Математическая индукция

Содержание

Введение

1. Понятие математической индукции

2. Полная и неполная индукция

3. Суть метода математической индукции

4. Метод математической индукции в решении задач

Заключение

Список литературы

Введение

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. Лежащее в основе арифметики понятие же появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами (1).

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией.

Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному. Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно. Хотя и выросла область применения метода математической индукции, в школьной программе ему отводится мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит, пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает. А ведь это так важно - уметь размышлять индуктивно (4).

В своей курсовой работе я постараюсь подробно рассмотреть понятие «математической индукции», дать ее основную характеристику, раскрыть суть и условия применения данного метода в образовательном процессе.

1. Понятие математической индукции

Этот метод находит систематическое применение в V-VI классах. Большинство обоснований в этих классах проводится индуктивным методом. В старших классах роль индукции снижается. Она применяется лишь в целях обнаружения математических закономерностей, обоснование же их проводится дедуктивным методом (3).

Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (от лат. inductio - наведение).

Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения называют индуктивным методом обучения.

Для описания индуктивного метода обучения необходимо, прежде всего, выяснить, какие имеются виды индукции.

Пусть А={а1,а2,….}-множество всевозможных частных случаев, в каждом из которых некоторое свойство С может быть или не быть (иметь или не иметь место). Известно, допустим, что в k случаях имеет место свойство С, т. е. имеются посылки

С{а1), С(а2),...,С(аk).

Индуктивное рассуждение строится по схеме

(1),

(в схеме (1) над чертой перечислены посылки, под чертой записано заключение).

В случае, когда А - конечное множество, содержащее k элементов (всевозможных частных случаев -k), т. е наши посылки исчерпывают всевозможные

частные случаи, схема (1) представляет собой правило вывода, основанное на формуле

и заключение достоверно (истинно, если истинны посылки).

В этом случае рассуждение, построенное по схеме (1), называется полной индукцией.

Если же множество А всевозможных частных случаев содержит более k элементов или же бесконечно (что особенно часто встречается в математике), т. е. когда наши посылки не исчерпывают всевозможные частные случаи, то заключение по схеме (1) не является достоверно истинным высказыванием, а лишь вероятно истинно (правдоподобно) при истинности посылок.

В этом случае рассуждение, построенное по схеме (1), называется неполной индукцией.

Математическая индукция - специальный метод доказательства предложений типа (или, т. е. предложений, выражающих некоторое свойство Р, присущее всем натуральным числам n (или всем n > k, где k, - определенное натуральное число). Этот метод, хотя и называется индуктивным, по своей структуре представляет собой дедуктивное рассуждение, опирающееся на аксиому математической индукции:

(если 1 обладает некоторым свойством Р и если для всякого натурального числа х имеем: если оно обладает этим свойством, то им обладает и непосредственно следующее за ним число х + 1,-то всякое натуральное число n обладает свойством Р).

Ввиду того что непосредственная проверка наличия свойства Р у любого натурального числа невозможна из-за бесконечности множества N, поступают так: проверкой устанавливают наличие этого свойства у числа 1 и доказывают, что из допущения о наличии этого свойства у произвольного числа х следует его наличие и у непосредственно следующего за ним числа х +1, (т.е. устанавливается, что свойство P как бы "передается по наследству" от х к х +1). После этого заключают об истинности доказываемого предложения, т. е. о том, что свойством Р обладают все натуральные числа (2).

Иногда это заключение обосновывается следующим образом: так как доказываемое предложение верно для 1 и из того, что оно верно для произвольного х, следует, что оно верно и для х + 1, то оно верно и для числа 2; так как оно верно для 2, то на том же основании оно верно и для 2+1, т.е. для 3; и т.д. Следовательно, оно верно для любого натурального числа. Слова "и т. д." свидетельствуют о незавершенности, а по существу о незавершимости этого рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов.

Роль аксиомы математической индукции состоит именно в том, что она позволяет заменить бесконечное индуктивное рассуждение конечным дедуктивным (5).

Заметим, что метод математической индукции неоднократно включался в школьную программу и неоднократно исключался из нее как предмет специального изучения. В любом случае он может разъясняться в связи с решением задач.

