Формационные основы универсальных алгебр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

Дипломная работа

Формационные основы универсальных алгебр

Исполнитель

Сницеренко И.Н.

студентка группы М-51

Руководитель

Монахов В.С.

Д,ф-м н, профессор

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Определение. Примеры

2. Решетки (структуры)

3. Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции

4. Решетка конгруэнций

5. Ряды конгруэнций

6. Конечные прямые и подпрямые произведения

7. Алгебры слов (термов)

8. Многообразия

Заключение

Список использованных источников

Введение

Впервые, понятие формации алгебраических систем было введено Л.А. Шеметковым в 1984 г. в работе [1] .Напомним, что непустой класс F алгебраических систем называется формацией, если он замкнут относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Отметим, что до этого момента изучение классов алгебраических систем шло исключительно в рамках теории многообразий, где основным инструментом является понятие тождества. Но задачи и общие направления, сформулированные в указанной работе [1] требовали нового инструментария изучения данного направления, а именно, алгебраического подхода в изучении свойств произвольных алгебр, аналогично тому как это делается в группах, мультикольцах, алгебрах Ли и т.д.

Именно решению этой задачи для универсальных алгебр и посвящена настоящая дипломная работа. Здесь, по возможности, были собраны все разрозненные известные факты о формационных свойствах универсальных алгебр ( фактор - алгебр, подалгебр, конгруэнций, рядов конгруэнций и т.д.), а также получены новые оригинальные доказательства свойств, ранее известных в общей форме для других теорий: теории решеток, теории многообразий и т.д.

Например, лемма Цассенхауза (лемма 5.4), лемма Шрейера об уплотнении рядов конгруэнций (теорема 5.5), теорема Жордана - Гельдера (теорема 5.6) и т.д.

Также были получены некоторые новые результаты, аналоги которых хорошо известны, например, в группах: лемма 4.5, теорема 5.7 и т.д.

Дипломная работа состоит из введения, восьми разделов, заключения и списка литературы. В связи с тем, что наименование каждого раздела отражается в его названии - просто перечислим названия всех разделов:

1 Определение. Примеры;

2 Решетки (структуры);

3 Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции;

4 Решетка конгруэнций;

5 Ряды конгруэнций;

6 Конечные прямые и подпрямые произведения;

7 Алгебры слов (термов);

8 Многообразия.

1 Определение. Примеры

1. Пусть А - непустое множество (АШ), n -- натуральное число, - декартова (прямая) n-ая степень множества А. В частности, если n=0, то под будем понимать одноэлементное множество. Тогда n-арной операцией на А называется отображение из А в А. Таким образом, 0-арная операция t отображает одноэлементное множество А в элемент t (А) из А. Это дает возможность в дальнейшем отождествлять нульарную операцию t с элементом t (А). Очевидно, что группа - множество с бинарной операцией, хотя, в силу ее дополнительных свойств можно говорить о том, что отображение a a - унарная операция, а выделение в группе единичного элемента - пример 0-арной операции.

2. Пара (А, , где А - непустое множество, а - (возможно, пустое) множество операций на А, называется универсальной алгеброй или просто алгеброй. Приведем примеры некоторых наиболее известных алгебр.

3. Группоид - множество с единственной бинарной операци . Здесь .

4. Полугруппа - множество с единственной бинарной операцией , удовлетворяющей условию:

(1) (xy)z = x(yz), для любых x, y, z из A.

5. Моноид - множество с одной нульарной операцией 1 и единственной бинарной операцией , удовлетворяющей условиям:

(1) (xy)z = x(yz), для любых x, y, z из А.

(2) x1 = 1x = x, для любого x из A.

Очевидно, что моноид -- это полугруппа с нульарным оператором 1, а в свою очередь полугруппа-группоид с операцией , удовлетворяющей условию (1). В дальнейшeм для сокращения записи обозначим 0 и 1 - нульарные операции, - унарная операция, +, - , - бинарные операции.

6. Группа - множество A с , удовлетворяющим условиям (1), (2) и

(3) x^-1x = xx^-1 = 1,

для любого x из A.

7. Абелева группа - множество с , удовлетворяющим условиям

(1') (x+y)+z = x+(y+z),

(2') x+0 = 0+x = x,

(3') x+(-x) = 0,

(4') x+y = y+x,

для любых x, y, z из A.

8.Кольцо - множество A с , удовлетворяющим условиям (1') - (4') и

(5) (x+y)z = xz+yz,

(6) x(y+z) = xy+xz,

для любых x, y, z из A.

9. Ассоциативное кольцо - множество с , удовлетворяющим условиям (1), (1') - (4' ), (5), (6).

10. Ассоциативное кольцо с единицей -- множество с

удовлетворяющим условиям (1), (1') -- (4'), (5), (6) и (2).

