Основні властивості ліній кривини та застосування їх при розв’язанні практичних задач

2

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. ТЕОРІЯ ЛІНІЙ КРИВИНИ ТА АСИМПТОТИЧНИХ ЛІНІЙ ПОВЕРХНІ.

1.1. Визначення та основні властивості ліній кривини.

1.2. Визначення та основні властивості асимптотичних ліній.

1.3. Геометричні властивості ліній кривини.

1.4. Асимптотичні лінії і повна кривина поверхні.

РОЗДІЛ ІІ. ЗАДАЧІ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ЛІНІЙ КРИВИНИ ТА АСИМПТОТИЧНИХ ЛІНІЙ ПОВЕРХНІ.

2.1. Приклади ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні.

2.2. Задачі на знаходження ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні.

ВИСНОВок

ЛІТЕРАТУРНІ ДЖЕРЕЛА

ВСТУП

Актуальність теми: лінії кривини та асимптотичні лінії допомагають нам при дослідженні зовнішніх властивостей, які визначаються тим, як наша поверхня реалізована в евклідовому просторі R₃, і які зберігаються при рухах поверхні, тому обрана для курсової роботи тема є актуальною і відповідає сучасному стану науки і потребам практики.

Об'єкт дослідження: лінії кривини та асимптотичні лінії поверхні.

Предмет дослідження: основні властивості ліній кривини та застосування їх при розв'язанні практичних задач.

Мета дослідження:

– сформулювати та довести необхідну і достатню умови збігу сітки координатних ліній на поверхні з сіткою ліній кривини або асимптотичних ліній та необхідну і достатню умову збігу сітки ліній кривини з сіткою асимптотичних ліній;

– викласти найважливіші властивості ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні;

– розглянути різноманітні приклади ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні;

Завдання дослідження полягає у систематизації, узагальнені і розширенні теоретичних знань з обраної теми та наведенню розв'язання основних типів задач на знаходження ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні і застосування їх властивостей.

РАЗДЕЛ І. ТЕОРИЯ ЛИНИЙ КРИВИЗНЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ ПОВЕРХНОСТИ

1.1 Определение и основные свойства линий кривизны

Линией кривизны на поверхности называется кривая, в каждой точке которой касательная направлена по одному из двух главных направлений в этой точке поверхности.

Пусть уравнения кривой на поверхности будут:

где -- параметр вдоль кривой. Тогда в любой точке кривой, т.е. при любом значении , касательная к ней должна идти по главному направлению в этой точке, а для этого необходимо и достаточно, как мы знаем, чтобы при смещении по кривой были подчинены условию (1)

или в развёрнутом виде:

,(2)

где:

Итак, для того чтобы кривая на поверхности была линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы дифференциалы вдоль нее в любой точке удовлетворяли уравнению (2), где взяты для этой же точки.

Разберем подробнее, что дает этот результат для изучения линий кривизны. Так как точки закругления мы считаем исключенными, то уравнение (2) нигде не обращается в тождество относительно дифференциалов, т. е. все три коэффициента не обращаются одновременно в нуль.

Допустим, что в уравнении (2) хотя один из коэффициентов, при отличен от нуля. Пусть для определенности

Тогда, деля левую часть уравнения на , получаем квадратное уравнение относительно :

Решая его, получим, как мы знаем, два действительных различных корня (отвечающих двум взаимно ортогональным главным направлениям в каждой точке):

(3)

Мы записали полученные корни как функции от и, v на том основании, что коэффициенты квадратного уравнения зависели от и, v через коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Формулы (3) характеризуют главные направления в любой точке поверхности. Таким образом, уравнение (2) приводит либо к первому, либо ко второму из уравнений (3).

Следовательно, вдоль линий кривизны должно иметь место либо первое, либо второе уравнений (3). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что через каждую точку на плоскости х, у проходит одна и только одна кривая, вдоль которой переменные х, у и их дифференциалы удовлетворяют заданному уравнению вида:

Другими словами, существует функция у(х) (и притом только одна), производная которой связана с аргументом х и самой функцией у указанной зависимостью и которая при принимает значение .

Применяя этот результат к уравнениям (3), мы видим, что через каждую точку на нашей поверхности проходит одна линия кривизны, вдоль которой удовлетворяется первое из уравнений (3), и одна, вдоль которой удовлетворяется второе из них. Мы получаем два семейства (сеть) линий кривизны. Сеть эта ортогональная, так как линии кривизны разных семейств направлены по двум взаимно ортогональным главным направлениям и встречаются всегда под прямым углом (рис. 2).