2. Полная и неполная индукция

По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения. Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых. Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев. Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин. Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рас- смотрим частные случаи: 1=1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52. После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 1+3+5+…+(2n-1)=n2 т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n2. Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости приведённой формулы. Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам. Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем. Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n2). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n = k вытекает его справедливость и при n=k+1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+ +1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n. Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип. Принцип математической индукции. Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n. В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом. Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k)А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p. Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)A(k+1) (3).

Полная индукция находит ограниченное применение в процессе обучения.

Примером полной индукции может служить рассуждение, которым следовало бы завершить доказательство теоремы об измерении вписанного угла, если она доказывается отдельно для случая, когда центр окружности лежит на стороне угла, внутри или вне его.

Если а1 - случай "центр лежит на стороне угла", а2 - "центр лежит внутри угла" и а - "центр лежит вне угла", то {а1, а2, а3}- множество всевозможных частных случаев и, если С {а) (означает "теорема доказана в случае а"), то с помощью рассуждения по схеме полной индукции

,

- заключаем, что теорема доказана для всех возможных случаев, или что "теорема доказана". Это рассуждение обычно опускается в учебниках. Целесообразно его явно высказать, чтобы научить этому методу учащихся.

Обычно, когда говорят "индуктивные методы обучения", имеют в виду применение неполной индукции в обучении. Дальше, говоря "индукция", будем иметь в виду неполную индукцию.

Ввиду недостоверности заключения индукция не может служить методом доказательства. Но она является мощным эвристическим методом, т. е. методом открытия новых истин. В таком качестве индукция должна широко применяться в школьном обучении в рамках методов, ориентированных на обучение учащихся деятельности по приобретению новых знаний (3).

Индукция, так же как и аналогия, может привести к ложному заключению. Так, например, вычисляя значения выражения n2+n+17 при n = 1,2,3, ..., 15, мы получаем неизменно простые числа, и это наводит на мысль, что значение этого выражения при любом натуральном n есть простое число. Иначе говоря, на основании пятнадцати частных посылок получено общее заключение, относящееся к бесконечному множеству частных случаев, и это заключение оказывается ложным, так как уже при n = 16 получаем составное число

162+16+17=16*17+17-172.

В истории математики были случаи, когда известные математики ошибались в своих индуктивных выводах. Например, П. Ферма предположил, что все числа вида 22 n+ 1 простые, исходя из того, что при n == 1,2,3,4 они являются таковыми, но Л. Эйлер нашел, что уже при n = 5 число 232+ 1 не является простым (оно делится на 641).

Однако возможность получения с помощью индукции ложного заключения не является основанием для отрицания роли индукции в школьном обучении математике. Во-первых, применение индукции в обучении корректируется и направляется учителем к открытию истин. Во-вторых, нужно добиваться понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения. Поэтому, применяя индукцию, необходимо всячески подчеркивать, что заключение является лишь предположением, гипотезой, которое может быть доказано (если оно истинно) или опровергнуто (если оно ложно).

Например, когда учащиеся открывают свойство суммы углов треугольника с помощью измерений, необходимо разъяснить им, что мы можем высказать лишь предположение гипотезу) о том, что "во всяком треугольнике сумма углов равна 180°". Во-первых, результаты опыта лишь близки к 180°; во-вторых, даже предполагая, что все отклонения в одну или другую сторону вызваны неизбежными погрешностями измерений и для каждого из 30 треугольников, в которых мы производили измерения углов, сумма углов действительно равна 180°, мы не можем на этом основании заключить, что она равна 180° в любом треугольнике.

Такими разъяснениями мы и добиваемся понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения.

Надо отличать возможность ложного заключения от ошибочного применения индукции. В практике иногда встречаются ошибочные применения индукции, когда учащимся не предъявляется необходимое разнообразие частных посылок. Приведем пример. Учитель хотел привести учеников к открытию индуктивным путем правила умножения десятичных дробей, но из-за недостатка времени предложил только один пример, в котором во множимом и множителе вместе было три десятичных знака. После разъяснения способа умножения на этом конкретном примере учитель поставил перед классом вопрос: "Какое же правило, мы нашли для умножения десятичных дробей?" Ученик отчеканил "правило": "Чтобы умножить десятичные дроби, мы умножаем их как целые числа, не обращая внимания на запятые, а в произведении отделяем справа три десятичных знака". Вот к какому открытию можно привести учащихся, если строить индукцию на базе одной частной посылки! Разумеется, возможно, что кто-нибудь из учащихся догадался, как правильно сформулировать общее правило, но наша цель - создание такой педагогической ситуации, в которой все или, по крайней мере, большинство учащихся догадаются, как это сделать, а для этого нужно правильно подобрать последовательность частных посылок.