11. Структура (решетка) - множество с , удовлетворяющим условиям (1), (1'), (4') , а также

(4) xy = yx;

(7) xx=x;

(7') x+x = x;

(8) x(x+y) = x ;

(8').

12. Пусть A - непустое множество. Обозначим последовательность ее элементов вида aчерез . Тогда алгебра , где - -арная операция, , называется -арной группой, если выполняются следующие условия:

1) для любой последовательности имеет место равенство:

= , n-1) ;

2) для любой последовательности каждое из уравнений

(9) xa₁^n-1 = a ,

(9') a₁^n-1y = a

разрешимо в A. Можно заметить, что при n=2 получаем определение группы. Отметим также следующий важный пример.

13. Квазигруппа - множество с единственной бинарной операцией, для которой уравнения (9) и (9') (n = 2) имеют единственное решение в A.

Следующий пример показывает, что алгебраические структуры, очень близкие к рассмотренным выше, уже могут не являться алгебрами.

14. Поле - ассоциативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условиям:

и операция ^-1 определена только для элементов множества .

Если дана универсальная алгебра , то множество можно рассматривать как множество символов таких, что в множестве каждому символу сопоставлена определенная алгебраическая операция на . В этом случае множество называется сигнатурой, а пара называется универсальной алгеброй сигнатуры . В дальнейшем будем рассматривать алгебры только фиксированной сигнатуры . Поэтому саму алгебру будем отождествлять с множеством , а любую операцию на ,соответствующую символу , будем также обозначать через . Пусть - алгебра, элементы . Тогда результат применения операции к этим элементам будем обозначать

= .

Подмножество называется подалгеброй алгебры , если для любых

, .

В этом случае говорят, что множество замкнуто относительно всех операций, определенных на . Очевидно, что пересечение любого множества подалгебр алгебры , само является подалгеброй алгебры (по определению пустое множество считается подалгеброй). Отметим, что если на определена хотя бы одна 0-арная операция t, то пересечение любого множества подалгебр не пусто.

Пусть X - некоторое подмножество из A. Подалгеброй , порожденной множеством X,называется пересечение всех подалгебр в A, содержащих X. Таким образом, - это наименьшая подалгебра в A, содержащая X. В частности, если , то множество X называют системой порождающих (или образующих) алгебры A. Говорят также, что алгебра A порождается множеством X. Если X - одноэлементное множество и , то алгебра A называется однопорожденной, в частности, если X=A, то алгебра называется одноэлементной. Неодноэлементная алгебра, которая порождается любым своим элементом называется минимальной.

2. Решетки (структуры)

Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в определении решетки.

Напомним, что отношением (бинарным отношением) на множестве называется любое непустое подмножество из A². Тогда множство называется упорядоченным (частично упорядоченным), если на нем задано отношение порядка, обозначаемое , и удовлетворяющее следующим свойствам:

1) (рефлексивность);

2) если (транзитивность);

3) если (антисимметричность);

Частично упорядоченные множества и называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение , что имеет место тогда и только тогда, когда , .

Частично упорядоченное множество A называется линейно упорядоченным или цепью, если любые два его элемента сравнимы, т.е. имеет место или .

Пусть A - частично упорядоченное множество. Элемент a множества A называется максимальным, если из условия для некоторого всегда следует x=a. Если же из условия для некоторого cледует, что x=a, то a называется минимальным элементом. Элемент называется наибольшим элементом, если , . Если же , , то элемент a называется наименьшим .Максимальные (минимальные), в частности, наибольший (наименьший) элементы частично упорядоченного множества могут и не существовать. Очевидно, что если частично упорядоченное множество имеет наибольший (наименьший) элемент, то он является единственным максимальным (минимальным).

Пусть B -- подмножество частично упорядоченного множества A. Тогда множество всех таких элементов , что для всех ,называется верхней (нижней) гранью множства B в A. Если существует наименьший элемент верхней грани множества B, то он называется точной верхней гранью множества B и обозначается supB. Аналогично, если существует наибольший элемент нижней грани множества ,то он называется точной нижней гранью множества B и обозначается infB.

2.1. (Лемма Цорна) Непустое упорядоченное множество , в котором каждая цепь обладает верхней гранью имеет максимальный элемент. Определение решетки, с учетом всего вышесказанного, можно дать следующим образом.

2.2. Решеткой (структурой) называется частично упорядоченное множество, каждое двухэлементное подмножество которого обладает как точной верхней, так и точной нижней гранью. Полагая a+b=supa, b и a b=infa, b для любых элементов a, b решетки можно придти к определению 11. И наоборот, можно показать, что из 11. следует 2.2.

В дальнейшем, все структурные свойства исследуемых универсальных алгебр будут и в основном связаны с одним типом решеток.

