Максимальные подгруппы конечных разрешимых групп

Целью настоящей курсовой работы является исследование максимальных подгрупп конечных разрешимых групп .

Работа содержит 2 параграфа:

1.Разрешимые подгруппы.

2.О пересечении некоторых максимальных подгрупп.

В первом параграфе даются следующие определения:

Определение 1.Для любой неединичной группы можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.

Определение 2. Наименьшее натуральное , для которого , называется ступенью разрешимости группы или производной длиной и обозначается через .

Определение 3.

Группа, которая не является разрешимой, называется неразрешимой. Неединичная абелева группа имеет цепочку коммутантов . Поэтому абелевы группы разрешимы ступени разрешимости 1.

Определение 4.

--Замкнутой называют группу с нормальной силовской --подгруппой.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.3: (1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой --подгруппой для некоторого простого .

(2)В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы.

(3)Главные факторы разрешимой неединичной группы являются элементарными абелевыми примарными группами.

(4)Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Теорема 2.4: Для группы следующие утверждения эквивалентны:

(1) --- разрешимая группа;

(2) каждая неединичная подгруппа группы отлична от своего коммутанта;

(3) группа обладает нормальным рядом с абелевыми факторами;

(4) группа обладает субнормальным рядом с абелевыми факторами.

Теорема 2.6: Пусть --- группа порядка где и --- различные простые числа. Тогда:

(1)если то силовская --подгруппа нормальна в

(2)если то силовская --подгруппа нормальна в

(3)если , но то в группе есть неединичная нормальная --подгруппа.

Следствие 2.7 Группа порядка разрешима для любого

Во втором параграфе вводятся определения :

Через обозначается пересечение максимальных в G подгрупп непростого индекса; через --- пересечение максимальных в подгрупп, индексы которых не равны простым числам или квадратам простых чисел; ... ; через --- пересечение максимальных в подгрупп, индексы которых не равны для любого простого и всех ; ... ; через --- пересечение максимальных в G подгрупп непримарных индексов.

Доказываются следущие теоремы:

Теорема 3.2. Для любой группы справедливы следую щие утверждения:

1)подгруппа сверхразрешима;

2)подгруппа разрешима;

3) тогда и только тогда в группе неразрешима, когда

где

Следствие 3.3. В любой группе пересечение максимальных подгрупп непримарных индексов и индексов 7 является разрешимой подгруппой.

Следствие 3.4. В любой группе пересечение максимальных подгрупп непримарных индексов и индексов 8 является разрешимой подгруппой.

Теорема 3.10. Пусть --- некоторое натуральное число. Тогда для любой группы справедливы утверждения:

1)либо подгруппа разрешима, либо ;

2),

3) для любого простого числа .

Следствие 3.11. Для любой группы и любого простого числа справедливо неравенство .

Следствие 3.12. Для любой группы справедливы утверждения:

1)сверхразрешимый корадикал группы дисперсивен по Оре;

2)подгруппа Фиттинга группы содержит 2'- холловскую подгруппу сверхразрешимого корадикала группы .

1.Разрешимые подгруппы

Для любой неединичной группы можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.

Наименьшее натуральное , для которого , называется ступенью разрешимости группы или производной длиной и обозначается через . Для единичной группы полагают . Группа, которая не является разрешимой, называется неразрешимой. Неединичная абелева группа имеет цепочку коммутантов . Поэтому абелевы группы разрешимы ступени разрешимости 1.

Лемма 2.1:Нильпотентные группы разрешимы.

Доказательство:Пусть --- нильпотентная группа и . По следствию 18.4, c.167, подгруппа нормальна и --- простое число. По теореме Миллера . Если теперь , то опять

и Пусть

--- каноническое разложение числа и

Тогда и --- разрешимая группа ступени не выше . Конец доказательства.

Лемма 2.2: (1) Подгруппы и факторгруппы разрешимой группы разрешимы.

(2)Если , и разрешимы, то разрешима.

(3)Прямое произведение разрешимых групп является разрешимой группой.

Доказательство:(1) Пусть --- разрешимая группа и . Если , то

Аналогично, при любом Поэтому и разрешима, причем ступень разрешимости не выше ступени разрешимости .