Совершенно очевидно, что на вопрос, сколько надо рассматривать частных посылок и какие, чтобы подвести учащихся к открытию общей закономерности, нельзя дать ответ, пригодный на все случаи применения индукции и для всех учащихся; Мы должны заботиться, чтобы частное содержание, которое выражается в посылках и не должно входить в общее заключение, варьировалось, т. е. видоизменялось от посылки к посылке, чтобы облегчить учащимся выявление того общего, неизменного, содержащегося во всех посылках, что и должно составлять содержание заключения. В приведенном выше примере частное содержание, которое должно варьироваться в посылках, это число десятичных знаков во множимом и множителе (1).

На отдельных этапах обучения, в частности в IV-V классах, обучение математике ведется преимущественно индуктивными методами. Здесь индуктивные заключения достаточно убедительны психологически и в большинстве остаются пока (на этом этапе обучения) недоказанными. Можно обнаружить лишь изолированные "дедуктивные островки", состоящие в применении несложных дедуктивных рассуждений в качестве доказательств отдельных предложений.

В дальнейшем обучении индукция уступает первенство дедукции. Однако она не исключается, меняется лишь ее роль. Если в IV-V классах она служит основным методом обучения, в дальнейшем она становится вспомогательным. С помощью индукции (или аналогии) мы открываем то, что подлежит доказательству дедуктивным путем.

Сочетание индукции с дедукцией в процессе обучения математике вполне правомерно. Когда говорят "математика - дедуктивная наука", то термин "математика" понимается здесь в смысле готовая, уже построенная теория (или совокупность таких теорий). Когда же речь идет о методах обучения математике, то здесь, имеется в виду привлечение самих учащихся к деятельности по построению системы математических знаний, разумеется, в той мере, в какой это им доступно под руководством учителя. В процессе же построения системы математических знаний наряду с дедукцией применяются и другие методы (наблюдение, опыт, индукция, аналогия и др.), в основе которых лежат правдоподобные рассуждения.

Приведем пример. Признак перпендикулярности прямой и плоскости - известная теорема стереометрии. Можно сообщить учащимся формулировку теоремы, изложить ее доказательство. Этот подход малоэффективен.

Можно поступить иначе. Определение перпендикулярности прямой к плоскости неэффективно: мы не можем проверить перпендикулярность данной прямой к любой прямой плоскости, таких прямых бесконечно много. Возникает задача: нельзя ли указать некоторое достаточное условие перпендикулярности прямой к любой прямой плоскости?

Возникает гипотеза: перпендикулярность к одной прямой плоскости. Но она быстро опровергается, можно построить модель прямой, перпендикулярной к одной прямой плоскости, но не перпендикулярной к другой.

Возникает другая гипотеза: перпендикулярность к двум прямым плоскости. Это уже, кажется, более правдоподобно (пока все учащиеся берут две пересекающиеся прямые плоскости). Однако и здесь обнаруживается противоречащий случай (если взять параллельные прямые плоскости, можно указать прямую, перпендикулярную им, но не перпендикулярную некоторой третьей прямой плоскости).

Наконец, формулируется уточненная гипотеза: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна любой прямой плоскости, т. е. и самой плоскости.

3. Суть метода математической индукции

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

· Предложение А(n) истинно для n=1.

· Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k - любое

натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

4. Метод математической индукции в решении задач

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Покажем, как они получаются с помощью метода математической индукции (4).

ПРИМЕР 1

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2.

Решение:

1) Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно.

2) Докажем, что А(k)A(k+1). Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е. 1+3+5+…+(2k-1)=k2.

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2. В самом деле, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2. Итак, А(k)А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А(n) истинно для любого nN.