Решетка A называется модулярной (дедекиндовой), если , где , выполняется модулярный закон

(a+b)c = a+bc.

Одним из наиболее важных примеров модулярной решетки является следующий.

2.3. Множество всех нормальных подгрупп группы упорядоченно по включению и является решеткой. В этом случае

,

Показываем

; .

Выполняемость известного тождества Дедекинда:

, где ,

равносильно условию модулярности этой решетки.

Если a и b - элементы решетки A и , то множество

= ,

называется интервалом . Заметим, что такой интервал в общем случае не является цепью, но будет подрешеткой решетки A с наибольшим элементом b и наименьшим элементом a.

3 Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции

3.1. Отображение f из алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой n-арной операции справедливо равенство

Если же t-нульарная операция, то полагаем

Взаимнооднозначный гомоморфизм алгебры A на B называется изоморфизмом и обозначается . Гомоморфизм алгебры A в себя называется эндоморфизмом алгебры A. Изоморфизм алгебры в себя называется ее автоморфизмом .

Из определения следует, что образ Im f любого гомоморфизма f является подалгеброй.Произведение гомоморфизмов -- это результат их последовательного выполнения. Так как в каждой алгебре существует тождественный автоморфизм , то отсюда следует, что все эндоморфизмы алгебры образуют моноид, а автоморфизмы - группу.

3.2. Пусть даны алгебры . Тогда множество

называется прямым (декартовым) произведением алгебр , если оно совпадает с множеством всех отображений вида

: ,

удовлетворяющих условию

, .

Пусть - -арная операция,

.

Положим

.

Тогда множество само становится алгеброй, той же сигнатуры, что и алгебры . В частности, если , то вместо обычно пишут , а алгебру называют конечным прямым (декартовым) произведением алгебр .

3.3. Конгруэнцией на алгебре называется отношение эквивалентности на , являющееся подалгеброй в .

Пусть :-гомоморфизм алгебры в . Ядром гомоморфизма называется подмножество

Ker = (, .

Если элементы связаны отношением , то будем , как обычно писать или .

3.4. Лемма . Ядро гомоморфизма является конгруэнцией .

Доказательство . Пусть гомоморфизм : . Очевидно, что Ker -отношение эквивалентности на . Для любой --арной операции и любых элементов

,

имеем:

)

Следовательно,

, ) Ker.

Лемма доказана.

Если -- конгруэнция на алгебре , то обозначим

класс эквивалентности (смежный класс) алгебры по конгруэнции . Элемент называется представителем класса эквивалентности .

3.5. Обозначим через / множество всех классов эквивалентности алгебры сигнатуры по конгруэнции . Определим на этом множестве операции из следующим образом. Для любой -арной операции и любых элементов , полагаем

Покажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора представителя класса эквивалентности по конгруэнции . Действительно, пусть

.

Тогда , значит,

.

Следовательно,

Получившаяся алгебра называется факторалгеброй алгебры по конгруэнции . Пусть - отображение алгебры по факторалгебре такое, что для любого элемента

.

Тогда, как следует из определения факторалгебры , является гомоморфизмом алгебры на факторалгебру , который называется естественным гомоморфизмом.

3.6. Теорема (Первая теорема об изоморфизмах). Если f-гомоморфизм алгебры на алгебру , то

/ Ker .

Доказательство. Обозначим Ker и построим отображение факторалгебры на следующим образом (рис. 1):

ris01.eps

Это означает, что для любого элемента

, .

Так как = Ker , то это определение корректно, т.е. -отображение на , которое является биективным. Проверим, что - изоморфизм. Для любой -арной операции и любых элементов , из имеем

.

Теорема доказана.

3.7. Пусть -подалгебра алгебры , -конгруэнция на . Обозначим через объединение всех классов эквивалентности таких, что , т.е.

.

3.8. Лемма. Пусть - подалгебра алгебры , -конгруэнция на . Тогда множество является подалгеброй алгебры .

Доказательство. Пусть - какая-либо -арная операция и элементы ,. Тогда найдутся такие элементы ,, что ,. Так как

,,, = , и , то .

Лемма доказана.

Если - конгруэнция на алгебре , - подалгебра алгебры , то,очевидно, - конгруэнция на . В частности, если , то для любого элемента справедливо равенство

В этом случае удобно, по аналогии с группами, вместо писать .

3.9. Теорема (Вторая теорема об изоморфизмах). Пусть -конгруэнция на алгебре -подалгебра алгебры . Тогда

Доказательство. Построим отображение

:

такое, что

для любого элемента (рис.3) ris03.eps.

Покажем, что является гомоморфизмом. Так как для любого элемента существует такой элемент ,что , то -сюрьекция. Пусть --арная операция, элементы . Тогда

.