Мы оставили в стороне случай, когда в уравнении (2) обращаются тождественно в нуль коэффициенты при обоих квадратах, так что имеют место условия:

(4)

и (2) принимает вид:

Так как все три коэффициента в уравнении (2) не обращаются в нуль одновременно, то , следовательно, или , или . (5)

Таким образом, вдоль линий кривизны или , т.е. u постоянное, или , т.е. v постоянное. Следовательно, мы снова получаем сеть линий кривизны с той особенностью, что она совпадает с координатной сетью. При этом нужно иметь в виду, что координатная сеть зависит от произвольного в принципе выбора криволинейных координат на поверхности, в то время как сеть линий кривизны строится на данной поверхности вполне однозначно, как видно из самого определения линий кривизны.

Поэтому совпадение обеих сетей означает, в сущности, такой специальный выбор криволинейных координат на поверхности, что координатная сеть совпадает с сетью линий кривизны. Можно было бы показать, что на любой поверхности в достаточно малой окрестности какой-нибудь точки, не являющейся точкой закругления, такой выбор криволинейных координат всегда возможен.

Укажем необходимый и достаточный признак того, что данная координатная сеть на поверхности совпадает с сетью линий кривизны.

Этот признак заключается в том, что в соответствующей системе координат средние коэффициенты первой и второй квадратичных форм тождественно обращаются в нуль:

(6)

Достаточность. Из условий (6) немедленно следуют условия (4), а, следовательно, повторяя прежние рассуждения, получаем, что линии кривизны определяются условием (5) и совпадают с координатными линиями.

Необходимость. Пусть координатные линии суть линии кривизны. Тогда вдоль них должно соблюдаться условие (2), которое вдоль линий и запишется в виде так как вдоль линий и мы имеем , . Совершенно аналогично, условие (2) вдоль линий v дает

Если допустить, что F, М не обращаются одновременно в нуль, то мы имеем здесь два линейных однородных уравнения относительно F, М, совместных между собой. Определитель системы должен быть равен нулю:

В результате все три коэффициента уравнения (2) обращаются в нуль, что невозможно, так как точки закругления устранены из рассмотрения. Следовательно, необходимо

Заметим еще, что в отдельности первое из условий (6) F = 0, т. е. выражает ортогональность координатной сети, а второе -- ее сопряженность, т. е. сопряженность направлений координатных линий в каждой точке поверхности.

В этом параграфе мы дали определение линий кривизны, рассмотрели уравнение для нахождения линий кривизны поверхности и доказали необходимое и достаточное условие совпадения сети координатных линий с сетью линий кривизны.

1.2 Определение и основные свойства асимптотических линий

Мы уже знаем, что асимптотическим направлением в данной точке поверхности называется направление, касательное к нормальному сечению с кривизной нуль в этой точке. Выпишем общую формулу (400) для кривизны нормального сечения

Для обращения в нуль необходимо и достаточно обращение в нуль числителя дроби. Следовательно, условие

, (7)

наложенное на дифференциалы при смещении из данной точки по некоторому нормальному сечению, необходимо и достаточно для того, чтобы касательная к этому нормальному сечению шла по асимптотическому направлению.

Но и при смещении из данной точки по произвольной кривой условие (7) остается необходимым и достаточным для того, чтобы касательная к этой кривой шла по асимптотическому направлению. Действительно, ввиду однородности условия (7) относительно оно накладывается по существу на отношение , которое зависит лишь от направления касательной. Поэтому, если условие (7) выполняется, то выполняется одновременно для всех кривых на поверхности с общей касательной в данной точке, в том числе и для нормального сечения; а это означает, что общая касательная идет по асимптотическому направлению.

Кривая на поверхности, касательная к которой в каждой точке направлена по асимптотическому направлению в этой точке, называется асимптотической линией.

В силу только что сказанного, для того чтобы кривая на поверхности была асимптотической линией, необходимо и достаточно, чтобы вдоль нее в каждой точке соблюдалось условие (7)

Здесь -- дифференциалы текущих координат вдоль асимптотической линии, а -- функции этих координат.

Разберем в отдельности возможные три случая поведения асимптотических линий.

1. Поверхность состоит из эллиптических точек.

(8)

В таком случае условие (7) невыполнимо ни при каких , так как вторая квадратичная форма, стоящая в левой части (7), существенно положительна, если L > 0, и отрицательна, если L < 0. Действительно,

и так как выражение в фигурной скобке заведомо положительно, то вторая квадратичная форма при любых имеет знак L и в нуль обращаться не может; заметим, что L не может обращаться в нуль в силу того же условия (8).