ПРИМЕР 2

Доказать, что 1+х+х2+х3+…+хn =(хn+1-1)/(х-1), где х1

Решение:

1) При n=1 получаем 1+х=(х2-1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1 следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно.

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n =k, т.е. 1+х+х2+х3+…+хk =(хk+1-1)/(х-1). Докажем, что тогда выполняется равенство 1+х+х2+х3+…+хk+xk+1=(xk+2-1)/(х-1).

В самом деле 1+х+х2+x3+…+хk+xk+1=(1+x+x2+x3+…+xk)+xk+1= =(xk+-1)/(x-1)+xk+1=(xk+2-1)/(x-1).

Итак, А(k)A(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n.

ПРИМЕР 3

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2. Решение:

1) При n=3 утверждение справедливо, ибо в треугольнике Д3=3(3-3)/2=0 диагоналей; А2 А(3) истинно.

2) Предположим, что во всяком выпуклом k-угольнике имеется Дk=k(k-3)/2 диагоналей Аk.

Докажем, что тогда в выпуклом Аk+1 (k+1)-угольнике число диагоналей Дk+1=(k+1)(k-2)/2. Пусть А1А2А3…AkAk+1-выпуклый (k+1)-угольник. Проведём в нём диагональ A1Ak. Чтобы подсчитать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A1A2…Ak, прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины Аk+1, и, кроме того, следует учесть диагональ А1Аk. Таким образом, Дk+1=Дk+(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2. Итак, А(k)A(k+1). Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

ПРИМЕР 4

Доказать, что при любом n справедливо утверждение: 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6.

Решение:

1) Пусть n=1, тогда Х1=12=1(1+1)(2+1)/6=1. Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что n=k Хk=k2=k(k+1)(2k+1)/6. 3)

Рассмотрим данное утверждение при n=k+1 Xk+1=(k+1)(k+2)(2k+3)/6. Xk+1=12+22+32+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1)2=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2)/6=(k+1)(k(2k+1)+ +6(k+1))/6=(k+1)(2k2+7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+ +2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6. Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого натурального n.

ПРИМЕР 5

Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство: 13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4.

Решение:

1) Пусть n=1. Тогда Х1=13=12(1+1)2/4=1. Мы видим, что при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что равенство верно при n=k Xk=k2(k+1)2/4.

3) Докажем истинность этого утверждения для n=k+1, т.е. Хk+1=(k+1)2(k+2)2/4. Xk+1=13+23+…+k3+(k+1)3=k2(k+1)2/4+(k+1)3=(k2(k++1)2+4(k+1)3)/4=(k+1)2(k2+4k+4)/4=(k+1)2(k+2)2/4. Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n.

ПРИМЕР 6

Доказать, что ((23+1)/(23-1))((33+1)/(33-1))…((n3+1)/(n3-1))= =3n(n+1)/2(n2+n+1), где n>2.

Решение:

1) При n=2 тождество выглядит: (23+1)/(23-1)=(323)/2(22+2+1), т.е. оно верно.

2) Предположим, что выражение верно при n=k (23+1)/(23-1)…(k3+1)/(k3-1)=3k(k+1)/2(k2+k+1).

3) Докажем верность выражения при n=k+1. (((23+1)/(23-1))…((k3+1)/(k3-1)))(((k+1)3+ +1)/((k+1)3-1))=(3k(k+1)/2(k2+k+1))((k+2)((k+ +1)2-(k+1)+1)/k((k+1)2+(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ((k+1)2+(k+1)+1). Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого n>2

ПРИМЕР 7

Доказать, что 13-23+33-43+…+(2n-1)3-(2n)3=-n2(4n+3) для любого натурального n.

Решение:

1) Пусть n=1, тогда 13-23=-13(4+3); -7=-7.

2) Предположим, что n=k, тогда 13-23+33-43+…+(2k-1)3-(2k)3=-k2(4k+3). 3) Докажем истинность этого утверждения при n=k+1 (13-23+…+(2k-1)3-(2k)3)+(2k+1)3-(2k+2)3=-k2(4k+3)+ +(2k+1)3-(2k+2)3=-(k+1)3(4(k+1)+3). Доказана и справедливость равенства при n=k+1, следовательно утверждение верно для любого натурального n.