Очевидно, что . Тогда и только тогда, когда . Так как , то отсюда следует, что

Ker.

Применение теоремы 3.6 завершает доказательство.

Теорема доказана.

3.10. Лемма. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех конгруэнций факторалгебры и множеством всех конгруэнций алгебры , содержащих когруэнцию .

Доказательство. Пусть - конгруэнции на алгебре .

Обозначим

.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что - конгруэнция на .

Пусть теперь определена конгруэнция на факторалгебре . Определим на бинарное отношение следующим образом

.

Простая проверка показывает, что - конгруэнция на .

Лемма доказана.

Если , - конгруэнции на алгебре и , то обозначим

и назавём фактором алгебры или фактором на . В частности, если , то фактор будем называть нулевым. Таким образом, из леммы 1.3.10 следует, что все конгруэнции на фактор-алгебре исчерпываются множеством всех факторов вида на .

3.11. Теорема (Третья теорема об изоморфизмах). Пусть - фактор на алгебре . Тогда

.

Доказательство. Рассмотрим отображение

:

такое, что для любого элемента . Тогда для любой -арной операции и произвольных элементов

,имеем

.

Итак, -- гомоморфизм. Пусть

.

Тогда и . Это означает, что Ker и применением теоремы 1.3.6 устанавливается требуемый изоморфизм. Теорема доказана.

Проиллюстрируем всё вышеуказанное некоторыми примерами хорошо известных алгебр.

3.12. Пусть -- группа, - конгруэнция на и смежный класс . Покажем, что нормальна .

Для любых элементов

.

Следовательно, . Это означает, что . Пусть элемент .Тогда

.

И значит, . Таким образом, , то есть - подгруппа группы . Для любого элемента имеем

.

Следовательно,, т.е. . Итак, нормальна в .

Обратно, если нормальна в ,то, как известно, индуцирует на группе однозначно определённый гомоморфизм, т.е. конгруэнцию.

Таким образом, существует взаимнооднозначное соответствие между конгруэнциями и нормальными подгруппами группы. Поэтому фактор-группа группы по конгруэнции также называется фактор-группой группы по нормальной подгруппе и обозначается /.

3.13. Пусть -- кольцо, - конгруэнция на . Напомним, что нормальная подгруппа аддитивной группы кольцо называется идеалом, если для любых элементов . Как следует из примера 1.3.12 класс эквивалентности - нормальная подгруппа аддитивной группы кольцо . Теперь для любых элементов имеем

,

то есть и .Это означает,что и , значит, - идеал кольца . Итак, если - идеал кольца , то

-конгруэнция на . И любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала . Очевидно, что аналогичным образом можно установить соответствие между конгруэнциями и определённым образом выделенными подалгебрами большого числа алгебр. При этом аналоги теорем 1.3.6, 1.3.9 и 1.3.11 в таких алгебрах принимают, что естественно, более конструктивный вид.

Рассмотрим теперь пример противоположного свойства.

3.14 [9]. Пусть дана трёхэлементная алгебра , на которой определена одна тернарная (т.е. ) операция следующим образом:

1) , если элементы различны

2) в остальных случаях.

Проверкой убеждаемся, что разбиение множества на классы и определяет конгруэнцию на , причём классы эквивалентности и являются подалгебрами алгебры . При этом класс совпадает с одноэлементным классом по конгруэнции , где

.

4 Решетка конгруэнций

Если - отношение эквивалентности на множестве и , то будем это отношение изображать в виде неориентированного графа

ris04.eps

ris05.eps

4.1. Теорема. Множество всех подалгебр, отношений эквивалентности и конгруэнций алгебры ,упорядоченных по включению, образуют решётку.

Доказательство.

1) Пусть - подалгебра алгебры , тогда

inf ,

а sup -

подалгебра, порождённая множеством .

2) Пусть , - отношения эквивалентности на , тогда множество называется произведением отношений и и в общем случае не являются отношением эквивалентности на (рис. 5). Обозначим

Очевидно, что рефлексивно и транзитивно. Пусть . Тогда, как следует, из (рис. 7),

Обозначим =sup. Покажем, что . Пусть .

Так как и ,то из (рис. 6) видно, что

,

т.е. .

Следовательно, и = sup. Очевидно, что = inf и множество всех отношений эквивалентности на образует решетку .

3). Пусть - -арная операция и ,=1,2,.., ( рис .8).

Так как и --конгруэнции ,то

, .

Следовательно,

и, значит, -подалгебра алгебры . Теперь из 2) следует, что множество всех конгруэнций на алгебре образует решетку. Теорема доказана.

Наименьший элемент решетки конгруэнции будем называть нулевой конгруэнцией (нулевым элементом ) и обозначать

,

а наибольший элемент -- единичной конгруэнцией (единичным элементом) и обозначать .