Пусть . По лемме 20.6,

и --- разрешимая группа ступени не выше .

(2) Пусть --- разрешимая нормальная подгруппа группы а факторгруппа разрешима ступени разрешимости . Тогда

и .

Теперь

и --- разрешимая группа ступени не выше .

(3) Пусть , где и --- разрешимые группы ступени разрешимости и соответственно. По теореме об изоморфизме , поэтому по (2) получаем, что --- разрешимая группа ступени не выше . Конец доказательства.

Теорема 2.3: (1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой --подгруппой для некоторого простого .

(2) В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы.

(3) Главные факторы разрешимой неединичной группы являются элементарными абелевыми примарными группами.

(4) Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Доказательство: (1) Пусть --- минимальная нормальная подгруппа разрешимой группы . Так как --- характеристическая подгруппа в , то и из минимальности следует, что , т.е. подгруппа абелева. Теперь --- элементарная абелева --подгруппа для некоторого простого по теореме 13.4, с.130.

(2) Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть --- максимальная подгруппа разрешимой группы . Если --- минимальная нормальная подгруппа группы то --- элементарная абелева --группа для некоторого простого числа . Если не содержится в то является подгруппой группы содержащей подгруппу в качестве собственной подгруппы. Поэтому и

Пусть Тогда в факторгруппе по индукции подгруппа имеет примарный индекс, поэтому индекс

примарен.

(3)Пусть --- главный фактор группы . Тогда --- минимальная нормальная подгруппа факторгруппы поэтому --- элементарная абелева примарная группа по (1).

(4)Пусть --- композиционный фактор группы . Тогда --- наибольшая нормальная подгруппа в и --- простая группа по теореме 6.12, с.69. Так как разрешима, то отлична от своего коммутанта, поэтому абелева и по теореме 6.5, с.63, имеет простой порядок. Конец доказательства.

Обратим внимание на то, что в простой группе индексы максимальных подгрупп принадлежат множеству . Поэтому группа с примарными индексами максимальных подгрупп может быть неразрешимой.

Теорема 2.4: Для группы следующие утверждения эквивалентны:

(1) --- разрешимая группа;

(2)каждая неединичная подгруппа группы отлична от своего коммутанта;

(3)группа обладает нормальным рядом с абелевыми факторами;

(4)группа обладает субнормальным рядом с абелевыми факторами.

Доказательство:Пусть дано (1), т.е. --- разрешимая группа. Пусть ступень разрешимости группы равна . Тогда

Факторы этого ряда по теореме Миллера абелевы. Поэтому этот ряд является нормальным рядом с абелевыми факторами. Так как каждый нормальный ряд является субнормальным рядом, то из (1) следует (3) и (4), а из (3) следует (4).

По лемме 2.2 в разрешимой группе каждая подгруппа разрешима. Поэтому из (1) следует (2).

Пусть дано (4), т.е. группа обладает субнормальным рядом

с абелевыми факторами По теореме Миллера получаем, что

и группа разрешима. Таким образом из (4) следует (1).

Пусть дано (2), т.е. в группе каждая неединичная подгруппа отлична от своего коммутанта. Тогда . Если , то . Поэтому существует натуральное такое, что . Следовательно, группа разрешима и из (2) следует (1). Конец доказательства.

--Замкнутой называют группу с нормальной силовской --подгруппой.

Лемма 2.5: Если --- не --замкнутая группа и --- пересечение двух различных силовских --подгрупп и наибольшего порядка, то --- не --замкнутая группа.

Доказательство:Пусть Так как в примарных группах собственные подгруппы отличны от своих нормализаторов, то --- собственная в подгруппа. Предположим, что --- --замкнутая группа, и пусть --- нормальная силовская --подгруппа подгруппы . Через обозначим силовскую в подгруппу, содержащую . Так как и --- пересечение силовских --подгрупп наибольшего порядка, то и , противоречие. Конец доказательства.

Теорема 2.6: Пусть --- группа порядка где и --- различные простые числа. Тогда:

(1)если то силовская --подгруппа нормальна в

(2)если то силовская --подгруппа нормальна в

(3)если , но то в группе есть неединичная нормальная --подгруппа.

