6.

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

у = .

Решение. Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции, что y _наим. = 0 (этого значения функция достигает в точках х_г = -- 3 и х₂ = 3), а y наиб. = 3 (этого значения функция достигает в точке х = 0).

В определения максимума и минимума функции используется понятие окрестности точки.

Окрестность точки х₀ -- это интервал с центром в точке х₀. Длину половины этого интервала называют радиусом окрестности. Например, (1,97; 2,03) -- окрестность точки 2, а радиус окрестности равен 0,03. Когда при изучении свойств функции говорят об окрестности точки, обычно предполагают, что эта окрестность целиком содержится в области определения функции.