Произведение конгруэнций в общем случае не является конгруэнцией. Поэтому естественно возникает вопрос, когда это возможно?

4.2. Теорема .Произведение двух конгруэнций является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Доказательство. Пусть и -конгруэнции на алгебре и -конгруэнция на . Тогда из того, что следует, что и .Это означает, что существует такой элемент , что

, т.е..

Итак, . Аналогичным образом показываем, что , т.е. .

Пусть . Так как для любого элемента и , то ( рефлексивность ). Пусть . Так как , то , т.е. для некоторого элемента

,

но это и означает, что (симметричность).

Пусть

Так как , то для некоторого элемента имеем

.

Следовательно,

(транзитивность).

Пусть - -арная операция и

.

Тогда

,

для некоторых элементов . Так как и -- конгруэнции, то

,

т.е. .

Тем самым показано, что - конгруэнция на . Теорема доказана.

Из теорем 4.1 и 4.2 получаем

4.3. Следствие . Пусть конгруэнции и алгебры перестановочны. Тогда sup

4.4. Пусть - конгруэнции на алгебре такие, что и . Тогда говорят, что и образуют прямое произведение и пишут .

4.5. Лемма. Пусть . Тогда для любого элемента существует единственный элемент такой, что

.

Доказательство .

Пусть

и

Тогда, как видно из рисунка,

,т.е. .

Лемма доказана.

4.6. Теорема. Если контруэнции алгебры перестановочны, то они образуют модулярную решетку.

Доказательство. Пусть , , - конгруэнции по алгебре и . Покажем, что

.

Пусть

.

Тогда

для некоторого элемента . Так как , то , а так как , то . Итак, , т.е.

.

Пусть теперь . Тогда найдется такой элемент , что

.

Так как , то . Теперь из того, что cледует, что . Итак,

.

Ho , значит,

,т.е. .

Теорема доказана.

5 Ряды конгруэнций

5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида

(1) ,

называется рядом конгруэнций, а число -- длиной ряда.

Фактор алгебры называется главным, если и из

,

где - конгруэнция на , всегда следует, что .

Ряд конгруэнций вида (1) называется главным, если все его факторы главные. В частности, если фактор является главным, то конгруэнция называется минимальной.

Факторы и алгебры называются: перспективными,если либо и , либо и ; проективными, если в найдутся такие факторы

,

то для любого факторы и перспективы.

Установим некоторые свойства рядов конгруэнций. При этом, на протяжении всего параграфа, будем предполагать, что конгруэнции рассматриваемых алгебр перестановочны и ,следовательно, образуют модулярную решетку.

5.2. Лемма. Пусть конгруэнция на алгебре . Тогда интервалы и изоморфны.

Доказательство. Для любой конгруэнции на такой, что построим отображение следующим образом:

.

Очевидно, что

, и если

, то

.

Покажем, что - взаимно однозначное отображение. Предположим, что . Тогда

,

следовательно,

.

По теореме 4.6

и

, т.е. .

Осталось показать, что -- отображение на. Действительно, для любой конгруэнции на такой, что имеем . Тогда

.

Лемма доказана.

5.3. Лемма. Пусть , , , конгруэнции на алгебре . Тогда если

,

то фактор перспективен фактору

,

если же

,

то фактор перспективен фактору .

Доказательство. Пусть

. Тогда

.

Значит, , то есть фактор

перспективен фактору

.

Пусть теперь

.

Тогда

,

следовательно, фактор

перспективен фактору . Лемма доказана.

Следующий результат является аналогом хорошо известной леммы Цассенхауза (лемма о бабочке).

5.4. Лемма. Пусть , , , - конгруэнции на алгебре , причем и . Тогда факторы

и

проективны.

Доказательство.

В силу тождества Дедекинда

Тогда

и последний фактор перспективен фактору

.

Аналогичным образом получаем, что

и

Так как последний фактор перспективен фактору

,

то тем самым лемма доказана.

Говорят, что алгебра удовлетворяет условию минимальности (максимальности) для конгруэнций, если всякая строго убывающая (возрастающая) цепь конгруэнций на алгебре обрывается после конечного числа шагов.

Ряд (1) можно уплотнить, вставляя между соседними членами и конгруэнции алгебры . Полученный ряд называется уплотнением ряда (1) и в общем случае может содержать повторяющиеся члены. Два ряда конгруэнций алгебры называются изоморфными, если длины их одинаковы и существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех факторов этих рядов, при котором соответствующие факторы проективны.

Докажем теорему Шрейера об уплотнении для рядов конгруэнций.

5.5. Теорема. Любые два ряда конгруэнций алгебры после уплотнения становятся изоморфными.

Доказательство.