ПРИМЕР 8

Доказать верность тождества (12/13)+(22/35)+…+(n2/(2n-1)(2n+1))= =n(n+1)/2(2n+1) для любого натурального n.

Решение:

1) При n=1 тождество верно 12/13=1(1+1)/2(2+1).

2) Предположим, что при n=k (12/13)+…+(k2/(2k-1)(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) Докажем, что тождество верно при n=k+1. (12/13)+…+(k2/(2k-1)(2k+1))+(k+1)2/(2k+1)(2k+3)= =(k(k+1)/2(2k+1))+((k+1)2/(2k+1)(2k+3))=((k+ +1)/(2k+1))((k/2)+((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1)(k+2)/2(2(k+1)+1).

Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при любом натуральном n.

ПРИМЕР 9

Доказать, что (11n+2+122n+1) делится на 133 без остатка.

Решение:

1) Пусть n=1, тогда 113+123=(11+12)(112-132+122)=23133. Но (23133) делится на 133 без остатка, значит при n=1 утверждение верно; А(1) истинно. 2) Предположим, что (11k+2+122k+1) делится на 133 без остатка.

3) Докажем, что в таком случае (11k+3+122k+3) делится на 133 без остатка. В самом деле 11k+3+122л+3=1111k+2+122122k+1=1111k+2+ +(11+133)122k+1=11(11k+2+122k+1)+133122k+1.

Полученная сумма делится на 133 без остатка, так как первое её слагаемое делится на 133 без остатка по предположению, а во втором одним из множителей выступает 133. Итак, А(k)А(k+1). В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 10

Доказать, что при любом n 7n-1 делится на 6 без остатка.

Решение:

1) Пусть n=1, тогда Х1=71-1=6 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n=k 7k-1 делится на 6 без остатка.

3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1. Xk+1=7k+1-1=77k-7+6=7(7k-1) + 6. Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7k-1 делится на 6 по предположению, а вторым слагаемым является 6. Значит 7n-1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 11

Доказать, что 33n-1+24n-3 при произвольном натуральном n делится на 11. Решение:

1) Пусть n=1, тогда Х1=33-1+24-3=32+21=11 делится на 11 без остатка. Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n=k Xk=33k-1+24k-3 делится на 11 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно для n=k+1. Xk+1=33(k+1)-1+24(k+1)-3=33k+2+24k+1=3333k-1+2424k-3= =2733k-1+1624k-3=(16+11)33k-1+1624k-3=1633k-1+ +1133k-1+1624k-3=16(33k-1+24k-3)+1133k-1.

Первое слагаемое делится на 11 без остатка, поскольку 33k-1+24k-3 делится на 11 по предположению, второе делится на 11, потому что одним из его множителей есть число 11. Значит и сумма делится на 11 без остатка при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 12

Доказать, что 112n-1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка.

Решение:

1) Пусть n=1, тогда 112-1=120 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n=k 112k-1 делится на 6 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1 112(k+1)-1=121112k-1=120112k+(112k-1). Оба слагаемых делятся на 6 без остатка: первое содержит кратное 6-ти число 120, а второе делится на 6 без остатка по предположению. Значит и сумма делится на 6 без остатка. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 13

Доказать, что 33n+3-26n-27 при произвольном натуральном n делится на 262(676) без остатка.

Решение: Предварительно докажем, что 33n+3-1 делится на 26 без остатка.

1) При n=0 33-1=26 делится на 26

2) Предположим, что при n=k 33k+3-1 делится на 26

3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1. 33k+6-1=2733k+3-1=2633л+3+(33k+3-1) делится на 26. Теперь проведём доказательство утверждения, сформулированного в условии задачи.

1) Очевидно, что при n=1 утверждение верно 33+3-26-27=676

2) Предположим, что при n=k выражение 33k+3-26k-27 делится на 262 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1 33k+6-26(k+1)-27=26(33k+3-1)+(33k+3-26k-27). Оба слагаемых делятся на 262; первое делится на 262, потому что мы доказали делимость на 26 выражения, стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 14

Доказать, что если n>2 и х>0, то справедливо неравенство (1+х)n>1+nх. Решение:

1) При n=2 неравенство справедливо, так как (1+х)2=1+2х+х2>1+2х. Значит, А(2) истинно.