Следовательно, в этом случае на поверхности не существует асимптотических линии. Впрочем, мы уже видели, что в эллиптической точке ни одно из нормальных сечений не имеет кривизны = 0.

2. Поверхность состоит из гиперболических точек.

(9)

В этом случае асимптотические линии существуют и образуют сеть на поверхности. Действительно, пусть во второй квадратичной форме отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов при квадратах. Пусть для определенности на рассматриваемом куске поверхности. Тогда после деления левой части условия (7) на это условие можно записать в виде квадратного уравнения

решая которое, получим два корня

и

Вследствие (9) под радикалом стоит положительная величина. Учитывая, что вместе с L, M, N правые части уравнений являются функциями от u, v и обозначая эти функции через , получим, что асимптотические линии характеризуются тем, что вдоль них

или (10)

Повторяя рассуждения, примененные нами к линиям кривизны, мы заключаем, что через каждую точку поверхности проходит одна и только одна асимптотическая линия, вдоль которой соблюдается первое из уравнений (10), и одна и только одна, -- вдоль которой соблюдается второе из этих уравнений. Касательные к этим линиям в данной точке образуют асимптотические направления; мы еще раньше видели, что в гиперболической точке таких направлений будет два.

Таким образом, асимптотические линии образуют на поверхности два семейства, так называемую асимптотическую сеть.

Если обращаются тождественно в нуль оба коэффициента при квадратах во второй квадратичной форме, т. е. если L = N = 0, то условие (7) принимает вид

.

Если бы М тоже обращалось в какой-нибудь точке в нуль, то в этой точке мы имели бы частный случай точки закругления, когда по всем направлениям равно нулю. Но точки закругления исключены из рассмотрения, так что М0, и предыдущего уравнения следует, что вдоль асимптотических линий

или . (11)

Таким образом, в этом случае снова имеем два семейства асимптотических линий, причем одно из них совпадает с семейством координатных линий и, а второе -- с семейством координатных линий .

Асимптотическая сеть однозначно определяется на поверхности, выбор же координатной сети произволен. Можно показать, что в достаточно малой окрестности гиперболической точки поверхности всегда можно так выбрать систему криволинейных координат, что координатная сеть совпадает с асимптотической.

Необходимым и достаточным признаком того, что выбранная на поверхности координатная сеть совпадает с асимптотической, является тождественное обращение в нуль коэффициентов при квадратах во второй квадратичной форме:

L=N=0 (12)

Достаточность этого условия только что была доказана. Что же касается его необходимости, то, если координатные линии являются асимптотическими, то вдоль них должно соблюдаться условие (7). Но вдоль линии и

так что (7) принимает вид L=0. Совершенно аналогично получаем N=0, используя условие (7) вдоль линии .

Докажем теперь интересное характеристическое свойство асимптотических линий.

Для того чтобы линия на поверхности была асимптотической, необходимо и достаточно, чтобы она или была прямой, или имела в каждой точке касательную плоскость к поверхности своей соприкасающейся плоскостью.

Выпишем основную формулу (365), имеющую место для любой кривой на поверхности:

Для того чтобы линия на поверхности была асимптотической, необходимо и достаточно соблюдение вдоль нее условия (7), т. е. обращение в нуль правой части этого уравнения, а следовательно, и левой его части:

(13)

Но здесь представляются две возможности: или k = 0, т.e. кривизна линии тождественно равна нулю, и, значит, линия прямая; или в точках, где кривизна отлична от нуля, , т.е. угол между нормалью m к поверхности и главной нормалью n к кривой равен 90°. В этом случае вектор n перпендикулярен к m и лежит, следовательно, в касательной плоскости к поверхности. Так как касательный вектор t всегда лежит в касательной плоскости к поверхности, то эта плоскость содержит оба вектора t, n и совпадает, следовательно, с соприкасающейся плоскостью к кривой. Теорема доказана.

В заключение докажем теорему Бельтрами-Эннепера о кручении асимптотических линий.

Заметим, прежде всего, что единичный вектор по нормали к поверхности, будучи перпендикулярен соприкасающейся плоскости к асимптотической линии, направлен по бинормали к ней. Поэтому вдоль асимптотической линии m совпадает с единичным вектором b по бинормали или отличается от него знаком:

b = ± m. (14)

Вспомним затем третью формулу Френе

Умножая скалярно обе части на n и учитывая, что n²=1, получим

Так как n = -- [t, b], то последнюю формулу можно переписать в виде

Или (15)

где в правой части стоит смешанное произведение трех векторов. Полученная формула верна для любой пространственной кривой. Применим ее для асимптотической линии на поверхности. Так как теперь b = m, то

(16)

Здесь вектор m рассматривается вдоль асимптотической линии как функция дуги S.