Пусть даны два ряда конгруэнций (1) и (2) алгебры ,

. (2)

Утверждение очевидно при . Поэтому считая, что ,

. Обозначим:

, .

Применив л.5.4, полагая , , , получим, что факторы и проективны.

Уплотнив конгруэнциями и ,где

,

ряды (1) и (2), получим:

, (3)

, (4)

Заметим, что

,

,,

следовательно ряды (3) и (4) являются уплотнениями соответственно рядов (1) и (2). Длины рядов (3) и(4) равны и их соответствующие факторы проективны. Теорема доказана.

Отметим ещё один результат, связанный со свойствами главных рядов конгруэнций.

Так как в главных рядах конгруэнций уплотнения невозможны без того , чтобы в них не встречались повторяющиеся члены, то из теоремы 5.5. следует, что длины всех главных рядов конгруэнций произвольной алгебры равны, а соответствующие главные факторы проективны. Тем самым получили теорему Жордана-Гёльдера.

5.6. Теорема. Любые два главных ряда конгруэнций алгебры изоморфны.

Естественно выяснить в каких случаях главные ряды конгруэнций алгебры существуют.

5.7.Теорема. Алгебра тогда и только тогда обладает хотя бы одним главным рядом конгруэнций, когда удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для конгруэнций.

Доказательство.

Необходимость. Пусть алгебра обладает главным рядом

. (1)

Предподожим, что существует ещё такой ряд конгруэнций

(2),

где . По теореме 5.5 ряды (1) и (2) обладают изоморфными уплотнениями, причем уплотнение ряда (1) имеет ненулевых факторов, а уплотнение ряда (2) имеет не менее ненулевых факторов и . Противоречие. Тем самым доказано,что любой ряд конгруэнций без повторений имеет длину не превышающую .А это означает,что алгебра удовлетворяет условиям максимальности и минимальности для конгруэнций.

Достаточность. Из условия минимальности следует существование конгруэнции , которая является минимальной на алгебре . Так как для фактор- алгебры условие минимальности также выполняется, то сущесвует конгруэнция на такая, что фактор является главным. Таким образом получаем ряд конгруэнций

,

который является главным и в силу условия максимальности закончится через конечное число шагов. Теорема доказана.

Отметим ещё один результат, связанный со свойствами главных рядов конгруэнций.

5.8. Лемма. Пусть - главный фактор алгебры , - конгруэнции на такие, что . Тогда обладает таким главным фактором проективным , что либо , либо .

Доказательство . Если , то фактор перспективен фактору и, значит, . Так как

, то

, т.е.

.

Пусть теперь . Тогда . Следовательно,

,

который перспективен . Рассмотрим фактор

.

Так как

, то

.

Следовательно, фактор перспективен фактору

.

Лемма доказана.

6 Конечные прямые и подпрямые произведения

На протяжении всего параграфа будут рассматриваться только конечные проиведения.

Пусть алгебра и - подалгебра алгебры . Тогда отображение

такое, что для любого элемента

,

называется проектированием в , элемент называется -- компонентой или простой -ой компонентой элемента .

Проектирование является гомоморфизмом в . Действительно, для любых элементов

и любой -арной операции имеем

Подалгебра алгебры называется проекцией подалгебры в .

Подалгебра алгебры называется подпрямым произведением алгебр , если проекция в совпадает с для любого .

6.1. Теорема. Пусть -- конгруэнции на алгебре и

.

Тогда фактор алгебра изоморфна подпрямому произведению

Доказательство . Пусть -- отображение из в произведение (1) такое, что

.

Для любых элементов и любой -арной операции имеем

Следовательно, - гомоморфизм на алгебру (1).

Пусть , тогда

Отсюда следует, что для любого . Значит .Теперь, по первой теореме об изоморфизмах, получаем, что фактор алгебра изоморфна подпрямому произведению (1).

Теорема доказана.

6.2. Теорема. Пусть алгебра представима в виде подпрямого произведения и =Ker , где -проектирование для любого .Тогда

Если же , то

_i

Доказательство.

Для произвольного элемента

класс эквивалентности представляет собой множество вида

,

где -- все возможные последовательности элементов из прямого произведения

Отсюда следует, что , т.е. .

Пусть .Очевидно,достаточно показать, например, что для

выполняется равенство

Действительно, для любого элемента , где

Имеем

и

Следовательно, Аналогичным образом из

и

следует, что . Теперь из 1) следует попарная перестановочность конгруэнций .

Теорема доказана.

6.3. Алгебра называется подпрямо неразложимой, если в любом представлении алгебры в виде подпрямого произведения алгебр , , хотя бы одна из операций проектирования является изоморфизмом.

6.4. Теорема. Конечная алгебра подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда любое конечное пересечение всех её ненулевых конгруэнций является ненулевой конгруэнцией.

