Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних

Тема: Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних

Мета: Формування умінь та навичок студентів знаходження області визначення функцій двох змінних, границь та точок розриву функцій двох змінних, частинних похідних та диференціалів функцій двох змінних.

План

1. Функції багатьох змінних

2. Основні поняття теорії функції двох змінних. Приклади

Будь-який упорядкований набір з п дійсних чисел х₁,…,x_n позначається (х₁,…,x_n) або M(х₁,…,x_n) і називається точкою п-вимірного арифметичного простору Rⁿ; числа х₁,…,x_n називаються координатами точки M(х₁,…,x_n). Відстань між точками M(х₁,…,x_n) і M`(х`₁,…,x`_n) визначається за формулою

.

Нехай - довільна множина точок п-вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)=f(х₁,…,x_n), то кажуть, що на множині D задана числова функція від п змінних (х₁,…,x_n), . Множина D називається областю визначення, а множина - множиною значень функції f.

Зокрема, при n=2 функцію двох змінних можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат Oxyz. Графіком цієї функції називається множина точок , яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R³.

Приклад 1. Знайти область визначення функції .

Функція визначена при . Отже, область визначення є множиною точок , яка лежить між прямими і .

Приклад 2. Нехай

.

Знайти

.

.

Нехай функція f визначена в деякому околі точки M_o, можливо, за винятком самої точки M_o. Число b називається границею функції u=f(M) при прямуванні точки M(х₁,…,x_n). до точки M_o(a₁,…,a_n), якщо для довільного ?>0 існує таке д>0, що з умови 0<(M,M_o)<д випливає . При цьому записують:

Приклад 3. З'ясувати, чи має функція границю при x>0 ,y>0.

Нехай точка M(x,y) прямує до точки M_o(0,0). Розглянемо зміну х і у вздовж прямої y=kx. Тоді дістаємо, що

Результат має різні значення в залежності від вибраного k, і тому функція границі не має.

Функція u=f(M) називається неперервною в точці M_o, якщо:

1) функція f визначена в точці M_o;

2) існує ;

3) .

Функція називається неперервною в області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. Якщо в точці M_o принаймні одна з умов 1) - 3) порушується, то точка M_o називається точкою розриву функції f.

Приклад 4. Знайти точки розриву функції .

Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2x+3y+4=0.

Нехай - довільна фіксована точка з області визначення функції u=f(х₁,…,x_n). Надаючи значенню змінної x_k приросту x_k k=1,…,n, розглянемо границю:

Ця границя називається частинною похідною І-го порядку функції по змінній x_k в точці і позначається або .

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім x_k, розглядаються як сталі.

Приклад 5. Знайти частинні похідні функції .

Вважаючи у сталим, дістанемо

.

Вважаючи х сталим, одержимо

Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(х₁,…,x_n) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:

;

.

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

Приклад 6. Знайти частинні другі похідні функції .

Маємо (приклад 5)

; .

Диференціюючи повторно, дістанемо:

;

;

;

.

Повним приростом функції u=f(х₁,…,x_n). в точці , який відповідає приростам аргументів x₁, x₂,…,x_n, називається різниця

Функція u=f(M) називається диференційованою в точці M_o, якщо скрізь в околі цієї точки повний приріст функції можна подати у вигляді

,

де , - числа, не залежні від x₁,…,x_n.

Диференціалом 1-го порядку du функції u=f(х₁,…,x_n) називається вираз:

.

Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам:

.

Для диференціала du правильна формула

.

Якщо достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула: u=du або

.

Приклад 7. Обчислити наближено.

Шукане значення подамо як значення функції при де .

Маємо

,

Отже,

.

Диференціалом 2-го порядку d²u функції u=f(х₁,…,x_n) називається диференціал від її диференціала 1-го порядку, розглянутого як функція змінних х₁,…,x_n. при фіксованих значеннях dх₁,…,dx_n.:d²u=d(du). Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d³u=d(d²u). Взагалі, d^ku=d(d^k-1u)..

Диференціал k-го порядку функції u=f(х₁,…,x_n)., де х₁,…,x_n -незалежні змінні, символічно записується у вигляді формули:

,

яка формально розкривається за біномним законом.

Зокрема, у випадку функції двох змінних u=f(x,y), маємо:

;

.

Приклад 8. Знайти диференціали 1-го та 2-го порядків функції u=e^xy.

Маємо:

а тому

.

Градієнт функції u=f(x₁,x₂,x₃) - це вектор, що визначається формулою

Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції.

Приклад 9. Нехай , M_o(1;-1;2). Знайти grad u(M_o)

.

Маємо:

.

Тоді

,

а тому

Приклад 10. Знайти значення частинних похідних від функції в точці .

u - функція одного аргументу x, знаходимо, що її похідна дорівнює 4x-3y-2z. В точці M_o(0;0;1) значення цієї похідної дорівнює (-2). Записуємо:

,

Приклад 11. Знайти частинні диференціали функції .

Вважаючи спочатку y, а потім x сталою, знаходимо:

.

Приклад 12. Знайти частинні похідні від функції .

Обчислюємо повний диференціал за правилами:

.

Маємо:

.

Коефіцієнти при dx, dy - частинні похідні . Тому

.

Безпосереднє обчислення похідних вимагало б більше часу і уваги.

Приклад 13. Знайти частинні похідні від функції .

, .

Список літератури

1. Лавренчук В.П., Кондур О.С. та ін. Вища математика: Навч. посібник. Частина 1. - Чернівці: Рута, 2000.- 190 с.