Доказательство:Пусть и --- силовские --подгруппа и --подгруппа группы Ясно, что или а по теореме Силова

Аналогично,

(1)Если то и --- нормальная подгруппа группы

(2)Если то и --- нормальная подгруппа группы

(3) Теперь пусть и Если --- нормальная подгруппа группы то утверждение (3) справедливо. Пусть не является нормальной подгруппой группы и пусть и --- различные силовские --подгруппы группы для которых пересечение имеет наибольший порядок. Так как

то Если --- нормальная подгруппа группы , то теорема доказана. Пусть не является нормальной подгруппой группы . По предыдущей лемме подгруппа не является -группой, поэтому некоторая силовская --подгруппа группы содержится в Так как то каждый элемент представим в виде где Поэтому

Конец доказательства.

Следствие 2.7 Группа порядка разрешима для любого

Доказательство:По теореме 2.6 группа порядка не простая и содержит неединичную примарную нормальную подгруппу . Теперь подгруппа разрешима по лемме 2.1, а факторгруппа разрешима либо по индукции, либо по лемме 2.1. Из леммы 2.2 следует, что группа разрешима. Конец доказательства.

Отметим, что приведенное доказательство теоремы 2.6 элементарное и основывается на теореме Силова. Более сложно доказывается следующая теорема.

Теорема 2.8: (Бернсайд) Группа порядка разрешима для любых

Доказательство теоремы 2.7 имеется в монографиях , , .

Теорема 2.9: (Фейт, Томпсон) Группы нечетного порядка разрешимы.

Доказательство теоремы 2.8 опубликовано в работе Feit W., Thompson J. Solvability of groups of odd order // Pacif.J.Math. --- 1963. -- 13,№3. P.775--1029.

2. О пересечении некоторых максимальных подгрупп

Изучим строение подгрупп и . Напомним, что через обозначается пересечение максимальных в G подгрупп непростого индекса; через --- пересечение максимальных в подгрупп, индексы которых не равны простым числам или квадратам простых чисел; ... ; через --- пересечение максимальных в подгрупп, индексы которых не равны для любого простого и всех ; ... ; через --- пересечение максимальных в G подгрупп непримарных индексов. В случае отсутствия максимальных подгрупп требуемых индексов положим . Ясно, что

Лемма 3.1. Если - неразрешимая нормальная в подгруппа и индекс в группе каждой подгруппы из примарен, то и .

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.2.1.

Теорема 3.2. Для любой группы справедливы следую щие утверждения:

1)подгруппа сверхразрешима;

2)подгруппа разрешима;

3)тогда и только тогда в группе неразрешима, когда

где

Доказательство. Вначале докажем 2). Пусть - совокупность максимальных подгрупп из G, индексы которых являются простыми числами или квадратами простых чисел. Если А - максимальная в G подгруппа, не принадлежащая , и ( --- автоморфизм группы , то и подгруппа также не принадлежит . Ясно, что

--- характеристическая в подгруппа. Если , то --- максимальная в подгруппа, не содержащая . Поэтому и индекс подгруппы в группе есть простое число либо квадрат простого числа. По лемме 3.3.7 подгруппа разрешима.

Теперь проверим 1). Пусть --- совокупность максимальных в подгрупп простых индексов. Тогда

Так как , то --- разрешимая нормальная в подгруппа. Если , то - максимальная в подгруппа, не содержащая . Поэтому и индекс подгруппы в группе есть простое число. По теореме 3.3.9 подгруппа сверхразрешима. Осталось доказать 3). Пусть подгруппа неразрешима. Если --- максимальная в подгруппа, не содержащая , то индекс в примарен и применима лемма 3.1, по которой

причем . Предположим, что , где . Так как формация состоит из конечных групп, являющихся прямыми произведениями , то и --- прямые произведения групп, изоморфных . Пусть --- максимальная в подгруппа, содержащая некоторую диагональ. По лемме 3.2.3 индекс подгруппы в группе непримарен. Так как не содержит , то не содержит и по условию теоремы индекс в группе должен быть примарным, противоречие. Значит, допущениеневерно и .

Обратно, если

где

то подгруппа неразрешима. Конец доказательства.

Следствие 3.3. В любой группе пересечение максимальных подгрупп непримарных индексов и индексов 7 является разрешимой подгруппой.