Преобразуем полученное выражение для кручения асимптотической линии. Выпишем для асимптотической линии в какой-нибудь ее точке формулы (404) и (405):

(17)

Здесь t₁ и t₂ -- единичные векторы по главным направлениям в данной точке, -- угол, образуемый вектором t с t₁. Но так как t касается асимптотической линии, то он идет по асимптотическому направлению в данной точке, и угол удовлетворяет, следовательно, условию (414):

(18)

Теперь остается вставить выражения (17) в формулу (16).

Раскрывая скобки в векторном произведении, учитываем, что t₁, t₂, m -- единичные взаимно ортогональные векторы и, следовательно, при подходящей нумерации t₁, t₂ можно считать

.

Получим

Раскрывая, наконец, скобки в этом скалярном произведении, приходим, к формуле

так как . Но для асимптотической линии угол удовлетворяет условию (18), причем знак ± в правой части (18) характеризует, по какому из двух асимптотических направлений в данной точке идет наша асимптотическая линия.

Вставляя в выражение для х значение tg , получаем

Мы видим, что кручения асимптотических линий, проходящих через данную точку по двум асимптотическим направлениям, отличаются только знаком. Что же касается модуля кручения , то, возводя в квадрат, получаем из предыдущей формулы

Или . (19)

Итак, модуль кручения асимптотической линии равен корню квадратному из взятой с обратным знаком полной кривизны в рассматриваемой точке поверхности. Напомним, что сейчас мы рассматриваем поверхность, состоящую из гиперболических точек, так что -- К -- величина положительная. Два подчеркнутых предложения составляют содержание теоремы Бельтрами-Эннепера, которая, таким образом, доказана.

3. Поверхность состоит из параболических точек.

К=0, LN -- M² = 0. (20)

В этом случае L и N не могут обращаться в нуль одновременно, так как тогда М также обратилось бы в нуль, и мы имели бы частный случай точки закругления, когда все равны нулю. Пусть для определенности .

Деля, как и в предыдущем случае, левую часть уравнения (7) на , приходим к квадратному уравнению относительно

которое, в силу (20), имеет теперь лишь один корень

(21)

Правая часть этого равенства есть функция от . Ссылаясь на ту же теорему анализа, что и в предыдущих случаях, можно утверждать, что через каждую точку поверхности проходит одна и только одна кривая, вдоль которой соблюдается уравнение (21), т. е. одна и только одна асимптотическая линия [действительно, в рассматриваемом случае условие (7) оказалось эквивалентным равенству (21)]. На поверхности имеется одно семейство асимптотических линий. Это связано с тем, что в параболической точке имеется лишь одно асимптотическое направление и это асимптотическое направление совпадает с тем из двух главных направлений, которому отвечает главная кривизна нуль. Поэтому для поверхности, состоящей из параболических точек, асимптотические линии суть в то же время и линии кривизны; они образуют одно из двух семейств линий кривизны и будут обязательно прямыми линиями.

В этом параграфе мы ввели определение асимптотических линий, рассмотрели три возможных случая поведения асимптотических линий поверхности, доказали признак совпадения сети асимптотических линий с сетью координатных линий и с сетью линий кривизны, а также теорему Бельтрами-Эннепера о кручении асимптотических линий.

1.3 Геометрические свойства линий кривизны

С развертывающимися поверхностями связана геометрическая характеристика линий кривизны на любой поверхности. До сих, пор линии кривизны определялись у нас как кривые, в каждой своей точке касающиеся главного направления поверхности в этой точке. Теперь мы можем доказать следующую теорему:

Для того чтобы кривая на поверхности была линией кривизны,, необходимо и достаточно, чтобы нормали к поверхности вдоль этой кривой образовывали развертывающуюся поверхность.

Пусть на поверхности дана какая-нибудь кривая, уравнение которой пусть будет

.

В каждой точке этой кривой берем нормаль к поверхности; она идет по направлению единичного нормального вектора m, который вдоль кривой также является функцией ее параметра m=m(s). Построенные нами нормали образуют линейчатую поверхность, для которой кривую можно рассматривать как направляющую, а m(s) играет роль вектор-функции l(s).

Допустим, что кривая на исходной поверхности есть линия кривизны. Тогда вдоль этой кривой соблюдается формула Родрига, например,

,или, что то же,

, (24)

где k₁(s) - соответствующая главная кривизна поверхности, рассматриваемая как функция параметра s вдоль линии кривизны.