Доказательство.

Пусть алгебра подпрямо неразложима и пересечение всех её ненулевых конгруэнций является нулевой конгруэнцией.Тогда по теореме 6.1. изоморфна подпрямому произведению вида (1). Противоречие.

Обратно, пусть пересечение всех ненулевых конгруэнций алгебры есть ненулевая конгруэнция и подпрямо разложима. Тогда в силу теоремы 6.2.

,

где -проектирование. Противоречие.

Тем самым теорема доказана.

Заметим, что из теоремы 6.4. , например, вытекает подпрямая неразложимость конечных групп, содержащих наименьшую ненулевую нормальную подгруппу (в частности, конечных абелевых групп порядка , где - простое число).

7 Алгебры слов (термов)

7.1. Пусть - некоторая сигнатура, - произвольное множество, в частности пустое.Построим множество - слов (- термов) индуктивно следующим образом:

1)элементы множества являются - словами ;

2)символы нульарных операций являются - словами;

3)если - некоторая совокупность - слов и - какая-либо -арная операция, то выражение или является - словом.

Считая сигнатуру фиксированной, вместо "- слово " будем употреблять термин "слово" и обозначать через .

Приведём некоторые примеры.

7.2. Пусть , , где -бинарная, а - 0-арная операция.Тогда словами ,например, являются следующие выражения:

.

7.3. , , где - тернарная, - бинарная, -унарная, а 0-нульарная операции. Тогда примерами слов являются:

.

Отметим, что,например, выражения

словами не являются.

Множество естественным образом превращается в алгебру сигнатуры .Для этого полагаем , если - нульарная операция, а слово , где и - -арная операция, , считаем результатом применения операции к словам .Полученная алгебра называется алгеброй слов сигнатуры в алфавите или абсолютно свободной алгеброй сигнатуры со свободной порождающей (образующей) системой . Если множество пусто и не содержит нульарных операций, то алгебра пуста.Если пусто и содержит нульарные операции, то не пусто и состоит из символов нульарных операций и всех слов, составленных согласно п.3) Если , то совпадает с множеством . Пусть - слово из алгебры и множество

содержит все входящие в это слово элементы из .В этом случае будем писать .Если дана некоторая алгебра , то каждому слову можно поставить в соответствие выражение , где .При этом операциям из , входящим в слово , придаётся тот конкретный смысл, который они имеют в алгебре , в частности,символы нульарных операций заменяются элементами, которые они отмечают в алгебре .Тогда элемент и называется результатом подстановки элементов в слово . Следующий результат указывает на возможный способ построения алгебры, порождённой некоторым множеством.

7.4. Теорема. Если - алгебра сигнатуры , порождённая множеством и - абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой , то множество совпадает с множеством результатов всевозможных подстановок элементов множества , рассматриваемых как элементы алгебры , во все слова из .

Доказательство.

Очевидно, что содержит все элементы множества и символы нульарных операций, рассматриваемых как элементы алгебры .Пусть -арная операция и . Тогда по условию теоремы , где и . Так как

, то

.

Следовательно, , если элементы считать принадлежащими алгебре .Таким образом доказано, что -- подалгебра алгебры и так как , то .

Теорема доказана.

7.5. Следствие. Если - алгебра, порождённая множеством , и - гомоморфизмы алгебры в алгебру и для всех , то

Доказательство. Для произвольного элемента согласно теореме 7.4 найдётся такое слово , где , что ,считая элементы принадлежащими алгебре . Тогда

.

Следствие доказано.

7.6. Теорема. Если - алгебра сигнатуры , - абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой и - отображение в , то существует единственный гомоморфизм такой, что для любого .

Доказательство. Пусть , для любого . Тогда для любого слова положим

.

Как и выше, непосредственной проверкой убеждаемся в том, что -гомоморфизм. Его единственность следует из следствия 7.5.

Теорема доказана.

7.7 Теорема: Любая алгебра сигнатуры изоморфна фактор алгебре некоторой абсолютно свободной алгебры сигнатуры .

Доказательство. Пусть - абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой . По теореме 1.7.6 тождественное отображение на можно продолжить до гомоморфизма на . Тогда по теореме 1.3.6

.

Теорема доказана.

8 Многообразия

8.1. Пусть и -- слова сигнатуры в счетном алфавите . Тогда формальное равенство называется - тождеством или тождеством сигнатуры .

Пусть тождество имеет вид:

где . Тогда говорят, что в алгебре выполняется тождество , если для любых элементов имеет место равенство

Пусть - любая система - тождеств, конечная или бесконечная. Обозначим через класс всех алгебра сигнатуры , для которых выполняются все тождества из . Заместим, что класс не является пустым, так как ему принадлежат все одноэлементные алгебра сигнатуры . Этой класс называется многообразием алгебр сигнатуры ,определяемым тождествами или, когда множества и фиксированы, просто многообразием. Приведем несколько очевидно примеров.