Доказательство. Пусть --- группа и --- пересечение максимальных в подгруппе непримарных индексов и индексов 7. Ясно, что --- нормальная в подгруппа и индекс в группе каждой подгруппы из примарен. Предположим, что подгруппа неразрешима. Тогда по лемме 3.1 имеем

и

В группе имеется симметрическая подгруппа индекса 7, поэтому в имеется подгруппа индекса 7, не содержащая , противоречие. Следствие доказано.

Простая группа содержит максимальную подгруппу индекса 8. Поэтому, если в следствии 3.3 число 7 заменить на 8, а в доказательстве симметрическую подгруппу на , то получим следующий результат.

Следствие 3.4. В любой группе пересечение максимальных подгрупп непримарных индексов и индексов 8 является разрешимой подгруппой.

Отметим, что оба следствия остаются справедливыми, если рассматривать пересечения ненильпотентных максимальных подгрупп непримарных индексов и индексов 7 (или 8). При доказательстве надо использовать следствия 3.3 и 3.4 и описание неразрешимых групп с нильпотентной максимальной подгруппой [71].

Уточним строение подгруппы группы . Для этого введем следующие определения.

Определение 3.5. Пусть f --- функция, определенная на множестве всех простых чисел и принимающая значения из множества , т.е.

Функцию f будем называть -ограничением.

Определение 3.6. Пусть f --- некоторое -ограничение. Через обозначим класс всех групп , обладающих следующими свойствами:

1)группа разрешима;

2)если --- максимальная подгруппа группы и --- -число, то

Замечание 3.7. Ясно, что --- класс всех сверхразрешимых групп, если для всех простых . Если же для всех простых , то --- класс всех разрешимых групп, у которых индексы максимальных подгрупп не делятся на . В дальнейшем такой класс будем обозначать через .

Лемма 3.8. Пусть --- некоторое ограничение, Тогда:

1) --- класс Шунка;

2) содержит все сверхразрешимые -группы;

3)класс является нормально наследственным.

Доказательство. 1. Пусть --- -функтор, выделяющий в каждой группе саму группу и те ее максимальные подгруппы , для которых индекс либо делится на два различных простых числа, либо является степенью некоторого простого числа и больше . Простая проверка показывает, что выдерживает все изоморфизмы и является регулярным. Ввиду теоремы 1.1.16 класс

является классом Шунка. Теперь достаточно заметить, что , где --- класс всех разрешимых групп. Так как пересечение классов Шунка является классом Шунка, то --- класс Шунка.

2.Пусть --- сверхразрешимая -группа. Если --- ее максимальная подгруппа, то для некоторого простого из . Так как для всех , то .

3.Применим индукцию по порядку группы. Пусть --- -группа наименьшего порядка, обладающая тем свойством,что в ней имеется нормальная подгруппа , не входящая в . Пусть - минимальная нормальная подгруппа, содержащаяся в . Ввиду выбора группы из имеем .Согласно теореме Шунка из [110], в существует -проектор , причем любые два -проектора группы сопряжены. На основании леммы 2.1.33 . Допустим, что --- нормальная подгруппа группы . Так как , то ввиду утверждения 2) данной леммы . Приходим к противоре- чию с тем, что --- -проектор . Значит, подгруппа не является нормальной в . Заключим в максимальную подгруппу группы . Так как , то .

Пусть --- -группа. Так как , то , где . Так как группа разрешима, то .

Так как подгруппа не входит в , то в ней имеется максимальная подгруппа , для которой , причем . Ввиду предположения индукции можно считать, что не содержит . Следовательно, . Так как , то

Значит, . Противоречие. Лемма доказана.

Следующая лемма устанавливает связь значений -ограничения с -длиной группы , входящей в класс .

Лемма 3.9. Пусть --- некоторое -ограничение. Если , то для любого простого числа .

Доказательство. Предположим, что существуют группы, для которых лемма не выполняется. Выберем среди них группу наименьшего порядка.

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Рассмотрим группу . Так как --- класс Шунка, то . Так как , то ввиду предположения индукции . Если теперь --- -группа, то из будет следовать, что . Пришли к противоречию.

Поэтому --- -группа. По лемме VI.6.4 из [100] . Поэтому можем считать, что .