Из формулы (l,l',')=0 (22) следует, что компланарность векторов m(s), m'(s), ' (s) является в нашем случае необходимым и достаточным признаком того, что построенная линейчатая поверхность нормалей будет развертывающейся. Но (24) показывает, что m'(s) параллельно ' (s). Следовательно, компланарность m'(s), ' (s) заведомо имеет место, и поверхность нормалей -- развертывающаяся. Найдем, между прочим, ребро возврата этой развертывающейся поверхности. Воспользуемся параметрическим представлением горловой линии (которая в случае развертывающейся поверхности совпадает с ребром возврата):

Мы переписали здесь формулу

(23),

учитывая, что роль параметра и у нас играет дуга s и роль вектора l(и) - вектор m(s). В нашем случае

'(s) =t

где t - единичный касательный вектор к линии кривизны, и, в силу (24),

m'(s) = -- k₁t,

так что m'(s)'(s)=k₁, m'(s)²=

Уравнение (25) окончательно примет вид

. (26)

где называется главным радиусом кривизны и имеет тот же знак, что и соответствующая главная кривизна k₁. Таким образом (рис.3), вектор МС, соединяющий точку M линии кривизны на поверхности с соответствующей точкой С ребра возврата, имеет вид

МС = R₁m.

2

Другими словами, отрезок нормали МС по модулю равен главному радиусу кривизны R₁; при этом он направлен в сторону ± m в зависимости от знака у главного радиуса кривизны R₁.

Итак, каждая линия кривизны на поверхности сопровождается кривой в пространстве, касательные к которой являются нормалями к поверхности вдоль линии кривизны (если оставить в стороне случаи вырождения ребра возврата).

Взятые для всех линий кривизны на данной поверхности, эти ребра возврата в свою очередь образуют поверхность (так называемую поверхность центров), состоящую из двух полостей; каждая полость отвечает одному семейству линий кривизны.

Вернемся к кривой (s) на исходной поверхности и допустим теперь, что нормали к поверхности, взятые вдоль кривой (s), образуют развертывающуюся поверхность. В таком случае необходимо соблюдается условие (22) и, следовательно, векторы m(s), m'(s), ' (s) должны быть компланарны при каждом значении s. Но ' как касательный к поверхности вектор ортогонален к m; далее, m' как производная единичного вектора m также ортогональна к m. Следовательно, ' и m', находясь в одной плоскости с m и будучи к нему ортогональны, параллельны между собой: m' || '' или dm || d.

Но это условие необходимо и достаточно для того, чтобы направление d было главным направлением в данной точке поверхности. Следовательно, в любой точке кривой (s) ее касательная, параллельная d, направлена по главному направлению в этой точке, и кривая (s) есть линия кривизны. Формулированная выше теорема доказана.

В связи с этой теоремой приведем несколько примеров. Возьмем любую кривую на сфере (в предельном случае - на плоскости). Так как любая точка сферы есть точка закругления, то всякое направление можно считать главным. В связи с этим любую кривую на сфере можно считать линией кривизны. Доказанная в этом параграфе теорема имеет место для любой кривой на сфере. Действительно, все нормали к сферической поверхности проходят через ее центр и, следовательно, нормали, взятые в точках любой кривой на сфере, образуют коническую (т. е. развертывающуюся) поверхность.

Рассмотрим еще в качестве наглядного примера линии кривизны на поверхности вращения. Мы утверждаем, что это будут меридианы и параллели. В самом деле, пусть поверхность образована вращением плоской дуги МN около оси, лежащей в той же плоскости б (рис. 4). Так как поверхность получится совершенно симметричной относительно плоскости то нормаль к поверхности в точке М лежит в этой плоскости и пересекает ось вращения в точке Q (или параллельна оси). При вращении дуги МN около оси точка М описывает одну из параллелей, а прямая МQ прямой круглый конус (или цилиндр), оставаясь все время нормалью к поверхности в точках параллели. Таким образом, нормали вдоль параллели образуют развертывающуюся поверхность, и параллели являются линиями кривизны.

Еще проще убедиться в том же самом для меридианов, например для меридиана MN. Все нормали к поверхности вдоль MN лежат, как уже было замечено, в плоскости б и образуют, следовательно, развертывающуюся поверхность (плоскость).

Возвращаясь к общей теории, выведем важное следствие из теоремы этого параграфа. Пусть две поверхности S₁, S₂ пересекаются по кривой С, которая служит линией кривизны для каждой из них. Тогда нормали к каждой из двух поверхностей вдоль линии С образуют развертывающуюся поверхность, и мы имеем две развертывающиеся поверхности, для которых С служит общей ортогональной траекторией. Образующие развертывающихся поверхностей, т. е. нормали к поверхностям S₁, S₂ встречаются вдоль кривой С под постоянным углом (рис. 5).. Следовательно, касательные плоскости к S₁ и S₂ в точках кривой С также образуют между собой постоянный угол. Нами доказана теорема:

Две поверхности S₁ и S₂, имеющие общую линию кривизны С, пересекаются вдоль нее под постоянным углом.