8.2 Класс всех алгебр сигнатуры является многообразием, определяемым пустой системой тождеств или тождеством .

8.3 Класс всех одноэлементных алгебр сигнатуры образует многообразие, определяемое тождеством: .

Класс алгебр называется абстрактным, если вместе с любой алгеброй он содержит и все алгебры, изоморфные ей. Любое отображение множества всех классов алгебр в себя называется операцией на классах алгебр. Результат операции ,примененной к классу , обозначается через . Класс алгебр называется замкнутым относительно операции или, более коротко, -замкнутым, если .

Имеет место следующий результат Биркгофа [12] (доказательство см., например, теорему II 2.1.1 [11]).

8.4. Теорема. Непустой абстрактный класс алгебр сигнатуры является многообразием в том и только в том случае, когда замкнут относительно подалгебр, факторалгебр и прямых произведений.

Те немногие результаты, которые изложены выше, позволяют сделать вывод об исключительной особенности свойств алгебр с перестановочными конгруэнциями, так называемых мальцевских алгебр. Такое название определяется важностью следующего результата, полученного А. И. Мальцевым в работе [9].

8.5. Теорема (Мальцев). Конгруэнции любой алгебры многообразия сигнатуры попарно перестановочны тогда, и только тогда, когда абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой содержит такое слово , что во всех алгебрах из справедливы тождества:

В этом случае многообразие называют мальцевским или конгруэнц-перестановочным, оператор называют мальцевским оператором. Приведем некоторые примеры мальцевских операторов.

8.6. Пусть -- группа (кольцо). Тогда полагаем

.

8.7. Пусть -- квазигруппа. Тогда эквивалентным определению 1.13 является следующее: это множество с тремя бинарными операциями, то есть , удовлетворяющее тождествам:

, , , .

Действительно, из первых двух тождеств следует, что уравнения и имеет решения: и . Остальные два тождества показывают, что эти решения единственны. Пусть .Тогда

.

Анологичным образом из получаем

.

Обратно, пусть уравнения и имеют единственное решение на множестве , относительно бинарной операции .Определим на бинарные операции так, что тогда и только тогда, когда . Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости указанных выше тождеств.

Определим теперь на квазигруппе мальцевский оператор следующим образом

.

Тогда

и

.

Следующий пример работы [10] показывает, что структура мальцевского оператора может быть устроена весьма сложно.

8.8. Пусть -- алгебра с тремя бинарными операциями

, удовлетворяющими тождествам:

(так называемая СНQ - алгебра). Тогда

.

8.9. Пусть -- -арная группа. Тогда, как показано в работе [14], конгруэнции на перестановочны (см. пример, теорему 8.16[4]). Однако возникает вопрос о структуре мальцевского оператора в многообразии всех -арных групп.

В заключение, отметим следующий результат, часто используемый в теории универсальных алгебр мальцевских многообразий.

8.10: Лемма. Пусть - алгебра из мальцевского многообразия. Тогда любая подалгебра , содержащая нулевую конгруэнцию является конгруэнцией на .

Доказательство. Пусть - подалгебра алгебры , и . Так как и , то для мальцевского оператора получаем

.

Анологичным образом из

получаем, что . Итак симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Шеметков Л.А. Произведение формаций алгебраических систем. Алебра и логика 1984. -т.231 ,№6-с.721-729.

2 Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. 568с.

3 Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976. 400с.

4 Валуцэ И.И. Основы теории универсальных алгебр. Кишинев: Изд-во Кишинев. политехн.ин-та, 1982. 80с.

5 Гальмак А.М. Конгруэнции полиадических групп. Мн.: «Беларуская навука'», 1999. 182с.

6 Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. 351с.

7 Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. М.: Наука, 1974. 160с.

8 Лидл Р., Пильц Г. прикладаная абстрактная алгебра. Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 1996.

9 Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

10 Мальцев А.И. К общей теории алгебраических систем // Мат.сб. 1954. Т.77.№35. с.3-20.

11 Продан Н.И. О многообразии СНQ-алгебр // Алгебра и логика. 1981. Т.20, №1. с.92-100.

12 Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983. 272 с.

13 Birkoff G. On the structure of abstract algebras // Proc. Сamb. Philos. Soe. 1935. Vol. 31, №3. P. 433-454.

14 Gratzer. G. Universal algebra. Berlin; Heidelberg; №4.: Sprinzer-Verlag. 1979. 581p.

15 Monk J.D., Sioson F.M. On the general theory of m-groups II Fund. Math: 1971. №72. P. 233-244.

16 Smith J.D.H. Malcev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V. 554. 158 p.