Если и --- две минимальные нормальные подгруппы группы , то на основании леммы V1.6.4 из [100]

Снова пришли к противоречию.

Итак, --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем . Так как , то . Поэтому группу можно рассматривать, как группу автоморфизмов подгруппы , индуцированную группой . Так как --- элементарная абелева группа порядка , то группа изоморфна некоторой подгруппе полной линейной группы . Поэтому [100, стр.382] силовская -подгруппа группы имеет ступень нильпотентности не выше . В связи с этим ступень нильпотентности силовской -подгруппы группы не выше .

По теореме Холла и Хигмена из [96] . Отсюда следует, что . Снова пришли к противоречию. Лемма доказана.

Теорема 3.10. Пусть --- некоторое натуральное число. Тогда для любой группы справедливы утверждения:

1) либо подгруппа разрешима, либо ;

2) ,

3) для любого простого числа .

Доказательство.1. Обозначим подгруппу через . Тогда из определения подгруппы следует, что любая максимальная подгруппа группы , не содержащая , имеет индекс , где . Теперь ввиду леммы 3.1 либо подгруппа разрешима, либо .

2.Применим индукцию по порядку группы. Пусть --- группа наименьшего порядка, для которой теорема не выполняется. Ясно, что . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ввиду леммы 1.1.9 . Так как , то . Пусть --- -проектор группы . Согласно лемме 2.1.33 и теореме Шунка из [110], имеем

Так как --- абелева группа, то ввиду утверждения 2) леммы 3.8 подгруппа не является нормальной в . Заключим в максимальную подгруппу группы . Тогда и . Так как --- абелева -группы для некоторого простого и не принадлежащий , то где . Но тогда где . Пришли к противоречию с тем, что не содержит . Значит

3.Так как на основании утверждения 2) данной теорем подгруппа принадлежит классу Шунка , то по лемме 3.9 при для всех простых имеем

Теорема доказана.

Следствие 3.11. Для любой группы и любого простого числа справедливо неравенство .

На основании результатов С.Ф. Каморникова [10] мы можем уточнить следствие 3.11 следующим образом.

Следствие 3.12. Для любой группы справедливы утверждения:

1)сверхразрешимый корадикал группы дисперсивен по Оре;

2)подгруппа Фиттинга группы содержит 2'- холловскую подгруппу сверхразрешимого корадикала группы .

3. Ссылки

Следствие 18.4 В нильпотентной группе все максимальные подгруппы нормальны и имеют простые индексы.

Лемма 20.6 Пусть . Тогда

для любого .

Теорема 13.4 Пусть и . Тогда --- простая подгруппа и существуют элементы такие, что . Кроме того: (1) если абелева, то для некоторого простого и -- элементарная абелева -группа; (2) если неабелева, то каждая минимальная нормальная в подгруппа принадлежит множеству

Теорема 6.5 Абелева простая неединичная группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.

Теорема 6.12 (1) Если --- максимальная нормальная подгруппа группы , то факторгруппа является простой группой. (2) Если --- нормальная подгруппа группы и факторгруппа простая, то --- максимальная нормальная подгруппа группы .

Теорема 3.2.1 Пусть --- субнормальная подгруппа группы . Тогда и только тогда каждая максимальная подгруппа из , не содержащая , имеет примарный индекс, когда выполняется одно из следующих утверждений: 1) разрешима; 2) группа преставима в виде

причем

и , где .

Лемма 3.3.7 Если индекс каждой подгруппы из есть простое число или равен квадрату простого числа, то разрешима.

Теорема 3.3.9 Пусть --- -обособленная нормальная подгруппа группы и пусть индекс каждой подгруппы из либо равен некоторому простому числу из , либо не делится ни на одно простое число из . Тогда подгруппа -сверхразрешима.

Лемма 3.2.3 Пусть --- прямое произведение групп, изоморфных простой группе . Если --- собственная в подгруппа, содержащая некоторую диагональ, то изоморфна прямому произведению групп, изоморфных .В частности, индекс , где --- натуральное число.

Лемма 2.1.33 Пусть и --- подгруппы группы , причем . Если для любого подгруппы и сопряжены с помощью элемента из , то .

Заключение