Нетрудно доказать и обратную теорему:

Если две поверхности S₁ и S₂ пересекаются вдоль некоторой кривой С под постоянным углом и если С служит линией кривизны для S₁, то она будет линией кривизны и для S₂.

В самом деле, рассмотрим линейчатые поверхности, образованные нормалями к S₁ и S₂ вдоль кривой С. Так как С есть линия кривизны для S₁, то первая из этих поверхностей -- развертывающаяся. Что же касается второй поверхности, то ее образующие (т. е. нормали к S₂) получены из образующих первой (т. е. из нормалей к S₁) поворотом их в нормальных к С плоскостях на постоянный угол (так как S₁ и S₂ встречаются вдоль С под постоянным углом). При этих условиях вторая линейчатая поверхность будет тоже развертывающейся и, следовательно, С будет линией кривизны и для поверхности

Доказанная теорема имеет ценные применения при отыскании линий кривизны в конкретных случаях. Так, например, если данная поверхность пересекается под постоянным углом с какой-нибудь сферой, то линия пересечения обязательно будет линией кривизны. Действительно, на сфере любую кривую, в том числе и линию пересечения, можно считать линией кривизны; следовательно, она будет линией кривизны и на данной поверхности. То же относится и к пересечению данной поверхности с какой-нибудь плоскостью.

В частности, отсюда следует, что на каналовой поверхности (огибающая семейства сфер (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R², где a,b,c,R функции параметра C) ее круговые характеристики дают одно семейство линий кривизны. Действительно, вдоль каждой характеристики каналовая поверхность касается одной из сфер огибаемого семейства, т. е. образует с этой сферой постоянный угол (равный нулю).

Обратно, всякая поверхность, обладающая одним семейством круговых линий кривизны, есть каналовая. Действительно, проведем через каждую круговую линию кривизны сферу, касающуюся поверхности хотя бы в одной точке; эту окружность, как и всякую кривую, на сфере можно считать тоже линией кривизны. Вдоль общей линии кривизны поверхность и сфера должны образовывать постоянный угол. Но этот угол в одной точке нуль, следовательно, он все время равен нулю, и построенная нами сфера касается поверхности вдоль всей круговой линии кривизны, Мы получаем семейство сфер, по одной для каждой круговой линии кривизны, огибающей которого служит данная поверхность.

В этом параграфе мы доказали необходимое и достаточное условие того, чтобы кривая на поверхности была линией кривизны, а также некоторые геометрические свойства линий кривизны.

1.4 Асимптотические линии и полная кривизна поверхности

Пусть дана произвольная линейчатая поверхность. В каждой ее точке направление образующей будет служить асимптотическим направлением, т. е. кривизна нормального сечения в этом направлении равна нулю. Действительно, плоскость, проведенная через нормаль и направление образующей в данной точке поверхности, очевидно, пересекается с поверхностью по образующей, которая и служит нормальным сечением. Кривизна его как прямой линии равна нулю. Таким образом, образующие линейчатой поверхности дают одно из двух семейств асимптотических линий на ней.

Проверим этот результат выкладкой. Воспользуемся параметрическим представлением линейчатой поверхности

Вычислим вторые частные производные радиус-вектора по и, v:

(27)

Учтем также, что единичный вектор по нормали можно получить, разделив нормальный вектор () на его модуль (всегда равный ):

Отсюда по формулам , определяющим коэффициенты второй квадратичной формы, получаем

(28)

где коэффициенты А, В, С, D имеют, очевидно, следующие значения:

(29)

и, следовательно, зависят только от и. Дифференциальное уравнение

определяющее асимптотические линии, примет теперь вид (после откидывания знаменателя )

Отсюда или , что дает нам в качестве одного семейства асимптотических линий координатные линии и, т. е. образующие; или

, (30)

что определяет нам второе семейство асимптотических линий. Здесь следует различать два случая.

Косая (т. е. неразвертывающаяся) линейчатая поверхность. Так как необходимыми достаточным признаком развертывающейся поверхности служит компланарность векторов 1, l', ' [см. (22)], т. е. обращение в нуль смешанного произведения этих векторов, то в нашем случае это смешанное произведение отлично от нуля и, следовательно, .

Дифференциальное уравнение (30) оказывается уравнением типа Риккати:

.