2) Докажем, что А(k)A(k+1), если k> 2. Предположим, что А(k) истинно, т.е., что справедливо неравенство (1+х)k>1+kx.

3) Докажем, что тогда и А(k+1) истинно, т.е., что справедливо неравенство (1+x)k+1>1+(k+1)x. В самом деле, умножив обе части неравенства (3) на положительное число 1+х, получим (1+x)k+1>(1+kx)(1+x). Рассмотрим правую часть последнего неравенства; имеем (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. В итоге получаем, что (1+х)k+1>1+(k+1)x. Итак, А(k)A(k+1). На основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n> 2.

ПРИМЕР 15

Доказать, что справедливо неравенство (1+a+a2)m> 1+ma+(m(m+1)/2)a2 при а> 0.

Решение:

1) При m=1 (1+а+а2)1> 1+а+(2/2)а2 обе части равны.

2) Предположим, что при m=k (1+a+a2)k>1+ka+(k(k+1)/2)a2

3) Докажем, что при m=k+1 не-равенство верно (1+a+a2)k+1=(1+a+a2)(1+a+a2)k>(1+a+a2)(1+ka+ +(k(k+1)/2)a2)=1+(k+1)a+((k(k+1)/2)+k+1)a2+ +((k(k+1)/2)+k)a3+(k(k+1)/2)a4> 1+(k+1)a+ +((k+1)(k+2)/2)a2. Мы доказали справедливость неравенства при m=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального m.

ПРИМЕР 16

Доказать, что при n>6 справедливо неравенство 3n>n2n+1.

Решение: Перепишем неравенство в виде (3/2)n>2n.

1) При n=7 имеем 37/27=2187/128>14=27 неравенство верно.

2) Предположим, что при n=k (3/2)k>2k.

3) Докажем верность неравенства при n=k+1. 3k+1/2k+1=(3k/2k)(3/2)>2k(3/2)=3k>2(k+1). Так как k>7, последнее неравенство очевидно. В силу метода математической индукции неравенство справедливо для любого натурального n.

ПРИМЕР 17

Доказать, что при n>2 справедливо неравенство 1+(1/22)+(1/32)+…+(1/n2)<1,7-(1/n).

Решение:

1) При n=3 неравенство верно 1+(1/22)+(1/32)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

2) Предположим, что при n=k 1+(1/22)+(1/32)+…+(1/k2)=1,7-(1/k).

3) Докажем справедливость неравенства при n=k+1 (1+(1/22)+…+(1/k2))+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1)2). Докажем, что 1,7-(1/k)+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1) (1/(k+1)2)+(1/k+1)<1/k(k+2)/(k+1)2<1/k k(k+2)<(k+1)2k2+2k

Заключение

Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (от лат. inductio - наведение).

Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения называют индуктивным методом обучения.

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом.

Этот метод находит систематическое применение в V-VI классах. Большинство обоснований в этих классах проводится индуктивным методом. В старших классах роль индукции снижается. Она применяется лишь в целях обнаружения математических закономерностей, обоснование же их проводится дедуктивным методом.

Метод математической индукции неоднократно включался в школьную программу и неоднократно исключался из нее как предмет специального изучения. В любом случае он может разъясняться в связи с решением задач.

По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция.

Ввиду недостоверности заключения индукция не может служить методом доказательства. Но она является мощным эвристическим методом, т. е. методом открытия новых истин. В таком качестве индукция должна широко применяться в школьном обучении в рамках методов, ориентированных на обучение учащихся деятельности по приобретению новых знаний.

Список литературы

1. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике / Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. - М.: Наука. - 1987. - С.396.

2. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика/ Пособие для учителей. - М.: Просвещение. - 1976. - С.4 - 18.

3. Головина Л.И., Яглом И.М. Индукция в геометрии. - М.: Госуд. издат. теор. литер. - 1956 - С.100.

4. Пособие по математике для поступающих в вузы/ Под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука. - 1981. - С.47-51.

5. Рубанов И.С. Как обучать методу математической индукции/ Математика в школе. - N1. - 1996. - С. 14-20.

6. Соломинский И.С. Метод математической индукции. - М.: Наука. - 1974. - 63с.

7. Соломинский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции. - М.: Наука. - 1967. - С.7-59.