Решения этого уравнения

v=v(u)

дают уравнения асимптотических линий второго семейства. По известным свойствам уравнения Риккати любые четыре его решения

v₁(u), v₂(u), v₃(u), v₄(u)

образуют постоянное «ангармоническое отношение»:

Геометрически это означает, что, пересекая какую-нибудь четверку асимптотических второго семейства всевозможными образующими, мы получаем на каждой из образующих четверку точек, ангармоническое отношение которых будет иметь одно и то же значение.

Действительно, v₁(u), v₂(u), v₃(u), v₄(u) при данном значении и суть координаты четырех точек на соответствующей образующей, в которых она встречается с четырьмя асимптотическими линиями.

Отметим еще, что для линейчатой поверхности полная кривизна имеет вид

.(31)

Мы воспользовались здесь формулами (28). В нашем случае неразвертывающейся поверхности, когда , мы получаем полную кривизну существенно отрицательной. Это видно, впрочем, уже из того, что поверхность содержит два семейства асимптотических линий.

Теперь рассмотрим другой возможный случай.

Развертывающаяся поверхность. В этом случае в силу признака (22) у нас D=0, уравнение (30) дает тоже du=0, и оба семейства асимптотических совпадают. Это возможно лишь в случае 3 из 1.2, так что асимптотические (образующие) суть в то же время линии кривизны одного семейства и K=0; (32) мы получаем, следовательно, поверхность нулевой полной кривизны. Также из формулы (31) непосредственно видно, что из D = 0 следует К = 0.

Итак, развертывающиеся, поверхности выделяются среди линейчатых обращением в нуль полной кривизны.

В этом параграфе мы рассмотрели связь асимптотических линий и полной кривизны линейчатой поверхности.

РАЗДЕЛ ІІ. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЛИНИЙ КРИВИЗНЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ ПОВЕРХНОСТИ

2.1 Примеры линий кривизны и асимптотических линий поверхности

Примеры линий кривизны.

1. Линии кривизны на поверхности вращения , (u=z) совпадают с ее меридианами и параллелями, так как главные направления в каждой точке касаются меридиана и параллели.

2. Отысканию линий кривизны на центральных поверхностях второго порядка. Замечательный способ отыскания линий кривизны дает теорема Дюпена: линии, по которым поверхности какого-нибудь одного семейства триортогональной системы пересекаются с поверхностями двух других семейств, суть линии кривизны. Применим теорему Дюпена к отысканию линий кривизны на центральных поверхностях второго порядка.

Пусть дана поверхность

где для определенности А < В < С.

Включим эту поверхность в триортогональную систему поверхностей 2-го порядка, которую построим следующим образом.

Первое семейство:

,

где параметр семейства С₁ меняется в пределах ;

семейство состоит из эллипсоидов.

Второе семейство:

,

Где ,

состоит из однополостных гиперболоидов.

Третье семейство:

,

Где ,

состоит из двуполостных гиперболоидов.

Можно показать, что через каждую точку пространства х, у, z, не лежащую на координатных плоскостях, проходит одна и только одна поверхность из каждого семейства. Докажем, что нормали к этим трем поверхностям в каждой данной точке взаимно ортогональны (т. е. что мы получили действительно триортогональную систему).

Возьмем вектор-градиент от левой части первого и от левой части второго уравнений:

Составив скалярное произведение этих двух векторов, мы легко убеждаемся, что полученное выражение равно нулю. Для этого достаточно из уравнения первой поверхности вычесть почленно уравнение второй поверхности (оба они удовлетворяются в рассматриваемой точке). Получим

.

Левая часть здесь лишь не равным пулю множителем отличается от скалярного произведения и требуемое доказано. Так же можно доказать равенствa

Построив таким образом триортогональную систему, можно найти линии кривизны на каждой из поверхностей системы (в частности, на исходной поверхности), пересекал эту поверхность с не включающими ее двумя семействами поверхностей.

Если, например, A, В, С были положительны, следовательно, исходная поверхность -- эллипсоид, то линии кривизны получатся: одно семейство -- в пересечении с однополостными, другое -- с двуполостными гиперболоидами триортогональной системы.

Примеры асимптотических линий.

1. Асимптотические линии на поверхности вращения

, (u=z)

Составим дифференциальное уравнение асимптотических линий

,

которое в нашем случае примет вид

(параметр и совпадает с z). Отсюда

Произвольная постоянная С означает, что, найдя одну асимптотическую, мы можем ее повернуть вокруг оси Z на произвольный угол С (все значения угла V вдоль кривой изменятся при этом на С), причем она останется асимптотической на той же поверхности.

2. Асимптотические линии на катеноиде. В этом случае

следовательно,

.

Дифференциальное уравнение асимптотических линий есть , откуда (первое семейство) или (второе семейство).

Таким образом, асимптотические линии катеноида обвиваются вокруг него, напоминая винтовые линии, причем приращения v и и пропорциональны. Другими словами, и, «подъем в вертикальном направлении» (у нас и= z, см. пример 1), растет пропорционально v, углу обхода вокруг оси вращения (для второго семейства нужно говорить о «спуске в вертикальном направлении»). Так как катеноид -- минимальная поверхность, то асимптотические линии идут под углами в 45° к линиям кривизны, т. е. меридианам и параллелям катеноида.

3. На однополостном гиперболоиде и гиперболическом параболоиде асимптотические линии обоих семейств совпадают с прямолинейными образующими. Следовательно, биссектрисы углов между образующими дают главные направления.

2.2 Задачи на нахождение линий кривизны и асимптотических линий поверхности

Знайдіть диференціальне рівняння ліній кривини еліптичного параболоїда

.

Розв'язання. Лінії кривини будемо шукати із рівняння:

(*)

Знайдемо коефіцієнти e, f, g, l, m, n за формулами:

Підставимо отримані значення у рівняння (*) і після відповідних перетворень отримуємо рівняння-наслідок:

-

диференціальне рівняння ліній кривини еліптичного параболоїда.

Покажіть, що координатні лінії поверхні

являються лініями кривини.

Розв'язання:

Для того, щоб показати, що лінії кривини поверхні являються лініями кривини, необхідно і достатньо показати, що F=M=0. Покажемо це.

Із (*) і (**) слідує F=M=0, а це свідчить про те, що лінії кривини поверхні співпадають з координатними лініями.

Знайдіть асимптотичні лінії катеноїда

Розв'язання:

Асимптотичні лінії шукаємо із рівняння

(*)

Підставимо отримані значення у рівняння (*):

.

Розв'язавши його, отримуємо:

- два сімейства асимптотичних ліній катеноїда.

Поверхня називається мінімальною, якщо її середня кривина тотожно рівна нулеві. Покажіть, що на мінімальній поверхні сітка асимптотичних ліній ортогональна, тобто в усіх точках лінії одного сімейства ортогональні лініям другого.

Розв'язання:

Середня кривина поверхні

k₁=-k₂.

Підставимо ці значення у формулу Єйлера (, де - кут, утворений асимптотичними і головними напрямками):

Т. як k₁?0, то -

кут між асимптотичними і головними напрямками, а так як асимптотичні напрямки симетричні відносно головних, то кут між ними дорівнює , а отже сімейства асимптотичних ліній є ортогональними.

В цьому розділі нами були наведені різноманітні приклади ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні і наведені приклади розв'язання основних типів задач на знаходження ліній кривини і асимптотичних ліній поверхні та застосування їх властивостей.

ВИСНОВКИ

В цій роботі ми намагалися як найповніше та конкретніше викласти основні теоретичні та практичні відомості по лініям кривини та асимптотичним лініям поверхні.

В першому розділі роботи нами були сформульовані та доведені необхідна і достатня умови збігу сітки координатних ліній на поверхні з сіткою ліній кривини або асимптотичних ліній та необхідну і достатню умову збігу сітки ліній кривини з сіткою асимптотичних ліній, теорема про скрут асимптотичних ліній, а також викладені необхідна і достатня умова того, щоб крива на поверхні була лінією кривини і розглянутий зв'язок асимптотичних ліній та повної кривини лінійчатої поверхні.

В другому розділі роботи ми розглянули різноманітні приклади ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні і навели приклади розв'язання основних типів задач на знаходження ліній кривини і асимптотичних ліній поверхні та застосування їх властивостей.

Вцілому, нами була проведена робота, напрямлена на систематизацію, узагальнення і розширення теоретичних знань з обраної теми та наведенню розв'язання основних типів задач на знаходження ліній кривини та асимптотичних ліній поверхні і застосування їх властивостей.

ЛІТЕРАТУРНІ ДЖЕРЕЛА

1. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987. 159с.

2. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука, 1973.16с.

3. Бляшке В. Дифференциальная геометрия: Пер. с нем. М.: Объед. науч.-техн. изд-во, 1935. 330с.

4. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Мир, 1983. 301с.

5. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 176с.

6. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384с.

7. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. 4-е изд. М., 1956. 420с.

8. Сборник задач по дифференциальной геометрии под ред. Феденко А.С. 2-е изд. М., 1979. 272с.